同济大学-高等数学微积分教案
高等数学微积分教材同济
高等数学微积分教材同济高等数学微积分是大学数学中的一门重要课程，它是数学分析的基础和核心内容。
同济大学编写的《高等数学微积分》教材是一本经典的教材，被广泛应用于高等院校的教学中。
本文将从教材的结构、内容特点、教学方法等方面进行探讨。
一、教材的结构《高等数学微积分》教材以微积分的概念、定理和方法为主线，分为基础篇和进阶篇两部分。
基础篇主要介绍微积分的基本概念和初等函数的性质，包括函数、极限、连续、导数和微分等内容。
进阶篇则进一步深入，介绍了微积分的应用，如曲线图形与积分、微分方程和级数等。
教材的编排严谨，各章节之间有着很好的衔接。
每一章节都以开篇问题引导学生思考，激发学习兴趣。
而后，按照逐步深入的原则，系统地介绍了相关的概念、定理和方法。
同时，教材设置了大量习题和示例，帮助学生巩固知识，培养解题能力。
二、内容特点《高等数学微积分》教材具有以下特点：1.全面系统：教材内容全面，涵盖了微积分的各个方面。
从基本的概念和初等函数开始，逐步引入导数和积分，最终展示微积分的应用。
同时，教材还涉及了微分方程和级数等高级内容，为学生提供了扩展和深入学习的机会。
2.理论与实践结合：教材在理论讲解的基础上，注重实际应用的引入。
通过大量的实例和问题，帮助学生将理论知识应用到具体问题中，培养解决实际问题的能力。
同时，教材还介绍了数学在其他学科中的应用，拓宽了学生的视野。
3.逻辑清晰：教材的章节之间逻辑清晰，内容紧密衔接。
每一章节都有明确的目标和重点，便于学生理解和消化。
教材还采用了数学推导和证明的方法，培养学生的逻辑思维和证明能力。
4.通俗易懂：尽管是高等数学的教材，但同济大学在编写中注重表达的简洁和通俗。
教材中的定义、定理和公式都用简洁明了的语言阐述，便于学生理解和记忆。
三、教学方法《高等数学微积分》教材在教学上注重培养学生的基本技能、逻辑思维和创新能力。
教学方法主要包括：1.激发兴趣：通过引入问题、讲述实例等方式，激发学生学习的兴趣，增强学习的主动性。
高等数学同济教案
高等数学同济教案教案标题：高等数学同济教案教案目标：1. 理解高等数学的基本概念和原理。
2. 掌握高等数学的基本运算和方法。
3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的数学推理和证明能力。
教案内容：课时一：导数与微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算方法和应用3. 微分的定义和性质4. 微分的计算方法和应用课时二：不定积分与定积分1. 不定积分的定义和性质2. 不定积分的计算方法和应用3. 定积分的定义和性质4. 定积分的计算方法和应用课时三：微分方程1. 微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法3. 二阶常微分方程的解法4. 微分方程的应用课时四：级数与数项级数1. 级数的概念和性质2. 数项级数的概念和性质3. 数项级数的收敛性判定4. 数项级数的求和方法教学方法：1. 讲授结合实例：通过具体的例子引入新的概念和原理，帮助学生理解和记忆。
2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生的应用能力。
3. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进学生的思维活跃和合作学习。
4. 课堂练习：安排一定数量的练习题，巩固学生的基本运算和方法。
评估方式：1. 课堂表现：学生在课堂上的积极参与和回答问题的能力。
2. 作业完成情况：学生按时完成作业并正确计算和解答问题的能力。
3. 小测验：定期进行小测验，检验学生对所学知识的掌握程度。
4. 期末考试：综合考察学生对整个学期所学内容的理解和应用能力。
教学资源：1. 教材：《高等数学同济版》2. 多媒体教学资源：投影仪、电脑、PPT等3. 额外练习题和习题解析：辅助教材、习题集等教学建议：1. 鼓励学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
2. 注重理论与实践的结合，通过实际问题的引入，增加学生对数学知识的兴趣和应用意识。
3. 给予学生足够的练习机会，巩固基本运算和方法，提高他们的计算和解题能力。
同济大学高等数学教案
教案标题：同济大学高等数学教学计划一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生的逻辑思维能力、创新意识和实际应用能力。
通过本课程的学习，学生应能熟练运用高等数学知识解决实际问题，为后续专业课程的学习和科学研究打下坚实的基础。
二、教学内容1. 函数与极限1.1 函数的概念、性质和图像1.2 极限的定义和性质1.3 无穷小和无穷大1.4 极限的运算法则1.5 极限的存在性判断2. 导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数和参数方程函数的导数2.5 微分及其应用3. 微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 泰勒公式3.5 导数在函数性质分析中的应用4. 不定积分4.1 不定积分的概念和性质4.2 基本积分公式4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 不定积分在实际问题中的应用5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念和性质5.2 定积分的运算法则5.3 定积分的换元法和分部法5.4 定积分的应用（如面积、体积、弧长等）6. 微分方程6.1 微分方程的概念和分类6.2 线性微分方程6.3 非线性微分方程6.4 微分方程的求解方法6.5 微分方程在实际问题中的应用三、教学方法1. 讲授法：通过系统、生动的讲解，使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 案例分析法：结合具体实例，让学生了解高等数学在实际问题中的应用。
3. 练习法：布置适量的课后习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
4. 讨论法：组织学生进行课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
5. 实验法：结合数学软件，让学生亲身体验高等数学的实践操作。
四、教学安排1. 授课时间：共计16周，每周2课时。
2. 课后习题：每节课后布置相应的习题，要求学生独立完成。
3. 课堂讨论：每学期组织2-3次课堂讨论，学生可就所学内容提出疑问或分享自己的见解。
同济大学-高等数学微积分教案
第一章:函数与极限1。
1 初等函数图象及性质1。
1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是（-∞ ，+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0，+∞ );当m = —1/2时，y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在（0,+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1。
