2010-2011概率论与随机过程考试试题B
2010年考研数学概率论真题与答案--WORD版本
2010年概率论考研真题与答案1. （2010年数学一、三）设随机变量X 的分布函数001()01211x x F x x ex -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，且{}1P X ==_________. 【C 】A ．0 B.12 C. 112e -- D. 11e -- 解：根据分布函数的性质，有{}{}{}1111111(1)(10)1.22P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=- 2. （2010年数学一、三）设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上的均匀分布的概率密度。
若12()0()(0,0)()0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足__________. 【A 】A. 234a b +=B. 324a b +=C. 1a b +=D. 2a b +=解：根据题意，有221()()x f x x ϕ-==，2113()4x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 由概率密度的性质，有01201()()()f x dx af x dx bf x dx +∞+∞-∞-∞==+⎰⎰⎰0313()424a a x dxb dx b ϕ-∞=+=+⎰⎰234a b ∴+=3. （2010年数学一）设随机变量X 的分布律为{},0,1,2,,!CP X k k k ===L 则2()E X =___________. 【2】解：根据分布律的性质，0011,!!k k C C Ce k k +∞+∞====⋅=∑∑ 即1C e -=.于是， {}11,0,1,2,,!!k C P X k e k k k -===⋅=L 即X 为服从参数为1的泊松分布，于是22()()()112E X D X E X =+=+=4. （2010年数学三）设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量2=11n i i T X n =∑，则(T )=E __________. 【22σμ+】解： 2222()()()i i i E X D X E X σμ=+=+222222=1=1111()()()()n n i i i i E T E X E X n n n nσμσμ∴===⋅+=+∑∑5. （2010年数学一、三）设(,)X Y 的概率密度为22-2+2(,)=,(,)x xy y f x y Ae x R y R -∈∈，求常数A 及条件概率密度()Y X f y x .解：【方法一】根据概率密度的性质，有22-2+21(,)=x xy y f x y dxdy A edxdy +∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰⎰22()=()x y x A e dx e d y x A A π+∞+∞----∞-∞-==⎰⎰1A π∴=即： 22-2+21(,)=,,xxy y f x y e x R y R π-∈∈关于X 的边缘概率密度函数为22-2+21()(,)x xy y X f x f x y dy edy π+∞+∞--∞-∞==⎰⎰()222()1x y x x eed y x π+∞-----∞=-⎰22-+2(,)()()x xy y Y X X f x y f y x f x -∴==，,x R y R ∈∈ 【评注】充分利用积分2x e dx +∞--∞=⎰.【方法二】概率密度函数可以变形为：2222-2+2--()(,)=xxy y x y x f x y Ae Ae e --=⋅2222()112211=11x y x A e eπ---⋅⋅⋅⋅利用概率密度函数的性质2222()1122111(,)=11x y x f x y dxdy A edx edy π---⋅⋅+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰A π=(利用2()21x dx μσ--+∞-∞=⎰，同时，把第二个积分中的x 看做常数即可)1Aπ∴=2222()112211(,)=11x y xf x y e e---⋅⋅∴⋅2222()12--1()(,)y xx xXf x f x y dy e dy--⋅+∞+∞-∞-∞∴==⋅=⎰⎰22-+2(,)()()x xy yY XXf x yf y xf x-∴==，(,)x R y R∈∈【评注】充分利用22()21xdxμσ--+∞-∞=⎰。
西安邮电2007-2008第二学期概率论与随机过程B1答案
………9分
从而系统的可靠度是0.9525.………10分
5.（本小题7分）
的均值函数为 ………3分
的协方差函数为
………7分
6.（本小题10分）
解： ………2分
因为 无零元，由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的.………5分
设具有极限分布 ，满足 ………8分
解之得 ………10分
三、证明题（共8分）
证明：由已知条件
………2分
………3分
显然 ，所以 和 不是相互独立的．………4分
同理 .………6分
，………7分
于是 所以 和 是不相关的.………8分
设 为从甲袋中取到白球， 为从甲袋中取到红球， 为从乙袋中取到白球………3分
由全概率公式： ………7分
………10分
2．（本小题12分）（1）由右连续知： ，故 ……4分
（2） ………8分
（3） ………12分
3．（本小题10分）解：易得 ， ， ， ………4分
， ，………6分
………8分
………10分
4.（本小题10分）解：设 ：正常工的元件数，则 ，………3分西安邮电学院2007----2008学年第二学期试题卷
标准答案
课程：概率论与随机过程类型：B卷专业、年级：通工06级等
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
得分
一、填空题（每空3分，共33分）
1、0.3, 0.5；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ;6、 ；7、 ；8、 (常数)， .
