2复化求积
chap4第2节 复化求积公式
Rn [ f ]
h (b a )
2
f ( ), (a , b)
12
如果记 M 2 max f ( x )
a xb
则有 Rn [ f ]
b
a
f ( x )dx Tn
( b a )h 12
2
M2
(b a ) 12n
2
3
M2
上式说明复化梯形公式是收敛的。
这时由
xk x k 1
得到
h h f f ( x )dx f ( xk 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2880 6 2 n
5
(4)
( k )
b
a
f ( x )dx
i 1
xk
f ( x )dx
x k 1
5 n h h (4) f ( k ) f ( x k 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( x k ) 2880 k 1 k k 1 6 2
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
x
1
2
解：复化梯形公式的误差为
Rn [ f ] f ( x )dx Tn
a b
(b a ) 12n
复化求积公式
复化求积公式复化求积公式是计算定积分的一种常用方法。
它的基本思想是将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，然后将这些小区间的近似结果相加得到总的近似结果。
这个方法的优点是能够适用于各种函数类型，而且在计算机上也可以很方便地实现。
具体来说，我们可以将区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度都为Δx = (b-a)/n。
然后我们在每个小区间上选择一个点xi（可以是小区间的左端点、右端点、中点等）作为代表，然后计算这些小区间上的函数值f(xi)。
这样我们就得到了n个高度为f(xi)的矩形，它们的面积就是Δx * f(xi)。
将这n个矩形的面积相加，就得到了近似的定积分的结果。
单个小区间的近似结果可以表示为Δx * f(xi)。
为了得到更精确的结果，我们可以进一步增加小区间的数量，即取n趋向于无穷大的极限。
这样，我们就可以得到复化求积公式的一般形式：∫[a, b] f(x) dx ≈ Δx/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]其中，Δx = (b-a)/n，x0 = a，xn = b，xi 是每个小区间上的代表点。
复化求积公式的精确度与小区间的数量n有关，通常情况下，n越大，近似结果越精确。
但是同时也需要注意，小区间的数量过大会导致计算量过大，需要更多的时间和计算资源。
复化求积公式在实际应用中有很重要的作用，特别是在数值计算和科学工程领域。
通过这个方法，我们可以近似地计算各种复杂的函数的定积分，例如概率密度函数、信号处理中的卷积运算等。
同时，复化求积公式也为数值积分提供了一种计算机实现的思路，可以通过编程语言实现自动计算定积分的功能。
总之，复化求积公式是计算定积分的一种重要方法，通过将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，并将这些小区间结果相加，从而获得近似结果。
它在实际应用中具有广泛的适用性和指导意义，为求解各种复杂问题提供了一种有效的数值计算方法。
复化求积公式的算法及其应用
复化求积公式的算法及其应用复化求积公式是数值计算方法中重要的一种技术，用于近似计算函数的积分值。
该方法通过将积分区间等分为多个小区间，并在每个小区间上使用求积公式来估计函数在该区间上的积分值。
本文将介绍复化求积公式的算法及其应用。
一、复化求积公式算法1.复化梯形求积公式复化梯形求积公式是复化求积公式中最简单的一种，其基本思想是将积分区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，即Ii=h/2*(f(xi)+f(xi+1))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-12. 复化Simpson求积公式复化Simpson求积公式是一种更为精确的复化求积公式，它通过在每个小区间上使用Simpson求积公式来计算积分值，从而提高了计算精度。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用Simpson求积公式计算积分值，即Ii=h/6*(f(xi)+4f(xi+h/2)+f(xi+h))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-1二、复化求积公式应用1.数学分析中的数值积分计算，用于计算函数的定积分值。
2.物理学中的积分计算，用于计算物理量的平均值或总量。
3.统计学中的积分计算，用于计算概率密度函数的面积值。
4.工程学中的积分计算，用于计算工程问题中的各种积分量。
5.金融学中的积分计算，用于计算金融衍生品的价格或价值。
总结：复化求积公式是一种重要的数值计算方法，在数学、物理、统计、工程、金融等领域中有广泛的应用。
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
复化求积公式
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
第五讲 复化求积公式
四、自动选取积分步长
事前确定步长的问题 (1) 高阶导数的估计往往是很困难的； (2) 这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。 为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法” “事后估计法”的基本思想是 (1) 求数值积分时，将区间逐次分半； (2) 利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求， 从而确定n. 下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法
