年高考数学试题分类大全

2008年高考数学试题分类汇编

数列

一.选择题:

1.(全国一5)已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( C )

A .138

B .135

C .95

D .23

2.(上海卷14) 若数列{a n }是首项为1,公比为a -3

2的无穷等比数列,且{a n }各项的和为a ,

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10

a 10S A .64 B .100

C .110

D .120

8.(福建卷3)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为C

A.63

B.64

C.127

D.128

9.(广东卷2)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11

2

a =,420S =,则6S =( D ) A .16

B .24

C .36

D .48

10.(浙江卷6)已知{}n a 是等比数列,4

1

252=

=a a ,,则13221++++n n a a a a a a Λ=C (A )16(n --41) (B )16(n --21) (C )

332(n --41) (D )3

32(n --21) 11.(海南卷4)设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则

4

2

S a =( C ) A. 2 B. 4 C.

15

D.

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17 ,b 若

4.(湖北卷15)观察下列等式: ……………………………………

可以推测,当x ≥2(*

k N ∈)时,1111,,12k k k a a a k +-=

==+ 12

k 2k a -= .,0

5.(重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72

三.解答题: 1.(全国一22).(本小题满分12分)

(注意:在试题卷上作答无效.........

) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=. (Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数; (Ⅱ)证明:11n n a a +<<;

(Ⅲ)设1(1)b a ∈,

,整数11ln a b

k a b

-≥.证明:1k a b +>.

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1, 若存在某≤满足i ,则由⑵知:1k i +

2, 若对任意i k ≤都有b a i >,则k

k k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(1

1b a b a --->0=,即1k a b +>成立. 2.(全国二20).(本小题满分12分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*

n ∈N . (Ⅰ)设3n

n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)若1n n a a +≥,*

n ∈N ,求a 的取值范围.

解:

(Ⅰ)依题意,113n n n n n S S a S ++-==+,即123n

n n S S +=+,

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-. ······················· 4分

因此,所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ···················· 6分

1n n -*

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2分 【解】:由题意知12a =,且

两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=-

即12n

n n a ba +=+ ①

(Ⅰ)当2b =时,由①知122n

n n a a +=+

于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+?=+-+?

又1

112

10n a --?=≠,所以{}

12n n a n --?是首项为1,公比为2的等比数列。

(Ⅱ)当2b =时,由(Ⅰ)知11

22n n n a n ---?=,即()112n n a n -=+

当2b ≠时,由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++??-

?==-? ?--??

得1

211n n n n a -=??=???? 6n +32 ……

21n n a a q --=,(2n ≥).

将以上各式相加,得2

11n n a a q q --+++=L (2n ≥).

所以当2n ≥时,1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=?-+

?=-???

上式对1n =显然成立.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当1q =时,显然3a 不是6a 与9a 的等差中项,故1q ≠. 由3693a a a a -=-可得5

2

2

8

q q q q -=-,由0q ≠得3

6

11q q -=-, ①

整理得323()20q q +-=,解得32q =-或3

1q =(舍去).于是q =

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另一方面,2113

3

(1)11n n n n n q q q a a q q q

+--+--==---,

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则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=,且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

,当1n =时,10a =,结论成立 当2n ≥ 时, 103

C <<

∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

(3) 设 103c <<

,当1n =时,2

120213a c

=>--,结论成立 当2n ≥时,由(2)知1

1(3)0n n a c -≥->

6.(山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

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则(12)1(1)12(1)

k k S q k k k k =

==--+-+g (k ≥3). 7.(江苏卷19).(Ⅰ)设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥),且公差0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当n =4时,求

1

a d

的数值;②求n 的所有可能值; (Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n ≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,,n b b b L L ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.

(Ⅰ)①当n =4 时,1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0.

若删去2a ,则有2

314,a a a =g 即()()2

11123a d a a d +=+g 化简得2

14a d d +=0,因为d ≠0,所以

1

a d

=4 ; 若删去3a ,则有2

14a a a =g ,即()()2

1113a d a a d +=+g ,故得

1

a d

=1.

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n a 数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且

113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.

(1)求,n n a b ; (2)求证

121113

4

n S S S +++

3(1)n a n d =+-,1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-?====?

??=+=?

由(6)64d q +=知q 为正有理数,故d 为6的因子1,2,3,6之一, 解①得2,8d q ==

1

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n -λ(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 2

2=a 1a 3,即

,0949

4

9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{a n }不是等比数列.

