分式方程的几种特殊解法
分式方程的解法总结
分式方程的解法总结分式方程是数学中常见的一类方程，其基本形式为分子为一个多项式，分母为一个多项式的等式。
解决分式方程的过程可以通过多种方法来进行，本文将总结几种常见的解法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
当分式方程中存在多个分母时，我们需要找到一个公共分母，将分数转化为分子为多项式的等式。
例如，对于分式方程1/(x+3) + 3/(x-2) = 2/(x+1)，我们可以通过找到(x+3)(x-2)(x+1)作为公共分母，将分母展开，得到方程：(x-2)(x+1) + 3(x+3) = 2(x+3)(x-2)然后，我们可以进一步展开方程，化简后解得x的值。
二、消元法消元法也是解决分式方程的一种常见方法。
当分式方程中存在多个分子或分母含有相同变量的项时，我们可以通过消元的方式简化方程。
举个例子，对于分式方程(x-1)/(x+3) + (2x+3)/(x+1) = 3/(x-1)，我们可以通过乘以(x+1)(x-1)来消除分母：(x-1)(x+1)(x+3) + (2x+3)(x+1)(x-1) = 3(x+1)(x-1)然后，我们展开方程，化简后解得x的值。
三、代换法代换法是解决分式方程的另一种常见方法。
当方程中存在复杂的分式表达式时，我们可以通过代换的方式将方程转化为更简单的形式。
例如，对于分式方程1/(x-1) + 2/(x^2-1) = 3/(x+1)，我们可以令y = x^2-1，将x的平方项替换为y，得到：1/(y+2) + 2/y = 3/(y+2)然后，我们将方程中的分子通分，消去分母，并整理方程，解得y 的值，再代回x，得到x的解。
四、贝尔努利变量替换法贝尔努利变量替换法是解决一类特殊的分式方程的方法。
当方程中出现形如y'/y的分式时，我们可以通过引入一个新的变量来替换原方程，使得方程变得更简单。
举个例子，对于分式方程y'/(y^2+y) = x，我们可以令z = y^2+y来代替分母，得到：y'/z = x然后，我们将y'转化为dz/dx，并将方程转化为dz/dx = xz的形式。
突破04 分式不等式与绝对值不等式的解法(重难点突破)(解析版)
突破04 分式不等式与绝对值不等式一、考情分析二、经验分享【重难点01 分式方程与分式不等式】1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法【重难点02 绝对值不等式】 1、实数绝对值的意义 ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a2、a>0：①a x a a x a x <<-⇔<⇔<22||②a x a x a x -<⇔>⇔>22||或x>a3、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得|()|()f x g x ≥⇔()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤⇔()()()g x f x g x -≤≤．三、题型分析(一) 分式方程与分式不等式的解法 例1、解方程21421224x x x x +-=+--． 【分析】：去分母，转化为整式方程． 【解析】：原方程可化为：14212(2)(2)2x x x x x +-=++--，方程两边各项都乘以24x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=-即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+=解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．所以，原方程的解是1x =． 【点睛】：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．【变式训练1】解方程 2223()4011x x x x --=--【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-． 【解析】：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．(1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=； (2)当1y =-时，22215111012x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，2x =，152x -±=都是原方程的解． 例2．不等式302x x -<-的解是__________． 【答案】23x << 【解析】不等式302x x -<-等价于30{20x x ->-<或30{ 20x x -<->解得23x << 【变式训练2】不等式的解为____________．【答案】【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可．不等式化为，解得，∴不等式的解集为，故答案为．【变式训练3】不等式的解为______．【解析】．点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．【变式训练4】不等式 501xx -≥-的解是__________． 【答案】15x <≤ 【解析】原不等式化为550,011x x x x -+-≥≤--，解得15x <≤． (二) 绝对值不等式的解法例3．（1）、不等式15x -≤的解集为__________． 【答案】[]4,6- 【解析】15,515x x -≤∴-≤-≤，解得46,x -≤≤∴原不等式的解集为[]4,6-，故答案为[]4,6-．（2）、已知的解集是，则实数，的值是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】D【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a ，b 的值．由题得-b ＜x-a ＜b ，所以a-b ＜x ＜a+b ， 因为的解集是，所以a-b=-3且a+b=9，所以a=3，b=6．故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力． (2)绝对值不等式|ax+b|<c 等价于-c ＜ax+b ＜c ． |ax+b|＞c 等价于ax+b>c 或ax+b ＜-c ． 