1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1）叫做指数函数,它的定义域是区间（-∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x〉0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0，1）。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0<a〈1,指数函数a x是单调减少的.由于y=（1/a）—x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图］2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间（0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1，0)。
若a〉1,对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1，+∞)内函数值为正.若0<a<1,对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间(1，+∞)内函数值为负.[如图] 1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[—1,1］. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
《微积分教案》word版
《微积分教案》word版教案章节：一、微积分简介1.1 微积分的起源和发展1.2 微积分的基本概念1.3 微积分在实际应用中的重要性二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.2 极限的基本法则2.3 无穷小和无穷大2.4 函数的连续性三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式3.3 高阶导数3.4 微分四、微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 导数在实际问题中的应用五、不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 基本积分公式5.3 换元积分法5.4 分部积分法5.5 定积分的定义与性质5.6 定积分的计算5.7 定积分的应用六、定积分的应用6.1 面积和体积的计算6.2 质心、转动惯量和其他几何属性6.3 物理应用：功和能量6.4 经济学应用：最优化问题七、微分方程7.1 微分方程的定义与分类7.2 线性微分方程的基本概念7.3 一阶线性微分方程的解法7.4 高阶线性微分方程的解法7.5 常系数线性微分方程的解法八、常微分方程的应用8.1 人口增长模型8.2 药物动力学模型8.3 机械系统动力学模型8.4 电磁场方程九、多元函数微分法9.1 多元函数的导数与微分9.2 偏导数与全微分9.3 多元函数的极值问题9.4 泰勒公式与多元函数的逼近十、重积分10.1 二重积分的定义与性质10.2 二重积分的计算10.3 三重积分的定义与性质10.4 三重积分的计算10.5 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 曲线积分的定义与性质11.2 曲线积分的计算11.3 曲面积分的定义与性质11.4 曲面积分的计算11.5 曲线积分和曲面积分的应用十二、向量分析12.1 空间解析几何基础12.2 向量微分运算12.3 向量场的积分12.4 散度与旋度12.5 向量分析的应用十三、微积分与线性代数的联系13.1 微积分在线性代数中的应用13.2 线性代数在微积分中的应用13.3 微分方程与线性代数的关系13.4 矩阵微积分13.5 微积分与线性代数的综合应用十四、微积分在经济管理中的应用14.1 微积分在优化问题中的应用14.2 微积分在概率论与数理统计中的应用14.3 微积分在金融数学中的应用14.4 微积分在运营Research 中的应用14.5 微积分在其他经济管理领域中的应用十五、微积分在现代科技中的应用15.1 微积分在物理学中的应用15.2 微积分在工程学中的应用15.3 微积分在生物学与医学中的应用15.4 微积分在计算机科学中的应用15.5 微积分在其他现代科技领域中的应用重点和难点解析一、微积分简介：重点是微积分的起源和发展，难点是对微积分基本概念的理解。
大学高数教案微积分
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握微积分的基本概念和运算方法。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和数学表达能力。
教学内容：1. 微积分的基本概念：极限、导数、微分、积分。
2. 微积分的基本运算：极限的运算、导数的运算、微分的运算、积分的运算。
3. 微积分的实际应用：求解曲线的切线、曲线的弧长、函数的极值和最值、定积分的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾高中数学中的极限、导数、微分、积分等概念，激发学生学习兴趣。
2. 提出微积分的基本概念，让学生了解微积分在数学和实际生活中的重要性。
二、讲授新课1. 介绍极限的概念，包括数列极限和函数极限，讲解极限的运算法则。
2. 介绍导数的概念，讲解导数的几何意义和物理意义，讲解导数的运算法则。
3. 介绍微分的概念，讲解微分的几何意义和物理意义，讲解微分的运算法则。
4. 介绍积分的概念，讲解定积分和不定积分的区别，讲解定积分的运算法则。
三、课堂练习1. 让学生独立完成数列极限、函数极限的运算题。
2. 让学生独立完成导数、微分的运算题。
3. 让学生独立完成定积分的运算题。
四、课堂小结1. 总结本节课所学的微积分基本概念和运算方法。
2. 强调微积分在实际生活中的应用。
第二课时一、导入1. 复习上节课所学的微积分基本概念和运算方法。
2. 提出微积分在实际问题中的应用，激发学生学习兴趣。
二、讲授新课1. 讲解求解曲线的切线的方法，包括导数的几何意义和物理意义。
2. 讲解求解曲线的弧长的方法，包括定积分的应用。
3. 讲解求解函数的极值和最值的方法，包括导数的应用。
4. 讲解定积分在实际问题中的应用，如计算物体的体积、面积等。
三、课堂练习1. 让学生独立完成求解曲线的切线题。
2. 让学生独立完成求解曲线的弧长题。
3. 让学生独立完成求解函数的极值和最值题。
4. 让学生独立完成定积分在实际问题中的应用题。
四、课堂小结1. 总结本节课所学的微积分在实际问题中的应用。
【同济第六版高数学教案】第2章导数与微分2
§2. 3 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得y ( n )=e x ,即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2 sin()2 cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n . 例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .(uv )'=u 'v +uv '(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' ,用数学归纳法可以证明∑=-=nk k k n k nn v u C uv 0)()()()(,这一公式称为莱布尼茨公式.例8．y =x 2e 2x , 求y (20).解: 设u =e 2x , v =x 2, 则(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),代入莱布尼茨公式, 得y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v ''=220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y ex y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率 43|2-='==x y k .