组合(1)——组合、组合数的概念
组合数
3 3 4
3
从而
C4
3
A A
3
4
3
.
，
4 3 3
按照以上思路，对于 A 我们应该作何种解释？
m n
m A 对于 n 我们可以按照以下步骤进行:
求从n个不同元素中取出m个元素的 可看作由以下2个步骤得到： 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有
，
C
m 种不同的取法； n
n
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有 Am种 不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有
一 组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
排列和组合有什么共同点和不同点？
共同点：都要“从n个不同元素中取出m个元素” 不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
3 4
3 等式右边的乘号联想到了哪一个 3
计数原理？对等式右边可以作何种解释呢？
分步乘法计数原理
对于 A 我们可以按照以下步骤进行:
第1步，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数
3 4
（不考虑顺序）； C（ 4）
3 4
第2步，将每一个组合中的3个不同元素作全排列，
个排列数. (6 ) 根据分步乘法计数原理，A C A 各有A
组合数
二 组合数的概念
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m 个元素的组合数，用符号 C m 表示
组合(1)——组合、组合数的概念
组合（1）——组合、组合数的概念一、课题：组合（1）——组合、组合数的概念二、教学目标：1．理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2．能正确认识组合与排列的联系与区别。
三、教学重、难点：组合的概念和组合数公式。
四、教学过程：（一）复习、引入：1．复习排列的有关内容：排列的概念、排列数公式。
（以上由学生口答）．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的。
引出课题：组合．．． （二）新课讲解：1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
说明：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同。
练习：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（组合）（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从4个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C ，那么又如何计算mn C 呢？3．组合数公式的推导：（1）提问：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ， 所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且． 4．例题分析：例1 计算：（1）47C ； （2）710C ； 答案：（1）35；（2）120． 例2 求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ． 例3 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第1课时 组合(一)讲义 新人教A版选修2-3
含组合数的化简、证明或解方程、不
(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利 ①组合数公式，即： Cnm＝m！nn！－m！＝nn－1…m！n－m＋1； ②组合数的性质，即 Cnm＝Cnn－m和 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1； ③排列数与组合数的关系，即 Anm＝Cmn Amm． (2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘 便．
1．由 Cx1＋0 1＋C1170－x可得不相同的值的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]
x＋1≤10 ∵x1＋7－1≥x≤010，∴7≤x≤9，
17－x≥0
又 x∈Z，∴x＝7,8,9．
当 x＝7 时，C810＋C1100＝46
当 x＝8 时，C910＋C910＝20 当 x＝9 时，C1100＋C810＝46．
规律总结』 1.性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用． 反映的是组合数的对称性，即从n个不
意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的n－m个元素的组合相对应
作用 → 当m>n2时，计算Cnm通常转化为计算Cnn－m
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N＋，n∈N＋，且 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
序写出，即
• ∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE BCD，BCE，BDE，CDE．
解法二：画出树形图，如图所示．
∴所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD CDE．
