2005年高考全国试题分类解析(数列部分)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2005全国高考数学2试卷与答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2理科卷）试题精析详解一、选择题（ 分⨯ 分）（ ）函数♐☎⌧✆♦♓⏹⌧♍☐♦⌧的最小正周期是 （✌）4π （ ）2π （ ）π （ ） π【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想【正确解答】()|sin cos ||)|f x x x x ϕ=+=+，♐☎⌧✆的最小正周期为π 选【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半 如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题（ ）正方体✌－✌ 中， 、✈、 分别是✌、✌、 的中点 那么，正方体的过 、✈、 的截面图形是（✌）三角形 （ ）四边形 （ ）五边形 （ ）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理 可从 、✈在面内作直线，根据公理 ，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段【正确解答】画图分析 作直线 ✈交的延长线于☜，交 的延长☞，作直线☜交1CC 的延长线于☝，交1BB 于 ，作直线☝☞交1DD 于☟，交11C D ☟，连结❆☟✈，则过 、✈、 的截面图形CC 1G为六边形 ✈☟❆，故选 【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及 个推论是确定平面的含义，但不必深入研究 （ ）函数⍓32x － （⌧≤ ）的反函数是（✌）⍓3)1(+x ☎⌧≥－ ✆ （ ）⍓－3)1(+x ☎⌧≥－ ✆（ ）⍓3)1(+x ☎⌧≥ ✆ （ ）⍓－3)1(+x ☎⌧≥ ✆【思路点拨】本题考查反函数的求法 要求反函数的三步曲（一是反解、二是⌧、⍓对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理【正确解答】解法 ：由⍓32x － ，且⌧≤ ，解得x =，其中，1y ≥-则所求反函数为⍓－3)1(+x ☎⌧≥－ ✆解法 ：分析定义域和值域，用排除法 选 【解后反思】选择题中考查反函数的解法时，一般只需验证定义域和值域即可，以达到快速高效之目的，因此，深刻理解互为反函数的概念和性质是关键，并要注意在求出反函数后注明定义域，这是求反函数必不可少的一步（ ）已知函数tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，则 （✌） ＜ω≤ （ ）－ ≤ω＜（ ）ω≥ （ ）ω≤－【思路点拨】本题考查参数ω对于函数tan y x ω=性质的影响【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tan y x =在（－2π，2π）上是增函数，而tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，所以ππω-≥，即10ω-≤< 选 【解后反思】学生在解题过程中只注意到||T πω=，而容易忽略ω的符号对函数单调性的影响☎✆设♋、♌、♍、♎∈ ，若dic bi a ++为实数，则 （✌）♌♍♋♎≠ （ ）♌♍－♋♎≠（ ）♌♍－♋♎＝ （ ）♌♍♋♎【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则 【正确解答】22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+，由dic bi a ++为实数， 所以♌♍♋♎选【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度 （ ）已知双曲线3622y x -＝ 的焦点为☞ 、☞ ，点 在双曲线上且 ☞ ⊥⌧轴，则☞ 到直线☞ 的距离为（✌）563 （ ）665 （ ）56 （ ）65 【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识，只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可【正确解答】由题意知，a =b =3c =，设1F 为左焦点，2F 为右焦点，则12(3,0),(3,0),(F F M --，设所求距离为d ，则由112211||||||22MF F F MF d ⋅=⋅，得65d = 选 【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广，应引起重视（ ）锐角三角形的内角✌、 满足♦♋⏹✌－A2sin 1 ♦♋⏹则有 （✌）♦♓⏹✌－♍☐♦ （ ）♦♓⏹✌♍☐♦（ ）♦♓⏹✌－♦♓⏹ （ ）♦♓⏹✌♦♓⏹【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式的左边进行化简，产生 ✌、 的三角函数之间的关系 【正确解答】221sin 12sin 1cos 2tan cot 2tan sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2A A A A A B A A A A A A---=-===-= tan(2)2A π=+ABC ∆是锐角三角形，022A ππ∴<+<，而022B A B ππ<<∴+=，即22A B π=-sin 2sin()cos 2A B B π∴=-= 选✌ 【解后反思】解三角函数问题时，要注意角的唯一性，也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解 这是难点也是关键之处（ ）已知点✌（3， ）， （ ， ）， （3， ） 设∠ ✌的平分线✌☜与 相交于☜，那么有CE BC λ=，其中λ等于（✌） （ ）21 （ ）－ （ ）－31 【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点C 的特殊位置，利用角平分线的性质，就可求☜点坐标【正确解答】由题意可知ABC 是直角三角形且30ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，30CAE ∴∠=︒，||||2||||BE AE CE CE ∴==，||3||BC CE ∴=，3λ∴=- 选 【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点 坐标，但相对来说，用平几知识比较方便（ ）已知集合 ＝ ⌧｜⌧ － ⌧－ ≤ ❝，☠⌧⌧ －⌧－ ＞ ❝，则 ∩☠为（✌） ⌧－ ≤⌧＜－ 或 ＜⌧≤ ❝ （ ） ⌧－ ＜⌧≤－ 或 ≤⌧＜ ❝（ ）｛⌧⌧≤－ 或⌧＞ ｝ （ ） ⌧⌧＜－ 或⌧≥ ＝【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算，可采用直接法，化简两集合时要注意不等式中的等号情形，防止漏点或产生多余的点【正确解答】{|47}M x x =-≤≤，{|23}N x x x =<->或，{|4237}M N x x x ∴=-≤<-<≤或 选✌【解后反思】四个二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式）始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识 它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理，必须牢固地掌握（ ）点 在平面上作匀速直线运动，速度向量❖＝（ ，－ ）（即点 的运动方向与❖相同，且每秒移动的距离为 ❖个单位），设开始时点 的坐标为（－ ， ），则 秒后点 的坐标为（✌）（－ ， ） （ ）（－ ， ） （ ）（ ，－ ） （ ）（ ，－ ）【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过♦秒后点的 的位置【正确解答】由题意可得♦秒后点 的坐标为(104,103)t t -+-，♦时， 点坐标为（ ，－ ） 选 【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的 定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点☎✆如果♋ ，♋ ，…♋ 为各项都大于零的等差数列，公差♎≠ ，则（✌）♋ ♋ ＞♋ ♋ （ ）♋ ♋ ＜♋ ♋ （ ）♋ ♋ ＞♋ ♋ （ ）♋ ♋ ♋ ♋【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想，最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小【正确解答】由14853,3a a d a a d =-=+得，21845459a a a a d a a =-<（0d ≠）选【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算，而对于本题等差数列来说，一般方法，即转化为首项和公差处理，是最基本的方法，要牢固掌握☎✆将半径都为 的 