所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x 0变到x 0+∆x , 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x , 面积为A , 则A 是x 的函数: A =x 2. 金属薄片的面积改变量为 ∆A =(x 0+∆x )2-(x 0)2 =2x 0∆x +(∆x )2.几何意义: 2x 0∆x 表示两个长为x 0宽为∆x 的长方形面积; (∆x )2表示边长为∆x 的正方形的面积.数学意义: 当∆x →0时, (∆x )2是比∆x 高阶的无穷小, 即(∆x )2=o (∆x ); 2x 0∆x 是∆x 的线性函数, 是∆A 的主要部分, 可以近似地代替∆A .定义 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ),其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即dy =A ∆x .函数可微的条件: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x .证明: 设函数f (x )在点x 0可微, 则按定义有∆y =A ∆x +o (∆x ),上式两边除以∆x , 得xx o A x y ∆∆+=∆∆)(. 于是, 当∆x →0时, 由上式就得到 )(lim00x f x y A x '=∆∆=→∆. 因此, 如果函数f (x )在点x 0可微, 则f (x )在点x 0也一定可导, 且A =f '(x 0).反之, 如果f (x )在点x 0可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆ 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成α+'=∆∆)(0x f x y , 其中α→0(当∆x →0), 且A =f (x 0)是常数, α∆x =o (∆x ). 由此又有∆y =f '(x 0)∆x +α∆x .因且f '(x 0)不依赖于∆x , 故上式相当于∆y =A ∆x +o (∆x ),所以f (x )在点x 0 也是可导的.简要证明: 一方面A x f x y xx o A x y x o x A y x ='=∆∆⇒∆∆+=∆∆⇒∆+∆=∆→∆)(lim )()(00. 别一方面x x x f y x f x y x f x y x ∆+∆'=∆⇒+'=∆∆⇒'=∆∆→∆αα)()()(lim 0000. 以微分dy 近似代替函数增量 ∆y 的合理性:当f '(x 0)≠0时, 有 1lim )(1)(lim lim00000=∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆dx y x f x x f y dy y x x x . ∆y =dy +o (d y ).结论: 在f '(x 0)≠0的条件下, 以微分dy =f '(x 0)∆x 近似代替增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)时, 其误差为o (dy ). 因此, 在|∆x |很小时, 有近似等式∆y ≈dy .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例如 d cos x =(cos x )'∆x =-sin x ∆x ; de x =(e x )'∆x =e x ∆x .例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx .从而有 )(x f dxdy '=. 这就是说, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.二、微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy =f '(x )dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则.1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --= 211)(arctan x x +=' dx xx d 211)(arctan += 211)cot arc (x x +-=' dx xx d 211)cot arc (+-=2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 证明乘积的微分法则:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv ,所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由此可见, 无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy =f '(u )du 并不改变. 例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解:)1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e e x d e e x x x x 211)(1122222⋅⋅+=⋅+=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以 )21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2.一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 因此 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例1．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例2．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）:(1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .证明 (1)取n x x f +=1)(, 那么f (0)=1, n x nf x n 1)1(1)0(011=+='=-, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得 x nx n 111+≈+. 证明(2)取f (x )=sin x , 那么f (0)=0, f '(0)=cos x |x =0=1, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得sin x ≈x .例3．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故 025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2．误差估计在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为A , 它的近似值为a , 那么|A -a |叫做a 的绝对误差, 而绝对误差|A -a |与|a |的比值||||a a A -叫做a 的相对误差. 