命题方向2 ⇨组合数公式
典例 2 (2018·江西玉山一中检测)若 20C5n＋5＝4(n＋4)Cnn＋－ 的值．
组合数知识点总结
组合数知识点总结1. 组合数的基本概念组合数通常表示为C(n, m)，表示从n个元素中取出m个元素的方式数。
计算组合数的公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
组合数计算的本质是从n 个元素中选择m个元素的所有可能性。
2. 组合数的计算方法组合数的计算方法包括递推公式、排列组合公式和杨辉三角形等方法。
（1）递推公式：组合数的递推公式表达了组合数之间的递推关系。
计算C(n, m)的递推公式为：C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)递推公式的思想是将从n个元素中取出m个元素的方式数分解成两部分，一部分是包含第n个元素的方式数，另一部分是不包含第n个元素的方式数。
（2）排列组合公式：排列组合公式是通过组合数的阶乘定义推导得出的计算公式。
排列组合公式包括乘法原理和除法原理两种计算方式。
乘法原理指的是从n个元素中取出m 个元素的方式数等于n个元素的排列数乘以m个元素的排列数的倒数，即：C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / (m! * (n - m)!)除法原理指的是从n个元素中取出m个元素的方式数等于n个元素的排列数除以m个元素的排列数，即：C(n, m) = A(n, m) / A(m, m) = n! / (m! * (n - m)!)（3）杨辉三角形：杨辉三角形是一种规律的数学图形，其中的每个数都等于它上方和斜上方的两个数之和。
在杨辉三角形中，组合数C(n, m)可以直接从三角形中读出，它位于第n行第m列的位置。
3. 组合数的应用场景组合数在概率论、统计学、排列组合问题等领域都有着广泛的应用。
下面我们将介绍组合数在不同领域的具体应用场景。
（1）排列组合问题：排列组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的所有可能性。
简述组合和组合数的概念。
简述组合和组合数的概念。
组合和组合数是数学中极为重要的概念，它用于描述一组对象、元素或数值在排列、选取或相互组合方面的某种可能性。
组合和组合数通常也被称为“排列组合”和“组合数”，它们属于统计学和计算机科学的基本概念。
组合本质上是指从一组成员中选取一定数量组成的系列排列方式，而每一组的成员可以是任何数量的对象、元素或数值，可以是有序的，也可以是无序的。
例如，从一组数字1,2,3中任取2个数字，可以组成3种排列方式：(1,2), (1,3)和(2,3)，这3种排列方式就是组合。
组合数则是指组合的可能性数量，也就是一组成员可以有多少种组合的可能性。
例如，从一组数字1,2,3中任取2个数字，有3种组合可能，因此组合数为3。
除此之外，组合数通常也用 Cnk（即组合计数符号）来表示：nCk=n! /(k! (n-k)!)。
组合与组合数广泛应用于计算机科学、统计学、数学建模以及工程模拟方面，比如可以用组合来模拟一个体系中的相互作用。
它也是统计学中研究观测值的组合形式所必须处理的对象。
通过对组合的排列组合，也可以计算出一定条件下的期望值，从而给出最优化的解决方案。
此外，组合数也可以用来计算排列组合的概率。
比如，从一组数字1,2,3中任取2个数字的组合，每个组合被选取的概率均为1/3，组合数3，因此每个组合出现的概率是1/9。
另外，组合数也可以用来计算假设某一事件发生的可能性，例如在投掷两个骰子后，得到某个点数的可能性，这个结果可以用组合数来计算。
总而言之，组合和组合数是数学中重要的概念，它们被广泛应用于许多学科领域，比如计算机科学、统计学、数学建模以及工程模拟方面，。
因此，我们需要深入的了解组合和组合数的概念以及它们在不同领域的应用，以便更好地利用它们来实现更好的结果。
1.2.2组合第一课时组合的概念及组合数公式
有多少种取法?
栏目 导引
题型二 有关组合数的计算与证明
第一章 计数原理
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
((23))CC193708＋0＋CC47＋129090C; 58＋C((2369;))C原19式080＋＝CC124890＋90＝CC58＋2100C＋69＝C12C0095＝＋1C02069×＝×1C99610＋＝2C04100＝＝5211500. .
栏目 导引
第一章 计数原理
【名师点评】 区分排列与组合问题,关键是 利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、 并成一组,与顺序无关”.只要两个组合中的 元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相 同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相 同时,才是不同的组合.
栏目 导下列问题是排列问题,还是组合问题.
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
栏目 导引
第一章 计数原理
解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的 顺(3)序2名,会学得生到完不成同的的是三同位一数件,此工问作题,没不有但顺与序取,出是 元组素合问有题关.,而且与元素的安排顺序有关,是排列 问(4)题甲.与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电 (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数 字话之,无间顺的序顺区序别,其,为和组均合不问变题,此. 问题只与取出元 素(5)有发关信,人而与收元信素人的是安有排区顺别序的无,关是,排是列组问合题问.题 .