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（✌）3623+ （ ） 362 （ ）3624+ （ ）36234+ 【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心 把 个小球的球心连起来，得到棱长为 的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点 先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与 个顶点，得到 个正三棱锥 底面积相等，由等体积法知，所以，该比为14而棱长为♋的正四面体的高为3a ，所以，棱长为 的正四面体，高为3，现在将其中心到侧面的距离 ，得到这个正四面体的高的最小值为3624+，选 【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化☎降维✆是解决此类问题的基本思路二、填空题（ 分⨯ 分）☎✆圆心为（ ， ）且与直线 ⌧⍓相切的圆的方程为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法，只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径【正确解答】圆心（ ，）到直线的距离为圆的半径，所以2r ==所以圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题，但并不能忽视几何性质，更确切地来说，要充分挖掘其几何性质，才能使问题解决更快、更活，如直线和圆相切，就有多种研究方法，请学习时认真总结☎✆设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则♦♋⏹α ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉【思路点拨】本题考查三角变换能力，需要学习和体会三角变换的技巧，达到角和函数的统一 【正确解答】 2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin sin sin 13cos 22cos 2cos 215ααααααααααααα++===+=+= 4cos 25α∴=，因为(2,2)2k k παππ∈-，所以2(4,4)k k απππ∈-，又cos20α>，所以3tan 24α=- 【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化 三角函数求值主要是考虑的是角和函数的差异，同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号☎✆在由数字 ， ， ， ， ， 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 整除的数共有♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉个【思路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力，注意分类讨论思想的运用【正确解答】解法 ：数字 ， ， ， ， ， 所组成的没有重复数字的四位数共有436536060300A A -=-=个，能被 整除的没有重复数字的四位数共有32542108A A -=个，所以不能被 整除的数共有 个解法 ：因为不能被 整除的四位数中，其末位不是 的倍数，所以，不能被 整除的四位数共有：132454()192C A A -=个【解后反思】“不能⑤”通常用减法可简化运算，在本题中偏偏反其道而行之 慎之！同时，解排列组合问题时要正确运用加乘原理，应把复杂的问题分成简单问题（分步、分类）做到既不重复又不遗漏（ ）下面是关于三棱锥的四个命题：① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉☎写出所有真命题的编号✆【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决【正确解答】如图，三棱锥P ABC -中，作PO ⊥平面ABC 于 ，作OD AB ⊥于 ，作OE BC ⊥于☜，作OF AC ⊥于☞，连结 ☜☞，则,,PDO PEO PFO ∠∠∠分别是侧面与底面所成的二面角的平面角①是正确的 因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，☜☞，即 是ABC ∆的中心，且底面是等边三角形，②是错误的 如PB PC AB PA ==≠，③是错误的 如果顶点在底面上的投影是底面正三角形的旁心，也是可以得出侧面积相等的结论，④是正确的 侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的外心；侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的内心，外心与内心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填①、④【解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义（底面是正三角形，顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥）及其等价条件三、解答题☎共 小题，共 分✆（ ）（本小题满分 分）设函数♐☎⌧✆ ⌧⌧ 求使♐☎⌧✆≥ 2的⌧取值范围【思路点拨】本题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力 关键是去掉绝对值，根据(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩进行分类讨论【正确解答】由于2x y =在上是增函数，()f x ≥3|1||1|2x x +--≥ ♊ （ ）当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，所以♊式恒成立（ ）当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，♊式化为322x ≥，即314x ≤< （ ）当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，♊式无解， 综上，x 的取值范围是3[,)4+∞【解后反思】含有绝对值的问题的处理通常是去掉绝对值，其方法一般地有两种，一是讨论，二是平方 考虑到本题含有两个绝对值，讨论法较宜（ ）（本小题满分 分）已知 ♋⏹❝是各项均为正数的等差数列，●♑♋ 、●♑♋ 、●♑♋ 成等差数列，又♌⏹ na 21 ⏹⑤☎Ⅰ✆证明{}n b 为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 各项的和 31 求数列 ♋⏹❝的首项♋ 和公差♎ ☎注：无穷数列各项的和，即当⏹→∞时数列前⏹项和的极限✆【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力 本题第☎Ⅰ✆问可利用等差、等比的转化关系得以解决，难点是第（Ⅱ）问中理解题目后的注，要理解之含义【正确解答】（ ）证明：124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a =⋅， 又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，这样 21d a d =，从而1()0d d a -= 0d ≠，10d a ∴-=，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅ 这时，{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列 （ ）解：如果无穷等比数列{}n b 的公比1q =，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在因而10d a -≠，这时公比12q =，212b d =，这样{}n b 的前n 项和11[1()]22112n n d S -=-， 则11[1()]122lim lim 112n n n n d S S d →∞→∞-===-， 由13S =得公差3d =，首项13a d == 【解后反思】若正项数列{}n a 是等比数列，则{}log a n a （0a >且1a ≠）是等差数列，若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n a a（0a >且1a ≠）是等比数列，反之亦然 （ ）（本小题满分 分）甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束 设各局比赛相互间没有影响 令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望 （精确 ） 【思路点拨】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，理解比赛规则和互斥事件是正确理解和解决本题的难点，如打 局比赛结束，即甲 ： 赢乙，即打 场甲均赢乙【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为 ，乙队胜甲队的概率为 比赛 局结束有两种情况：甲队胜 局或乙队胜 