1 h n1 T f (x ), n k1 2 2 2k0
如何根据Tn和T2n来确定误差是否满足要求？
(ba ) 2 I Tn ( h f ) 1 2 ba h 2 I T2n ( ( ) f ) 1 2 2
则有
如果二阶导数在区 间[a,b]上变化不大
n 1
R (Tn )
复化simpson公式的截断误差
（ 4 ） 若 函 数 f ( x )[ 在 a ,] b 上 连 续 ， 则
ba 4 (4) h5 (4) hf ( ) R ( S n ) f ( k ) I Sn 2 8 8 0 8 8 0 k0 2
0 . 9 4 6 0 8 3 2
1 1 C2 [ 7 f( 0 ) [ 3 2 f( x 1) 1 2 f( x 2) 3 2 f( x 3) ] k k k 1 8 0 k 0 4 4 4
1 4 f( x 7 f( 1 ) ] k)
k 1
1
0 . 9 4 6 0 8 3 0
n 1 h [ 7 f ( x ) 3 2 f ( x ) 1 2 f ( x ) 3 2 f ( x ) 7 f ( x ) ] k 1 2 3 k 1 k k k 9 0 k 0 4 4 4
4.3 复化求积公式
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1
T2n
4n
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)
1 2
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
h 2
n k 0
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表应用复化梯形法计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
2/4
x 0 1/8
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 2/8
用复化梯形法求得
3/8
T8
h 2
f
7
(a) 2
k 1
f
(xk )
x
k
1
)
2
f
( xk 1)]
xk
x k1
x k 1
2
b
n1
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
4 4
xk 1 xk 6
m1 f
k0
xk
4f
(
x
k
1
)
2
f
( xk 1 )
4
4
4
称Sn为复化 Simpson公式
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h4 1 ( ) 10 4 180 2
即得n 3.2.故应取n = 4.
复化求积方法又称为定步长方法,复化求积公式,根据预先给 定的精度能估计出合适的步长或n,进而确定对积分区间的等分数, 如同例7一样. 然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出 合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当 困难的。这个是本方法缺点。
xk 1 xk
求和得： f ( x)dx
a
整理得：
式（7-17）称为复化Simpson公式。
W Y
f ( x)dx
b
h [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) f ( xk 1 )] 6
k 0
n 1
xk 1
xk
f ( x)dx
n 1
k 0
n 1
h [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) f ( xk 1 )] 6
h [ f (a) 4 f ( xk 1/ 2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1
n 1
b a
h f ( x)dx [ f (a) f (b) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) S n (7 - 17) 6 k 1 k 0
0.3
若用复化求积公式计算积分: I 1 e x dx
0
要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过10-4 / 2.又因为: f ( k ) ( x) e x 1 x [0,1]
由复化梯形公式误差估计式： RT
h=1/n
即： n 2
因此若用复化梯形公式求积分, n应等于41才能达到精度. 若用复化Simpson公式,由式（7-18）
k 0 k 1
n 1
n 1
(7 - 19)
( ), (a, b)
(7 - 20)
在实验计算中常用的前面三种低价N-C公式，但若积分区 间比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证； 若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出， 当n 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此 不能采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发， 必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用 高次插值，亦即不用高阶N-C公式。 为提高精度,当增加求积节点时,考虑对被积函数用分段低次多 项式近似,由此引出复化求积公式:复化梯形和复化辛普生公式.
