第七章 抽样调查

指标和总体指标的误差不超过一定范 围的概率保证程度（教材P284）
符号表示： P（ x - X ≤Δ ）x ＝Ｆ（ｔ） （教材P286例题）
理论已经证明，在大样本的情况下，抽 样平均数的分布接近于正态分布，分布特 点是：抽样平均数以总体平均数为中心， 两边完全对称分布，即抽样平均数的正误 差与负误差的可能性是完全相等的。且抽 样平均数愈接近总体平均数，出现的可能 性愈大，概率愈大；反之，抽样平均数愈 离开总体平均数，出现的可能性愈小，概 率愈小，趋于0。（见下图）
例 题 四 解：
已知： N 60000 n 300 n1 6
则：样本合格率 p n n1 300 6 0.98
n
300
p
p1 p 0.98 0.02 0.808(%)
n
300
p
p1
p 1
n
n N
0.98 0.02 1
300
0.806(%)
300 60000
p
二、类型抽样
先对总体各单位按主要标志加以分组，然后再从 各组中按随机的原则抽选一定单位构成样本。
三、等距抽样
先按某一标志对总体各单位进行排队，然后依一 定顺序和间隔来抽取样本单位的一种组织形式。
四、整群抽样
将总体各单位划分成许多群，然后从其中随机抽 取部分群，对中选群的所有单位进行全面调查的 抽样组织形式。
抽样成数极限误差： p－Δp≤P≤p＋Δp
五、抽样误差的可信度（概率度）
含义
抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠 程度的一个参数。用符号“ t ”表示。
公式表示：
t=
Δ μ
（t 是极限误差与抽样平均误差的比值）
上式可变形为： Δ = t μ
（极限误差是 t 倍的抽样平均误差）
参看P284-286例题
三、抽样平均误差
抽样平均误差是抽样平均 数或抽样成数的标准差，反映 了抽样指标与总体指标的平均 误差程度。
假设总体包含1、2、3、4、5，五 个数字。 则：总体平均数为
x = 1+2+3+4+5 = 3 5
现在，采用重复抽样从中抽出 两个，组成一个样本。可能组成的 样本数目：25个。
如：
1+3 2
抽样误差不包括下面两类误差：一类是调查误差， 即在调查过程中由于观察、测量、登记、计算上的差 错而引起的误差；另一类是系统性误差，即由于违反 抽样调查的随机原则，有意抽选较好单位或较坏单位
进行调查，这样造成样本的代表性不足所引起的误差。
二、影响抽样误差大小的因素
1、总体各单位标志值的差异程度 2、样本的单位数 3、抽样方法 4、抽样调查的组织形式
第四节 抽样组织设计
一、简单纯随机抽样
1、含义：按随机原则直接从总体N个单位中
抽取 n 个单位作为样本。
2、样本单位数的计算方法：
通过抽样极限误差公式计算必要的样本单位数。
抽样平均数 抽样成数
重复抽样：
n
t
2
2 x
2x
不重复抽样：
n
t
2
N
2 x
2x N t 2
2 x
n
t 2 p1
2p
p
n
t2 Np1 p N2p t 2 p1
=2
1+4 2
=2.5
2+4 2
=3
3+5 = 4 …….. 2
多数样本指标与总体指标都有误差,误差有大、有小，有正、有负，抽 样平均误差就是将所有的误差综合起来，再求其平均数，所以抽样平 均误差是反映抽样误差一般水平的指标。
抽样平均误差的计算理论公式
抽样平均数 的平均误差
x
xX 2
M
抽样成数 平均误差
某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机 抽出400只作耐用时间试验，测试结果 平均使用寿命为4800小时，样本标准差 为300小时，求抽样推断的平均误差？
例题一解: 已知： n=100 x=58
σ=10
则：
x
n
10 1(公斤) 100
即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。
例题四： 一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶 ，发现有6桶不合格，求合格品率的抽样平 均误差？
例 题 三 解：
已知： n 400 n1 80 则：样本成数 p n1 80 20%
n 400
p
p1 p
n
0.2 0.8 0.02 400
即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。
例 题 一：
某农场进行小麦产量抽样调查，小麦播种总面积
为1万亩，采用不重复简单随机抽样，从中抽选了
100亩作为样本进行实割实测，测得样本平均亩产 400斤，方差144斤。
（二）全及指标 和 样本指标