局，因而33(3)0.60.40.28P ξ==+=，比赛 局结束有两种情况：前 局中甲队胜 局，第 局甲队胜；或前 局中乙队胜 局，第 局乙队胜，因而222233(4)0.60.40.60.40.60.40.3744P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，比赛 局结束有两种情况：前 局中甲队胜 局，乙队胜 局，第五局甲胜或乙胜，因而22222244(5)0.60.40.60.40.60.40.3756P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξξ的期望3(3)4(4)5(5) 4.0656E P P P ξξξξ=⨯=+⨯=+⨯==【解后反思】在利用数学知识解决实际问题要理解实际问题与数学知识的内在联系，将实际问题数学化，而在这一过程中，必须认真读题，缜密审题，确切理解，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为数学问题 一般的解题程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答） 应用题利用数学知识并不难，难的是理解题意，建立恰当的数学模型 （ ）（本小题满分 分）如图、四棱锥 ✌中，底面✌为矩形， ⊥底面✌，✌，☜、☞分别为 、 的中点（Ⅰ）求证：☜☞⊥平面 ✌；（Ⅱ）设✌2 ，求✌与平面✌☜☞所成的角的大小【思路点拨】本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，此题属中档题 寻找平面 ✌内两条相交直线是解决第（ ）问的关键，寻找✌在平面☜☞✌内的射影解决第（Ⅱ）问难点，直觉来说，无论是条件还是结论都有运用空间向量的背景，因此，用空间向量来解应是十分简便的【正确解答】解法 ：（ ）证法 ：连结EP ，PD ABCD ⊥底面，DE 在平面ABCD 内，PD DE ∴⊥，又,CE DE PD AD BC ===， Rt BCE Rt PDE ∴∆≅∆，PE BE ∴=F 为PB 中点，EF PB ∴⊥，由三垂线定理得PA AB ⊥，所以，在Rt PAB ∆中，PF AF =，又PE BE EA ==，EFP EFA ∴∆≅∆，EF FA ∴⊥ PB 、FA 为平面PAB 内的相交直线，EF PAB ∴⊥平面 证法 ：取 ✌的中点 ，连结 ☞F 是 的中点，1//2MF AB E ∴是 的中点，1//2MF ED MDEF ∴∴是平行四边形，//MD FE PD ∴⊥平面✌，PD AD ∴⊥，又PD AD PAD =∴∆是等腰直角三角形 而 是✌的中点DM PA∴⊥底面✌是矩形，AB AD ∴⊥，由PD ⊥平面✌，得AB MD ⊥，又AB AP A MD =∴⊥平面✌EF PAB ∴⊥平面PP（ ）不放设1BC =，则1AD PD ==，2AB =，2PA =，3AC =，PAB ∴∆为等腰直角三角形，且2PB =，F 为其斜边中点，1BF =，且AF PB ⊥ PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直，PB AEF ∴⊥平面连结BE 交AC 于G ，作//GH BP 交EF 于H ，则GH AEF ⊥平面，GAH ∠为AC 与平面AEF 所成的角，由EGC BGA ∆∆可知12EG GB =，13EG EB =，22333AG AC ==， 由EGHEBF ∆∆，可知1133GH BF ==3sin 6GH GAH AG ∴∠==，所以AC 与平面AEF 所成的角为3arcsin 6解法 ：以D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系 （ ）证明：设(,0,0)E a ，其中0a >，则11(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(,,)22C a A B a P F a 11(0,,)22EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =，0EF PB ⋅=，EF PB ∴⊥ 0AB EF ⋅=，EF AB ∴⊥又PB PAB⊂平面，AB PAB⊂平面，PB AB B =，EF PAB ∴⊥平面（ ）解：由2AB BC =，得22a =，可得(2,1,0),(2,1,1)AC PB =-=-，3cos ,6||||AC PB AC PB AC PB ⋅==⋅，异面直线AC 、PB 所成的角为3arccos6211(,,),0,222AF AF PB PB AF =-∴⋅=⊥， 又PB EF ⊥，,EF AF 为平面AEF 内两条相交直线，PB AEF ∴⊥平面，∴AC 与平面AEF 所成的角为33arccos(arcsin )266π-， 即AC 与平面AEF 所成的角为3arcsin6【解后反思】三垂线定理（或它的逆定理）是立几中的十分重要的定理，在证垂直、求角等方面应用十分广泛，而用向量在求证平行、垂直，求角和距离等方面十分有效（ ）（本小题满分 分） 、✈、 、☠四点都在椭圆⌧22y 上，☞为椭圆在⍓轴上的焦点 已知→-PF 与→-PQ 共线，→-MF 与→-PN 共线，且→-PF ·→-MF 求四边形 ✈☠的面积的最小值和最大值【思路点拨】本题注意考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力和运算能力 引入参数 并用 分别表示||,||PQ MN ，构建关于 的函数，利用函数的性质就不难解决 【正确解答】如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点(0,1)F ，且PQ MN ⊥，直线MN 、PQ 中至少有一条存在斜率，不放设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点(0,1)F ，故PQ 的方程为 1y kx =+将此式代入椭圆方程得22(2)210k x kx ++-= 设,P Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则1x =2x =， 从而 222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+， 亦即22)||2k PQ k+=+ （ ）当0k ≠时，MN 的斜率为1k-，同上可推得221(1)||13()k MN k+-=+-， 故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++=⋅==++++， 令221u k k =+，得 4(2)12(1)5252u S u u+==-++因为 2212u k k =+≥，当1k =±时，2u =，169S =，且S 是以u 为自变量的增函数 所以1629S ≤<（ ）当0k =时，MN为长轴，|||MN PQ ==1||||22S PQ MN =⋅= 综合（ ）（ ）知四边形PMQN 面积的最大值为 ，最小值为169【解后反思】 、分清情况讨论（ 的存在性）中解题的先决条件，繁琐计算的正确性是顺利解题的保证 、斜率为 的直线与曲线 交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则21|||AB x x ==-作为一个模式，应该熟练掌握，便于在解题中快捷运用 、本题用特殊到一般的思想，即当 ☠与⍓轴重合时的情形考察四边形PMQN 面积，可检验解题的正确性（ ）（本小题满分 分）已知♋≥ ，函数♐☎⌧✆☎⌧ ♋⌧✆♏⌧（Ⅰ）当⌧为何值时，♐☎⌧✆取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设♐☎⌧✆在☯， 上是单调函数，求♋的取值范围【思路点拨】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数函数性质的方法及推理和运算能力 考虑到x R ∈，因此，第（Ⅰ）问()f x 的最小值就等价于求()f x 的极小值，只要利用导数按求极值的步骤进行就可以了，而第（Ⅱ）问♐☎⌧✆在☯， 上是单调函数，实质上就是在☯， 上就是()0f x '>或()0f x '<恒成立时求♋的取值范围【正确解答】（ ）对函数()f x 求导数，得22()(2)(22)[2(1)2]x x x f x x ax e x a e x a x a e '=-+-=+--令()0f x '=，得 2[2(1)2]0x x a x a e +--=，从而22(1)20x a x a +--=解得 11x a =-21x a =-，其中12x x <， 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：当()f x 在1x x =处达到极大值，()f x 在2x x =处达到极小值当0a ≥时，11x <-，20x ≥，()f x 在12(,)x x 为减函数，在2(,)x +∞为增函数， 而当0a <时，()(2)0xf x x x a e =->；当0a =时，()0f x =，所以当1x a =-()f x 取得最小值（ ）当0a ≥时，()f x 在☯上为单调函数的充要条件是21x ≥即 11a -≥，解得34a ≥； 综上，()f x 在☯上为单调函数的充要条件为34a ≥， 即a 的取值范围是3[,)4+∞【解后反思】通过导函数研究可导函数的极值、单调性已成为高考的热点，且有难度增大的趋势 挖掘0a ≥所产生的12,x x 的范围是解决本题的关键 另外，()f x m >恒成立，即比()f x 的最小值还要小；()f x m <恒成立，即比()f x 的最大值还要大。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)