【变式训练1】关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合自变量的范围，若，可得：，不等式明显成立；若，由不等式可得，解得：，综上可得的取值范围是．例4．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ）A ． 32,53⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 32,53⎛⎤⎥⎝⎦ C ． 3,15⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【 方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题． 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法． 若结果为定值，则可采用此法． 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n项和公式问题等等．【变式训练1】．的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】：很明显，则不等式等价于：，解不等式组可得实数x的取值范围是：．本题选择A选项．四、迁移应用1．分式方程23122xx x+=--的解为：（ ） A 、1 B 、2 C 、13D 、0【答案】A【解析】根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根． 答案为A2． 用换元法解方程22124312x x x x --=-时，设212x y x-=，则原方程可化为（ ） A ．130y y --= B ．430y y --= C ．130y y -+= D ．430y y-+= 【答案】B ．【分析】直接利用已知将原式用y 替换得出答案．【解析】∵设212x y x -=，∴22124312x x x x --=-，可转化为：43y y -=，即430y y--=．故选B ． 3．不等式32x x->的解集是（ ） A ． {}|1 3 x x x -或 B ． {}|10 3 x x x -<或C ． {}|10 3 x x x <-<<或D ． {}|100 3 x x x -<<<<或 【答案】B【解析】1x =时， 22->不成立，可排除,C D ，2x =-时，122->不成立，可排除A ，故选B ． 4．不等式3112x x -≥-的解集是（ ） A ． 3{|2}4x x ≤≤ B ． 3{|2}4x x ≤< C ． {2x x 或3}4x ≤ D ． {}2x x【答案】B 【解析】31102x x --≥-， 31202x x x --+≥-， 4302x x -≥-， ()()4320{2x x x --≤≠ ， 324x ≤<，选B ．5.解下列不等式：(1)2301x x -<+ (2)2301x x x +≥-+ 【分析】：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 【解析】：(1) 解法(一)原不等式可化为：3323023031221010211x x x x x x x x x ⎧⎧-<-><>⎧⎧⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨⎨⎨+>+<⎩⎩⎪⎪>-<-⎩⎩或或解法(二)原不等式可化为：3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<． (2) ∵ 22131()024x x x -+=-+>，原不等式可化为：303x x +≥⇒≥- 6．方已知关于x 的分式方程111k x kx x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ．【答案】k ＞12-且k≠0．7．关于x 的两个方程260x x --=与213x m x =+-有一个解相同，则m= ． 【答案】﹣8．【解析】解方程260x x --=得：x=﹣2或3； 把x=﹣2或3分别代入方程213x m x =+-，当x=﹣2时，得到21223m =-+--，解得m=﹣8． 故答案为：﹣8． 8．解方程：2717=---xx x ． 【答案】x=15．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：x+1=2x ﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解． 9．若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为 ． 【答案】k ＜3且k ≠1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k 的范围即可． 【解析】去分母得：k ﹣1=2x +2，解得：x =32k -，由分式方程的解为负数，得到32k -＜0，且x +1≠0，即32k -≠﹣1，解得：k ＜3且k ≠1，故答案为：k ＜3且k ≠1．10．分式方程2110051025x xx的解是 ．【答案】15x =．【解析】去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =．。
分式方程解法
分式方程解法分式方程是一种特殊的方程形式，其中包含未知数的分式表达式。
解决分式方程的关键是寻找未知数的值，使得该方程成立。
本文将介绍几种常见的分式方程解法。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
对于一个分式方程，我们可以找到方程两边的最小公倍数，然后将方程两边都乘以最小公倍数的逆元，以消去分母，从而得到一个简化的方程。
下面以一个例子来说明通分法的解题过程。
例子：解方程 (3/x) + (2/(x + 1)) = 5首先，我们找到分式方程两边的最小公倍数为 x(x + 1)，然后将方程两边都乘以 x(x + 1)，得到：3(x + 1) + 2x = 5x(x + 1)化简得：3x + 3 + 2x = 5x^2 + 5x合并同类项：5x + 3 = 5x^2 + 5x移项得：5x^2 + 5x - 5x - 3 = 05x^2 - 3 = 0因此，解方程的根为x = ±√(3/5)二、代换法代换法是解决一些复杂分式方程的有效方法。