二、计算题（共59分）
1．（本小题10分）
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
西安邮电学院2009-2010第二学期微电子专业《概率论与随机过程》期末考试试卷B及答案
0
1
2
1 2
0
1 2 1 2
1 2
0
0
1 1 2 2 00 00
1 2
0
0
0
1 2 1 2
0
1
0
1
2
1 2
2
1 2
0
1 2 1 2
1 2
0
0
1
2
0
P
0
P4 P2 , P3 P, , P(2n) P2 , P(2n1) P ，故此链不具有遍历性
………8 分 ………3 分 ………6 分 ………9 分
说明：用本模板出题，请将插入方式换成改写方式，除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间；装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
从而 D(U ) 1 ， D(V ) 3 ， Cov(U ,V ) E(UV ) E(U )E(V ) 3 ,
4
16
8
共 3 页 第 5 页 总印 份 (附卷纸 2 页)
二、计算题（共 53 分）
1.（本小题 10 分）有三个箱子分别编号为 1，2，3，1 号箱装有 1 个红球，4 个白球；2 号 箱装有 2 个红球，3 个白球；3 号箱装有 3 个红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一 球，发现是红球。求该球取自 1 号箱的概率。
答卷说明:本试题共 大题,满分 100 分，考试时间 2 小时，试题共 3 页，请考生先阅读完试题，察看有无缺 页、重页，如有缺页、重页，请即刻向监考人员询问具体事宜；解答应写出必要文字说明和重要的演算步骤， 只写出答案的不得分。试题解答过程写在相应题目的空白处,否则不得分。
布，令
U
0, 1,
概率论与随机过程第1章习题
《概率论与随机过程》第1章习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10）测量一汽车通过给定点的速度。
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） A ，B ，C 都不发生。
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。
（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案
北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
随机过程复习题(含答案)
随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。
2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
西安邮电学院2008-2009年第一学期电子专业《概率论与随机过程》期末考试及答案A卷
（4）因为其一步转移概率矩阵
P
0.9 0.1
0.1 0.9
无零元，所以此链具有遍历性。
………… (12 分)
3.解 因为
说明：用本模板出题，请将插入方式换成改写方式，除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间；装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
共 3 页 第 页 总印 1200
t1)
CX
(t1,
t2
)
RX
(t1, t2 )
X
(t1 ) X
(t2
)
RX
(t1,
t2
)
a2 2
cos (t2
t1)
……(10 分)
1
P{Y k} C3k pk (1 p)3k , k 0,1, 2, 3,其中p 1 e3.
…………… (10 分)
说明：用本模板出题，请将插入方式换成改写方式，除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间；装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
1.设随机变量 (X ,Y ) 的联合密度函数为
1 f (x, y)
,
x2 y2 1,
0, x2 y2 1.
（1）求 XY ，判定 X和Y 是否是不相关的，为什么？（2） X和Y 是否相互独立，为什么？
4．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索
线
学号（8 位）
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2 页）
200 年 月 日 考试用
西安邮电学院课程考试试题（A 卷）
（2008——2009 学年度第 一 学期）
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总印 650 份
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2 页）
三、证明题（共 22 分）
n 1、 （本小题 8 分）设 { X n } 为相互独立的随机变量序列, P{ X n = ±2 } =
2、 （本小题 14 分）设 X (t ) = At + B,−∞ < t < +∞, 式中 A, B 是相互独立，且都服从正态 N (0, σ ) 分布的随
1 π （2）二维分布函数 F (0, ; x1 , x2 ) （3）均方值函数 P{ A = i} = , i = 1, 2,3 求（1）一维分布函数 F (0; x); ； 2 3
⎧e − y , 0 < x < y , ⎪ （本小题 12 分）设 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ⎨ 求边缘密度和概率 P ( X + Y ≤ 1) 3、 ⎪ 0 , 其他. ⎩
⎧c sin x, 0 < x < π , 3、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨ ，则 C = _______ ⎩ 0 , 其他.
