动生电动势公式的推导及产生的机理
物理人教版高中选修3-2《动生电动势的推导》论文
动生电动势的推导金溪一中全娟动生电动势可按是三种不同的思路推导，一是用法拉第电磁感应定律推导；二是从动生电动势产生洛伦兹力关系的角度推导；三是从能量转化与守恒角度推导。
下面分别从以下三个方面进行推导。
一、从法拉第电磁感应定律推导如图所示，把矩形线框CDMN放在磁感应强度为B的匀强磁场里，线框平面跟磁感线垂直，设线框可动部分MN的长度为L，它以速度V向右运动，在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1 N1这个过程中线框的面积变化量是ΔS=LVΔt，穿过闭合电路磁通量的变化量则是ΔΦ=BΔS=BLVΔt 根据法拉第电磁感应，E=ΔΦ/Δt闭合电路的感应电动势E=BLV二、从动生电动势产生与洛伦兹力的关系的角度推导如图所示，一条直导线CD在匀强磁场B中以速度V向右运动，并且导线CD与B、V的方向互相垂直，由于导体中的自由电子随导体一起以速度V运动，因此每个电子受到洛伦兹力为F=BeV，F的方向竖直向下。
在力F作用下，自由电子沿导体向下运动，使导体下端出现过剩的负电荷，导体上端出现过剩的正电荷。
结果使导体上端D 的电势高于下端C 的电势，出现由D 指向C 的静电场。
因此电场对电子中立F ′是向上的，与洛伦兹力的方向相反，随着导体两端正负电荷的积累，场强不断增加，当作用在自由电子上的静电力F ′与洛伦兹力F 互相平衡时，DC 两端便产生了一个稳定的电势差，如果用另外的导线把CD 两端连接起来，由于D 端电势比C 端高，自由电子在静电力作用下，将在导线框中，沿顺时针方向运动，形成逆时针方向的感应电动势，电荷的流动使CD 端积累的电荷减少，洛伦兹力又不断使电子从D 端运动到C 端，从而在CD 两端维持一个稳定的电动势。
可见，运动的导体CD 就是一个电源，D 端为正极，C 端为负极，自由电子受洛伦兹力作用，从D 端被搬运到C 端，也可以看做是正电荷受洛伦兹力的作用从C 端搬运到D 端。
这里洛伦兹力就相当于电源中的非静电力，根据电动势的定义，电动势等于单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极，非静电力所做的功作用在单位正电荷上的洛伦兹力F=F 洛/e=BV所以动生电动势E=FL=BLV三、从能量守恒角度推导设匀强磁场磁感应强度为B ，导体MN 长度为L ，以速度V 水平向右匀速运动，不计其电阻。
动生电动势感生电动势感生电场普遍环路定理
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感应加热
感应加热器利用动生电动势对金属进 行加热。当金属在变化的磁场中时， 会在金属内部产生动生电动势，从而 产生电流并加热金属。
02 感生电动势
定义与产生机制
定义
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势。这个电动势被 称为感生电动势。
产生机制
磁场的变化会在导体中激发出电场，这个电场驱动导体中的 自由电荷移动，从而产生感生电动势。
感生电场的应用实例
电磁感应
当线圈中的磁场发生变化时，会在线 圈中产生感生电动势，进而产生电流。
磁记录
利用感生电场可以记录磁场的变化， 从而实现信息的存储和读取。
04 普遍环路定理
定理的表述与证明
表述
在磁场中，如果闭合回路的磁通量发生变化，那么就会产生电动势。这个电动势的大小等于回路的磁通量变化率 与回路的长度成正比。
证明
根据法拉第电磁感应定律和安培环路定律，通过引入磁场线穿过闭合回路的磁通量概念，可以推导出普遍环路定 理。
普遍环路定理的应用场景
电机工程
普遍环路定理是电机设计中的重 要理论依据，用于计算和预测电 机在不同工作状态下的电动势和
电流。
电力系统
在电力系统中，普遍环路定理用于 分析和计算电力传输过程中的电压 和电流变化，以确保电力供应的稳 定性和可靠性。
感生电动势的计算公式
公式
E = -dΦB/dt，其中E是感生电动势，ΦB是磁通量。
解释
这个公式表示，当磁通量发生变化时，就会产生感生电动势。负号表示电动势的 方向与磁通量变化的方向相反。