在实际工作中, 某个量的精确值往往是无法知道的, 于是绝对误差和相对误差也就无法求得. 但是根据测量仪器的精度等因素, 有时能够确定误差在某一个范围内. 如果某个量的精确值是A , 测得它的近似值是a , 又知道它的误差不超过δ A :|A -a |≤δ A , 则δ A 叫做测量A 的绝对误差限,||a Aδ叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差).例4．设测得圆钢截面的直径D =60. 03mm , 测量D 的绝对误差限D δ=0.05. 利用公式24D A π=计算圆钢的截面 积时, 试估计面积的误差.解: D D D A dA A ∆⋅=∆⋅'=≈∆2π, |∆A |≈|dA |D D D D δππ⋅≤∆⋅=2||2 . 已知D =60.03, δD =0. 05, 所以 715.405.003.6022 =⨯⨯=⋅=πδπδD A D (mm 2); %17.003.6005.022422≈⨯=⋅=⋅=D D D A D DAδπδπδ. 若已知A 由函数y =f (x )确定: A =y , 测量x 的绝对误差是δx , 那么测量y 的δy =? 由∆y ≈dy =y '∆x , 有|∆y |≈|dy |=|y '|⋅|∆x |≤|y '|⋅δ x ,所以测量y 的绝对误差δy =|y '|⋅δ x , 测量y 的相对误差为xy y y y δδ⋅'=||.。
同济大学高数第七版教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等基本概念；（2）理解并掌握极限、导数、积分等基本运算方法；（3）了解数学在工程、科学等领域的应用。
2. 能力目标：（1）培养逻辑思维能力和分析问题的能力；（2）提高解决实际问题的能力；（3）提高自学能力和团队合作能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）培养学生的创新精神和团队协作精神。
二、教学内容1. 函数与极限2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数的应用4. 不定积分5. 定积分及其应用6. 微分方程三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数与极限的基本概念；（2）导数与微分的基本概念；（3）不定积分与定积分的基本概念；（4）微分方程的基本概念。
2. 教学难点：（1）极限的运算法则；（2）导数与微分的应用；（3）不定积分与定积分的应用；（4）微分方程的求解方法。
四、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、基本理论，引导学生理解、掌握；2. 例题法：通过例题讲解，帮助学生理解和应用所学知识；3. 习题法：布置课后习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力；4. 讨论法：组织课堂讨论，激发学生思维，培养团队合作精神。
五、教学过程1. 导入新课：介绍本节课的学习内容，激发学生学习兴趣。
2. 讲解新知识：（1）函数与极限：讲解函数、极限、连续性等基本概念，并举例说明；（2）导数与微分：讲解导数、微分等基本概念，并举例说明；（3）微分中值定理与导数的应用：讲解微分中值定理，并举例说明导数在求解实际问题中的应用；（4）不定积分：讲解不定积分的概念、基本方法，并举例说明；（5）定积分及其应用：讲解定积分的概念、基本方法，并举例说明定积分在求解实际问题中的应用；（6）微分方程：讲解微分方程的基本概念、解法，并举例说明。
3. 课堂练习：布置课后习题，让学生巩固所学知识。
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第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1.1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。
但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。
因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数a x是单调增加的。
若0<a<1，指数函数a x是单调减少的。
由于y=(1/a)-x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a>0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。
若a>1，对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。
若0<a<1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+∞)内函数值为负。
[如图] 1.1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
这四个反三角函数都是多值函数。
但是，我们可以选取这些函数的单值支。
例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[-，]上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。
这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有。
1.2 数列极限的概念设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时都有，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。
数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间内。
1.3 函数极限的概念设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。
例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，为2。
1.4 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。
在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。
但也曾指出：有界的数列不一定收敛。
现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。
对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。
但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。
从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。
考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即。
可以证明，当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是 e = 2.718281828459045…1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。
当然，其中有界这一条件是必要的。