1、 （本小题 10 分）设昆虫产 k 个卵的概率为 pk =
λk
k!
e− λ ，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为 p ，若卵的
孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 L 条的概率是多少？
10、在一计算机系统中，每一循环具有误差的概率取决于先前一个循环是否有误差，以 0 表示误差状态，以 1 表示无误差状态。设状态的一步转移概率矩阵为 P = ⎢
⎡ 0.5 0.5 ⎤ ⎥ ，则其极限分布为_____________ ⎣0.25 0.75⎦
二、计算题（共 48 分） 1、袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最大号码为 5 的概率为_______ 2、设 P( A) = 0.7, P( A − B) = 0.3, P( B − A) = 0.2 ，则 P( AB ) = ____________
概率密度 f Z ( z ) = _____________
y > 0, y ≤ 0.
，则 X + Y 的
6、设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1，标准差（均方差）为 2 的正态分布，而 Y 服从标准正态分
⎧ ax, 0 < x < 2, ⎪ 2 、（ 本 小 题 12 分 ） 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 f ( x) = ⎨ cx + b, 2 ≤ x ≤ 4, 已 知 7、某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，则有 10 ⎪ 0, 其他. ⎩ 个或更多个终端在使用的概率为____________ (用标准正态分布函数表示) 3 E ( X ) = 2, P {1 < X < 3} = ，求 （1） a, b, c 的值（2）随机变量 Y = e X 的数学期望和方差 4
线
线
学号
得分 评卷人 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
0 ⎤ ⎡0.75 0.25 ⎢0.25 0.5 0.25⎥ ,则当 P X = i = 1 , i = 0,1, 2 时, P X = 0, X = 1 = ____________ P=⎢ { 0 } { 2 } 2 ⎥ 3 ⎢ 0 0.75 0.25⎥ ⎣ ⎦
说明：1、除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间 2、装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
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说明：1、除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间 2、装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
共3页
布，则随机变量 Z = 2 X − Y + 3 的概率密度 f Z ( z ) = _____________ 装 装
说明：1、除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间 2、装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
共3页
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4、 （本小题 14 分）设随机过程 X (t ) = A cos t , −∞ < t < ∞ ，其中 A 是随机变量，并且它的分布律为
E (Tn ) = ____
9 、 设 { X n , n = 0,1,2,
课程名称：概率论与随机过程 试卷类型： （A、B、C） 考试专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
} 是 具 有 三 个 状 态 0,1, 2 的 齐 次 马 氏 链 ， 其 一 步 转 移 概 率 矩 阵 为
共3页第 1 页总印 65源自 份（附卷纸2 页）
2011 年 7 月 日
西安邮电学院期末考试试题（B 卷）
（2010——2011 学年度第二学期）
8、 设随机过程 {N (t ), t ≥ 0} 是强度为 λ 的 Poisson 过程， {Tn , n = 1, 2,3,
} 是其到达时间间隔序列，则
2
1 2
2 n +1
, P{ X n = 0} = 1 −
1 22 n
。 机变量，试证明 X (t ) 是一正态过程，并求出它的相关函数（协方差函数）
n = 1, 2,
. 线 线
,证明 { X n } 服从大数定律。
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说明：1、除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间 2、装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计
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⎧ 100 , x > 100, ⎪ 4、设电子管寿命 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨ x 2 ，若一架收音机上装有三个这种管子，则使用 ⎪ 0 , x ≤ 100. ⎩
的最初 150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率为_______
专业班级
⎧e − y , ⎧1, 0 ≤ x ≤ 1, 5、设 X , Y 相互独立，其概率密度分别为 f X ( x) = ⎨ ， fY ( y ) = ⎨ ⎩0, 其他; ⎩0 ,