高中数学模块复习-基本初等函数(Ⅰ)
第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
1
3x
2 .
例4.比较下列各组中两个值的大小：
1 log6 7, log7 6; 2 log3 , log2 0.8.
例5.设 f x 4x a 2x1 b, 当x=2时，f(x)有最小值10.
求a,b的值。
解： f x 4 x a 2 x1 b 2 x 2 2a 2 x b 2 x a 2 b a 2
质 (3)a>1 时，a 越大越靠近 y 轴，0<a<1 时，a 越小越靠近 y 轴，
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
11．对数的定义:如果 ab N（ a 0且a 1）,那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数，记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12．指数式与对数式的互化
若a≤0,则f(x)不存在最值。若a>0，由题
意可知，要取最小值，需 a 2 x a 4
此时，最小值为b a 2 b 16 10,b 26
综上：a=4,b=26
例6.设0<x<1,a>0且a≠1,比较 log a 1 x和log a 1 x
的大小。
解：
log
a
1
x
log
a
1
x
log
对数与对数函数
对数换底公式
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数
3.2.2 对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log 2(x 2-4x-5);(2)y=log 3(9-x 2); (3)y=32x log ; (4)y=)34(log 5.0-x .思路分析：(1)(2)题,用y=log a x 的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=log a x 中的x 的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x 2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log 2(x 2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R .(2)由9-x 2>0,得-3<x<3,∴y=log 3(9-x 2)的定义域为{x|-3<x<3}.又知0<9-x 2≤9且y=log 3x 是增函数,∴y=log 3(9-x 2)≤log 39=2.∴y=log 3(9-x 2)的值域为(-∞,2］.(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,∴所求定义域是{x|x>0},值域为R .(4)要使函数y=)34(log 5.0-x 有意义,必须log 0.5(4x-3)≥0=log 0.51.∴0<4x -3≤1.∴43<x≤1. ∴所求定义域是{x|43<x≤1},值域为［0,+∞). 二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 310.3,log 20.8;(2)log a 5.1,log a 5.9;(3)log 67,log 76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知 log 310.3>0,log 20.8<0,∴log 310.3>log 20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a 进行讨论.当a>1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9;当0<a<1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.(3)∵log 67>1,log 76<log 77=1,∴log 67>log 76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x 1、x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(-log 51x 1)-(-log 51x 2)=log 51x 2-log 51x 1.又y=log 51x 在(0,+∞)上是减函数,有log 51x 2<log 51x 1, ∴log 51x 2-log 51x 1<0,即f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数.(2)解析：由x 2-1>0得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x 2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log 2x 为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=log a x 的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f ［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=log a (a-a x )(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-a x >0,∴a x <a.又∵a>1,y=a x 是增函数,∴x<1.∵a x <a,且a x >0,0<a-a x <a,∴log a (a-a x )<1.∴函数y=log a (a-a x )的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log 7x311 ;(2)y=)32lg(422-+-x x x ; (3)y=log (x+1)(16-4x). 解析：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-,031,0311x x 得x<31, ∴所求函数的定义域为{x|x<31}. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+≥-.0)32lg(,032,04222x x x x x 即⎩⎨⎧±-≠-<≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-<-≤≥.51,63213213222x x x x x x x x x 或或或∴函数y=)32lg(422-+-x x x 的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-15-}. (3)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-.0,1,2,0,1,44110104162x x x x x x x x x 得∴y=log (x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 213,log 513;(2)log 3π,log 20.8.解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=log 51x 的图象在y=log 21x 图象的上方, ∴log 513>log 213.(2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,∴log 3π>log 20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm 看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm 进行讨论:当1>lgm>0,即1<m<10时,y=(lgm)x 在R 上是减函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x 在R 上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm )1.9<(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log 0.5(x 2-2x-3)的单调区间.解析：由x 2-2x-3>0得x>3或x<-1,令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.又f(x)=log0.5x是减函数,故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).变式提升3判断f(x)=log a(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0. 设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.∴g(x1)>g(x2).又当a>1时,f(x)=log a x是增函数,∴f(x1)=log a g(x1)>log a g(x2)=f(x2).∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.同理可证,当0<a<1时,f(x)在(3,+∞)上是减函数.。
专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质-2021年高考数学(理)总复习知识点总结
专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质（1）对定义域内一个区间是增函数是减函数（2）是增（减）函数的恒成立。
（3）恒成立。
对定义域内任意，是偶函数是奇函数，偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称。
对定义域内任意，存在非零常数（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（2）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为.（3）若。
则函数的一个周期为。
两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（2）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（3）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（4）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点对称。
（5）与关于点对称。
换种说法：与若满足，即他们关于点对称（6）与关于直线对称。
单个函数的对称性（1）函数满足时，函数的图象关于直线对称。
（2）函数满足时，函数的图象关于点对称。
（3）函数的图象与的图象关于直线对称。
对称性与周期性的关系（1）函数满足，则函数是周期函数，则是一个周期。