复化Cotes公式的截断误差为：
2(b a ) h Rc ( f ) I Cn f 945 4
6 ( 6)
W
3.3复化Cotes公式
Y
x k a kh( k 0,1, , n), ba n
h
32 f ( xk 3 / 4 ) 14 f ( xk ) 7 f (b)]
在每个小区间： [ x k , x k 1 ] 上，共五个点：x k , x k 1 , x k 2 , x k 3 , x k 1
4 4 4
用Cotes公式得到复化Cotes公式 ：
n 1 n 1 h Cn [7 f (a ) 32 f ( xk 1 / 4 ) 12 f ( x 2 ) k 90 k 0 k 0 4
n 1 h f (x)dx [ f ( a ) f ( b ) 2 f ( xk )] Tn (7-15) 称为复化梯形公式. 2 k 1
如果f ( x ) C ( 2 ) [a, b], 在小区间 [ xk , xk 1 ]上, 梯形公式的截断误差为 h h3 xk f ( x )dx 2 [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 12 f ( k ) b h 3 n 1 因此：RT ( f ) f ( x )dx Tn f ( k ) a 12 k 0
m 1 连续，故存在(a, b)，使得： f ( ) f ( 4) ( k ) m k 1
RS ( f )
b a h 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
(a , b)
(7 - 18)
例
[解 ]
的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 因为当0≤x≤1时有0.3<e-1≤e-x≤1于是：
xk 1
k ( xk , xk 1 )
1 f ( ) b),使得： n
f (
k 0
n 1
k
)
3.2 复化Simpson公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数,即在小区间上用Simpson公 式计算积分近似值,就导出复化Simpson公式。
ba , n 小区间 [ xk , xk 1 ]的中点为xk 1/ 2 , 用Simpson 公式求积分, 则有 : 将区间 [a, b]分成n等分, 分点为xk a kh(k 0,1, , n), h
W
I
1 sinx
作 业
Y
dx
( x)
(k )
1 0
(
dk dxk
cos xt )dt
k
1 0
t k cos(tx
k )dt 2
1 kn 1 ( x) max t cos(tx ) dt `t k dt 0 0 x 1 0 2 k 1
1
将区间[a, b]分成n 等分,分点为：
用分段线性插值函数来近似被积函数,等于把积分区间分成 若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积,即用 梯形公式求小区间上积分的近似值.这样求得的近似值显然比整区 间上用梯形公式计算精度高。————复化梯形公式
W
§3 复化求积公式
Y
小区间[ xk , xk 1 ]( k 0,1,
W Y
用复化梯形求积公式计算积分:
x 要使截断误差不超过10-3 / 2，h应取多大？辛普生公式又怎么样？
0
1 sin x 由于f ( x) cos xtdt , 所以 0 x
f
(k )
故： f
1 h2 h 2 1 1 3 当k 2时, f ( x) RT (1 0) f ( ) 10 3 12 12 3 2 18 1 ba h 0.1342 ,因此可取h 0,125 163 8 8
b a
整理得
由f (x) 在[a, b] 连续,由介值定理,存在(a,
3
从而有： RT ( f ) b f ( x)dx Tn h nf ( ) b a h 2 f ( ) (a, b) (7 - 16) a
12 12
这就是复化梯形公式的截断误差.
W Y
3.1 复化梯形公式
将积分区间[a,b]n等分,记h
ba , xk a kh( k 0,1, n ,n 1 )上用梯形公式并求和, 得
n-1 k 0
,n ).在b a
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
RS h4 f 180
( 4)
例子的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公 式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式 的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。
W Y
1 0
e x dx 1
1 10 4 6
1 2 h2 1 h f ( ) 10 4 12 12 2
W
RS ( f )
a
f ( x )dx
6
[ f (a ) f (b) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1 / 2 )]
k 0 k 0
k 1
m
h h 4 ( 4) ( ) f ( k ) 180 2
k [ x k , xk 1 ]
(4)
(4)(x)
n 1
n 1
如果f (x)C(4)[a, b],由式（7-13）可得复化Simpson公式的截断误 n 1 n 1 公式的截断误差 b 复化Simpson 差为： h
Y
因为f
式（7-18）表明,步长h越小,截断误差越小.与复化梯形公式的分 析相类似,可以证明,当n 时,用复化Simpson公式所求得的近似 值收敛于积分值,而且算法具有数值稳定性.