2 1
C．
f
(x)
2x 2,
x 2
1,
1 x 2 2 x4
D．
f
(x)
2x 6,
x 2
3,
1 x 2 2 x4
o 2 1
1
图2
x
解：将图象沿 y 轴向下平移１个单位，再沿 x 轴向右平移２个单位得下图 A，从而可以得到 g(x) 的
图象，故
g(x)
x 2
1,
0
x
2
，
2x 4 , 2 x 3
（2）若存在 x0 R ，使得对任意 x R ，且 x x0 ，有 f (x) f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x)
的最大值；
（3）若存在 x0 R ，使得对任意 x R ，有 f (x) f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
间（0，6）内解的个数的最小值是
（）
A．5
B．4
C．3
D．2
解：由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内 f(x)=0 的解的
个数的最小值是 5,选(D)
7. (2005 广东)在同一平面直角坐标系中，函数 y f (x) 和 y g(x) 的图像
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解：
y
e |ln
2005年高考数学试题及答案全国卷2
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一 选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A).4π (B)2π（C ）π （D ）2π (2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。
那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 （3）函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1） (C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X≥0) (4)已知函数Y=tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1（5）设a 、b 、c 、d ∈R,若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0 (C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ=BC CE ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31（9）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3} （10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为 （A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） （11）如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（A>81,a a >54,a a (B) 81,a a < 54,a a (C> 5481a a a a +>+ (D) 81,a a = 54,a a(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2005年全国各地高考试题分类解析(函数部分)(2)
2005年高考试题分类解析（函数部分）一、选择题：1、（广东卷）在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称．现将()y g x =图像沿x 轴向左平移２个单位，再沿Y 轴向上平移１个档位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数()f x 的表达式为(A)（Ａ）22,10()2,022x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｂ）22,10()2,022x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩（Ｃ）22,12()1,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｄ）26,12()3,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩2．（江苏卷）函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为(A)（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-3. （全国卷Ⅰ）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（C ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y（B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y4 （全国卷Ⅰ）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（B ）（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a5. （全国卷Ⅰ）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 (C) （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+- 6. (全国卷Ⅱ) 函数 )0(12≤-=x x y 反函数是( B )(A)1+=x y )1(-≥x (B)y = -1+x )1(-≥x (C)y =1+x )0(≥x (D)y =-1+x )0(≥x7. (全国卷Ⅱ)函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是 (B) （A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1） (C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X ≥0) 8.( 全国卷III )设173x=，则(A ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1 9. ( 全国卷III )若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( C) (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 10．（福建卷函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ D ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a11．（福建卷)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）A ．5B ．4C ．3D ．2 12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ D ）13. （湖北卷）在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3 14. （湖南卷）函数f (x )＝x21-的定义域是（ A ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞） 15. （辽宁卷）函数1ln(2++=x x y ）的反函数是（ C ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2xx e e y --= D ．2x x e e y ---=16. （辽宁卷）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ A ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ17. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ A ）18. （山东卷）函数()10xy x-=≠的反函数图像大致是（ B ） （19 （山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 20. （山东卷）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ C ）（A ）1 （B ）2- （C ）1,2- （D ）1,221. （上海）若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 22. （天津卷）设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（A ）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 23. （天津卷）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(24.