（2）函数满足时，函数是周期函数。
（函数图象有两个对称中心时，函数是周期函数，且对称中心距离两倍，是函数的一个周期），函数是以为周期的函数。
（3）函数有一个对称中心和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且一个周期是。
（4）若定义上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期。
（5 ）若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期。
（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别）。
（6）已知函数对任意实数，都有，则是以为周期的函数1.正数的正分数指数幂：；2.正数的负分数指幂：；3.0的正分数指数幂等于0:0的负分数指数幂没有意义。
4.幂的运算性质：，其中.5.对数的概念如果，那么数叫作以作为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。
6.对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果且，，那么①；②；③；④（2）对数的性质①；②（3）对数的重要公式①换底公式：②，推广1R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数对勾函数高考真题1.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科，12）若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.【详解】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.2.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷二（1）（理科，9）设函数，则f(x)（）A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.（2）（理科，11）若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.3.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷三（理科，3,12）(1).Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.(2)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】A【解析】【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.4.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷，4）函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．（2）（浙江卷，9）已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A. a<0B. a>0C. b<0D. b>0【答案】C【解析】【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南，7,8,9）（1）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.（2）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.（3）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.6.2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷7,）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷，8）.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.8. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，3）（1）函数的图象大致为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．（2）（天津卷，6）设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2
基本初等函数Ⅰ的图像与性质
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：基础 热点：基本初等函数Ⅰ的性质
函数﹑基本初等函数I的图像与性质 例 4 已知函数 f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则 f(x)·g(x)
的图像可能是( )
图 5-5
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案] C
[解析] 由 f(x)与 g(x)都是偶函数，得 f(x)g(x)是偶函数，可 排除 A，D；当 0＜x＜1 时，f(x)＜0，g(x)＞0，则 f(x)g(x)<0， 排除 B.故选 C.
[答案] (1)C (2) 2
[解析] (1)∵a＝sin(2015π－π6 )＝sin(2014π＋π－π6 )＝ sin(π－π6 )＝sinπ6 ＝12，
∴f(x)＝（12）x，x>0， f（－x），x<0，
得 f(log216)＝f(log26)＝(12)log26＝16. (2)要使函数 f(x)有意义，则 1－2ax＞0，得 x＞log2a. 又函数 f(x)的定义域是(12，＋∞)，所以 log2a＝12，解得 a＝ 2.
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
高考易失分题 4 函数奇偶性、单调性与求解函数不等式 的综合问题
1 [2015·全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2，则
使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围是( )
1 A．(3，1)
1 B．(－∞，3)∪(1，＋∞)
11 C．(－3，3)
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
► 考点三
函数的图像及其应用
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：中等 热点：图像的识别
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》419教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比
指数函数复习第1课时学习目标：1．理解指数函数的概念和意义．2．较熟练地掌握指数函数的有关性质．3．能运用指数函数的性质解决一些常见问题，学会分析和解决问题的方法。
教学重点：对指数函数相关知识的理解和掌握教学难点：运用指数函数的性质解决相关的问题课型：复习课教学方法：启发教学讲练结合教学过程一、基础知识复习1．指数函数的定义函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.指数函数表达式的结构特征；（见课件，此略）即时反馈1：（见课件，此略）典例剖析例1已知指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)的图象过点(3,)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.（本题在黑板上引导学生一起分析和求解，让学生进一步加深对指数函数概念的理解）2．指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R，值域(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数3.底数a对指数函数y＝ax的图象有何影响?（详见课件，此略）例2比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.2679＜0.3，所以0.72－3＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．即时反馈2：（详见课件，此略）二、提升运用例3：(1)函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )(2)已知实数a，b满足等式2014a＝2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析(1)函数y＝ax－1a是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.(2)设2014a＝2015b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t ＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立.即时反馈3(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．(3)已知函数f(x)＝22x－m(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.解析(1)D(2)（略）(3)令t＝2x－m，则t＝2x－m在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝22x－m在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].规律方法(1)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解.（备选题）例4：如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B.1C.3D.13或3解析令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去).综上知a＝3或a＝13.三、课堂小结1.指数函数的概念；2.指数函数的图象和性质；3.在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论。
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第二章 章末复习课
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
解析 f(x)＝12x 在 x∈(－∞，0)上为减函数，g x＝log1 x 为偶函数， 2
x∈(0，＋∞)时g x＝log1 x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.