全及指标： 反映总体数量特征的指标数值。
∑X
总体平均数 X= N
研究总体中 的数量标志
∑XF X= ∑F
全 及 指 标
研究总体中
总体方差 总体成数
σ
2=
Σ（X-X）2 N
σ
2=
Σ（X-X）2F ΣF
N1 P=
N
的品质标志
（只有两种表现） 成数方差 σ 2 = P(1-P)
愈低，但抽样估计的精确度愈高。
三、总体参数区间估计的方法
（一）根据给定的概率F（t），推算 抽样极限误差的可能范围
分 析 步 骤：
1、抽取样本，计算样本指标。 2、根据给定的F（t）查表求得概率度 t 。 3、根据概率度和抽样平均误差计算极限误差。 4、计算被估计值的上、下限，对总体参数作
出区间估计。
均误差也总是小于重复抽样的平均误差。
采用不重复抽样：
x
2 1
n
n
N
公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、 样本容量有关，而且与总体单位数的多少有关。
例题一：
随机抽选某校学生100人，调查他们的体 重。得到他们的平均体重为58公斤，标 准差为10公斤。问抽样推断的平均误差 是多少？
例题二：
抽样极限误差指在进行抽样估计时，根据研究 含义： 对象的变异程度和分析任务的要求所确定的样
本指标与总体指标之间可允许的最大误差范围。 计算方法：设Δx与Δp分别表示样本平均数与样本成数的抽样
极限误差，则有： ｜x－X｜≤Δx，｜p－P｜≤Δp 上述不等式也可表示成 ：
抽样平均数极限误差：x－Δx≤X≤x＋Δx
它是由部分推断整体的一种认识方法。 建立在随机取样的基础上。 运用概率估计的方法。 其误差可以事先计算并加以控制。
三、有关的基本概念
（一）总 体 和 样 本
总体： 又称全及总体。指所要认识的 研究对象全体。总体单位总数用“N” 表示。
样本： 又称子样。是从全及总体中随机 抽取出来，作为代表这一总体的那 部分单位组成的集合体。样本单位 总数用“n”表示。
正态概率分布图
因为扩大或缩小以后 的平均误差，就是极 限误差： Δ=tμ 所以，抽样平均误 差的系数就是概 率度t。
68.27%
数理统计已经证明，抽样 误差的概率就是概率度的
函数，二者对应的函数 关系已编成“正态分布 概率表”。
95.45%
x-2μ x-1μ X
x+1μ x+2μ
由此可知,误差范围愈大,抽样估计的置信度愈高,但抽样估计 的精确度愈低；反之，误差范围愈小，则抽样估计的置信度
通过例题可说明以下几点： ①样本平均数的平均数等于总体平均数。
②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的 1
n
③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。
例题：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5 倍时，抽样平均误差怎样变化？
解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍
则：
x
3n
1 0.577 3
即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。
第五节 抽样单位数目的确定
第五节 抽样单位数目的确定
样本单位数的计算方法： 教材P302-306
通过抽样极限误差公式计算必要的样本单位数。
抽样平均数 抽样成数
重复抽样：
n
t
2
2 x
2x
不重复抽样：
n
t
2
N
2 x
2x N t 2
2 x
n
t 2 p1
2p
p
n
t2 Np1 p N2p t 2 p1
重复抽样： 又称置回抽样。
不重复抽样：又称不置回抽样。
例如：从A、B、C、D四个单位中，抽出两个单位构成 一个样本
重复抽样 16个样本 不重复抽样
12个样本
AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD
第三节 抽 样 误 差
一、抽样误差的含义
由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不 足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全及 指标之间的绝对离差。
• 习题：有5个工人的日产量分别为（单位： 件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法， 从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5 个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？
