北京大学线性代数方博汉线代B2017经院期末考试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A． 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r（A）=2，1 1,2,0 ， 2 1,3,1 为其两个
T T
解，则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答：使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b ， A 2 b ，因此 A1 2 0 ， 即 1 2 是 Ax=0 的解，从而 x 1 2 2,1,1 ，即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7
.
解答：使用行列式按行（列）展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A． 2 B． 1
1 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
C． 1
D． 2
解答：齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零，因此有
2017 年 4 月 线性代数（经管类）
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k
《线性代数》样卷B及答案(1)
《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。
北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题
这里Map(A, K)是集合A到数域K的函数的全体, 构成一个线性空间. 对 任 何V 上 的 线 性 函 数r ∈ V ∗, ι(r)就 是r限 制 在 集 合A上, 即ι(r)(αi)定 义 为r(αi). 试证明:
• (5分) 若rankA = n, 则ι是单射; • (5分) 若A线性无关, 则ι是满射.
线性代数B 期中考试 十月三十日1:00PM-2:50PM
请在另外提供的答题本上答题。务必在答题本封面清楚的标注您的姓名、院系 和学号。本试卷考试结束后不用回收。请写出解答过程。考试期间不可以使用计算 器手机等电子设备，不可以参考任何电子或纸质材料，不可以从其他人那里获得任 何帮助。本试卷共100分。
(1) (20分) 求下列方程组的通解
x1 + x2 + 5x3 = 0, 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x1 + x2 − 4x3 − x4 = 1, 4x1 + 3x2 + 6x3 − 3x4 = 1.
(2) (20分)n × n矩阵A, J为
a11 a12 . . . a1n
现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1 = 0 , 2 = 1 ,
0
0
0 3 = 0 .
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
用V ∗的基 ∨1 ,
∨ 2
,
∨ 3
线性表出η1∨,
η2∨
,
η3∨.
(6) (10分)设A = {α1, . . . , αs}为K上有限维线性空间V 中的向量组, 设V 的维数 是n. 考察映射
线性代数期末考试(B卷)及答案
北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。
北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)
2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。
证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。
(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。
(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。
• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。
(提⽰：先证明 若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。
我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
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其中A, B ∈ Mn×n(R), Bt是矩阵B的转置, tr表示矩阵的迹. • 请验证如此定义的双线性函数确实是内积, 这样Mn×n(R)构成了一个 欧几里德空间. (5分)
• 设U ⊂ Mn×n(R)为所有反对称矩阵的全体, 它是一个子空间(不用证 明). 对任何的方阵A = (aij), 试用aij写出PU A, 即A在子空间U 上的正 交投影. (10分)
1
2
LINEAR ALGEBRA B FINAL, 2:00PM-4:00PM
• 正交补空间U ⊥的维数是多少? (8分) • 若非零子空间U 里的任何两个向量α, β满足f (α, β) = 0, 这样的子空间
是否存在(2分), 可能的最大维数是多少(5分)？ (6) (15分) 设V 是复数域C上的n维线性空间.
(1) (15分) 设矩阵A为
A=
1 −1
2 4
• 写出A的特征值和特征向量. A可不可以对角化? (8分)
• 考察线性变换A : M2×2(C) → M2×2(C), 定义为A(U ) = A−1U A, 这 里U ∈ M2×2(C)是一个2阶复数方阵. 写出这个线性变换的特征值和特 征向量, 并且判断A是不是可以对角化并说明理由. (7分)
(4) (15分) 实对称矩阵
0 2 4 A = 2 −3 2 .
420
是否存在实矩阵B使得B2 = A; 若没有，是否存在复矩阵B使得B2 = A? 请说明你这么判断的理由.
(5) (15分) 设K是一个数域, 考察下述K2n上的非退化反对称双线性函数
f (α, β) = x1y1 − y1x1 + x2y2 − y2x2 + · · · + xnyn − ynxn, 其中
– 证明 (α, β)是一个非退化的实反对称双线性函数(意即V 作为实 数域上线性空间在此反对称双线性函数下构成一个非退化的辛 空间).
(7) (10分) 定义数域K上的线性空间V 的对偶空间V ∗为从V 到K的所有线性映
射构成的集合Hom(V, K). 我们知道, 做为这种线性映射的全体, V ∗是线性
(2) (15分) 在R4中(R为实数域), 求空间
V1 = (−1, 5, 3, 2), (4, 1, −2, 9)
和
V2 = (2, 0, −1, 4), (0, 3, 4, −5)
的交空间V1 ∩ V2的一组基(7分); 求V1 + V2的一组基(8分).
(3) (15分) 定义空间Mn×n(R) (实数域上的n阶方阵全体构成的线性空间) 上的 内积为 (A, B) = tr(ABt).
(α, β) = (α, β) + (α, β)i,
其中 (α, β)表示(α, β)的实部, (α, β)表示(α, β)的虚部, i是虚数单位. 若把V 视为实数域R上的线性空间,
– 证明 (α, β)是一个实对称非退化双线性函数(意即V 作为实数域 上线性空间在这个对称双线性函数下构成欧几里德空间);
• 如果把V 视为实数域R上的线性空间, 就是说作为线性空间的加法不变, 对任何实数k和α ∈ V , 其数乘就是把k视为复数在原来复数域线性空间 中的数乘kα. 那么作为实数域上的线性空间, V 的维数是多少? 为什 么? (5分)
• (10分) 设V 是一个酉空间, 那么V 上的Hermitian内积有实部和虚部. 对 任何V 中的向量α, β, 其内积
0
1
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
任何一个向量α ∈ V 都可以唯一分解为
α = k1η1 + k2η2 + k3η3.
对l = 1, 2, 3, 定义映射fl : V → Q为取一个向量的在η1, η2, η3下的第l个 坐标: 对任何α ∈ V , 定义为fl(α) = kl. 这是一个线性映射(你不用证 明), 于是fl ∈ V ∗. 对l = 1, 2, 3, 把每个fl写成 ∨1 , ∨2 , ∨3 的线性组合. (7分)
α = (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn), β = (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn). 对于K2n的一个k维子空间U (k ≤ 2n), 类似于实内积空间, 定义正交补空间
U ⊥ = {α ∈ K2n|f (α, β) = 0, 对任意的β ∈ U }.
空间.
•
若V 的一组基是
1, . . . ,
n, 定义
∨ i
∈
V
∗使得∀j,
∨i ( j ) = δij =
1, if i = j, 0, if i = j.
试证明
∨ 1
,
.
.
.
,
∨ n
是V∗Leabharlann 一组基.(3分)• 现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1
1 = 0 , 2 = 1 , 3 = 0 .
线性代数B 期末考试 一月三日2:00PM-4:00PM
请在另外提供的答题本上答题. 务必在答题本封面清楚的标注您的姓名, 院系和 学号. 本试卷考试结束后不用回收. 请写出解答过程. 考试期间不可以使用计算器 手机等电子设备, 不可以参考任何电子或纸质材料, 不可以从其他人那里获得任何 帮助. 本试卷共100分.