(Ⅱ)解:因为b n +1=(-1)n +1

[a n +1-3(n -1)+21]=(-1)n +1

(

3

2

a n -2n +14) =

32(-1)n

·(a n -3n +21)=-3

2b n 又b 1x -(λ+18),所以

当λ=-18,b n =0(n ∈N +

),此时{b n }不是等比数列: 当λ≠-18时,b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0,∴

3

2

1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知b n = -(λ+18)·(-

3

2)n -1

,于是可得

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). (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设21122,.n n n n n a b S b b b a -=

=+++L 证明:当1

62.n n S n

≥-<时, 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2

2

311(1cos

)sin 12,2

2

a a a π

π

=++=+=

一般地,当*

21(N )n k k =-∈时,2

22121(21)21

[1cos

sin 22

k k k k a a ππ+---=++

=211k a -+,即2121 1.k k a a +--=

所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列,因此21.k a k -=

当*

2(N )n k k =∈时,2

2222222(1cos

)sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列,因此22.k

k a =

故数列{}n a 的通项公式为*

21,21(N ),2

2n n n n k k a +?=-∈?=?

令2

(2)

(6)2n n n c n +=

≥,则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时,1n n c c +<.因此当6n ≥时,6683

1.644

n c c ?≤==< 于是当6n ≥时,

2

(2)

1.2n n +< 综上所述,当6n ≥时,1

2.n S n

-<

11.(陕西卷22).(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的首项13

5a =

,1321n n n

a a a +=+,12n =L ,,.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

,12n =L ,,; (Ⅲ)证明:2

121

n n a a a n +++>+L .

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则22

121111

11133n n

n n n n a a a n n n +++=>

+??+-+- ???

L ≥. ∴原不等式成立.

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设2112()1(1)3n

f x x x x ??

=

-- ?++??

则2222

22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????

-+--+- ? ?????'=-

-=+++g

0x >Q , ∴当23n x <时,()0f x '>;当2

3

n x >时,()0f x '<,

∴当2

3n

x =

时,()f x 取得最大值212313n n n

f a ??

== ???+.

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}的 21

.2x ≥ ③

下用反证法证明:2211

..22

x x ≤>假设

由①得2121131

2()(2).22

n n n n n n x x x x x x ++++++=+++

因此数列12n n x x ++是首项为22x +,公比为1

2

的等比数列.故

*

121111((N ).222

n n n x x x n +--=-∈ ④

又由①知 211111311

()2(),2222

n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-

是首项为21

2

x -,公比为-2的等比数列,所以 1*1211

()(2)(N ).22

n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得

1*221511

(2)()(2)(N ).222

n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得

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数列{}n x 的通项公式; (3)若1p =,1

4

q =

,求{}n x 的前n 项和n S . 【解析】(1)由求根公式,不妨设<αβ,得==

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αβ ∴+=+=p

αβ,

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==q αβ

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(2)设112()----=-n n n n x sx t x sx ,则12()--=+-n n n x s t x stx ,由12n n n x px qx --=-得

+=??=?

s t p st q , 消去t ,得2

0-+=s ps q ,∴s 是方程2

0x px q -+=的根,由题意可知,

12,==s s αβ

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数列

{

}

n

n

x α是以1为公差的

1

2(1)111∴

=

+-?=

+-=+n

n

x x n n n α

αα

α

,∴=+n n n x n αα

综上所述,11

,(),()++?-≠?

=-??+=?

n n n n n x n βααββααααβ

(3)把1p =,14q =

代入20x px q -+=,得2

104-+=x x ,解得12

==αβ

14.(浙江卷22)(本题14分) 已知数列

{}

n a ,0≥n a ,01=a ,)(12

121?++∈=-+N n a a a n n n .记

n

n a a a S +++=Λ21.

)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

ΛΛ. 求证:当?

∈N n 时,

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11k k k ++得22

231()(1)n n a a a a n a ++++--=L . 因为10a =,所以2

1n n S n a =--.

由1n n a a +<及22

11121n n n a a a ++=+-<得1n a <, 所以2n S n >-. (Ⅲ)证明:由22

1112k k k k a a a a +++=+≥,得

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++L ≤≥,

于是

2222

232211

(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++L ≤≥,

故当3n ≥时,211

11322

n n T -<++

++

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那么当n =k +1时,

22

221122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,.

所以当n =k +1时,结论也成立.

由①②,可知2

(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立. ·········· 7分

(Ⅱ)

11115

612

a b =<+.

n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. ··········· 9分

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??

…… 综上,原不等式成立. ··························· 12分

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