(浙江)设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (21)]＝( D )(A) －21 (B)0 (C)21(D) 125.(重庆卷)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (-∞,2)；(B) (2,+∞)；(C) (-∞,-2)⋃(2,+∞)；(D) (-2,2)。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(天津卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（天津文科卷）试题精析详解一、5分⨯10=50分）（1） 集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是 （ ） （A ）16 （B ）8 （C ）7 （D ）4 【思路点拨】本题考查集合、真子集的基本概念，可采用直接法求集合A【正确解答】用列举法，{0,1,2}A =，A 的真子集有：,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}∅，共7个，选C【解后反思】注意不要忘记空集，以及真子集不包含集合本身.（2） 已知111222log log log b a c <<，则 （ ）（A ）222b a c >> (B) 222a b c >> (C) 222c b a >> (D) 222c a b >> 【思路点拨】本题考查指数函数和对数函数的增减性.【正确解答】由函数性质可知，函数12log y x =在()0,∞上是减函数，因此得b a c >>，又因为2xy =是增函数，所以222b a c >>，选A【解后反思】要深刻理解指数函数和对数函数的图象与性质，并从已知条件和结论的特征出发，发现它们各自所具有的模型函数，以便有目的地思考.（3）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）（A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125见理第7题（4）将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位后的直线l 为：2(1)0x y λ+-+=.已知圆的圆心为(1,2)O -解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有=，得3λ=-或7.解法2：设切点为(,)C x y ，则切点满足2(1)0x y λ+-+=，即2(1)y x λ=++，代入圆方程整理得：225(24)(4)0x x λλ+++-=， （*）由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有0∆=，得3λ=-或7. 解法3：由直线与圆相切，可知CO l ⊥，因而斜率相乘得－1，即2211y x -⨯=-+，又因为(,)C x y 在圆上，满足方程22240x y x y ++-=，解得切点为(1,1)或(2,3)，又(,)C x y 在直线2(1)0x y λ+-+=上，解得3λ=-或7.选A【解后反思】直线与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中的特殊图形，具有一般曲线的解决方法外（解法2）还有特别的解法，引起重视理解和掌握.（5）设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （ ）（A ）,,l m l αβαβ⊥=⊥ （B ）,,m αγαγβγ=⊥⊥ （C ）,,m αγβγα⊥⊥⊥ (D) ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 见理第4题（6）设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ） （A ）±2 （B ）43± （C ）12± （D ）34± 见理第5题（7）给出三个命题：①若1a b ≥>-，则11a b a b≥++. ②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ≤. ③设11(,)P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以(,)Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 和2O 相切．其中假命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 见理第3题（8）函数sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图像如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）4sin()84y x ππ=-+ （B ）4sin()84y x ππ=- （C ）4sin()84y x ππ=-- （D ）4sin()84y x ππ=+ 【思路点拨】本题考查正弦曲线的图象变换，考查图与形的等价转换能力. 只要由已知图形依次确定A 、ω、φ，而φ的确定是解决本题的难点，必须用最高点或最低点进行处理. 【正确解答】解法1：由函数图象可知，函数过点(2,0),(6,0)-，振幅4A =，周期16T =，频率28T ππω==，将函数4sin 8y x π=向右平移6个单位，得到 34sin((6))4sin()4sin()88484y x x x πππππ=-=-=-+.选A解法2：由函数图象可知，函数过点(2,0),(6,0)-，振幅||4A =，周期16T =，频率28T ππω==，这时4sin()8y x πφ=±+，又因为图象过点(2,4)-，代入得，sin()14πφ+=±.当sin()14πφ+=时，2,2()424k k k Z πππφπφπ+=+=+∈，而||,24ππφφ<∴=,当sin()14πφ+=-时，32,2()424k k k Z πππφπφπ+=-=-∈，而||2πφ<,无解. ∴ 33sin(2)4sin()4sin()848484y x k x x πππππππ=+-=-=-+.选A.解法3：可将点的坐标分别代入进行筛选得到.选A.【解后反思】一般地，如果由图象来求正弦曲线sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的解析式时，其参数A 、ω、φ的确定：由图象的最高点或最低点求振幅A ，由周期或半个周期（相邻最值点的横坐标间的距离）确定ω，考虑到φ的唯一性，在确定A 、ω的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式，在给定的区间内求出φ的值.（9）若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2，内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为 （ ） （A ）1(,)4-∞- （B ）1(,)4-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）1(,)2-∞- 【思路点拨】本题考查二次函数对数函数的性质，区间1(0,)2的题意就是要研究出22y x x =+的值域来判定a 的取值范围.【正确解答】函数的定义域为1{|0}2x x x ><-或，在区间1(0,)2上，2021x x <+<，又()0f x >，则01a <<，因此log a y t =是减函数，函数()f x 的单调递增区间为函数22y x x =+的递减区间，考虑对数函数的定义域，得所求的单调递增区间为1(,)2-∞-选D【解后反思】对复合函数的性质，一方面要考虑定义域，另一方面要有借助函数图象，用数形结合的思想来解决问题.（10）设()f x 式定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ） （A ）(1.5)(3.5)(6.5)f f f << （B ）(3.5)(1.5)(6.5)f f f << （C ）(6.5)(3.5)(1.5)f f f << （A ）(3.5)(6.5)(1.5)f f f << 【思路点拨】本题考查函数的周期性，单调性和对称性等性质，对相关概念有深刻的理解，将自变量的值转化到同一个单调区间，借助图象进行处理.【正确解答】函数图象关于直线3x =对称，则有(3)(3)f x f x +=-，因此有(3.5)(30.5)(30.5)(f f f f =+=-=，又因为函数周期为6，因此(6.5)(0.5)f f =， ()f x 在(0,3)内单调递减，所以(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<，选B【解后反思】直观的几何图形是解决问题的有效的重要方法之一，必须引起重视. 