2
解析答案
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4.已知 P＝2－32，Q＝253，R＝123，则 P，Q，R 的大小关系是( B ) A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P 解析 由函数 y＝x3 在 R 上是增函数知，253＜123，
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
解析答案
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]. ∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4. ∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
解析答案
1
2.函数 y＝x3 的图象是( B )
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解析 ∵0＜13＜1.
1
∴在第一象限增且上凸，又 y＝x3 为奇函数，过(1,1)，故选B.
(高考数学复习)基本初等函数
基本初等函数知识点一：二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法：一般式：y =ax 2+bx +c ；两根式：y =a （x －x 1）（x －x 2）；顶点式：y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=21（p +q ）.若－ab 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ；若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－ab 2）=m ，f （q ）=M ；若x 0≤－ab 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－ab 2）=m ；若－ab 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .知识点二：指数与指数函数 1.指数（1）n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a n m=n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.②anm -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数y =a x（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质：①定义域：R ；②值域：（0，＋∞）；③过点（0，1），即x =0时，y =1； ④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.知识点三：对数与对数函数 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b=N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N ； ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bN aa loglog （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义：函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）； ②值域：R ；③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 四．幂函数1．幂函数定义及其图象：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 2．几种常见幂函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=xy ；（5）3x y =．3．幂函数性质．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【提示】应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y =x +x1的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.【例1】对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）. （1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1，b =－2时，f （x ）=x 2－x －3=x ⇔x 2－2x －3=0⇔（x －3）（x +1）=0⇔x =3或x =－1，∴f （x ）的不动点为x =3或x =－1. （2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b ，ax 2+（b +1）x +b －1=x 恒有两个不等实根⇔对任意实数b ，Δ=（b +1）2－4a （b －1）＞0恒成立⇔对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立⇔Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）＜0⇔（1－4a ）2－（1+4a ）＜0⇔4a 2－3a ＜0⇔a （4a －3）＜0⇔0＜a ＜43.【评述】二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.【评述】本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析解决问题的能力.【例2】若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）当x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）. 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0.∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4.∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2. 故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 【例3】已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值.解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x ≤2.令（21）x=t ，则41≤t ≤1，y =4t2－4t +2=4（t －21）2+1.当t =21即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2.【例4】若关于x 的方程25－|x +1|－4·5－|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.解法一：设y =5－|x +1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －m =0在（0，1］内有实根.设f （y ）=y 2－4y －m ，其对称轴y =2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0. 解法二：∵m =y 2－4y ，其中y =5－|x +1|∈（0，1］，∴m =（y －2）2－4∈［－3，0）.课堂练习1．若函数y=a x+b －1（a ＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（ C ） A.0＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0 2．函数y=1+a x (0<a<1)的反函数的图象大致是 ( A )A. B. C. D. 3．已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则 ( D )A. 1＜n ＜mB. 1＜m ＜nC. m ＜n ＜1D. n ＜m ＜1 4．函数2log 2y x =-的定义域是( C )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞) 5．如图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( B ) A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c6．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的增函数，那么 a 的取值范围是 （ C ）A.（0，1）B.（0，13） C.17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦ D.]1,17⎡⎢⎣6．