感生电动势的应用实例
01
02
03
感应炉
11-2动生电动势
v v
方法二
作辅助线，形成闭合回路 作辅助线，形成闭合回路CDEF
r r Φ = ∫ B• dS =
S
∫
a+b
a
εi = −
µ0 Ix a + b ln = 2π a dΦ
dt
µ0 I xdr 2πr
I
方向
D→C →
v v
X
µ0 I a + b dx ln ) = −( 2π a dt µ0 Iv a + b ln =− 2π a
均匀磁场
转动
r 如图，长为L的铜棒在磁感应强度为 例 如图，长为 的铜棒在磁感应强度为 B
求：棒中感应电动势的大小 和方向。 和方向。
的均匀磁场中， 轴转动。 的均匀磁场中，以角速度 ω 绕O轴转动。 轴转动
ω ××××
×××× ××××
O
r A B××× ×
解：方法一
v v v 取微元 dε = ( v × B )⋅ dl
a
+++ + +
r v v f = −e(v × B)
非静电力 它驱使电子沿导线由a向 移动 移动。 它驱使电子沿导线由 向b移动。
v B v v
r f
b
端出现过剩负电荷， 由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷， a 端出现过剩正电荷 。
v 在导线内部产生静电场 E
方向a→ 方向 →b 电子受的静电力
S
v S 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系
S
L
v ∂B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 ∂t
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
动生电动势深入探究动生电动势的概念与产生原理
动生电动势深入探究动生电动势的概念与产生原理动生电动势（又称感应电动势）是指通过磁场的变化而产生的电动势。
它是电磁感应现象的一种表现，广泛应用于电磁感应和电磁设备中。
本文将深入探究动生电动势的概念与产生原理，以加深对这一重要电学现象的理解。
一、动生电动势的概念动生电动势是指通过磁场的变化而在导体中产生的电动势。
当导体相对于磁场的磁通量发生变化时，会在导体中产生电场，从而产生电势差，即动生电动势。
动生电动势可由法拉第电磁感应定律来描述，该定律指出，动生电动势的大小与磁通量的变化率成正比。
二、动生电动势的产生原理动生电动势的产生原理涉及到磁场的变化以及导体中的电子运动。
当磁场线与导体垂直时，导体中的自由电子受到洛伦兹力的作用，沿着导体内部的方向运动。
若导体相对于磁场作匀速平移运动，自由电子将会受到一个恒定的洛伦兹力，导致电流的产生。
当导体相对于磁场作非匀速运动时，导体内的自由电子将受到不同的洛伦兹力。
这些力的变化将导致电子在导体中形成电场。
由于电子的集体运动，整个导体中会产生一个电势差，即动生电动势。
动生电动势的大小与磁通量的变化率有关。
磁通量是指磁场线穿过某个曲面的总数量，通常由磁感应强度和曲面的面积决定。
当磁场的磁通量发生变化时，导体中的电子将受到不同大小的洛伦兹力，进而导致动生电动势的产生。
三、动生电动势的应用动生电动势是电磁感应的基础，广泛应用于各个领域。
以下介绍几个常见的应用：1. 发电机：发电机利用动生电动势原理将机械能转化为电能。
通过让导体绕过磁场旋转，产生磁通量的变化，从而在导体中产生动生电动势，实现电能的转换和储存。
2. 变压器：变压器也是一种利用动生电动势原理工作的设备。
当交流电通过一个线圈时，变压器的铁芯中的磁通量随着电流的变化而发生变化，从而在另一个线圈中产生动生电动势，实现电压的变换。
3. 感应加热：感应加热是通过感应加热装置将电能转化为热能。
当高频交变电流通过线圈时，线圈中的磁场变化会导致导体加热，实现能量的转换。
电磁感应-2 动生电动势
ε = ε m sinω t
= ∫ vBdl = vBl
电动势方向 A→B
dΦ 解法 2 εi = dt dt
ε i = vBl
电动势方向 A→B
动生电动势
例题2. 长为L的铜棒,在均匀磁场B中以角速度ω在与磁场方 向垂直的平面上作匀速转动.求棒的两端之间的动生电动势. 解法1: ε i = ∫