二、填空题（4分⨯6=24分）（11）二项式10的展开式中常数项为 ． 【思路点拨】本题考查二项式定理的通项公式，只要概念清楚和运算无误即可.【正确解答】展开式的一般项为1010(t tt C -，令1()(10)032t t +--=，6t =，因此常数项为610210C =.【解后反思】要注意符号因子不能丢.（12）已知2,4a b == ，a 和b 的夹角为3π，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ．【思路点拨】本题以向量为背景，考查余弦定理，要判断较短的一条应是3π所对的对角线. 【正确解答】222||||||2||||cos 416224cos 123c a b a b C π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=【解后反思】要正确向量的加减法则的几何意义，对向量a=（x,y ）的模有几种方法.①||a = 22||a a = .（１３）如图，PA ABC ⊥平面，90ACB PA AC BC a ∠==== 且，则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于 ．见理第12题（1４）在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)nn n a a +-=+- *()n N ∈，则10S = ． 见理第13题 （15）设函数1()ln1x f x x +=-，则函数1()()()2x g x f f x=+的定义域为 ． 【思路点拨】本题考查复合函数定义域的求法，必须使常见各类函数都有意义，构成不等式组来解.【正确解答】由题意得120122221121111011x x x x x x x x x⎧+⎪>⎪⎪--<<⎧⎪⇒⇒-<<-<<⎨⎨><-⎩⎪+⎪>⎪-⎪⎩或或则所求定义域为(2,1)(1,2)-- . 【解后反思】正确地解不等式组，将繁分式化简是一关键. （16）在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中 任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原 三角形的三个不同边上的概率为 .【思路点拨】本题考查等可能事件的概率，关键是要确定基本事件.【正确解答】可画出的三角形个数为39381C -=，三个顶点分别落在不同边上的个数为11133327C C C = ，所求概率为271813=. 【解后反思】理解和掌握等可能事件的概率的计算公式P （A ）＝mn，本题中构成三角形的个数是一难点.三、解答题（共6小题，共76分） （17）（本小题满分12分）已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【思路点拨】本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到.【正确解答】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ②由①和②式得53sin =α，5cos =α因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==， 解得 259sin 2=α，即5sin =α由1027)4sin(=-πα可得5cos sin =-αα 由于0cos 57sin >+=αα，且057sin cos <-=αα，故α在第二象限53sin =α， 从而557sin cos =-=αα以下同解法一【解后反思】在求三角函数值时，必须对各个公式间的变换应公式的条件要理解和掌握，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形. （18）（本小题满分12分）若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足13(3,4,)2n n n a a a n --+== ． （I ）求c 的值；（II ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．【思路点拨】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法.可根据其定义进行求解，要注意①等比数列的公比C 是不为零的常数②前n 项和的公式是关于n 的分段函数，对公比C 是否为1加以讨论.【正确解答】(Ⅰ)解：由题设，当3n ≥时，2212,n n n n a c a a ca ---==，221212---+=+=n n n n a ca a a ，由题设条件可得20n a -≠，因此212c c +=，即2210c c --= 解得c ＝1或2=c (Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，当c ＝1时，数列{}n a 是一个常数列，即1n a = (n ∈N *)这时，数列{}n na 的前n 项和2321=++++=n S n 当21-=c 时，数列{}n a 是一个公比为21-的等比数列，即1)21(--=n n a (n ∈N *)这时，数列{}n na 的前n 项和12)21()21(3)21(21--++-+-+=n n n S①① 式两边同乘21-，得n n n n n S )21()21)(1()21(2212112-+--++-+-=-- ②①式减去②式，得n nn n n n n S )21(211)21(1)21()21()21()21(1)211(12--+--=---++-+-+=+- 所以]223)1(4[911-+--=n n n n S (n ∈N *) 【解后反思】本题是数列求和及极限的综合题.（1）完整理解等比数列{}n a 的前n 项和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（2）要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用1lim 0n n →∞=②利用lim 0n n q →∞=（1q <）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如1q >时转化为11q<. （19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11111,,A AB A AC AB AC A A A B a ∠=∠===，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120，,E F 分别是棱111,B C A A 的中点 （I ）求1A A 与底面ABC 所成的角； （II ）证明1//A E 1平面B FC ； （III ）求经过1,,,A A B C 四点的球的体积．见理第19题 （20）（本小题满分12分）某人在山坡P 点处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC =米，塔所在的山高220OB ＝米，200OA =米，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平面的夹角为1,tan 2αα=．试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC ∠最大（不计此人身高）？ 见理第20题 （21）（本小题满分14分） 已知m R ∈，设P ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；Q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．【思路点拨】本题是组合题，考查一元二次方程的根的概念和导数的应用. 【正确解答】 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2，所以，84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x当a ∈[-1,1]时，28a +的最大值为9，即12||x x -≤3由题意，不等式212|53|||m m x x --≥-对任意实数a ∈[1,1]恒成立的m 的解集等于不等式2|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤- ①或 2533m m --≥②不等式①的解为0m ≤≤不等式②的解为1m ≤或m ≥因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的(Ⅱ)对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f 令0)('=x f ，即34232=+++m mx x 此一元二次不等式的判别式124)34(12422--=+-=∆m m m m 若∆＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：因为，0()f x 不是函数()f x 的极值若∆>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值综上所述，当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值由0161242>--=∆m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-∞,1)⋃,6[]5,4(+∞⋃【解后反思】对恒成立问题的等价转换，相应知识的完整理解是关键.对P 来说，转化为求使12x x -的最大值时的范围，而要注意一次二次方程根存在的充要条件.对Q 来说，()f x 的导函数存在的充要条件的理解是一难点，也是易错点.（22）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<，过抛物线C 上的一点000(,)(0)P x y x ≠作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点（,,P A B 三点互不相同），且满足120(0,1)k k λλλ+=≠≠-．（I ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（II ）设直线AB 上一点M ，满足BM MA λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（III ）当1λ=时，若点P 的坐标为（1，－1），求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围． 见理第22题.。
