第六章 傅立叶展开
傅里叶展开式
傅里叶展开式
傅里叶展开式(Fourierexpansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。
若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。
傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身
时的一种称呼。
而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。
此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。
傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他目前被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。
将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
傅立叶(Fourier)级数的展开方法
快速傅立叶变换（FFT）法
定义
FFT法是一种基于数学和计算机技术的快速计算傅立叶级数展开式的 方法。
步骤
首先，将函数进行离散化处理，然后利用分治策略将问题分解为多个 子问题，最后通过递归和数学公式计算出傅立叶级数的系数。
优点
FFT法计算速度快，适用于大规模数据的傅立叶变换计算。
缺点
对于非周期函数，FFT法可能存在误差和稳定性问题。
图像处理
在图像处理中，傅立叶变换是常用的工具，通过将图像分解为不同 频率的成分，可以实现图像的滤波、去噪、压缩等操作。
控制系统
在控制工程中，傅立叶级数可以用于分析系统的频域响应，从而优 化控制系统的设计和性能。
在金融问题中的应用
要点一
周期性分析
在金融领域，傅立叶级数可以用于分析具有周期性的金融 数据，如股票价格、汇率等，从而预测未来的走势。
唯一性证明
唯一性定理的证明涉及到数学分析中的一些高级技巧，如反证法、数学归纳法 等。
三角函数的正交性
正交性定义
在一定条件下，三角函数系中的函数都互相垂直，即它们的内积为0。这就是三角函数 的正交性。
正交性的应用
正交性是傅立叶级数展开的基础，因为只有当三角函数系是正交的时，我们才能将一个 周期函数表示为一个傅立叶级数。同时，正交性在解决物理问题、信号处理等领域也有
傅立叶级数的复数形式
傅立叶级数的复数形式是将函数表示 为复指数函数的线性组合，通过复数 运算，可以简化计算过程并方便地处 理函数的频域性质。
VS
复数形式的傅立叶级数在信号处理、 通信等领域中具有重要应用，可以用 于信号的频谱分析和滤波等操作。
02 傅立叶级数的性质
收敛性
傅立叶级数在$L^2$空间中收敛
傅里叶三角函数展开式
傅里叶三角函数展开式傅里叶三角函数展开式是指用三角函数表示一个周期函数的方法。
它通常用于表示正弦函数和余弦函数的形式。
傅里叶三角函数展开式的一般形式为：f(t) = a0 + ∑[ancos(nωt) + bnsin(nωt)]其中，a0 是函数的常数项，an 和bn 是傅里叶系数，ω 是角频率，t 是时间。
例如，对于周期为2π 的正弦函数f(t) = sin(t)，可以使用傅里叶三角函数展开式表示为：f(t) = ∑[bnsin(nω*t)]其中，ω= 1，bn 的值为：bn = 2/T ∫[f(t)sin(nω*t)]dt。
其中，T 是函数的周期。
同样，对于周期为2π 的余弦函数f(t) = cos(t)，可以使用傅里叶三角函数展开式表示为：f(t) = a0 + ∑[ancos(nω*t)]其中，ω= 1，a0 的值为：a0 = 1/T ∫[f(t)]dt an 的值为：an = 2/T ∫[f(t)cos(nω*t)]dt其中，T 是函数的周期。
注意，傅里叶三角函数展开式是无限级数展开，也就是说，需要无限多的傅里叶系数才能精确表示函数。
但是，在实际应用中，通常只使用有限个傅里叶系数来近似表示函数。
在这种情况下，可以使用傅里叶三角函数展开式的前几项来表示函数。
例如，对于周期为2π 的正弦函数f(t) = sin(t)，使用前三项傅里叶系数的傅里叶三角函数展开式为：f(t) ≈ b0sin(ωt) + b1sin(2ωt) + b2sin(3ωt)其中，ω= 1，b0、b1、b2 分别是前三项傅里叶系数的值。