下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。
柯西（Cauchy）极限存在准则数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有。
必要性的证明设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当n>N时，有；同样，当m>N时，也有。
因此，当m>N，n>N时，有所以条件是必要的。
充分性的证明从略。
这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点，任意两点间的距离小于。
柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。
1.6 连续函数1.6.1 定义：若函数f(x)在x0点的附近包括x0点本身有定义，并且，则称f(x)在x0点连续，x0为f(x)的连续点。
[如图]1.6.2 充要条件：f(x)在x0点既是左连续又是右连续。
初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。
1.6.3 三类不连续点：(1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。
[如图](2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。
[如图](3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义。
[如图]1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同1.7.1 定义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间内任意两点x1,x2，当时总有，就称f(x)在区间内一致连续。
1.7.2 与连续的比较：(1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。
(2)连续函数对于某一点x0，取决于x0和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。
(3)一致连续的函数必定连续。
[例：函数y = 1/x，当x∈(0,1)时非一致连续，当x∈(C,1)时一致连续](4)康托定理：闭区间[a , b]上的连续函数f(x)一定在[a , b]上一致连续。
第二章：导数与微分微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。
2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该领域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,即,也可记作。
导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。
2.1.2 求导举例例求函数（n为正整数)在处的导数解把以上结果中的换成得,即更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式.例求函数的导数解即这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。
例求函数的导数.解=即这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有例求函数的导数.解=作代换即得这就是对数函数的导数公式,特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式:2.1.3 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：例求等边双曲线y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为由于,于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0.所求法线的斜率为k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为2x-8y+15=0.2.2 微分的概念2.2.1 微分的定义设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为其中A是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那末称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即例求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.解函数在处的微分为在处的微分为函数在任意点的微分，称为函数的微分,记作或,即例如, 函数的微分为函数的微分为通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作dx，即.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f’(x)dx, 从而有x=3就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”.2.2.2 微分的几何意义设△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量,当∣△x∣很小时, ∣△y-dy∣比∣△x∣小得多,因此在M点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.第三章：中值定理与导数的应用上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。
本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础3.1 三个中值定理3.1.1 罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。
3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(1)成立。
3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(2)成立。
3.2 洛必达法则3.2.1.洛必达法则的概念.定义:求待定型的方法(与此同时);定理:若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定义,且f(x)= g(x)=0;并且f’(x)与g’(x)在(a,a+)上存在. 0 且=A 则= =A,(A可以是).证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0, 则[a,a+) 上==即x时,x,于是=3.2.2 定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,x。
所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。
注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。
2.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中f’(x)与g’(x)的存在性。