专题02 整式的加减(专题详解)(解析版)
整式的加减题目及解析答案
整式的加减题目及解析答案1. 2x + 3 = 7解：先将3移项到等号右边，再将x的系数化为1，得到2x = 4，最后除以2得到x = 2。
答案：x = 22. 5y - 8 = 12解：先将-8移项到等号右边，再将y的系数化为1，得到5y = 20，最后除以5得到y = 4。
答案：y = 43. 3x + 4y = 12解：这是一个二元一次方程组，可以用代入法或消元法求解。
这里用代入法，先用其中一个变量表示另一个变量，例如用y表示x，则有4y = 12 - 3x，然后将y代入原式中，得到3x + (12 - 3x) = 6。
答案：x = 2，y = 24. 7a - 5b = 19解：同样是一个二元一次方程组，可以用代入法或消元法求解。
这里用消元法，将两个方程相减，消去一个变量，例如将第一个方程减去第二个方程，得到7a - 5b - (-5a + 7b) = 19 - (-19)，化简得到12a - 12b = 38，最后将a和b分别求出来即可。
答案：a = 2，b = -15. x + y = 7解：同样是一个二元一次方程组，可以用代入法或消元法求解。
这里用代入法，先用其中一个变量表示另一个变量，例如用x表示y，则有y = 7 - x，然后将y代入原式中，得到x + (7 - x) = 7。
答案：x和y可以分别为任意实数，只要满足x + y = 7即可。
6. 2x - y = 4解：同样是一个二元一次方程组，可以用代入法或消元法求解。
这里用代入法，先用其中一个变量表示另一个变量，例如用x表示y，则有y = -(2x - 4)，然后将y代入原式中，得到2x - (-(2x - 4)) = 6。
答案：x和y可以分别为任意实数，只要满足2x - y = 4即可。
7. x + 2y = 8解：同样是一个二元一次方程组，可以用代入法或消元法求解。
这里用消元法，将两个方程相加，消去一个变量，例如将第一个方程加上第二个方程，得到x + 2y + x + y = 8 + y，化简得到2x + 3y = 8，最后将x和y分别求出来即可。
初中数学疑难知识点解析整式的加减乘除法
初中数学疑难知识点解析整式的加减乘除法整式是代数式的一种形式，由字母和常数通过加、减、乘运算组成。
在初中数学中，掌握整式的加减乘除法是非常重要的，本文将对整式的加减乘除法进行详细解析。
一、整式的加法整式的加法是最基础的运算，通过将相同项合并，即将相同字母的幂相加，常数项相加得到结果。
下面以一个例子来说明整式的加法。
例题：将3x² - 5x +7与-4x² + 2x - 3相加。
解析：首先，我们将相同字母的幂相加。
3x² - 4x² = -x²，-5x + 2x =-3x，7 + (-3) = 4。
所以，将3x² - 5x +7与-4x² + 2x - 3相加的结果为：-x² - 3x + 4。
二、整式的减法整式的减法是整式加法的逆运算，通过将减数取其相反数，即将减数中的各项均取反，然后再按整式的加法规则进行运算，得到结果。
下面以一个例子来说明整式的减法。
例题：计算5x² - 3x +2 与2x² + x - 4的差。
解析：将减数2x² + x - 4中的各项均取反，得到-2x² - x + 4。
然后按整式的加法规则进行运算，即：5x² - 3x +2 + (-2x² - x + 4) = 3x² - 4x + 6。
三、整式的乘法整式的乘法是将两个整式相乘，需要运用分配律和合并同类项的规则。
下面以一个例子来说明整式的乘法。
例题：计算(3x - 2)(x + 4)。
解析：根据分配律，将每一项分别与另一个整式中的各项相乘，然后再合并同类项。
计算过程如下：(3x - 2)(x + 4) = 3x(x + 4) - 2(x + 4) = 3x² + 12x - 2x - 8 = 3x² + 10x - 8。
四、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
专题02 数与式和方程的压轴真题训练(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题02数与式和方程的压轴真题训练一．整式的加减（共2小题）1．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y ﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n ＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；正确的个数为3，故选：D．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．二．多项式乘多项式（共1小题）3．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣4【答案】B【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，故选：B．方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，∴mn+2+2mn＝k2，∴mn＝k2﹣，∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，故选：B．三．零指数幂（共1小题）4．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【答案】C【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．四．有理数的乘方（共1小题）5．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘，∴YYDS（永远的神）的说法正确；∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾数2，4，8，6循环，∵200÷4＝50，∴2200的个位数字是6，∴JXND（觉醒年代）说法正确；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（强国有我）说法正确；故答案为：DDDD．五．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，∴，解得：，∴x+y＝12，故选：D．六．高次方程（共1小题）7．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为．【答案】4：3【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y 元，由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），15a＝20y，∴＝，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．故答案为：4：3．七．分式方程的解（共2小题）8．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20【答案】A【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，故选：A．9．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：两边同时乘（x﹣1）得，2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣1﹣m，又∵方程的解是正数，且x≠1，∴，即，解得：，∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．故答案为：D．10．（2021•达州）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝．【答案】±1【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），整理得﹣2ax＝﹣4，整理得ax＝2，∵x，a为整数，∴a＝±1或a＝±2，∵x＝±1为增根，∴a≠±2，∴a＝±1．故答案为：±1．11．（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．【答案】3【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴Δ＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故答案为3．12．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x ﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．。
专题02整式(共37题)(第01期)【解析版】
专题02整式（共37题）一、单选题1．（2022·云南·中考真题）下列运算正确的是（）A．2+3=5B．30=0C．(―2a)3=―8a3D．a6÷a3=a2【答案】C【解析】【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D．【详解】解：A.2,3不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；B.30=1，此选项运算错误，不符合题意；C.(―2a)3=―8a3，此选项运算正确，符合题意；D.a6÷a3=a3，此选项运算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2022·浙江金华·中考真题）计算a3⋅a2的结果是（）A．a B．a6C．6a D．a5【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．【详解】∵a3⋅a2=a5，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（）A．a3+a6B．a3⋅a6C．a10―a D．a18÷a2【答案】B【解析】【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A．a3+a6，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．a3⋅a6=a3+6=a9，符合题意；C．a10―a，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；D．a18÷a2=a18―2=a16，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．4．（2022·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（）A．m+m=m2B．2(m―n)=2m―nC．(m+2n)2=m2+4n2D．(m+3)(m―3)=m2―9【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.m+m=2m，故该选项错误，不符合题意；B.2(m―n)=2m―2n，故该选项错误，不符合题意；C.