同样，对于周期为2π 的余弦函数f(t) = cos(t)，使用前三项傅里叶系数的傅里叶三角函数展开式为：f(t) ≈ a0 + a1cos(ωt) + a2cos(2ωt) + a3cos(3ωt)其中，ω= 1，a0、a1、a2、a3 分别是前四项傅里叶系数的值。
傅里叶三角函数展开式是傅里叶级数的一种特殊情况，其中只使用了三角函数来表示周期函数。
傅里叶级数展开
周期信号是定义在区间，每隔一定时间，按相同规律重复变化的信号。
可表示为：(1)式中：－任意整数，－信号的周期1 周期信号的傅里叶级数三角函数集在区间(式中)是一个完备正交函数集。
复指数函数集在区间内也是完备正交函数集。
所以函数在区间内可以展开为正交三角函数或是正交复指数函数的加权和，将函数周期化扩展到整个时间轴，就得到周期函数的三角函数级数展开或复指数函数级数展开，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。
1、三角形式傅里叶级数设周期信号，其周期为，角频率为，则该信号可展开为下面三角形式的傅里叶级数(2)式(2)中各正、余弦项的系数称为傅里叶系数。
(3)上面积分区间可以是周期信号的任意一个周期。
式(3-2)还可写成下列形式，(4)式中(5)若将式(3-4)转化成式(3-2)，其系数之间的关系如下：(6)从物理概念上来说，式(4)中——信号的直流分量；——信号的基波或基波分量，它的角频率与原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；——信号的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，是二次谐波振幅，是其初相角；以此类推，称为信号的次谐波，是次谐波振幅，是其初相角；比较大的那些分量有时候又通称为高次谐波。
2、复指数形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数，物理含义明确，但运算不便，因而常用复指数形式的傅里叶级数。
设周期信号，其周期为，角频率为，该信号复指数形式的傅里叶级数为(7)其中(8)称为复指数形式傅里叶级数系数。
三角形式的傅里叶级数物理含义明确，而指数形式的傅里叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。
两种形式的傅里叶级数的关系可由下式表示其中：表综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。
表1 周期信号展开为傅里叶级数：傅里叶级展开式傅里叶系数傅里叶系数之间关系数形式三角形式指数形式。
傅立叶级数展开系数公式
傅立叶级数展开系数公式1.引言傅立叶级数展开是一种用一系列正弦和余弦函数来表示周期性函数的方法。
在信号处理、图像处理、物理学等领域中广泛应用。
本文将介绍傅立叶级数展开的原理，并给出计算展开系数的公式。
2.傅立叶级数展开原理傅立叶级数展开是基于傅立叶级数理论的。
傅立叶级数理论认为，任何一个周期为T的连续函数f(t)可以表示为无穷级数的形式：$$f(t)=\fr ac{a_0}{2}+\su m_{n=1}^{\in ft y}(a_n\c os(\fr ac{ 2\pi n}{T}t)+b_n\s i n(\f ra c{2\pi n}{T}t))$$其中，$a_0$、$a_n$和$b_n$为傅立叶系数，代表了函数f(t)在频率为$\fr ac{n}{T}$的正弦和余弦函数上的投影。
3.傅立叶级数展开系数公式傅立叶级数展开系数的计算需要求解傅立叶系数。
傅立叶系数的计算公式如下：3.1直流分量系数直流分量系数$a_0$表示函数在直流分量上的投影，计算公式为：$$a_0=\f ra c{1}{T}\in t_{0}^{T}f(t)d t$$其中，积分范围为一个周期。
3.2正弦系数和余弦系数正弦系数$a_n$和余弦系数$b_n$分别表示函数在频率为$\fr ac{n}{T}$的正弦和余弦函数上的投影，计算公式为：$$a_n=\f ra c{2}{T}\in t_{0}^{T}f(t)\co s(\f ra c{2\pin}{T}t) d t$$$$b_n=\f ra c{2}{T}\in t_{0}^{T}f(t)\si n(\f ra c{2\pin}{T}t) d t$$其中，积分范围同样为一个周期。
4.示例下面通过一个简单的例子来计算傅立叶级数展开系数。