若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为多 少？
•
解：根据题意可得：X
6
8
10 5
12
14
1（0 件）
（X X）2
计算结果表明：不重复抽样的平均误差小于重复抽样， 但是“N”的数值越大，则两种方法计算 的抽样平均误差就越接近。
四、抽 样 极 限 误 差
抽样极限误差是指样本和总体指标之间误 差的可能范围。
由于总体指标是一个确定的数，而样本指 标则是围绕总体指标上下波动的，它与总体指 标之间既有正离差，也有负离差，样本指标变 动的上限或下限与总体指标之差的绝对值就可 以表示抽样误差的可能范围，我们将这种以绝 对值形式表示的抽样误差可能范围称为抽样极 限误差。
第七章 抽样调查
本章主要内容
•抽样调查的一般问题 •抽样误差 •抽样估计的方法 •抽样组织设计
第一节 抽样调查概述
一、抽样调查的概念：是一种非全面调查，
就是按随机原则从全部研究对象中抽取部分
单位进行观察，并根据这一部分单位的实际 数据推断总体的数量特征，作出具有一定可 靠程度的估计和判断。
二、 特点
例题二解: 已知： N=2000 n=400 σ=300 x=4800
则：
x
n
300 15(小时) 400
x
2 1 n 3002 1 400 13.42(小时)
n N
400 2000
计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的平均使用寿命 时，采用不重复抽样比重复抽样的平均误差要小。
p
第六节 全集总体指标的推断
一、总体的点估计
点估计的特点：P307
无偏性
总体参数优良估计的标准
一致性
有效性
二、总体的区间估计
教材P271
区间估计的 区方间法估步计骤三：要素
P307
估计值
x, p
抽样误差范围 x , p x , p
抽样估计的置信度 F t
什 么 是 抽 样 估 计 的 置 信 度？ 抽样估计的置信度就是表明抽样
p
p P2
M
（以上两个公式实际上就是第四章讲的标准差。 但反映的是样本指标与总体指标的平均离差程度）
实际上，利用上述两个公式是计算不出抽样平均误差的。
想一想，为什么？
抽样平均数平均误差的实际计算方法
采用重复抽样：
x
n
此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 与样本容量成反比。（当总体标准差未知时，可 用样本标准差代替）（教材P279例题）
40
8（件）
N
5
重复抽样条件下
抽样平均误差 x 8 2（件）
n2
不重复抽样条件下
抽样平均误差
x＝
2
（
N
n ）＝
n N 1
8（ 2
5－2 5－1
）＝1.732（件）
抽样成数平均误差的实际计算方法
采用重复抽样：
p
p1 p 百度文库
n
采用不重复抽样： p
p1
n
p 1
n N
例题三： 某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？
产品质量 x 数量（件） f
合格品 1
N1
不合格品 0
N0
合计
N
平均数
x xf f
1 N1 0 N0 N1 P （成数）
N1 N0
N
（三）样本容量和样本个数
样本容量：一个样本包含的单位数。用 “n”表示。 一般要求 n ≥30
样本个数：从一个全及总体中可能抽取的样本数目。
（四）重复抽样和不重复抽样
样本指标：
研究数 量标志
样 本 指 标
研究品 质标志
根据样本数据计算的综合指标。
样本平均数
x
=
∑x n
x
=
∑xf ∑f
S
样本标准差
样本成数
S
p=
n n
x
2
x
n
x
2
x
f
f
成数标准差 p p1 p
什么是成数？
将总体所包含的总体单位按某一标志划分为两大部分，具有 某种特征的单位数占全部单位数的比重，就是成数。 成数也是这个总体的平均数。
抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍
则： x
1.5n
1 0.8165 1.5
即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。
与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复 抽样平均误差的基础上，再乘以 （N－n）（/ N－1） ， 而 （N－n）（/ N－1）总是小于1，所以不重复抽样的平