图论与网络优化-刘彬农庆琴
网络优化及实例ppt课件
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运价 20 23 26 29
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20
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钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
常用解法: 二次规划
先计算最小运费矩阵
➢ 两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 ➢ 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法
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钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
Min
i, j
(
pi
c ij
) xij
0.1 2
15
[(1
j 1
y j ) y j (1 z j ) z j ]
15
s.t. 500 f i xij S i f i , i 1,..., 7. j 1
7
xij y j z j ,
j 1,..., 15 .
cumcm2000b.lg4
性规划模型除了可以利用数学软件求解 外,讨论问题推广时应设计快速近似算法 3.一题多解讨论算法性能比较与分析
应
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大规模数据处理是近年竞赛题的 倾如:向
1. 04年A题:奥运会临时超市网点设计 2. 05年A题:长江水质的评价和预测 3. 05年B题:DVD的在线租赁
难 度逐年增大
•单向？ •双向？
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2
欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一个 图论上的问题：
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3
七桥问题 的
顶因
答案是 否定的 点 为
图
中
没
有
偶
度
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图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法
第52卷第6期电力系统保护与控制Vol.52 No.6 2024年3月16日Power System Protection and Control Mar. 16, 2024 DOI: 10.19783/ki.pspc.230917基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法胡正伟，夏思懿，王文彬，曹旺斌，谢志远(华北电力大学电子与通信工程系，河北 保定 071003)摘要：针对电力线信道阻抗变化复杂、负载阻抗不匹配造成通信质量差等问题，提出一种基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法，并验证分析了深度强化学习对于寻找最优匹配参数的可行性。
首先，建立Π型网络结构，推导窄带匹配和宽带匹配场景下的最优匹配目标函数。
其次，采用深度强化学习，利用智能体的移动模拟实际匹配网络的元件参数变化，设置含有理论值与最优匹配值参数的公式作为奖励，构建寻优匹配模型。
然后，分别仿真验证了窄带匹配和宽带匹配两种应用场景并优化模型的网络参数。
最后，仿真结果证明，经过训练后的最优模型运行时间较短且准确度较高，能够较好地自动匹配电力线载波通信负载阻抗变化，改善和提高电力线载波通信质量。
关键词：深度强化学习；电力线通信；窄带匹配；宽带匹配Multi-parameter optimal solution method for Π-type impedance matching networksbased on deep reinforcement learningHU Zhengwei, XIA Siyi, WANG Wenbin, CAO Wangbin, XIE Zhiyuan(Department of Electrical & Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)Abstract: There are problems of complex power line channel impedance variation and poor load impedance mismatch.Thus a multi-parameter optimal solution method for a Π-type impedance matching network based on deep reinforcement learning is proposed, and the feasibility of deep reinforcement learning for finding the optimal matching parameters is verified and analyzed. First, the Π-type network structure is established to derive the objective function for the optimal matching in the narrowband matching and broadband matching scenarios. Secondly, deep reinforcement learning is used to use the movement of the agent to simulate the component parameters of the actual matching network, and set the formula containing the theoretical value and the optimal matching value of the parameters as a reward to build the optimal matching model. Then, this paper separately verifies the network parameters of narrowband matching and broadband matching application scenarios and optimizes the network parameters of the model. Finally, the simulation results prove that the trained optimal model has short running time and high accuracy. It can better automatically match the load impedance change of power line carrier communication, and improve the quality of power line carrier communication.This work is supported by the General Program of National Natural Science Foundation of China (No. 52177083).Key words: deep reinforcement learning; power line communication; narrowband matching; broadband matching0 引言随着科技的进步，电力线通信技术飞速发展，对电力线载波通信质量也提出了更高的要求[1-3]。