假设我们有一个周期为$2\pi$的方波函数f(t)，其定义如下：$$f(t)=\b eg in{c as es}-1,&-\pi<t<0\\1,&0<t<\p i\e nd{c as es}$$首先，计算直流分量系数$a_0$：$$a_0=\f ra c{1}{2\p i}\i nt_{-\p i}^{\p i}f(t)dt=\fr ac{1}{2\pi}\l e ft(\in t_{-\p i}^{0}-1d t+\i nt_{0}^{\pi}1d t\ri gh t)=0$$接着，计算正弦系数$a_n$和余弦系数$b_n$：$$a_n=\f ra c{2}{2\p i}\i nt_{-\p i}^{\p i}f(t)\co s(n t)dt=\fr ac{1}{\p i}\i nt_{0}^{\p i}\c os( n t)d t=0$$$$b_n=\f ra c{2}{2\p i}\i n t_{-\p i}^{\p i}f(t)\si n(n t)dt=\fr ac{1}{\p i}\l ef t(\i nt_{-\p i}^{0}-\s in(n t)dt+\in t_{0}^{\pi}\si n(nt)d t\ri gh t)=\fr ac{2}{n\pi} (1-\co s(n\pi))$$由上述计算可知，方波函数的傅立叶级数展开系数为：$$a_0=0$$$$a_n=0,n\ne q0$$$$b_n=\f ra c{2}{n\p i}(1-\co s(n\pi)),n\n eq0$$5.总结本文介绍了傅立叶级数展开的原理，并给出了计算展开系数的公式。
傅里叶展开式系数公式
傅里叶展开式系数公式对于一个周期为T的函数f(t)，傅里叶展开可以表示为如下形式：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]其中，n是正整数，ω是基频率，an和bn分别是傅里叶系数，a0是恒定分量。
傅里叶系数的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)dt]bn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)dt]其中，积分区间是一个周期T。
这表示了原函数与正弦函数和余弦函数之间的内积关系。
展开式的系数可以描述原函数的谐波成分和幅度。
a0表示直流分量，an和bn表示谐波分量的振幅。
为了计算展开式的系数，常用的方法是利用傅里叶级数中的正交性质。
具体方法如下：1.计算a0：a0 = (1/T) * ∫[f(t)dt]这里的积分是在一个周期T内进行的，计算的结果表示原函数在一个周期内的平均值。
2.计算an：an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)dt]这里的积分是在一个周期T内进行的，结果表示了原函数与正弦函数cos(nωt)的内积。
根据正交性质，当n与m不同的时候，积分结果为0，从而只剩下n=m的情况。
3.计算bn：bn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)dt]这里的积分是在一个周期T内进行的，结果表示了原函数与正弦函数sin(nωt)的内积。
根据正交性质，当n与m不同的时候，积分结果为0，从而只剩下n=m的情况。
通过以上计算可以得到展开式中的所有系数。
需要注意的是，展开式中的谐波成分的振幅随着频率的增加而递减，振幅越小的谐波在展开式中的权重越低。
傅里叶展开在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
通过将复杂的信号分解为一系列简单的频率成分，可以方便地分析信号的频谱特性和频率分量，并根据需要进行滤波、去噪等处理。
同时，在图像处理中，傅里叶展开也可以用于对图像进行频域分析和滤波，从而实现图像增强、图像合成等操作。
傅立叶展开公式
傅立叶展开公式
傅立叶展开公式，又称傅立叶级数，是数学分析中的重要工具，用于将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家约瑟夫·傅立叶在19世纪早期提出，并被广泛应用于信号处理、泛函分析、图像处理以及量子力学等领域。
傅立叶展开公式的基本思想是任意一个周期为T的连续函数f(x)都可以表示为正弦函数sin(nx)和余弦函数cos(nx)的无穷级数之和。
具体而言，傅立叶展开公式可以用以下形式表示：
f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))