(m+2n)2=m2+4mn+4n2，故该选项错误，不符合题意；D.(m+3)(m―3)=m2―9，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．5．（2022·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（）A．(a―b)2=a2―b2B．(―1)2=1C．a÷a⋅1a =a D．―12ab23=―16a3b6【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则逐项判断即可．【详解】A.(a―b)2=a2―2ab+b2，故本选项错误；B.(―1)2=1=1，故本选项符合题意；C.a÷a⋅1a =1⋅1a=1a，故本选项错误；D.(―12ab2)3=(―12)3a3b2×3=―18a3b6，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键．6．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（）A．a3⋅a3=a9B．(―2a)3=―8a3C．a10÷(―a2)3=a4D．(―a+2)(―a―2)=a2+4【答案】B【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．【详解】A. a3⋅a3=a3+3=a6，故本选项错误；B. (―2a)3=(―2)3a3=―8a3，故本选项符合题意；C. a10÷(―a2)3=―a10―2×3=―a4，故本选项错误；D. (―a+2)(―a―2)=(―a)2―22=a2―4，故本选项错误；【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．7．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x―2022=0的根，那么m3+2m2―2025m+2022的值为（）A．―2022B．0C．2022D．4044【答案】B【解析】【分析】根据题意有m2+3m―2022=0，即有m3+3m2―2022m=0，据此即可作答．【详解】∵m为x2+3x―2022=0的根据，∴m2+3m―2022=0，且m≠0，∴m3+3m2―2022m=0，则有原式=(m3+3m2―2022m)―(m2+3m―2022)=0―0=0，故选：B．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x―2022=0得到m2+3m―2022=0是解答本题的关键．8．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C【解析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2(n―1)，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2(n―1)，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1+2×(6―1)=11，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．9．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．(2n-1)x n B．(2n+1)x n C．(n-1)x n D．(n+1)x n【答案】A【解析】【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．10．（2022·重庆·中考真题）对多项式x―y―z―m―n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x―y)―(z―m―n)=x―y―z+m+n，x―y―(z―m)―n=x―y―z+m ―n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】给x―y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵(x―y)―z―m―n=x―y―z―m―n∴①说法正确∵x―y―z―m―n―x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是(x―y)―z―m―n、x―(y―z)―m―n、x―y―(z―m )―n、x―y―z―(m―n)；当括号中有三个字母，共有3分别是(x―y―z)―m―n、x―(y―z―m)―n、x―y―(z―m―n)；当括号中有四个字母，共有1种情况，(x―y―z―m―n)∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．11．（2022·山东滨州·中考真题）下列计算结果，正确的是（）A．(a2)3=a5B．8=32C．38=2D．cos30°=12【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A、(a2)3=a2×3=a6，该选项错误；B、8=2×2×2=22，该选项错误；C、38=32×2×2=2，该选项正确；D、cos30°=3，该选项错误；2故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果正确的是（）A．5a―3a=2B．6a÷2a=3a C．a6÷a3=a2D．(2a2b3)3=8a6b9【答案】D【解析】【分析】根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．【详解】解：A、5a-3a=2a，选项错误；B、6a÷2a=3，选项错误；C、a6÷a3=a3，选项错误；D、(2a2b3)3=8a6b9，选项正确；故选：D．【点睛】题目主要考查单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．13．（2022·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6B．3a―2a=1C．(―2a2)3=―8a6D．a6÷a2=a3【答案】C【解析】【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可．【详解】解：选项A：a2⋅a3=a5，故选项A错误；选项B：3a―2a=a，故选项B错误；选项C：(―2a2)3=―8a6，故选项C正确；选项D：a6÷a2=a4，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解．14．（2022·浙江丽水·中考真题）计算―a2⋅a的正确结果是（）A．―a2B．a C．―a3D．a3【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．【详解】解：―a2⋅a=―a3，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．15．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（）A．―(+5)B．+(―5)C．―(―5)D．―|―5|【答案】C【解析】【分析】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意；B、+（-5）=-5，不符合题意；C、-(-5)=5，符合题意；D、―|―5|=―5，不符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．16．（2022·四川自贡·中考真题）下列运算正确的是（）A．(―1)2=―2B=1C．a6÷a3=a2D．=0【答案】B【解析】【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．【详解】A.(―1)2=1，故A错误；―=―=1，故B正确；C.a6÷a3=a3，故C错误；D.―=1，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．17．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C【解析】【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．二、填空题18．（2022·浙江金华·中考真题）因式分解：x2―9=______．【答案】(x+3)(x―3)【解析】【分析】根据平方差公式a2―b2=(a+b)(a―b)直接进行因式分解即可．【详解】解：x2―9=x2―32=(x+3)(x―3)，故答案为：(x+3)(x―3)．【点睛】本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．19．（2022·四川德阳·中考真题）分解因式：ax2―a=______．【答案】a(x+1)(x-1)【解析】【分析】先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：ax2-a=a(x2-1)=a(x+1)(x-1)故答案为：a(x+1)(x-1)．【点睛】本题考查提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式法两种方法是解题的关键．20．（2022·江苏连云港·中考真题）计算：2a+3a=______．【答案】5a【解析】【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．【详解】解：2a+3a=(2+3)a=5a．故答案为：5a．【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．21．（2022·山东滨州·中考真题）若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为_______．【答案】90【解析】【分析】将m2+n2变形得到(m+n)2―2mn，再把m+n=10，mn=5代入进行计算求解．【详解】解：∵m+n=10，mn=5，∴m2+n2=(m+n)2―2mn=102―2×5=100―10=90．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．22．