栏目 导引
第一章 计数原理
答案:D 做一做
1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②
三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点
组合 数学概念
组合数学概念组合是数学中的一个重要概念，它涉及到从给定集合中选择一定数量的元素来形成一个子集的问题。
组合与排列不同之处在于，组合不考虑元素的顺序，只关注元素的选择。
以下是一些重要的组合数学概念：1. 组合数：表示从一个集合中选择特定数量的元素，不考虑元素的顺序。
组合数通常用符号 "C" 或 "nCk" 表示，其中 n 表示集合的大小，k 表示要选择的元素的数量。
组合数可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算。
2. 二项式系数：二项式系数是组合数的一种特殊情况，表示在二项式展开式中各项的系数。
二项式系数通常用符号 "C" 或 "nCk" 表示，其中 n 表示二项式的指数，k 表示展开式中的项数。
3. 重复组合：重复组合是一种特殊的组合，允许从一个集合中选择元素时可以多次选择同一个元素。
重复组合数可以使用公式C(n+k-1, k) 来计算，其中 n 表示集合的大小，k 表示要选择的元素的数量。
4. 二项式定理：二项式定理是数学中的一个重要定理，它用于展开二项式的幂。
根据二项式定理，对于任意实数 a 和 b，以及任意非负整数 n，都有 (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
5. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，其中每个数等于它上方两个数的和。
Pascal三角形的第n行表示组合数 C(n, k)，其中 n 表示行号，k 表示列号。
6. 鸽巢原理：鸽巢原理是组合数学中的基本原理之一，它指出如果有 n+1 个物体放入 n 个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢会放入两个或更多的物体。
鸽巢原理常用于证明存在性问题。
以上是一些常见的组合数学概念，它们在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
组合及组合数公式
组合及组合数公式1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m_(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．3．组合数公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，m≤n)．探究点一组合的概念例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？探究点二组合的列举问题思考怎样写一个问题的所有组合？答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b 等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．踪训练2写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．探究点三组合数公式及应用思考1对比排列数的定义，能否给组合数下一个定义？答从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．思考2 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C 34的公式吗？答 由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33.例3(1)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合为________．跟踪训练3 (1)计算C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值； (2)求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n.例4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？巩固练习：1.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为________．答案 42．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．答案 1203．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案 964．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案 705.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，求其中一个数是另一个数的两倍的概率．6．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有________．答案70组合的应用探究点一组合数的两个性质思考1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？答思考2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？答思考3由思考1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？答组合数具备以下两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.例1计算下列各式的值．(1)C9699＋C9799；(2)C n n＋1·C n－2n；(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.探究点二简单的组合应用题例2某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？跟踪训练27名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案140例3 (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？探究点四有限制条件的组合问题例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？。
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课题：5 .5 三角函数的简化公式3 课型：习题课
教学目标：
1.熟记（π+α）的三角函数公式
2.会应用公式求三角函数值
教学重点：（π+α）的三角函数公式教学难点：应用公式求三角函数值
教学方法：指导练习
教具：电教
板书设计：
课后记：
一． 组织教学：
二． 复习提问：
①- α的三角函数简化公式
②π-α的三角函数简化公式
③-30º，-45º，-60º，120º，150º，135º的三角函数值（口答）
三． 新授：π+α的三角函数
熟记公式！
（二）应用：
例.求下列三角函数值
①sin210º ② cos240º ③tan225º
解： ①sin210º=sin(180º+30º)=-sin30º=2
1- ②cos240º=cos(180º+60º)=-cos60º=2
1- ③tan225º=tan(180º+45º)=tan45º=1
四． 小结：(由学生归纳总结)
把（π+α）看成第三象限角，则两切为正。
五． 练习：
求210º，240º，225º的各三角函数值。
六． 作业：
补充练习。