其中，a₀、aₙ和bₙ分别是系数，n代表频率，Σ表示对所有n的求和。
通过对函数f(x)进行傅立叶展开，我们可以将其分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
由于任何周期为T的函数都可以表示为这些基本正弦和余弦函数的线性组合，因此傅立叶展开提供了一种有效的方式来研究和分析周期性现象。
傅立叶展开公式在许多领域都有重要的应用。
在信号处理中，我们可以利用傅立叶展开对信号进行频域分析，从而了解信号中不同频率的成分。
在图像处理中，通过对图像的傅立叶变换，我们可以提取出图像中的频域信息，用于图像增强、压缩等操作。
傅立叶级数也被广泛应用于量子力学中的波动性研究以及偏微分方程的求解。
总而言之，傅立叶展开公式是一种强大的数学工具，能够将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
它的广泛应用使得我们能够更好地处理信号、图像和波动性等问题，进一步推动了科学和工程领域的发展。
傅里叶级数展开式
傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式（Fourier series）是一种广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域的数学方法，它可以将一个周期性函数分解成多个单频率正弦和余弦函数的和，从而更好地描述和分析该函数。
一、基础概念周期函数：一个函数f(x)是周期函数，当且仅当存在一个常数T>0，使得对于任意实数x，都有f(x+T)=f(x)。
正交性：对于两个周期为T的函数f(x)和g(x)，它们的积分的周期为T，如果有积分f(x)g(x)dx=0，则称f(x)和g(x)正交。
正弦函数（sin）：一个周期为T的正弦函数是f(x)=Asin(ωx)，其中A是振幅，ω=2π/T是角频率。
余弦函数（cos）：一个周期为T的余弦函数是f(x)=Acos(ωx)，其中A是振幅，ω=2π/T是角频率。
二、傅里叶级数公式设f(x)是一个周期为T的函数，则它可以表示成傅里叶级数的形式：f(x)=a0/2+Σ(a_n*cos(nωx)+b_n*sin(nωx))其中a0、an和bn都是常数，ω=2π/T是角频率，n是任意正整数或零。
a0表示函数f(x)的直流分量，an和bn表示其为正弦和余弦函数的分量，增加n的值，可以得到更多的频率分量，从而更好地描述f(x)。
三、傅里叶级数展开步骤1、求出f(x)在一个周期内的平均值a0/2，其中a0=1/T*∫f(x)dx。
2、对于任意正整数或零，求出系数an和bn，其中an=2/T*∫f(x)cos(nωx)dx，bn=2/T*∫f(x)sin(nωx)dx。
3、将得到的傅里叶级数公式代入f(x)，即可得到f(x)的傅里叶级数展开式。
四、应用举例1、音频处理：通过傅里叶级数展开式，可以将音频信号分解成多个频率分量，以便更好地分析和处理音频。
2、图像压缩：通过傅里叶级数展开式，可以将图像分解成多个频率分量，从而实现图像压缩，减少存储空间。
3、信号处理：通过傅里叶级数展开式，可以分析和处理信号，如滤波、调制、解调等。
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0
l
狄里赫利条件：若周期函数，a、在每个周期中连续，或只 有有限个第一类间断点；b、在每个周期中只有有限个极值 （包括极大和极小），则傅立叶级数收敛。
f x
连续点
级数之和
f
x
0
f
x
0
在间断点.
2
1100
例1、半波整流电路输出电压的傅立叶展开.
在[ , ] 这个周期上，
ut
u
t
0
uo
2k
sin
k
l
x,
我们自然联想到周期为2l的函数可以展开为
k
cos
x,
k
sin
x,
k 1,2,...
的线性迭加.
l
l
44
基本函数系（基本函数族）：
1,cos x,cos 2 x, cos k x, ,sin x,sin 2 x, sin k x,
l
l
l
l
l
l
构成周期函数的基本函数系。
k t dt
k 1
uo
2
sin1 k t
1 k
sin1 k t
1 k
0
0
1
b1
0
uo
sin2 tdt
uo 2
1133
ut
uo
uo 2
sin t
2uo
k 1
1 1 4k2
cos 2kt
uo uo sint 2uo cos 2t 2uo cos 4t 2uo cos 6t .