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【解析】【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根；最后根据图形中的据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n =2时，“•”的个数是6=3×2；n =3时，“•”的个数是9=3×3；n =4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n ；又∵n =1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n =2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n =3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n =4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n 个“○”的个数是n (n +1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n ―n (n +1)2=2022①，n (n +1)2―3n =2022②解①得：无解解②得：n 1=5+162012,n 2=5―162012故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．23．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ―1=0(m ≠0)的一个解是x =1，则m +n 的值是___．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把x =1代入到mx 2+nx ―1=0(m ≠0)进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2+nx ―1=0(m ≠0)的一个解是x =1，∴m +n ―1=0，∴m+n=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．24．（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2=3，第三个三角形数是1+2+3=6，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3=4，第三个正方形数是1+3+5=9，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．【答案】45【解析】【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．【详解】根据图形，规律如下表：由上表可知第n 个M 边形数为：S =(1+2+⋯+n )+[1+2+⋯+(n ―1)](m ―3)，整理得：S =(1+n )n2+n (n ―1)(m ―3)2，则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：S =(1+n )n2+n (n ―1)(m ―3)2=(1+5)52+5(5―1)(6―3)2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．25．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【解析】【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．26．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；（2）若代数式a2―2ab―b2的值为零，则S四边形ABCDS矩形PQMN的值是___________．【答案】a―b3+22【解析】【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；（2）根据a2―2ab―b2=0分解因式可得(a―b+2b)(a―b―2b)=0，继而求得a=b+2b，根据这四个矩形的面积都是5，可得EP=5a ,EN=5b，再进行变形化简即可求解．【详解】（1）∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE=b，∴PQ=a―b，故答案为：a―b；（2）∵a2―2ab―b2=0，∴a2―2ab+b2―2b2=(a―b)2―2b2=(a―b+2b)(a―b―2b)=0，∴a―b+2b=0或a―b―2b=0，即a=b―2b（负舍）或a=b+2b ∵这四个矩形的面积都是5，∴EP=5a ,EN=5b，∴S四边形ABCD S矩形PQMN ==(a+b)⋅5(a+b)ab(a―b)⋅5(a―b)ab=(a+b)2(a―b)2，=a2+b2+2ab a2+b2―2ab =a2+b2+a2―b2a2+b2―a2+b2=a2b2，=(b+2b)2b2=3+22．【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．三、解答题27．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：(1+x)(1―x)+x(x+2)，其中x=12．【答案】 1+2x；2【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入x=12即可求解．【详解】(1+x)(1―x)+x(x+2)=1―x2+x2+2x=1+2x当x=12时，原式=1+2x=1+2×12=2．【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．28．（2022·重庆·中考真题）计算：(1)(x+2)2+x(x―4)；1÷a2―b22b．【答案】(1)2x2+4(2)2a+b【解析】【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．(1)解：原式=x2+4x+4+x2―4x=2x2+4(2)解：原式=a―bb ×2b(a+b)(a―b)=2a+b【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．29．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：(x+2)(3x―2)―2x(x+2)，其中x=3―1．【答案】x2―4；―23【解析】【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式=3x2―2x+6x―4―2x2―4x=x2―4；当x=3―1时，原式=(3―1)2―4=3+1-23―4=-23．【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．30．（2022·山东泰安·中考真题）（1）若单项式x m―n y14与单项式―12x3y3m―8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；（2÷1x2―1，其中x=2―1．【答案】（1）m=2，n=-1；（2）x2+1，4―22【解析】【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m和n的值；（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【详解】解：（1）由题意可得m―n=3①3m―8n=14②，②―①×3，可得：―5n=5，解得：n=―1，把n=―1代入①，可得：m―(―=3，解得：m=2，∴m的值为2，n的值为―1；（2）原式=[x(x―1)+(x+1)(x+1)(x―1)]⋅(x+1)(x―1)=x2―x+x+1(x+1)(x―1)⋅(x+1)(x―1)=x2+1，当x=2―1时，原式=(2―1)2+1=2―22+1+1=4―22．【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的结构是解题关键．31．（2022·重庆·中考真题）计算：(1)(x+y)(x―y)+y(y―2)；(2)1÷m2―4m+4m2―4．【答案】(1)x2―2y(2)2m―2【解析】【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．(1)解：(x+y)(x―y)+y(y―2)=x2―y2+y2―2y=x2―2y(2)解：1÷m2―4m+4m2―4=m+2―mm+2÷(m―2)2(m+2)(m―2)=2 m+2×(m+2)(m―2)(m―2)2=2m―2【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．32．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)a+3(2)36【解析】【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．(1)×2a=a，解：∵直角三角形较短的直角边=12较长的直角边=2a+3，∴小正方形的边长=2a+3―a=a+3；(2)解：S小正方形=(a+3)2=a2+6a+9，当a=3时，S小正方形=(3+3)2=36．【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．33．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020x y5202021 1.25x 1.3y(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？【答案】(1)1.25x+1.3y(2)2021年进口额400亿元，出口额260亿元．【解析】【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组x+y=5201.25x+1.3y=520+140，解方程组即可．(1)解：故答案为：1.25x+1.3y；(2)解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，∴x+y=5201.25x+1.3y=520+140，解得：x=320y=200，2021年进口额1.25x=1.25×320=400亿元，2021年出口额是1.3y=1.3×200=260亿元．【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．34．