在使用代换法时，我们可以将分式方程化简为一个含有一个未知数的简单方程，然后通过求解这个简单方程来得到分式方程的解。
下面以一个例子来说明代换法的解题过程。
例子：解方程 1/(x + 1) + 1/(2x + 3) = 1/2首先，我们令 y = x + 1，得到新的方程：1/y + 1/(2y + 1) = 1/2化简得：(2y + 1 + y)/(y(2y + 1)) = 1/2合并同类项：(3y + 1)/(y(2y + 1)) = 1/2交叉乘法得：2(3y + 1) = y(2y + 1)化简得：6y + 2 = 2y^2 + y2y^2 - 5y - 2 = 0因此，解方程的根为 y = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) = (5 ±√57) / 4将 y 的解代回原方程，得到x = (5 ± √57 - 3) / 4 = (2 ± √57) / 4三、提取公因式法提取公因式法是解决包含多个分式的方程的有效方法。
分式方程知识点归纳总结
分式方程知识点归纳总结分式方程（也称有理方程）是含有分式的等式，其中分子和（或）分母中至少有一个包含一个或多个未知量。
解分式方程的过程是确定使得等式成立的未知量的值。
下面是分式方程的一些常见知识点的总结：1.分式的定义域：对于一个分式，需要注意其定义域，即分母不能为零。
当分母为零时，分式没有意义。
因此，在解分式方程时，需要排除使分母为零的解。
2.分式方程的简化：可以通过约分的方法，将分式方程进行简化。
约分是将分子和分母同时除以他们的最大公约数。
这样可以简化方程，使求解更易于处理。
3.分式方程的通分：当分式方程中出现了不同的分母时，可以通过通分的方式将分式方程转换为求解多项式方程。
通分是将所有分母进行相同因式的乘法，使所有分母都相同。
然后分别将分子相加或相减，并保持分母不变。
这样，就可以将分式方程转化为多项式方程。
4.分式方程的解的确定性：一般而言，分式方程的解并不唯一、因此，在解分式方程时，需要注意是否有解，以及解的个数。
当方程的分子和分母为多项式时，可以通过将方程转化为多项式方程的方式来求解。
而对于含有绝对值、根号等特殊函数的分式方程，可能存在特殊解或无解的情况。
5.分式方程的解法：求解分式方程的常用方法有以下几种：a.通过消去分母的方式来求解。
首先将方程中的每一个分式都通分，这样可以得到一个多项式方程。
然后通过求解得到的多项式方程，找到使方程成立的未知量的值。
b.通过移项和合并同类项的方式转化为多项式方程。
首先将方程中的每一个分式都移动到一个方程的一边，将所有未知量合并，并将同类项相加。
最终得到一个多项式方程，通过求解多项式方程来求解分式方程。
c.通过换元的方式转化为多项式方程。
首先令一个新的未知量等于原方程中的一个分式，将分式方程转化为一个多项式方程。
然后通过求解新的多项式方程，找到使方程成立的未知量的值。
最后，将得到的解代入原方程中，验证是否是原方程的解。
以上是分式方程的一些常见知识点的总结。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。
解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。
本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。
一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。
通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。
2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。
然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。
3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。
将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。
在计算比例时，常常需要解决分式方程。
例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。
2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。
例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。
3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。
例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。
总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。
掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。
通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。
初中数学专题： 分式方程的解法
范围是(D )
A．a＞1
B．a＜1
C．a＜1 且 a≠－2
D．a＞1 且 a≠2
4．(黑龙江中考)已知关于 x 的分式方程3xx－－3a＝13的解是非负数，那
么 a 的取值范围是(C)
A．a＞1
B．a≥1
C．a≥1 且 a≠9
D．a≤1
5．已知关于 x 的分式方程ax＋＋21＝1 的解是非正数，则 a 的取值范围
(3)x－1 2＝12－ －xx－3. 解：方程两边同乘(x－2)，得 1＝x－1－3x＋6.解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0. 因此 x＝2 不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解．
2．解分式方程： (1)x－x 1＋x2－1 1＝1； 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)＋1＝(x＋1)(x－1)．解得 x＝－2. 检验：当 x＝－2 时，得(x＋1)(x－1)≠0， 所以原分式方程的解为 x＝－2.