1768年生于法国 • 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数的级数表示”
• 1808年提出傅里叶热 传导定律
• 1822年发表“热的分 析理论”，首次提出 “任何非周期信号都 可用正弦函数的积分 表示”
22
第六章 傅立叶展开
1、无穷区间的傅里叶展开 2、有限区间的傅里叶展开 3、复数形式的展开 4、非周期函数的傅里叶展开——傅里叶变换 5、各种广义傅里叶展开 6、狄拉克函数
第六章 傅立叶展开
我们已经熟悉函数的幂级数展开，这种级数的每一 项都是幂的函数，即，采用了一系列幂函数作为展 开的基本函数族。幂级数没有周期性，所以周期函 数展开为幂级数以后，周期性就很难体现出来，因 此，在着重研究函数周期性的时候，需要采用其他 函数作为基本函数。
11
傅里叶(Fourier)生平
x cos 2n
l
x
dx
1 2
x
l
2n
sin 2n
l
l
x
l
l
m n
66
l m
n
sin x sin xdx
l
l
l
1 l m n
m n
2
l
cos
l
x cos
l
xdx 0,
(m n)
l sin2 n
l
l
xdx 1 2
l
l
1
cos
2n
l
x
dx
l
,
m n
正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之积在周 期范围内积分为零，相同的基本函数之积在周期范围内积 分（模方）不为零。
l
xdx
bk
sin
l
k 1
l
cos
l
xdx
88
根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 k=n时，积分不为零.
l l
f
xcos nl源自xdxanl
an
1 l
l f xcos n
l
l
xdx
写成：ak
1 l
l f cos k d ,
l
l
k 1,2,3,...
同理:
1 bk l
k t dt
k 1
uo 2
cos1 k t 1 k
cos1 k t 1 k
0
0
uo 1 k2
1
k
1
2uo 1 k2
k＝奇 k＝偶
1122
1
a1
0
uo
sin t
cos tdt
0,
k 1
bk
1
0
uo
sin
t
sin
k
tdt
uo 2
0
cos1
kt
cos1
1 dx
根据三角函数的正交性：
l l
f
xdx
a0
2l
ao
1 2l
l f x dx
l
或
ao
1 2l
l f d
l
展开式两边同时乘以 cos n x ，再积分：
l
l f xcos n xdx
l
l
l
n
l a0 cos l xdx
l k n
l k n
ak
cos
l
k 1
l
cos
完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数，也不能 少一些必要的函数。
77
周期函数展开式：f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin k
l
x
两边同时乘以1，再积分：
l
l
l
k
l k
f
l
x dx
l a0 1 dx
ak
cos
l
k 1
l
1 dx
bk
sin
l
k 1
l
33
§6.1 以2l为周期的函数的傅立叶展开
若f (x+2l)=f (x)，x(-,)，则f (x)是以l为周期的周期函数。
例如三角函数：cos k
l
x,
sin k
l
x,
k 1,2,...
的周期均为2l.
cos
k
l
x
2l
cos
k
l
x 2k
cos k
l
x,
sin
k
l
x
2l
sin
k
l
x
l f sin k d ,
l
l
k 1,2,3,...
若f (x)是周期为2l的周期函数，且满足狄氏条件（后面叙 述），则可以展成傅立叶级数：
f
x a0
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
1
ak l k
l f cos k d
l
l
1
bk l
l f sin k d
l
l
其中
f
x a0
k 1
ak
cos
k
l
k
x bk sin l
x
展开的任务在于求系数a0、ak、bk.
正交性：
l 1 cos n xdx
l
n l
sin x
0,
n0
l
l
n
l l
l
n
1 sin xdx 0
l
l
奇函数对称区 间积分为零
55
l 12dx 2l, n 0 l
l m
cos
k
2 1
k =0 k 0
99
【讨论】
① 若f (x)为奇函数，显然a0=0，ak=0，则：
f
x
k
bk sin
k 1
l
xdx,
bk
2 l
l f sin k d
0
l
② 若f (x)为偶函数，显然bk=0，则：
f
x a0
ak
k 1
cos k
l
xdx,
2
ak l k
l f cos k d
l
l
x cos n
l
xdx
1 l m n
2
l
cos
l
m n
x cos l
x dx
1 l
m n
l
m n
l
2
m
n
sin
l
x m n sin
l
x 0 l
m n
l cos m x sin n xdx 0
l
l
l
奇函数对称区 间积分为零
l cos2 n xdx 1
l
l
2
l l
sin
t
[ ,0]
[0, ]
uo － 2 － o
t
2
3
【解 】 T 2
l
u t a0 ak cos kt bk sin kt k 1
1
ao 2
0
u0
sin
tdt
u0 2
1
cos t
0
u0
1111
1
ak
0
uo
sin
t
cos
k
tdt
uo 2
0
sin 1
kt
sin 1