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2―(2×2)2，第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2―(3×4)2，第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2―(4×6)2，第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2―(5×8)2，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2(2)(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，证明见解析【解析】【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第45个等式为：(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2，故答案为：(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2；(2)解：第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，证明如下：等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1，等式右边：[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2=[(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n]⋅[(n+1)⋅2n+1―(n+1)⋅2n]=[(n+1)⋅4n+1]×1=4n2+4n+1，故等式(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．35．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝―ba ，x 1x 2＝ca 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝；x 1x 2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求nm +mn 的值．(3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求1s ―1t 的值．【答案】(1)32；―12(2)―132(3)17或―17【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出m +n =32，mn =―12，然后将nm +mn 进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出s +t =32，st =―12，然后求出s -t 的值，然后将1s ―1t 进行变形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――32=32，x 1⋅x 2=c a =―12．故答案为：32；―12．(2)∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =――32=32，mn =c a =―12，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =―12=―132(3)∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根，∴s +t =―ba =――32=32，st =c a =―12，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st=―4×―=94+2=174∴t ―s =172或t ―s =―172，当t ―s =172时，1s ―1t=t ―s st=172―12=―17，当t ―s =―172时，1s ―1t =t ―s st=―172―12=17，综上分析可知，1s ―1t 的值为17或―17．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t ―s =172或t ―s =―172，是解答本题的关键．36．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：M=2543，∵32+42=25，∴2543是“勾股和数”；又如：M=4325，∵52+22=29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=c+d9，P(M)=|10(a―c)+(b―d)|3．当G(M)，P(M)均是整数时，求出所有满足条件的M．【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析(2)8109或8190或4536或4563．【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得10a+b=c2+d2，根据G(M)，P(M)均是整数可得c+d=9，c2+d2=81―2 cd为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．(1)解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵22+22=8，8≠20，∴1022不是“勾股和数”；∵52+52=50，∴5055是“勾股和数”；(2)∵M为“勾股和数”，∴10a+b=c2+d2，∴0<c2+d2<100，∵G(M)=c+d9为整数，∴c+d=9，∵P(M)=|10(a―c)+(b―d)|3=|10a+b―10c―d|3=|c2+d2―9c―9|3为整数，∴c2+d2=81―2cd为3的倍数，∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或4563，综上，M的值为8109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．37．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30⋯⋯4，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a>b>c．在a，b，c中任为整数，求出满足选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若F(A)+G(A)16条件的所有数A．【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析(2)数A可能为732或372或516或156【解析】【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出a+b+c=12，根据a>b>c，F(A)是最大的两位数，G(A)是=k（k为整数），结合a+b+c=12得出b 最小的两位数，得出F(A)+G(A)=10a+2b+10c，F(A)+G(A)16=15―2k，根据已知条件得出1＜b＜6，从而得出b=3或b=5，然后进行分类讨论即可得出答案．(1)解：∵357÷(3+5+7)=357÷15=23⋅⋅⋅⋅⋅⋅12，∴357不是15“和倍数”；∵441÷(4+4+1)=441÷9=49，∴441是9的“和倍数”．(2)∵三位数A是12的“和倍数”，∴a+b+c=12，∵a>b>c，∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数F(A)=10a+b，最小的两位数G(A)=10c+b，∴F(A)+G(A)=10a+b+10c+b=10a+2b+10c，∵F(A)+G(A)为整数，16=k（k为整数），设F(A)+G(A)16=k，则10a+2b+10c16整理得：5a+5c+b=8k，根据a+b+c=12得：a+c=12―b，∵a>b>c，∴12―b＞b，解得b＜6，∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，∴a>b>c＞0，∴b＞1，∴1＜b＜6，把a+c=12―b代入5a+5c+b=8k得：5(12―b)+b=8k，整理得：b=15―2k，∵1＜b＜6，k为整数，∴b=3或b=5，当b=3时，a+c=12―3=9，∵a>b>c＞0，∴a＞3，0＜c＜3，∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，当a=7，b=3，c=2时，组成的三位数为732或372，∵732÷12=61，∴732是12的“和倍数”，∵372÷12=31，∴372是12的“和倍数”；当a=8，b=3，c=1时，组成的三位数为318或138，∵318÷12=26⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，∴318不是12的“和倍数”，∵138÷12=11⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，∴138不是12的“和倍数”；当b=5时，a+c=12―5=7，∵a>b>c＞0，∴5＜a＜7，∴a=6，b=5，c=1，组成的三位数为516或156，∵516÷12=43，∴516是12的“和倍数”，∵156÷12=13，∴156是12的“和倍数”；综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题。
整式的加减知识点及专项训练(含答案解析)
整式的加减知识点及专项训练（含答案解析）【知识点1：合并同类项】1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．1.1 判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．1.2 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．1.3 一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．2. 合并同类项2.1 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2.2 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．2.3 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2) 合并同类项时，只把系数相加减，字母、指数不作运算，照抄即可.【知识点2：去括号与添括号】1. 去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．2. 去括号法则诠释：2.1 去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．2.2 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．2.3 对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．2.4 去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．3. 添括号法则：（1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．4. 添括号法则诠释：4.1 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．4.2 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：a +b −c 添括号→ a +(b −c) a −b +c 添括号→ a −(b −c)【知识点3：整式的加减运算法则】1. 