v dx
B
x
ε i = −∫
a +l
μ 0 Iv dx
2π x μ 0 Iv a + l =− ln 2π a
a
l
动生电动势方向: B→A
用法拉第定律如何求解？
动生电动势
三、线圈在磁场中转动——交流发电机(alternator)
线圈在磁场中旋转→线圈切割磁感线→产生感应电动势 →产生感应电流。
θ =ωt d dΨm εi = − = − N ( BS cosθ ) = NBSω sinωt dt dt
动生电动势
例3. 一长直导线中通电流I =10A，有一长为L=0.2m的金属 棒与导线垂直共面。当棒以速度v=2m·s-1平行与长直导线匀 速运动时，求棒产生的动生电动势。 解： B =
μo I
2π x
I A x a
⊗B
v v v d ε i = ( v × B ) ⋅ d x = − Bv dx
v v v 非静电场: Ek = v × B
电动势:
b × × × × × × × × × × × Fe× × × - × × v × × × × × × × × ×fm × × × × × × × × × a
εi = ∫
L
v v b v v v× E k ⋅ dl = ∫ ( v × B ) ⋅ dl
动生电动势和感生电动势
m1
三、电子感应加速器
原理：在电磁铁的两磁极间放一个真空室，电磁铁是由
交流电来激磁的。
当磁场发生变化时，两极间任意闭合回路的磁通发生变化， 激起感生电场，电子在感生电场的作用下被加速，电子在 Lorentz力作用下将在环形室内沿圆周轨道运动。
轨道环内的磁场 等于它围绕面积 内磁场平均值的 一半。
解:法拉第电机可视为无数铜棒一 端在圆心，另一端在圆周上，即为 并联，因此其电动势类似于一根铜 棒绕其一端旋转产生的电动势。
w
B
o a
R
U0 Ua o Bwl dl
U0
Ua
1 2
BR2w
二、感生电动势
1、感生电动势
由于磁场的变化而在回路中产生的感应电 动势称为感生电动势.
2、感生电场
变化的磁场在其周围空间激发的一种能够产生感生电动势 的电场，这种电场叫做感生电场，或涡旋电场。
是以轴为圆心的一系列同心圆，同一同心圆
上任一点的感生电场的Ek大小相等，并且方
向必然与回路相切。于是沿L取Ek的线积分，
有：
L Ek dl Ek 2 r
EkΒιβλιοθήκη 2rr 2dB dt
若r<R，则 Br 2
L
Ek
dl
－ d dt
r 2
dB dt
r dB Ek 2 dt
若r≥R，则
BR2
2、涡流的热效应
电阻小，电流大，能 够产生大量的热量。
3、应用
高频感应炉 真空无按触加热
加热
4、涡流的阻尼作用
当铝片摆动时，穿过运动铝片的磁通量 是变化的，铝片内将产生涡流。根据楞 次定律感应电流的效果总是反抗引起感 应电流的原因。因此铝片的摆动会受到 阻滞而停止，这就是电磁阻尼。
动生和感生电动势
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目录
• 动生电动势 • 感生电动势 • 动生与感生电动势的异同点 • 动生和感生电动势在电磁学中
的重要性
01
动生电动势
定义与产生机理
定义
动生电动势是由于导体在磁场中运动，导致导体中的自由电子受到洛伦兹力作 用，从而在导体内部形成电动势。
产生机理
当导体在磁场中运动时，导体中的自由电子受到洛伦兹力作用，产生定向移动 ，形成电流。这个电流在导体内部产生电动势，其方向与电流方向相反。
动生电动势的应用场景
电磁感应现象
电磁测量
动生电动势是电磁感应现象中的一种 表现形式，可以用来解释电磁感应现 象。
动生电动势可以用于电磁测量中，例 如测量磁场强度、电流强度等参数。
电机原理
电机是利用动生电动势的原理工作的 ，当电机中的导线在磁场中运动时， 导线中会产生动生电动势，从而驱动 电机转动。
动生电动势的计算方法
公式
动生电动势的大小可以通过计算洛伦兹力与导体运动速度的乘积得到。公式为： E =BLv，其中E为动生电动势，B为磁场强度，L为导体长度，v为导体运动速度 。
注意事项
在计算动生电动势时，需要确定磁场强度、导体长度和导体运动速度等参数。同 时，还需要注意洛伦兹力方向与电流方向的关系。