是(B)
A．a≤－1
B．a≤－1 且 a≠－2
C．a≤1 且 a≠－2D来自a≤16．(眉山中考)已知关于 x 的分式方程x－x 3－2＝x－k 3有一个正数解，
则 k 的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【易错提示】 求得的未知数不仅要满足所给出的范围，还要使分
式的分母不为零，两个条件必须同时具备，缺一不可．
类型 2 由分式方程无解确定字母的取值
7．若关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为(A)
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
8．【分类讨论思想】若关于 x 的方程xa－x2＝x－4 2＋1 无解，则 a 的
值是 1或2 ．
9．【分类讨论思想】若关于 x 的方程3x－－23x－m3x－－x2＝－1 无解，则 m 的值是1 或53 ． 【易错提示】 分式方程无解可能有两种情况：(1)由分式方程去分 母后化成的整式方程有解，但这个解使最简公分母为零；(2)由分式 方程去分母后化成的整式方程无解．
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
分式方程的特殊解法举例
分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。
其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。
但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。
因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。
1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。
解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。
2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。
解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。
3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。
因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。
解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是一种涉及分数的方程，通常形式为一个分数等于另一个分数。
对于这类方程，需要一些特殊的解法方法。
一般来说，解分式方程需要以下几个步骤：1. 检查分母是否为0如果分式方程中的分母中有变量，那么需要检查这些变量是否能使分母为0。
如果存在这种情况，那么应该把这个值从解集中除去。
2. 通分将分数的分母通分。
这一步通常需要求出分母的最小公倍数，并将整个方程的左右两边同时乘上这个最小公倍数。
这样可以消除分数，使得方程变成一个普通的代数方程。
3. 化简将方程两边的短除，最终得到一个等式。
4. 解方程移项将未知数移到左侧或右侧，然后进行展开和化简，最后得到未知数的解。
如果方程中有多个未知数，可以采用代入法来求解。
下面我们来看几个具体例子。
例1：$\\frac{x}{x+1}-\\frac{1}{x-1}=\\frac{2}{2x-2}$首先检查分母中是否有变量，我们发现$x+1$和$x-1$都不能为0，因此这一步可以省略。
接着，我们通分，求出$x+1$、$x-1$和$2x-2$的最小公倍数为$2(x+1)(x-1)$，因此方程变成：$$\\frac{x(2x-2)-2(x+1)}{2(x+1)(x-1)}=0$$移项得到：$$2x^2-6x-2=0$$将此方程整理得：$$x^2-3x-1=0$$使用求根公式解得：$$x=\\frac{3\\pm\\sqrt{13}}{2}$$因此，方程的解集为：$$\\left\\{\\frac{3+\\sqrt{13}}{2},\\frac{3-\\sqrt{13}}{2}\\right\\}$$ 例2：$\\frac{2}{x-1}-\\frac{5}{4-x}=\\frac{1}{x^2-5x+4}$检查分母，发现$x=1$或$x=4$时分母为0，因此这两个值需要从解集中除去。
通分，得到：$$\\frac{8-10(x-1)}{(x-1)(4-x)}=\\frac{1}{x(x-4)}$$将左侧短除，得到：$$0=11x^2-59x+70$$将右侧转化为分数形式，得到：$$\\frac{1}{x(x-4)}=\\frac{A}{x}+\\frac{B}{x-4}$$化简得到：$$1=Ax-4A+Bx+Bx-4B$$将x和常数项分别对应，得到：$$\\begin{cases} A+B=0 \\\\ -4A+B=1 \\end{cases}$$解得$A=-\\frac{1}{4}$，$B=\\frac{1}{4}$。
中考复习分式方程组的解法总结与应用
中考复习分式方程组的解法总结与应用随着中考的临近，学生们开始积极备考各科目。
其中，数学作为一门重要科目，其中的分式方程组也是考试重点之一。
本文将总结分式方程组的解法，并分析其应用场景。
一、分式方程组的解法1. 消元法：在解分式方程组时，常使用消元法，即通过消除一个或多个变量，将方程组转化为只有一个变量的方程。
消元法有以下几种常见的技巧：（1）交叉相乘消元法：对方程组中的每一对等式，将其相应的分数去分母，并使两个等式相等。
然后将等式两边的分子项交叉相乘，得到新的等式，通过对新等式进行整理，可以解得变量的值。
（2）代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，去除一个变量，进而解方程组。
代入法需要观察方程组中的特殊关系，选择合适的方程进行代入。
2. 定理法：分式方程组的解法还可以借助一些定理来简化计算。
常用的定理有：（1）分式方程可统一分母：当分式方程组的分母都相同时，可以通过将等式两边的分子相等来解方程。
（2）等式加减消分式：如果分式一边的加减运算得到一个整数或一个等式，可以通过加减消分式来解方程。
二、分式方程组的应用1. 实际问题求解：分式方程组在实际问题中的应用十分广泛。
比如，某学校的三个班级参加一次足球比赛，每个班级的男生人数和女生人数之比分别为2:3、5:4、7:6。
如果三个班级一共有60名男生，求出每个班级的男生和女生人数。
2. 几何问题求解：分式方程组的应用还可以涉及几何问题。
比如，已知一个矩形的长是宽的三倍，且长和宽之和为20，求出这个矩形的长和宽。
结语：通过对分式方程组的解法进行总结与应用分析，相信同学们可以更好地复习和掌握这一知识点，为中考取得好成绩奠定基础。
希望本文能对同学们的学习有所帮助。
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分式方程的几种特殊解法
白云中学：孙权兵
解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：2017
2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式