运算顺序： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．2. 整式的加减运算法则诠释：2.1 整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．2.2 两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．2.3 整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【考点1：同类项的概念】1. 下列每组数中，是同类项的是( ) ．①2x 2y 3与x 3y 2 ②-x 2yz 与-x 2y ③10mn 与23mn ④(-a)5与(-3)5⑤-3x 2y 与0.5yx 2 ⑥-125与12A ．①②③B ．①③④⑥C ．③⑤⑥D ．只有⑥【答案】C【解析】所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．2. 判断下列各组是同类项的有 ( ) ．①0.2x 2y 和0.2xy 2；②4abc 和4ac ；③-130和15；④-5m 3n 2和4n 2m 3A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】B【解析】 ①0.2x 2y 和0.2xy 2，所含字母虽然相同，但相同字母的指数不同，因此不是同类项．②4abc 和4ac 所含字母不同．③-130和15都是常数，是同类项．④-5m 3n 2和4n 2m 3所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项．3. 如果单项式﹣x a+1y 3与x 2y b 是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）A. a=2，b=3B. a=1，b=2C. a=1，b=3D. a=2，b=2【答案】C【解析】根据题意得：a+1=2，b=3，则a=1．4. 若﹣2a m b 4与3a 2b n+2是同类项，则m+n= ．【答案】4.【解析】∵﹣2a m b 4与3a 2b n+2是同类项，∴{m =2n +2=4解得：{m =2n =2则m+n=4．故答案为：4．5. 如果单项式﹣xy b+1与12x a ﹣2y 3是同类项，那么（a ﹣b ）2015= ．【答案】1.【解析】由同类项的定义可知，a ﹣2=1，解得a=3，b+1=3，解得b=2，所以（a ﹣b ）2015=1．6. 指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．（1）3x 2y 3与-y 3x 2；（2）2x 2yz 与2xyz 2；（3）5x 与xy ；（4）-5与8【答案】（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为2x 2yz 与2xyz 2所含字母x ，z 的指数不相等；（3）不是同类项，因为5x 与xy 所含字母不相同．【解析】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同. “两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．7. 若单项式13a 3b n+1和2a 2m ﹣1b 3是同类项，求3m+n 的值．【答案】8【解析】解：由13a 3b n+1和2a 2m ﹣1b 3是同类项，得{2m −1=3n +1=3， 解得{m =2n =2． 当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．8. 如果单项式5mx a y 与﹣5nx 2a ﹣3y 是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项．求（1）（7a ﹣22）2021的值；（2）若5mx a y ﹣5nx 2a ﹣3y=0，且xy ≠0，求（5m ﹣5n ）2022的值．【答案】（1）-1；（2）0【解析】（1）由单项式5mx a y 与﹣5nx 2a ﹣3y 是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项，得a=2a ﹣3，解得a=3；∴（7a ﹣22）2021=（7×3﹣22）2021=（﹣1）2021=﹣1；（2）由5mx a y ﹣5nx 2a ﹣3y=0，且xy ≠0，得5m ﹣5n=0，解得m=n ；∴（5m ﹣5n ）2022=02022=0．9. 如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“?”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“?”所代表的单项式可能是( )．A．6 B．d C．c D．e【答案】D【解析】题中“?”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“?”所代表的单项式可能是e，故选D．【考点2：“去括号”与“添括号”】1.化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（）A．0 B．2m C．﹣2n D．2m﹣2n【答案】C【解析】原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C．2.去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)；(3)8m-(3n+5)；(4)n-4(3-2m)；(5)2(a-2b)-3(2m-n).【答案】（1）d-6a+4b-6c；（2）xy+1-x+y【解析】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．(3)8m-(3n+5)＝8m-3n-5.(4)n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.(5)2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.3.在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．(1).2x+3y-4z+5t=-( )=+( )=2x-( )=2x+3y-( )；(2).2x-3y+4z-5t=2x+( )=2x-( )=2x-3y-( )=4z-5t-( )；(3).a-b+c-d=a-( )；(4).x+2y-z=-( )；(5)a2-b2+a-b=(a2-b2)+( )；(6).a2-b2-a-b=a2-a-( ). 【答案】（1）-2x-3y+4z-5t，2x+3y-4z+5t，-3y+4z-5t，4z-5t（2）-3y+4z-5t，3y-4z+5t，-4z+5t，-2x+3y.（3）b-c+d （4）-x-2y+z （5）a-b （6）b2+b【解析】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．(1) 2x+3y-4z+5t=-(-2x-3y+4z-5t)=+( 2x+3y-4z+5t)=2x-(-3y+4z-5t)=2x+3y-(4z-5t)(2)2x-3y+4z-5t=2x+(-3y+4z-5t)=2x-(3y-4z+5t)=2x-3y-(-4z+5t)=4z-5t-(-2x+3y)(3)a-b+c-d=a-(b-c+d)；(4)x+2y-z=-(-x-2y+z)；(5)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)；(6)a2-b2-a-b=a2-a-(b2+b).4.按要求把多项式3a-2b+c-1添上括号：(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里；(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．【答案与解析】(1) 3a-2b+c-1=（3a-2b）-（-c+1）；(2) 3a-2b+c-1=（3a+c）-（2b+1）．【考点3：整式加减】1.下列运算中，正确的是（）A. 3a+2b=5abB. 2a3+3a2=5a5C. 3a2b﹣3ba2=0D. 5a2﹣4a2=1 【答案】C【解析】3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；2a3和3a2不是同类项，不能合并，B错误；3a2b﹣3ba2=0，C正确；5a2﹣4a2=a2，D错误，故选：C．2.若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是( )．A．十四次多项式 B．七次多项式C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式【答案】C【解析】根据多项式相加的特点，多项式次数不增加，项数增加或减少可得：A+B 一定是不高于七次的多项式或单项式.故选C.3.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1【答案】A【解析】 (3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．4.设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=1x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=2（）A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x【答案】C．x2+x﹣1）﹣（x2+2x）【解析】根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（12=x2+2x﹣2﹣x2﹣2x=﹣2，故选C.5.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，则代数式|a|-|c-a|+|c-b|-|-b|的值为（）．A.-2c B .0 C.2c D.2a-2b+2c【答案】A【解析】由图可知：a＜c＜0＜b，所以|a|-|c-a|+|c-b|-|-b|=-a-（c-a）+（b-c）-b=-2c．6.如图所示，阴影部分的面积是( )．A．112xy B．132xy C．6xy D．3xy【答案】A【解析】S阴=2x×3y-0.5y×x=6xy-12xy=112xy7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为( ) ．A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米【答案】C.【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．8.若23a2b m与−0.5a n b4的和是单项式，则m=，n=．