高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）
目录
专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
专题二十一 矩阵与变换 .............................................................................................................................. 专题二十二 坐标系与参数方程 .................................................................................................................
专题一 集合
1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B =（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<< 【答案】A
考点：集合的交集运算.
2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，
{|(4)(1)0}
N x x x =--=，则M N =
A ．?
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．{}1,4 【答案】A ．
【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题． 3.(15年广东文科) 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M
N =（ ）
A ．{}0,1-
B ．{}0
C ．{}1
D ．{}1,1- 【答案】C 【解析】 试题分析：{}1M
N =，故选C ．
考点：集合的交集运算． 4.（15年广东文科）若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =
≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，
(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则
()()card card F E +=（ ）
A ．50
B ．100
C ．150
D ．200 【答案】D
考点：推理与证明．
5.（15年安徽文科）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A
C B =( )
（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B 【解析】
试题分析：∵{
}6,5,1=B C U ∴()U A C B ={}1 ∴选B
考点：集合的运算.
6.（15年福建文科）若集合{}
22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1,2
D {}0,1 【答案】D
考点：集合的运算．
7.(15年新课标1文科)
8.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）
（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ 【答案】A
【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-，故选A
9.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 考点：集合运算.
10.(15年陕西理科) 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M
N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：{}
{}2
0,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M
N =，故选A ．
考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．
11.(15陕西文科) 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞ 【答案】A
考点：集合间的运算.
12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合
{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =e
（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】
试题分析：{2,5,8}U B =e,所以{2,5}U A B =e，故选A. 考点：集合运算.
13.(15年天津理科) 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合
A U
B =（）e（ ）
(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】
试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B =（）e,故选B. 考点：集合运算
14.(15年浙江理科)
15.(15年山东理科) 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =
(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
解析：2
{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A
B =-+<=<<=,答案选(C)
16.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】
试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，
，，，，，，，，个元素 考点：集合运算
专题二 函数
1.（15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}|12x x -<≤
【答案】C 【解析】
考点：1.函数图象；2.解不等式.
2.（15年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三
辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】
试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲
最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.
3.（15年北京理科）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?-
???≥
①若1a =，则()f x 的最小值为
；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
．
【答案】(1)1，(2)
1
12
a ≤<或2a ≥
. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.
4.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．2sin y x x =
B ．2cos y x x =
C ．ln y x =
D ．2x y -= 【答案】B
【解析】
试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.
5.(15年北京文科) 3
2-，12
3，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】
试题分析：3
1
218
-=<，1
231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.
考点：比较大小.
6.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A ．x
e x y += B ．x x y 1+
= C ．x x
y 2
12+= D ．21x y += 【答案】A ．
【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()1
11f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以
x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．
【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．
7.（15年广东理科）设1a >，函数a e x x f x
-+=)1()(2。
(1) 求)(x f 的单调区间 ；
(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点； (3) 若曲线
()
y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点
(,)
M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐
标原点）,证明：
123--
≤e a m ．
【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题()()()()()
2
22'1'1'10x x
x f x x e x e x e =+++=+≥，
∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；
【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题．
8.（15年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．1
22
x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】
试题分析：函数()2
sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，
()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2
cos f x x x =-的
定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数
()2cos f x x x =-是偶函数；函数()1
22x x
f x =+
的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()1
22
x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的
定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数
()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．
考点：函数的奇偶性．
4.9.（15年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
（A ）y=lnx （B ）2
1y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx
【答案】D
考点：1.函数的奇偶性；2.零点.
10.10.（15年安徽文科）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
（A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 【答案】A
考点：函数图象与性质.
11.（15年安徽文科）=
-+-1)2
1(2lg 225lg
。 【答案】-1
试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：1.指数幂运算；2.对数运算.
12．（15年安徽文科）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a
的值为 。
【答案】1
2-
【解析】
试题分析：在同一直角坐株系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知
考点：函数与方程.
13.（15年福建理科）下列函数为奇函数的是( ) A
．y =B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-
【答案】
D
考点：函数的奇偶性．
14.（15年福建理科）若函数()6,2,
3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?+>?
（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实
数a 的取值范围是 ． 【答案】(1,2]
考点：分段函数求值域．
15.（15年福建文科）下列函数为奇函数的是( ) A
．y = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-
【答案】D
试题分析：函数y =
x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x
y e e -=-是奇函数，故选D ．
考点：函数的奇偶性．
16.（15年福建文科）若函数()2()x a
f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，
则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】
试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1
()2x f x -=，由复合函数单
调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．
17.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln （a=
【答案】1
【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-+ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.
18.（15年新课标2理科）设函数211log (2),1,
()2,1,
x x x f x x -+-
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C
【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226
f -===，
故
2(2)(log 12)9f f -+=．
19.（15年新课标2理科）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 【答案】B
的运动过
程可以看出，轨迹关于直线
2x π
=
对称，且
()()42
f f π
π>，且轨迹非线型，故选B ．
20.（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 考点：函数图像
21.（15年新课标2文科）设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）
A ．1,13?? ???
B ．()1,1,3?
?-∞+∞ ?
?
? C ．11,33??-
??? D ．11,,33????
-∞-+∞ ? ?????
【答案】A 【解析】
试题分析：由2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-
+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()1
21212113
f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<< .故选A.
考点：函数性质
22.（15年新课标2文科）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2 【解析】
试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=?=- . 考点：函数解析式
23.（15年陕西文科）设10
()2,0
x x f x x ?≥?=?
A ．1-
B ．14
C ．12
D ．3
2
【答案】C
考点：1.分段函数；2.函数求值.
24.（15年陕西文科）设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】
试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-?-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；
()1cos 0()f x x f x '=-≥?是增函数.
故答案选B 考点：函数的性质.
25.（15年陕西文科）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(
)2
a b
q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q => 【答案】C 【解析】
试题分析：1ln 2p f ab ===；()ln 22
a b a b
q f ++==；
11
(()())ln 22r f a f b ab =+=
因为2a b +>，由()ln f x x =是个递增函数，()2a b
f f +> 所以q p r >=，故答案选C 考点：函数单调性的应用.
26.（15年天津理科）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记
()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x f x =-，所以 所以c a b <<，故选C.
考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
27.（15年天津理科）已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）7,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24??
???
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()2
2,2,
2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0(2),0x x f x x x --≥??-=?
()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?
， 即222,0()(2)2,
0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4
个公共点，由图象可知
7
24
b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.
28.（15年天津理科）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】16
【解析】
试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积
()1
1
223001
112
36S x x dx x x ??=-=-= ????.
考点：定积分几何意义.
29.（15年天津文科）已知定义在R 上的函数||
()2
1()x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】
试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.
30.（15年天津文科）已知函数2
2||,2
()(2),2
x x f x x x ì-??=í->??,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A
考点：函数与方程.
31.（15年湖南理科）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()
f x 是（ ）
A.奇函数，且在
(0,1)
上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数
D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】
试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-，
∴)(x f
32.（15年湖南理科）已知32,(),x x a
f x x x a ?≤=?>?，若存在实数b
，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围
是 .
【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于方程
)
(3
a x
b x ≤=与方程)(2
a x
b x >=的根的个数和为2，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组??
??
???≤->≤a
b a b a b 3
1
有解，从而
1
>a ；
若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2
a x
b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组?????>->a
b a b 31
有解，从
而