2017
201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11
2=+x 去分母，得：12+=x
解得：1=x
经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：7
81222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：7
7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7
1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （
解得：23-==x x 或
经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：1
3242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：
1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=
x x 化简得： 02=x
∴ 0=x
经检验，0=x 是原分式方程的解。
四、分组化简法。
例4、解方程：4
1315121+++=+++x x x x 。
分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。
此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。
解：原方程可化为：5
1413121+-+=+-+x x x x 分别通分并化简，得：)3)(2()5)(4++=++x x x x （
解得：5.3=x
经检验，5.3=x 是原分式方程的解。
五、倒数法。
例5、解方程：2
111201711
+-=-++x x x x 。
分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。
但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。
解：原方程两边取倒数，得：
121-120171-+=++x x x x 移项化简，得：1
120171-=x 方程两边取倒数，得：12017-=x
解得：2018=x
经检验，2018=x 是原分式方程的解。
六、列项变形法。
例6、解方程：24
1)100)(99(1)2)(1(1)1(1=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++x x x x x x 。
分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。
若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。
凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。
解：原方程可化为：24
110019912111111=+-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+++-
x x x x x x ∴ 24110011
=+-x x 去分母化简得：020120024001002=-+=-+）
）（，即（x x x x 解得：20120=-=x x 或
经检验，20120=-=x x 或是原分式方程的解。
七、换元法。
例7、解方程：2699622=+++x
x x x 。
分析：注意到9
62+x x 与x x 692+互为倒数，因此可考虑换元法，化繁为简，化难为易。
解：令9
62+=x x y ，则y x x 1692=+，故原方程可化为：
21
=+y
y 去分母化简得：0101222=-=+-）
，即（y y y 解得： 1=y
∴ 19
62=+x x 所以化简得：0)3,09622=-=+-x x x 即（
解得：3=x
经检验，3=x 是原分式方程的解。
八、化为整式部分和分式部分之和的变形法。
例8、解方程：12
6412222-+++=+++x x x x x x 。
分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。
解：原方程可化为：12
12111-+++=++
+x x x x ∴ 2211+=+x x 去分母得：222+=+x x
解得：0=x
经检验，0=x 是原分式方程的解。
九、巧用特殊方程法。
例9、解方程：2
53113=-+-x x x x 。
分析：对于方程a a x x 11
+=+，我们易知它的根为a x a x 1,21==。
而本题可化为a a x x 11+=+的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解出。
解：原方程可化为：
2123113+=-+-x x x x ∴ 213=-x x 或2
113=-x x 解得：51
2-=-=x x 或 经检验，5
12-=-=x x 或是原分式方程的解。
十、设辅助元法。
例10、解方程：42)113(1132=+-++-x x x x x x 。
分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分繁杂。
如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令1
13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ，而原方程则可化为42)(=+•y x xy ，进一步可构造xy 和y x +为根的一元二次方程，然后在求出xy 和y x +的基础上获得原方程的解。
解：设1
13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ① 又原方程则可化为42)(=+•y x xy ②
所以由①、②可知：
xy 和y x +可以看作一元二次方程042132=+-z z 的两个实数根。
解之得：6,721==z z
所以有：⎩⎨⎧==+67xy y x 或⎩
⎨⎧==+76xy y x 进一步解得：23,23,6,14321-=+===x x x x 。
经检验，23,23,6,14321-=+===x x x x 是原分式方程的解。
十一、函数图象法。
例11、解方程：0322=-+x x x 。
分析：原方程可化为x x x 322=+，我们可以将此方程的两边分别看作二次函数x x y 22+=和反比例函数x y 3=。
然后在同一直角坐标系分别作出它们的图象，两个函数交点的横坐标即是原方程的解。
解：原方程可化为：x x x 322=+。
将此方程的两边分别看作二次函数x x y 22+=和反比例函数x
y 3=。
在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图）：
观察图象，可以发现两个函数的图象只有一个交点，且交点坐标为（1,3）
故原方程的解为1
x。
=
经检验，1
x是原分式方程的解。
=
以上介绍了分式方程的十一种解题技巧，解题关键在于把握分式方程整体的结构特点，选择恰当的技巧和方法，这样才能化繁为简，化难为易，轻松获得原方程的解。
有时候还需几种技巧和方法融为一体，共同发挥作用。