【答案】4，2．【解析】23a2b m与−0.5a n b4的和是单项式，∴23a2b m与−0.5a n b4是同类项，即可得：m=4，n=29.若5a|x|b3与-0.2a3b|y|可以合并，则x= ，y= .【答案】±3；±3【解析】∵5a|x|b3与-0.2a3b|y|可以合并∴5a|x|b3与-0.2a3b|y|为同类项即可得|x|=3.|y|=3解得：x=±3，y=±310.如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．【答案】3a-a2【解析】由图形可知阴影部分面积＝长方形面积-a2-9，而长方形的长为3+a，宽为3，∴S阴=3（3+a）-9-a2=3a-a211.任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除. 【答案】9【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中a是1～9的正整数，b,c分别是0～9的自然数.∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用m表示整数11a+b) . ∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被9整除.12.合并下列各式中的同类项：(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy (2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5【答案】（1）-7x2-4y2-6xy ；（2）8x2y-2xy2+2【解析】①所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；②在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+213.合并同类项：（1）3x-2x2+4+3x2-2x-5（2）6a2-5b2+2ab+5b2-6a2（3）-5yx2+4xy2-2xy+6x2y+2xy+5（4）3(x-1)2-2(x-1)3-5(1-x)2+4(1-x)3（注：将“x-1”或“1-x”看作整体）【答案与解析】（1）原式=（3-2）x+（-2+3）x2+（4-5）=x+x2-1（2）原式=（6-6）a2+（-5+5）b2+2ab=2ab（3）原式=（-5+6）x2y+（-2+2）xy+4xy2+5=x2y+4xy2+5（4）原式=（3-5）（x-1）2+（-2-4）（x-1）3=-2（x-1）2-6（x-1）314.一个多项式加上4x3-x2+5得3x4-4x3-x2+x-8，求这个多项式.【答案】3x4-8x3+x-13【解析】在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．（3x4-4x3-x2+x-8）-（4x3-x2+5）=3x4-4x3-x2+x-8-4x3+x2-5=3x4-8x3+x-1315.已知2a3+m b5-pa4b n+1=-7a4b5，求m+n-p的值．【答案】-4【解析】两个单项式的和仍是单项式，这就意味着2a3+m b5与pa4b n+1是同类项．可得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，∴ m+n-p＝1+4-9＝-4．【考点4：化简求值】1.若m2-2m=1则2m2-4m+2020的值是________．【答案】2024【解析】2m2-4m+2008=2（m2-2m）+2008=2×1+2022=20242.已知a＝-(-2)2，b＝-(-3)3，c＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．【答案】15【解析】因为a＝-(-2)2＝-4，b＝-(-3)3＝27，c＝-(-42)＝16，所以-[a-(b-c)]＝-a+b-c＝15．3.有理数a,-b在数轴上的位置如图所示，化简|1-3b|-2|2+b|+|2-3a|= ．【答案】b+3a-7【解析】-b＜-3，b＞3，所以原式=3b-1-2（2+b）+（3a-2）=b+3a-7.4.当p=2,q=1时，分别求出下列各式的值．（1）(p−q)2+2(p−q)−13(q−p)2−3(p−q)；（2）8p2−3q+5q−6p2−9【答案】（1）−123；（2）1【解析】（1）把(p−q)当作一个整体，先化简再求值：(p−q)2+2(p−q)−13(q−p)2−3(p−q)=(1−13)(p−q)2+(2−3)(p−q)=−23(p−q)2−(p−q)又p−q=2−1=1;∴原式=−23(p−q)2−(p−q)=−23×12−1=−123（2）先合并同类项，再代入求值．8p2−3q+5q−6p2−9=(8−6)p2+(−3+5)q−9=2p2+2q−9当p=2,q=1时，原式=2p2+2q−9=2×22+2×1−9=1 5.先化简，再求值：(1)3x2-8x+x3-12x2-3x3+1，其中x=2；(2)4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2，其中x-2，y=1．【答案】（1）-67；（2）16【解析】(1)原式=-2x3-9x2-8x+1，当x=2时，原式＝-2×23-9×22-8×2+1=-67．(2)原式=2x2-xy+10y2，当x=2，y=1时，原式＝2×22-2×1+10×12=16．6. 先化简，再求各式的值：12x +(−32x +13y 2)−(2x −23y 2),其中x =−2,y =23； 【答案与解析】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？原式=12x −32x +13y 2−2x −23y 2=−3x +y 2当x =−2,y =23时，原式=−3×(−2)+(23)2=6+49=649.7. 先化简再求值：(-x 2+5x+4)+(5x-4+2x 2)，其中x ＝-2．【答案与解析】(-x 2+5x+4)+(5x-4+2x 2)＝-x 2+5x+4+5x-4+2x 2＝x 2+10x.当x ＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．8. 化简：a 2﹣2ab+b 2﹣2a 2+2ab ﹣4b 2．【答案】-a 2-3b 2【解析】a 2﹣2ab+b 2﹣2a 2+2ab ﹣4b 2=（a 2﹣2a 2）+（﹣2ab+2ab ）+（b 2﹣4b 2）=﹣a 2﹣3b 2．9. 化简求值：（1）当a =1,b =−2时，求多项式5ab −92a 3b 2−94ab +12a 3b 2−114ab −a 3b −5的值．（2）若|4a +3b |+(3b +2)2=0，求多项式2(2a+3b)2-3(2a+3b)+8(3a+3b)2-7(2a+3b)的值．【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：原式=(−92+12)a 3b 2+(5−94−114)ab −a 3b −5=−4a 3b 2−a 3b −5 将a =1,b =−2代入，得：−4a 3b 2−a 3b −5=-4×13-（-2）2-13×（-2）-5=-19（2）把（2a+3b ）当作一个整体，先化简再求值：原式=（2+8）(2a+3b)2+（-3-7）（2a+3b ）=10(2a+3b)2-10（2a+3b ）由|4a +3b |+(3b +2)2=0可得：4a +3b =0,3b +2=0两式相加可得：4a +6b =−2，所以有2a +3b =−1代入可得：原式=10×（-1）2-10×（-1）=2010. 已知3x a+3y 4与-2xy b-2是同类项，求代数式3b 2-6a 3b-2b 2+2a 3b 的值.【答案】228【解析】∵3x a+3y 4与-2xy b-2是同类项∴a+3=1，b-2=4.∴a=-2，b=6.∵3b 2-6a 3b-2b 2+2a 3b=（3-2）b 2+（-6+2）a 3b=b 2-4a 3b∴当a=-2，b=6时，原式=62-4×（-2）3×6=22811. 先化简，再求值：3（y+2x ）-[3x-（x-y ）]-2x ，其中x ，y 互为相反数.【答案与解析】3（y+2x ）-[3x-（x-y ）]-2x=3y+6x-3x+x-y-2x=2(x+y) 因为x ，y 互为相反数，所以x+y=0所以3（y+2x ）-[3x-（x-y ）]-2x=2(x+y)=2×0=012. 已知代数式3y 2-2y+6的值为8，求32y 2-y+1的值．【答案】2【解析】∵3y 2-2y+6=8，∴3y 2-2y=2.当3y 2-2y=2时，原式=12（3y 2-2y ）+1=12×2+1=2 13. 已知xy=-2，x+y=3，求整式（3xy+10y ）+[5x-（2xy+2y-3x ）]的值．【答案】22【解析】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看 成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．原式=3xy+10y+（5x-2xy-2y+3x ）=3xy+10y+5x-2xy-2y+3x=8x+8y+xy=8（x+y ）+xy 把xy=-2，x+y=3代入得，原式=8×3+（-2）=24-2=2214. 先化简，再求值：3x 2y ﹣[2x 2﹣（xy 2﹣3x 2y ）﹣4xy 2]，其中|x|=2，y=12，且xy ＜0．【答案与解析】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x 的值，代入原式计算即可得到结果．解：原式=3x 2y ﹣2x 2+xy 2﹣3x 2y+4xy 2=5xy 2﹣2x 2，∵|x|=2，y=12，且xy ＜0，∴x=﹣2，y=12，则原式=﹣52﹣8=﹣212．15. 已知3a 2-4b 2＝5，2a 2+3b 2＝10．求：(1)-15a 2+3b 2的值；(2)2a 2-14b 2的值．【答案】（1）-45；（2）-10【解析】显然，由条件不能求出a 、b 的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．解：(1)-15a 2+3b 2＝-3(5a 2-b 2)＝-3[(3a 2+2a 2)+(-4b 2+3b 2)]＝-3[(3a 2-4b 2)+(2a 2+3b 2)]＝-3×(5+10)＝-45；(2)2a 2-14b 2＝2(a 2-7b 2)＝2[(3a 2-2a 2)+(-4b 2-3b 2)]＝2×[(3a 2-4b 2)-(2a 2+3b 2)]＝2×(5-10)＝-10．【考点5：“无关”与“不含”型问题】1. 代数式-3x 2y-10x 3+6x 3y+3x 2y-6x 3y+7x 3-2的值( )．A ．与x ，y 都无关B ．只与x 有关C ．只与y 有关D ．与x 、y 都有关【答案】B【解析】合并同类项后的结果为-3x 3-2，故它的值只与x 有关．2. 多项式x 2﹣3kxy ﹣3y 2+xy ﹣8化简后不含xy 项，则k 为（ ）A ．0B ．−13C ．