常微分方程 第三讲：齐次方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
微分方程的通解包含方程的全部解
微分方程的通解包含方程的全部解微分方程的通解是指包含方程的全部解的解集。
求微分方程的通解通常可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性微分方程、常系数线性齐次微分方程等方法来求解。
下面将逐个介绍这几种方法。
1. 分离变量法：对于形如dy/dx = g(x)f(y)的一阶微分方程，我们可以将dy/dx的dx移到等式的一边，将g(y)的dy移到等式的另一边，然后两边同时积分，最后得到方程的解。
这种方法适用于方程可以分离出独立变量的情况，并且可以得到隐含的通解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以令y = ux，然后将dy/dx用u和x的导数表示，代入原方程进行简化，并分离变量。
然后再对得到的方程进行分离变量法的求解步骤，最后得到方程的解。
这种方法适用于方程可以转化为齐次形式的情况，并且可以得到隐含的通解。
3. 一阶线性微分方程法：对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性微分方程，我们可以利用积分因子，将方程变为d(yu)/dx = qu，然后再两边同时积分，最后得到方程的解。
这种方法适用于方程可以转化为一阶线性形式的情况，并且可以得到隐含的通解。
4. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如d^n(y)/dx^n + a_(n-1)d^(n-1)(y)/dx^(n-1) + ... + a_1(dy/dx) + a_0y = 0的常系数线性齐次微分方程，我们可以猜测一个解为指数函数类型的y =e^(rx)，然后将其代入原方程，得到一个关于r的特征方程。
解特征方程后可以得到r的值，从而得到通解。
这种方法适用于方程具有常系数、齐次且线性的情况，并且可以得到显式的通解。
以上是常见的几种求微分方程通解的方法，当然还有其他的方法，如变量分离的向量形式、变换变量法、特殊的微分方程类型等。
在具体的求解过程中，还需要注意边界条件的使用和特殊情况的处理等问题。
因此，求解微分方程通解的过程需要结合具体的问题和方程类型进行分析和求解。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
同济版大一高数下第七章第八节常系数齐次线性微分方程
r3 −r 2 = 0
则三阶的齐次方程为 y′′′ − y′′ = 0
13
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为常数) 特征根: r1 , r2
r1 ≠ r2 时, 通解为 Y = C1 er1 x + C2 er2 x (1) 当
(2) 当 r = r1 = r2 时, 通解为 Y = (C1 + C2 x ) e
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
1
二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y = er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r 2 + pr + q ) er x = 0 r 2 + pr + q = 0
特征方程:
r n + a1 r n−1 +L+ an−1r + an = 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项
则其通解中必含
6
例1.
求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
解: 特征方程 r 2 − 2 r − 3= 0, 特征根: r = −1, r2 = 3 , 1 因此原方程的通解为
7
于是所求初值问题的解为
例3： 求 ：
y′′ + 2y′ + 5y = 0 的通解
解; 特征方程为
r2 + 2r + 5 = 0 2 r1,2 = −1± 2i （共轭复根） (r +1) + 4 = 0
第十章常微分方程
C3x
1 3
x3 x
1 2
(C
1 3
x)3 x
1． 2
例 8 设函数 y( x) 在 ( , ) 内有二阶导数， 且 y( x) 0 ．
（1）试将 x x( y) 所满足的微分方程 变换为 y y( x) 满足的微分方程；
d2 dy
x
2
(y
s
in
x
)
dx dy
二 、差分方程
1．基本概念
2．线性差分方程解的代数结构
3．一阶常系数线性差分方程的解法
（1）齐次线性方程
yx1 ayx 0 （ a 0）的通解公式 yx Ca x ， x 0, 1, 2, 3 , ．
（2）非齐次线性方程一个特解的解法
对 yx1 ayx Pn ( x) c x ， Pn ( x) 为 n 阶多项式，可用“待定
例 4 求函数 y y( x) ，使之满足
y y x （当 x 时）， y 4 y 0 （当 x 时）
及
y(0)
y(0)
0 ，且
2 y( x) 在
x
处连续可导．
2
2
解：
首先，解y初( x值)问 题 sinyx(0)yx（0,当yyx(0x)
1 x 0
（1）
解法1： 从方程（1）可知， f ( x) 存在． 又从
f ( x) f ( x)
1
x
f ( x)dx
1 x 0
可知， f ( x) 也存在．将方程（1）两边同乘1 x ，然后对 x 求导，
得