方程2x =2－x 的解的个数为_____1_____. 7．方程lgx+lg （x+3）=1的解x=__2____.8．设函数f （x ）=log 9x ，则满足f （x ）＝21的x 值为 3 .9．若直线y=2a 与函数y=|a x －1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是0＜a ＜2110．函数y=（21）222+-x x 的递增区间是__（－∞，1］_.11．已知函数22log (2)y x =-的定义域是[,]a b ,值域是2[1,log 14],求实数,a b 的值.解: 由220x ->得2x <-或2x >,而函数的定义域为[,]a b , ∴必有[,]{2a b x x ⊆<-或2x >},当2b <-时,22()log (2)y f x x ==-在[,]a b 上单调递减,()f x ∴的值域是[(),()],f b f a 2()1()log 14f b f a =⎧∴⎨=⎩ 解得42a b =-⎧⎨=-⎩ ; 当2a >时, 22()lo g (2)y f x x ==-在[,]a b 上单调递增,()f x ∴的值域为[(),()],f a f b 2()1()log 14f a f b =⎧∴⎨=⎩ 解得214a b =⎧⎨=⎩ 综上所述,知42a b =-⎧⎨=-⎩ 或 24a b =⎧⎨=⎩基本初等函数知识点一：二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法：一般式： 两根式： 顶点式： （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=21（p +q ）.若－ab 2＜p ，则f （ ）=m ，f （ ）=M ；若p ≤－a b 2＜x 0，则f （ ）=m ，f （ ）=M ； 若x 0≤－ab 2＜q ，则f （ ）=M ，f （ ）=m ；若－ab 2≥q ，则f （ ）=M ，f （ ）=m .知识点二：指数与指数函数 1.指数（1）n 次方根的定义：若x n=a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，nn a = .②当n 为偶数时，n n a =（3）分数指数幂的意义①a n m=n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.②anm=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数.（2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质：①定义域： ；②值域： ；③过点 ； ④当a ＞1时，在R 上是 函数；当0＜a ＜1时，在R 上是 函数.知识点三：对数与对数函数 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作 （2）指数式与对数式的关系：a b=N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （4）对数运算性质:①log a （MN ）= ； ②log a NM =③log a M n= （M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N = 2.对数函数（1）对数函数的定义：函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . （2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质:①定义域： ； ②值域： ；③过点 ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是 函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是 函数. 四．幂函数1．幂函数定义及其图象：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 2．几种常见幂函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=xy ；（5）3x y =．3．幂函数性质．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 ；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是 函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【例1】对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）. （1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.【例2】若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）当x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）.【例3】已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值.【例4】若关于x 的方程25－|x +1|－4·5－|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.课堂练习1．若函数y=a x+b －1（a ＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（ ） A.0＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0 2．函数y=1+a x (0<a<1)的反函数的图象大致是 ( )A. B. C. D. 3．已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则 ( )A. 1＜n ＜mB. 1＜m ＜nC. m ＜n ＜1D. n ＜m ＜1 4．函数2log 2y x =-的定义域是( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)5．如图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( ) A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c6．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的增函数，那么 a 的取值范围是 （ ）A.（0，1）B.（0，13） C.17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦ D.]1,17⎡⎢⎣6．方程2x =2－x 的解的个数为__________. 7．方程lgx+lg （x+3）=1的解x=________.8．设函数f （x ）=log 9x ，则满足f （x ）＝21的x 值为 .9．若直线y=2a 与函数y=|a x －1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是____________.10．函数y=（21）222+-x x 的递增区间是___________.11．已知函数22log (2)y x =-的定义域是[,]a b ,值域是2[1,log 14],求实数,a b 的值.。
高考数学二轮复习课件函数基本初等函数I的图象与性质
[点评] 本例第二题是历史上有名的函数“狄利克雷”函 数，这个函数的著名的性质之一就是其为周期函数，任何非零 实数都是其周期，这个函数没有最小正周期．函数的奇偶性和 周期性都是函数在其定义域上的整体性质，即对定义域内任意 的一个自变量都满足的性质，在证明函数的奇偶性和周期性 时，一定要注意这个特点，如本题中我们在证明D(x)为偶函数 时，就是对定义域内任意无理数证明其满足偶函数的定义，也 得证明对定义域内任意有理数也满足偶函数的定义，缺少任何 一个方面的证明都是不完整的，作出的结论也就可能是错误 的．本例第一题是求函数的定义域，求函数定义域的主要依 据：①分式的分母不为零；②偶次方根被开方数不小于零；③ 对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必 须大于零且不等于1.
结论错误的是( ) A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
[思考流程] (1)(分析)观察所给函数解析式的形式 ⇨ (推理) 利用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ⇨ (结论) 解不等式组并求交集得出函数的定义域．
(2)(分析)欲判断选项结论需根据新函数定义和函数性质进 行 ⇨ (推理)根据D(x)的定义，利用函数值域、偶函数、周期 函数、函数单调性概念，逐项作出判断 ⇨ (结论)参照选项作 出选择．
► 探究点一 函数的概念的理解和性质的应用
例1
(1)[2012·山东卷]
函数f(x)＝
1 lnx＋1
＋
4－x2 的
定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
(2)[2012·福建卷]
设函数D(x)＝