02
感生电动势
定义与产生机理
定义
感生电动势是由于磁场变化而产 生的电动势。当磁场发生变化时 ，会在导体中产生感应电流，从 而产生电动势。
产生机理
当磁场发生变化时，导体中的自 由电子受到洛伦兹力的作用，定 向移动形成电流，从而产生电动 势。
感生电动势的计算方法
计算公式
感生电动势的大小可以通过法拉第电磁感应定律来计算，即 E=nΔΦ/Δt，其中E为感生电动势，n为线圈匝数，ΔΦ为磁通 量的变化量，Δt为时间间隔。
动生电动势 感生电动势
bv
a
I
例10－6 由导线弯成的宽为a
高为b的矩形线圈，以不变速 率v平行于其宽度方向从无磁 场空间垂直于边界进入一宽为
3a
3a的均匀磁场中，线圈平面与 磁场方向垂直（如图），然后
又从磁场中出来，继续在无磁
场空间运动。设线圈右边刚进
入磁场时为t=0时刻，试在附
图中画出感应电流I与时间t的
ab中的感生电动势，并确定哪端电势高？解：Fra bibliotekl Er
dl
dm
dt
螺线管外感生电场的分布具有轴对 称性，取半径为r（r>R）的圆形环
R
o 0
Er b
rP
路与ab交于P点，Er沿P点的逆时针 切线方向。则
a
l
E r
dl
E r
2r
m B S 0nI R2 29
dm
dt
0n
dI dt
R2
，设t = 0 时线圈平面的法线方向n0
与B的夹角为 = 0，若线圈角速度为
，则 t时刻穿过该线圈的磁通为
m B s Bscos Bscos t
由法拉第电磁感应定律
0 b
c
no
B
a
d 0/
i
d dt
d dt
(NBscos t)
NBs sint m sin t m NBs
电动势的实质依然是动生电动势,上述为交流发电机的工作原理 14
uB v v B u
所以总的洛仑兹力的功率为零，即总的洛仑兹力仍然不做功。
但为维持导体棒以速度v作匀速运动，必须施加外力以克服
洛仑兹力的一个分力fmu=qu×B。
由前述可知
qu B v qv B u
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动生电动势公式的推导及产生的机理
摘要：在本文中，应用导数的知识推导出动生电动势在各种特殊情况下的表达形式，并进一步探究了动生电动势产生的机理。
揭示了产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果。
关键词：电磁感应定律；动生电动势；洛伦磁力
法拉第电磁感应定律告诉我们，只要通过回路所围面积中的磁通
量发生变化，回路中就会产生感应电动势。
由公式
s B dS
φ=⎰⎰可知，使磁通量发生变化的方法是多种多样的，但从本质上讲，可归纳为两类：一类是磁场保持不变，导体回路或导体在磁场中的运动；另一类是导体回路不动，磁场发生变化。
前者产生的感应电动势称为动生电动势，后者产生的电动势为感生电动势。
在本文中，主要对动生电动势公式的推导及其产生的机理作浅显的阐释。
一、动生电动势在各种特殊情况下的表达形式
在磁场保持不变的情况下，由于导体回路或导体运动而产生的感应电动势称为动生电动势
（一）、在磁场中运动的导线内的动生电动势
例1，如图1所示，一个由导线做成的回路ABCDA，其中长度为l
的导线段AB在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度V向右作匀速直线运动，AB、V和B 三者相互垂直，求运动导线AB
段上产生的动生电动
势。
解析：由题意可知，导线AB 、V 和B 三者相互垂直。
若在dt 时间内，导线AB 移动的距离为dx ，如右图所示，则在这段时间内回路面积的增量为dS ldx =。
如果选取回路面积矢量的方向垂直纸面向里，则通过回路所围面积磁通量的增量为：
d ΦB S Bldx ==
根据法拉第电磁感应定律知，导线AB 内所产生的感应电动势为[1]
d Φε dt
=- 其中，负号代表感应电动势的方向。
所以，在运动导线AB 段上产生的动生电动势的表达式为
dx εBlv dt
Bl =-=-
即运动导线AB 段上产生的动生电动势的
大小为：Blv ，方向：B A →.