13D ．3【答案】C【解析】原式=x 2+（1﹣3k ）xy ﹣3y 2﹣8，因为不含xy 项，故1﹣3k=0，解得：k=13．故选C ．3. 如果对于某一个特定范围内x 的任意允许值，P=|1-2x|+|1-3x|+…+|1-10x|的值恒为一个常数，则此值为 （ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】P 值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含x 项，由此得：P =（1-2x ）+（1-3x ）+…+（1-7x ）+（8x-1）+（9x-1）+（10x-1）=34. 当k ＝ 时，代数式x 2−3kxy −3y 2−13xy −8中不含xy 项． 【答案】−19【解析】合并同类项得：x 2+(−3k −13)xy −3y 2−8．由题意得−3k −13=0． 故k =−19．5. 李华老师给学生出了一道题：当x ＝0.16，y ＝-0.2时，求6x 3-2x 3y-4x 3+2x 3y-2x 3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x ＝0.16，y ＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?【答案与解析】解：6x 3-2x 3y-4x 3+2x 3y-2x 3+15＝(6-4-2)x 3+(-2+2)x 3y+15＝15通过合并可知，合并后的结果为常数，与x 、y 的值无关，所以小明说得有道理．6. 已知关于x ，y 的代数式x 2−3kxy −3y 2−13xy −8中不含xy 项，求k 的值.【答案】k =−19【解析】x 2−3kxy −3y 2−13xy −8=x 2+(−3k −13)xy −3y 2−8 因为不含xy 项，所以此项的系数应为0，即有：−3k −13=0，解得：k =−19.7. 试说明多项式x 3y 3-12x 2y+y 2-2x 3y 3+0.5x 2y+y 2+x 3y 3-2y-3的值与字母x 的取值无关．【答案】5【解析】根据题意得：m﹣1=2，n=2，则m=3，n=2．故m+n=3+2=5．8.要使关于x，y的多项式mx3+3nxy2+2x3-xy2+y不含三次项，求2m+3n的值．【答案】-3【解析】原式=（m+2）x3+（3n-1）xy2+y要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：m+2=0，3n-1=0，即有：m=-2，n=13所以2m+3n=2×（-2）+3×13= -3．9.已知：ax2+2xy-x与2x2-3bxy+3y的差中不含2次项，求a2-15ab+9b2的值. 【答案】28【解析】(ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y. ∵此差中不含二次项，∴a-2=0,2+3b=0解得：a=2,3b=-2当a=2且3b= -2时，a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.10.若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd. 【答案】-27【解析】由已知 ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)∴{a=2b−1=−78=−2(c+1)−2=3a+7解得：{a=2b=−6c=−5d=−3∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.11.若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.【答案】2【解析】 -2x2+mx+nx2+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1∵此多项式的值与x的值无关，∴{n−2=0m+5=0解得:{n=2m=−5当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.∵(x-m)2≥0，∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.12.若关于x,y的多项式：x m-2y2+mx m-2y+nx3y m-3-2x m-3y+m+n，化简后是四次三项式，求m+n的值．【答案】4【解析】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：因为x m-2y2的次数是m，mx m-2y的次数为m-1，nx3y m-3的次数为m，-2x m-3y的次数为m-2，又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然x m-2y2与nx3y m-3是同类项，且合并后为0，所以有m=5,1+n=0 m+n=5+（-1）=4．13.有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a3b3-2a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。
整式的加减（详细解析考点分析名师点评）
整式的加减答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、若a＜0，则2a+5|a|等于（）A、7aB、﹣7aC、﹣3aD、3a考点：绝对值；整式的加减。
分析：先根据绝对值的性质去掉符号，再合并同类项．解答：解：∵a＜0，∴2a+5|a|=2a﹣5a=﹣3a．故选C．点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2、如果在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示，那么|a﹣b|+|a+b|化简的结果为（）A、2aB、﹣2aC、0D、2b3、己知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简|a+b|﹣|c+b|的结果是（）A、a+cB、﹣a﹣cC、﹣a+cD、a+2b﹣c考点：绝对值；数轴；整式的加减。
分析：先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再根据三点离原点的位置去绝对值符号，化简即可．解答：解：由图可得，a＜0，b＞0，c＜0，且|b|＜|a|＜|c|，所以a+b＜0，c+b＜0，则|a+b|﹣|c+b|=﹣a﹣b+c+b=﹣a+c．故选C．点评：解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．4、x、y、z在数轴上的位置如图所示，则化简|x﹣y|+|z﹣y|的结果是（）A、x﹣zB、z﹣xC、x+z﹣2yD、以上都不对考点：绝对值；整式的加减。
分析：根据x、y、z在数轴上的位置，先判断出x﹣y和z﹣y的符号，在此基础上，根据绝对值的性质来化简给出的式子．解答：解：由数轴上x、y、z的位置，知：x＜y＜z；所以x﹣y＜0，z﹣y＞0；故|x﹣y|+|z﹣y|=﹣（x﹣y）+z﹣y=z﹣x．故选B．点评：此题借助数轴考查了用几何方法化简含有绝对值的式子，能够正确的判断出各数的符号是解答此类题的关键．5、若a＜0，ab＜0，则|b﹣a+3|﹣|a﹣b﹣9|的值为（）A、6B、﹣6C、12D、﹣2a+2b+126、若a＜0，b＞0，用|a|与|b|表示a与b的差是（）A、|a|﹣|b|B、|b|﹣|a|C、﹣（|a|+|b|）D、|a|+|b|考点：绝对值；整式的加减。
《整式的加减》知识点及典型试题(带解析)
解析《整式的加减》知识点一、代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
二、整式多项式和单项式统称为整式。
特别注意：分母中不能含字母三、单项式与多项式单项式1、都是数字与字母的相乘的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。
2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项：1）.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2）.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
整式加减法练习题的详细解析与解答
整式加减法练习题的详细解析与解答整式加减法是初中数学中的重要知识点，掌握好这部分内容对于解决代数表达式的运算和化简问题非常重要。
在本文中，我们将详细解析和解答一些整式加减法的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
例题一：将3a^2b^2 + 2ab – ab^2 + 4b – 5a^2 + 6a + 7b^2按照同类项进行整理。
解析与解答：首先，我们按照字母的幂次从高到低进行排序，依次为3a^2b^2和-5a^2，然后是2ab和- ab^2，最后是6a、4b和7b^2。
根据同类项的定义，同类项是具有相同字母及其指数的项。
在这个例子中，3a^2b^2和-5a^2都是同类项，因为它们都包含字母a的平方和字母b的平方。
同样，2ab和- ab^2都是同类项，因为它们都包含字母a和字母b的一次幂。
最后，6a、4b和7b^2都是单独的项，因为它们没有相同的字母及其指数。
整理后的式子为：3a^2b^2 - 5a^2 + 2ab - ab^2 + 6a + 4b + 7b^2。
例题二：计算表达式(2a^2 + 3ab - 5b^2) + (-a^2 - 4ab - 3b^2)的结果。
解析与解答：首先，我们按照同类项对括号中的式子进行整理。
其中，2a^2和-a^2是同类项，3ab和-4ab是同类项，-5b^2和-3b^2是同类项。
整理后的式子为：(2a^2 - a^2) + (3ab - 4ab) + (-5b^2 - 3b^2)。
计算同类项的系数时，根据符号要进行正负号的运算。
具体计算结果如下：2a^2 - a^2 = a^2，3ab - 4ab = -ab，-5b^2 - 3b^2 = -8b^2。
因此，最终结果为：a^2 - ab - 8b^2。
通过以上两个例题，我们可以看到整式加减法在对代数表达式进行简化和化简时起到了重要的作用。
掌握好整式加减法的方法和技巧，能够帮助我们更好地理解和解决其他代数问题。