J02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(浙江卷.理)
浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)2解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年高考试题分类汇编(数列)
2005年高考试题分类汇编（数列）考法1等差数列1.（2005·山东卷·文科）{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差的数列，如果2005n a =，则序号n 等于A.667B.668C.669D.6702．（2005·福建卷·文理科）已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是A ．15B ．30C ．31D ．64 3．（2005·辽宁卷·文理科）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞ 4.（2005·全国卷Ⅱ·理科）如果数列1a ，2a ，，n a 是各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则A.1845a a a a ⋅>⋅B.1845a a a a ⋅<⋅C.5481a a a a +>+D.5481a a a a =5.（2005·全国卷Ⅱ·文科）如果数列}{n a 是等差数列，则 A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a =考试2等比数列11.（2005·全国卷Ⅱ·文科）在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 .1.（2005·全国卷Ⅰ·理科）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >（1,2,n =）.（Ⅰ）求q 的取值范围；（Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小.1.（2005·天津卷·文科）若公比为c 的等比数列{}n a 的首项1a 且满足122n n n a a a --+=（3,4,5,n =，0c >）.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .考法3等差数列与等比数列的综合应用15．（2005·湖北卷·理科）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则q 的值为 .2．（2005·福建卷·文科）已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当2n ≥时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由.15．（2005·湖北卷·文科）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=. （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 1.（2005·全国卷Ⅰ·文科）设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，0)12(21020103010=++-S S S .（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T .1.（2005·全国卷Ⅲ·文理科）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项.已知数列1a ，3a ，1k a ，2k a ，3k a ，，n k a ，，成等比数列,求数列{}n k 的通项n k .11.（2005·全国卷Ⅱ·文理科）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,1lg a ，2lg a ，4lg a 成等差数列.又21nn b a =，1,2,3,n =.（Ⅰ）证明:{}n b 为等比数列; （Ⅱ）如果数列{}n b 前3项的和等于724,求数列{}n a 的首项1a 和公差d . 考法4 其它13.（2005·天津卷·理科）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且21(1)n n n a a +-=+-（ n N *∈），则100S = ．1.（2005·北京卷·文科）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1,2,3,n =，求:（Ⅰ）2a ，3a ，4a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）2462n a a a a ++++的值.1.（2005·江西卷·理科）已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：01a =，11(4)2n n n a a a +=-（n N ∈）. （Ⅰ）证明12n n a a +<<，n N ∈ （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式n a .1.（2005·山东卷·文理科）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且15n n S S n +=++（*n N ∈）.（Ⅰ）证明数列{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.1.（2005·重庆卷·文科）数列{}n a 满足11a =，且11816250n n n n a a a a ++-++=（1n ≥），记112n n b a =-（1n ≥），（Ⅰ）求1b 、2b 、3b 、4b 的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S。
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数列部分选择题1. （广东卷）已知数列满足，，…．若，则(B)（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５（福建卷）3．已知等差数列中，的值是（ A ）A．15 B．30 C．31 D．643. （湖南卷）已知数列满足，则= （B ）A．0 B． C． D．4. （湖南卷）已知数列{log2(a n－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则 = （C） A．2 B． C．1 D．5. （湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C） A．sinx B．－sinx C．cos x D．－cosx6.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1897. (全国卷II) 如果数列是等差数列，则(B )(A) (B) (C) (D)8. (全国卷II) 11如果为各项都大于零的等差数列，公差，则(B)(A) (B) (C) (D)9.（山东卷）是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于(C )（A）667 （B）668 （C）669 （D）67010. （上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄a n可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个n!行的数阵.对第i行a i1,a i2,┄a in,记b i=- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in,1 3 2i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都2 1 3是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成2 3 1的数阵中, b1+b2+┄+b120等于3 1 21 21 [答]( C )(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-72011. （浙江卷）＝( C )(A) 2 (B) 4 (C) (D)012. (重庆卷)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)(A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 7。