运筹学第7章图与网络优化
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
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图与网 2 络基本
概念
连通性？
图的连通度、边连通度、块的概念 络进行建模的实
2 与基本性质
际问题 (包括工
图的搜索与连通性判定算法
件排序问题)
最短路 (SP)？
2
最短路问题、Dijkstra 算法和 Floyd 用数学软件求解
算法
最短路问题
3
树
什么是树 (Tree)？
最小支撑树 (MCST)？
2 树的定义与基本性质、割边、割点 1.MCST 其他算 法；
2. 主要参考书： [1] 图论与网络流理论，高随祥，高等教育出版社，2009.01. [2] Introduction to Graph Theory (Second Edition), Douglas B. West, Prentice Hall,
2001.（中译本：图论导引，李建中、骆吉周译，机械工业出版社，2006）
图论与网络优化以图和网络为研究对象，通过对事物间的联系、相互影响进行网 络建模，对网络结构以及建立在网络结构上行为决策进行研究。本课程主要介绍图论 与网络优化的基本概念、重要理论和算法以及理论的应用，主要包括以下三部分内容：
1）图的概念与结构：树、连通度、Euler 环游与 Hamilton 圈、匹配、独立集与团、 平面图染色等；
-2-
四、教材与主要参考书
1. 教材： [1] Graph theory with applications, J.A. Bondy and U.S.R. Murty, The Macmillan Press
Ltd, New York, 1976.（中译本：图论及其应用，科学出版社，1984） [2] 运筹学（第 4 版），运筹学教材编写组，清华大学出版社，2012.09。
五、进度安排
序 号
专题
主题
计划 课时
主要内容概述
实验实践 （课下）内容
1
绪论
图论与网络优化 简介
1
图论与网络优化历史、发展、前沿 搜集： 1. 图论故事（包
什么是图、网 络？(Graph,
Network)
括但不限于: 历
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
无向图、有向图的基本定义、图与 史/人物/应用）
网络的代数表示与计算机输入
2.可以用图与网
整的运筹学系列课程群，内容和要求各有侧重、联系密切。
二、课程目标（知识、能力、素质一体化设计） 本课程目标是让学生通过对图与网络的理论与算法的学习，理解刻画结构性的抽 象数学理论与算法设计之间的关系和完美结合，认识图与网络研究方法在科技和现代 社会各领域的广泛应用，提升解决实际问题的能力。到课程结束时，学生应能： （1）掌握图与网络的基本概念、重要的图论定理及证明方法（技巧）； （2）掌握经典的网络优化问题的算法（理论基础、基本思想、算法过程）； （3）通过建立图或网络优化模型、合理选择相关理论和算法解决问题的方法，能 够利用数学软件（Matlab、Lingo、Excel 表等）进行算法的实现； （4）通过小组合作，对实际问题开展图与网络建模与算法研究。
-1-
环游与中国邮递员问题；4）最优指派问题；5）最大网络流与最小费用流问题等。 这两部分内容将结合穿插在一起进行讲授学习，将图的结构刻画与优化算法设计
有机地结合起来，强调基于图与网络的结构刻画出发进行算法设计。 研究前沿专题部分：通过最新研究论文介绍复杂网络及社会网络研究热点。 3.与其他课程的关系（先修、并行和后置课程）： 先修课程：高等代数 I、空间解析几何、数学实验 I、运筹学基础等； 并行课程：结构化程序设计、最优化方法等、博弈论基础； 后置课程：计算复杂性理论等。 本课程与运筹学基础、博弈论基础、计算复杂性理论、最优化方法等课程构成完
2）网络优化算法：最小支撑树、最短路、中国邮递员、最大网络流与最小费用最 大流等；
3）复杂网络及社会网络研究简介。 通过本课程学习，学生能够掌握图论与网络优化的基本概念、理论方法及优化算 法，具备应用所学理论和算法解决相关实际问题的能力。
2.设计思路：课程开设依据、课程内容（或项目）选择标准、内容编排顺序。 本课程是为学习《运筹学基础》后的高年级学生开设的，引导学生认识图论与网 络科学在现代科学技术发展中的基础性和其中所蕴含的深刻数学思想，理解数学定理 （理论）和算法之间的关系以及算法设计的重要性，了解图论与网络科学前沿研究领 域。课程内容选取了图论中一些重要的概念与经典理论、若干经典的网络优化问题及 算法，并对相关研究前沿进行专题介绍。 图论部分的内容：1）图的基本概念（包括路、圈、树、连通等）；2）Euler 环游 和 Hamilton 圈，其中 Euler 环游起源于哥尼斯堡七桥问题，是图论和拓扑学的起源； 3）基于图的边集或者点集进行划分的若干概念、理论及证明方法（匹配与覆盖、独立 集与团、染色等）；4）平面图的判定、Euler 公式和著名的四色猜想等。 网络优化理论与算法的内容建立在相应图论内容基础上，包括几个经典网络优化 问题的理论、算法及应用案例：1）最小支撑树问题；2）图搜索与最短路问题；3）Euler
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
图论与网络优化 Graph Theory and Network Optimization
课程属性 专业知识
课程性质 专业选修
责任教师 农庆琴、刘彬、方奇志
课程代码 课时/学分 实践学时 课外学时
075103301275 32/2
64 (32×2)
一、 课程介绍
1.课程描述：课程性质、主要内容。
三、学习期望（课程要求：主动学习、有效学习、学习指导） 要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课，上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。本课程 将包含较多的随堂练习、讨论、小组作业展示等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩 考核的组成部分。 （2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提 交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。 （3）完成教师布置的一定量的阅读文献和背景资料、案例分析、理论探讨和算 法软件应用等作业，其中大部分内容要求以小组合作形式完成。这些作业能加深对课 程内容的理解、促进同学间的相互学习、并能引导对某些问题和理论的更深入探讨。