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专题2 整式的加减专题详解专题2 整式的加减专题详解 (1)2.1整式 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 单项式的概念 (2)知识点2 多项式的有关概念 (3)知识点3 整式的概念 (4)知识点4 正确列代数式 (5)二、典型题型 (7)题型1 运用整式有关的概念求字母的值 (7)题型2 有含字母的式子表示数量关系 (8)三、难点题型 (10)题型1 整式的实际应用 (10)题型2 找规律 (10)2.2整式的加减 (12)知识框架 (12)一、基础知识点 (12)知识点1 同类项的概念 (12)知识点2 合并同类项（原理：乘法分配律） (13)知识点3 去括号法则 (14)知识点4 整式的加减（合并同类项） (15)二、典型题型 (16)题型1 “有序”进行有理数的加减 (16)题型2 去多重括号 (16)题型3 利用同类项的概念求值 (17)题型4 整式“缺项”问题 (18)题型5 与字母取值无关的问题 (18)题型6 求代数式的值与整体思想 (19)题型7 整式在生活中的应用 (20)题型8 图形规律 (21)三、难点题型 (22)题型1待定系数法 (22)题型2 整数的多项式表示 (22)2.1整式知识框架一、基础知识点知识点1 单项式的概念单项式：数或字母的积注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式②“或”单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式例：5x；100；x；10ab等系数：单项式中的数字叫做单项式的系数单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和例1.判断下列各式中那些是单项式，那些不是？如果是单项式，请指出它的系数和次数。
-13b；；；；；；【答案】单项式有：-13b，系数为－13，次数为1，系数为，次数为1+2=3，系数为，次数为0，系数为，次数为2+1=3，系数为，次数为2+3=5例2.的系数是，次数是。
【答案】系数为：－1，次数为1+2+3=6知识点2 多项式的有关概念1）多项式：几个单项式的和注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式常数项：不含字母的项多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n 次式例1.将多项式按字母y作升幂排列。
【答案】中y的次数为0中y的次数为2中y的次数为3例2.指出下列多项式的项和次数，并说明每个多项式是几次几项式。
①② 1【答案】①项有：，次数为3次；，次数为3次；，次数为3次；，次数为3次；综上得，该多项式为：三次四项式②项有：，次数为6次；，次数为2次；1，次数为0次；综上得，该多项式为：六次三项式例3.如果式子（m+4）是关于x ，y 的五次二项式，求m 的值 【答案】因为式子是五次二项式又因为是四次式 所以（m+4）是五次式，且（m+4）≠0即：解得：m=4知识点3 整式的概念 1）整式：单项式与多项式统称为整式。
⎩⎨⎧多项式单项式整式 2）提示：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）例1.判断下列各式是否为整式：①-1；②x ；③；④；⑤；⑥【答案】整式有：①②③⑤⑥④不是整式，因为④中字母为分母例2.①若+a=0，求2+2a+2016的值。
②代数式3-4x+6的值为9，求x +6的值。
【答案】①因为+a=0所以2+2a=0所以2+2a+2016=2016②因为3-4x+6=9 所以x +2=3 所以x +6=7知识点4 正确列代数式1）字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“•”，或略去不写。
因“×”与“x”易混淆。
2）字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。
因3x易混淆为3••x。
3）系数是1时，一般省略不写。
4）多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。
例1.设甲数为x，用代数式表示下列的乙数：①乙数比甲数小7%；②乙数是甲数的1倍；③甲数的倒数比乙数小5.【答案】①（1-7%）x②x③例2.用代数式表示下列关系①a与b的2倍的和除以c所得的商；②x，y两数差的平方；③x的相反数与y的立方的和；④x与y的平方差；⑤a的5倍与b的和的一半；⑥－a与2的积；⑦－2a除以b与3c的积的商。
【答案】①②③－x+④⑤⑥⑦二、典型题型题型1 运用整式有关的概念求字母的值一、利用单项式的系数与次数求值解题技巧：此类题型有2点需要注意：①题干会告知单项式的次数，利用系数关系可以列写一个等式；②还需注意，单项式的系数不为0例1.若单项式（m－1）是关于x，y的五次单项式，求m的值。
【答案】∵单项式是五次∴解得x=1或x=－3∵单项式系数不能为0∴m－1≠0解得：m≠1综上得：m=－3例2.已知（m+2）是关于x，y的四次单项式，求m，n的值。
【答案】∵单项式是四次∴解得m=0或m=－2∵单项式系数不为0∴m+2≠0解得：m≠－2∵是单项式∴n－2=0解得：n=2综上得：m=0，n=2二、利用多项式的次数及特定的系数求值解题技巧：此类题型有3点需要注意：①题干会告知次数，则多项式的最高次数项的次数等于该值；②注意最高次数项的系数不能为0；③题干还会告知项数，往往利用项数也能确定一些等式（不等式）。
例1.若多项式（m－1）是关于x的二次多项式，求m，n的值。
【答案】∵多项式是二次多项式∴多项式中的单项式（m－1）系数必为0即m－1=0，m=1∵多项式是二次∴n=2综上得：m=1，n=2x y2+（m+2）x2y－1是四次三项式，求m的值。
例2.若关于x，y的多项式3m【答案】∵多项式是四次三项式∴，且m+2≠0解得：m=2或m=－2（舍）综上得：m=－2题型2 有含字母的式子表示数量关系解题技巧：此类题型，需要结合数学常识，用字母表示这些数量关系。
常见类型有：（1）常见公式的应用（2）数量关系的描述等例1.用代数式表示：①a与b的2倍的和除以c所得的商；②x，y两数差的平方；③x的相反数与y的立方的和；④x与y的平方差；⑤a的5倍与b的和的一半；⑥-a与2的积；⑦-2a除以b与3c的积的商。
【答案】①②③－x+④⑤⑥－2a⑦三、难点题型题型1 整式的实际应用解题技巧：解决此类问题，需要先根据题干意思，列代数式表示量的大小，再根据题目要求进行分析求解。
例1.某公园的门票价格是：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折），设一个旅游团共有x人（x>40），其中学生y人。
①用含x，y的式子表示该旅游团应付的门票费；②如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付多少门票费？【答案】①∵x＞40∴可以购买团体票，即打8折门票费：0.8[20（x－y）+10y]=16x－8y②总费用为：0.8×（47×20+12×10）=848（元）例2.王老师到文体商店为学校买排球，排球单价为每个a元，买10个以上按8折优惠。
（1）购买25个排球应付多少钱？（2）购买m个排球应付多少钱？【答案】（1）25×0.8a=20a元（2）题型2 找规律解题技巧：此类题型分三部分找规律：①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为②数字规律：数字规律需要视题目而确定③字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式例1.观察下面的三行单项式：x、、4、8、16、32、…－2x、、－8、16、－32、64、…2、－3、5、－9、17、－33…（1）根据你发现的规律，第1行第8个单项式是多少。
（2）第2行和第3行中第8个单项式分别是多少。
【答案】（1）第一行的规律为：则第8个单项式为：（2）第二行的规律为：则第8个单项式为：256第三行规律为：字母次数依次增加，且正负号间或出现，系数依次增加则第8个单项式为：－1292.2整式的加减知识框架一、基础知识点知识点1 同类项的概念同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）例：与33abc与3abc1）判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同例1.指出多项式中的同类项：①3x-2y+1+5y-2x-3；②【答案】①同类项为：3x与-2x；-2y与5y；1与-3②同类项为：与；与与例2.已知与是同类项，求a+b的值。
【答案】因为与是同类项所以解得：则：a+b=5知识点2 合并同类项（原理：乘法分配律）1）①将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项②同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。
例1.合并下列多项式中的同类项：①；②【答案】①=（2－3+）=②==例2.计算：【答案】===－3+10x－6知识点3 去括号法则1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变2）括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。
3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。
例1.去括号并合并多项式中的同类项：①4a－（a－3b）；②a+（3b－5a）－（a－2b）；③3（2xy－y）－2xy【答案】①4a－（a－3b）=4a－a+3b=3a+3b②a+（3b－5a）－（a－2b）=a+3b－5a－a+2b=－5a+5b③3（2xy－y）－2xy=6xy－3y－2xy=4xy－3y例2.计算：3a【答案】原式=3a－[a－2a+2b]+b=3a－[－a+2b]+b=3a+a－2b+b=4a－b知识点4 整式的加减（合并同类项）整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。
例1.求整式与的差。
【答案】==例2.求与的和与差。
【答案】－（）=－=－二、典型题型题型1 “有序”进行有理数的加减解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。
（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。
合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
例1.计算：a+（5a－3b）－2（a－2b）【答案】原式=a+5a－3b－2a+4b=a+5a－2a－3b+4b=4a+b例2.计算；－（2）－2（）+（）【答案】原式=－2+3x+1－2+3x－5++4x+3=－2+3x+3x+4x+1+3=－3题型2 去多重括号解题技巧：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。
可依据简易程度，选择合适顺序。
例1.化简2【答案】原式=2－2（3x+2）=2=－2例2.化简4（x－1）－【答案】原式=4x－4－[2（x－1）+4]=4x－4－（2x－2+4）=4x－4－2x+2－4=2x－6题型3 利用同类项的概念求值解题技巧：（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.例1.若关于x，y的单项式4与5是同类项，求m，n的值。