13. （江西卷）填空题1. （广东卷）设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则_____5________；当ｎ＞４时，＝_____________．2. （北京卷）已知n次多项式,如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要n(n＋3) 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 2n次运算．3. （湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为S n，若S n+1,S n，S n+2成等差数列，则q的值为 -2 .4. (全国卷II) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．5.（山东卷）6. （上海）12、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。
对第行，记，。
例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_-1080_________。
7、计算：=_3 _________。
8. （天津卷）设,则9. （天津卷）在数列{a n}中, a1=1, a2=2,且，则=_2600_ ___.10. (重庆卷)= -3 .解答题1.（北京卷）设数列{a n}的首项a1=a≠，且,记，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求．解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),猜想：{b n}是公比为的等比数列·证明如下：因为b n+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=b n, (n∈N*)所以{b n}是首项为a－, 公比为的等比数列·（III）.2.（北京卷）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{a n}的通项公式；（II）的值.解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以a n=(n≥2),∴数列{a n}的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ =3．（福建卷）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由.解：（Ⅰ）由题设（Ⅱ）若当故若当故对于4. （福建卷）已知数列{a n}满足a1=a, a n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=－1, b n+1=，求证a取数列{b n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n}；（Ⅲ）若，求a的取值范围.（I）解法一：故a取数列{b n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n} （湖北卷）设数列的前n项和为S n=2n2，为等比数列，且（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和T n.解：（1）：当故{a n}的通项公式为的等差数列.设{b n}的通项公式为故（II）两式相减得6.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有解：（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有极限，且（Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有7. （湖南卷）已知数列为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明（I）解：设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即（II）证明因为，所以8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（Ⅰ）求x n+1与x n的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n，被捕捞量为b x n，死亡量为（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得因为x1>0，所以a>b.猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）若b的值使得x n>0，n∈N*由x n+1=x n(3－b－x n), n∈N*, 知0<x n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.而x1∈(0, 2)，所以由此猜测b的最大允许值是1.下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n∈(0, 2), n∈N*①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即x k∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k(2－x k)>0.又因为x k+1=x k(2－x k)=－(x k－1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x n∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有x n>0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.9. （江苏卷）设数列｛a n｝的前项和为,已知a1=1,a2=6,a3=11,且,其中A,B为常数.(Ⅰ)求A与B的值;(Ⅱ)证明数列｛a n｝为等差数列;(Ⅲ)证明不等式.(Ⅰ)由，，，得，，．分别代入，得解得，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即，①又．②②-①得，，即．③又．④④-③得，，∴，∴，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，．考虑．．∴．即，∴．因此，．10. （辽宁卷）已知函数设数列}满足，数列}满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明解：（Ⅰ）证明：当因为a1=1，所以 ………………2分下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 ………………6分所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。
…………8分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以…………10分故对任意………………（12分）11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。
解：（Ⅰ）由得即可得因为，所以解得，因而（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和前两式相减，得即12. (全国卷Ⅰ)设等比数列的公比为，前n项和。
（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小。
解：（Ⅰ）因为是等比数列，当上式等价于不等式组：①或②解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.综上，q的取值范围是（Ⅱ）由得于是又∵>0且－1<<0或>0当或时即当且≠0时，即当或=2时，即13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．(Ⅰ) 证明为等比数列；ABCDEFP(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差．(I)证明：∵、、成等差数列∴2=+，即又设等差数列的公差为，则(－)=(－3)这样，从而(－)=0∵≠0∴=≠0∴∴是首项为=，公比为的等比数列。