例2、如图2所示，在方向垂直纸面向
内的均匀磁场 B 中，一长为 l 的导体棒
OA 绕其一端 O 点为轴，以角速度大小
为ω逆时针转动，求导体棒OA 上所产生
的动生电动势。
解析：设导体棒OA 在t ∆时间内所转过的角度为θ∆，所扫过的扇形面积为：
212
S l θ=∆
则在这段时间内磁通量的增量为
212
ΦB S Bl θ==∆∆ 根据法拉第电磁感应定律知，导体OA 内所产生的感应电动势为
2d Φε 2t 1d Bl ω=-=- 即导体OA 段上产生的动生电动势的大小为：212
Bl ω，方向：A O →
（二）、在磁场中转动的线圈内的动生电动势
例3、（2012年安徽高考题）图3是交流发电机模型示意图。
在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的OO ˝轴转动，由线圈引起的导线ae 和df 分别与两个跟线圈一起绕OO ˝转动的金属圈环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路。
图4是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示。
已知ab 长度为
L1，bc 长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。
（考虑N 匝线圈）
（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1 的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图5所示，
试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式
解析：（1）如图4所示，线圈平面处于中性面位置时开始计时，在t 时刻，线圈平面与磁场方向的夹角为ωt ，此时穿过线圈的磁通量为
12ΦBScos ωt BL L cos ωt ==
根据法拉第电磁感应定律知，N 匝线圈所产生的感应电动势为
d Φε dt
N =- 其中，负号代表感应电动势的方向。
所以，此时整个线圈的感应电动势的表达式为
112e BL L ωsin ωt N =
(2)如图5所示，线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，在t 时刻，线圈平面与磁场方向的夹角为()0ωt ϕ+，此时穿过线圈的磁通量为
()()0120ΦBScos ωt BL L cos ωt ϕϕ=+=+
根据法拉第电磁感应定律知，此时线圈的感应电动势的表达式为
()2120e BL L ωsin ωt N ϕ=+
二、 动生电动势产生的机理
运动导体或转动线圈在磁场中切割磁感应线而产生的动生电动势的机理，可以用经典的金属电子理论来解释。
在阐释动生电动势产生的机理之前，笔者先给出与产生机理有关的几个物理概念。
（一）、非静电力和非静电性场强的概念
1、非静电力的定义
能不断分离正负电荷，使正电荷逆静电场方向运动的某种力称作非静电力。
2、非静电性场强的定义
单位正电荷所受到的非静电力称作非静电性场强，用k E 表示。
（二）、电动势的概念
把单位正电荷从负极通过电源的内部移到正极时非静电力所做的功，即
k F dl E dl q ε++
--
==⎰⎰（F 为非静电力） （三）、动生电动势产生的机理
如图6所示，矩形线圈ABCD 放在均匀磁场
中，其中CD 段可以沿AD 方向运动，并令CD
段以速率V 向右作匀速直线运动，于是在导线
CD 中产生动生电动势，并认为动生电动势ε是
由于导线CD 中的电子随导体一起向右运动时,受到一个向下的洛伦兹力f 在导线中供一个非静电力产生的，即非静电力(洛伦兹力) f ev B =-⨯
上式中，电子所带的电量为：e -，洛伦磁力的方向是：D C →
洛伦兹力f 可以看作等效于一个非静电性场强k E 对电子的作用，即
k eE ev B -=-⨯
由此，可以求得非静电性场强为k E v B =⨯。
根据电动势的定义知， 导体棒CD 在磁场中切割磁感应线产生的动生电动势为
()D D k C C E dl v B dl Blv
ε==⨯=⎰⎰
这个结果与例1中完全相同，这表明了产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果。
将上式的结论可以推广到普通情况，如图7所示，一段任意形状的导线在磁场中运动，同理，所对应的
非静电性场强为
()-k F E v v B e '==+⨯合
()D D
k C C
E dl v v B dl
ε'==+⨯⎰⎰ ()()
D D C C
v B dl v B dl '=⨯+⨯⎰⎰
()
D C v B dl =⨯⎰
可见，在一般情况下动生电动势的计算公式和特例下动生电动势的计算公式是一致的。
只与导线的整体运动速度v 有关，而与电子沿导线方向运动速度v '无关。
综上所述，产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果，动生电动势计算通式为()l v B dl ε=
⨯⎰。
参考文献
[1] 程守洙, 江之永.普通物理学2[M]. 第五版. 北京：高等教育出版社, 1997:330.。