2018届人教A版 向量知识的综合运用 检测卷

A 卷一、选择题1．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知点O 为△ABC 内一点，∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE →·EA →的值为( ) A.514 B.27 C.314D.3284．已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝05．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且满足|a －2b |＝2，则a·b 的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题6．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________． 7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.则函数y ＝f (x )的表达式为________________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ； ④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 三、解答题10．已知点C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →. (1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，直线l 与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤45时，求k 的取值范围．答案精析1．A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．]2．B [∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD →＝－OC →， ∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.] 3．D [由∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 120°＝1＋4＋2×1×2×12＝7，即AB ＝7，S △OAB ＝12×1×2×32＝32，则OD ＝32×27＝217，故OE →·EA →＝OD →2·(－AE →)＝－12OD →·AO →＋AD →2＝OA →·OD →4＝|OA →|·|OD →|·cos ∠AOD 4＝|OD →|24＝14×2149＝328，故选D.]4．A [由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ，得x ＋y －2＝0，故选A.]5．B [4＝(a －2b )2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝a 2－2|a ||b |＋4b 2≥4|a ||b |－2|a ||b |＝2|a ||b |⇒|a ||b |≤2 ⇒a·b ＝12|a ||b |≤1，故选B.]6．1解析 由|a ＋b |≤2a·b 可得a·b ≥0，两边平方得2＋2a·b ≤4(a·b )2，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，所以a·b ＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1. 7.16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.8．f (x )＝ln(x ＋1)解析 由向量共线的充要条件及OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0可得y ＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即y ＝1－2f ′(1)＋ln(x ＋1)，则y ′＝f ′(x )＝11＋x， 则f ′(1)＝12，所以y ＝1－2×12＋ln(x ＋1)＝ln(x ＋1)．故f (x )＝ln(x ＋1)． 9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ， 当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的； 当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时， 设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④.10．解 (1)由题意知，MQ 为线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22>|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，故点Q 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|b |k 2＋1＝1⇒b 2＝k 2＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋b⇒(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，则Δ＝16k 2b 2－4(1＋2k 2)×2(b 2－1)＝8(2k 2－b 2＋1)＝8k 2>0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2，OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(2b 2－2)1＋2k 2＋kb －4kb 1＋2k 2＋b 2 ＝2k 2(1＋k 2)1＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝k 2＋11＋2k 2，所以34≤k 2＋11＋2k 2≤45⇔13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22⇒－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 所以k 的取值范围为[－22，－33]∪[33，22]． B 卷1.已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．2．(2016·河南、河北、山西考前质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c ＝a sin C －3c cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，△ABC 的面积S ＝3，求b ，c .3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求角A 的大小；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．4.(2016·天津一中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )＝12－34，求△ABC 的面积S .5．“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱距地面1万米的P 点的时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．(1)求B ，C 两救援中心间的距离； (2)D 救援中心与着陆点A 间的距离．答案精析1．解 f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 2．解 (1)由已知及正弦定理，得3sin C ＝sin A sin C －3sin C cos A . ∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0， ∴3＝sin A －3cos A ，即sin A cos π3－cos A sin π3＝32，sin(A －π3)＝32.∵0<A <π，∴－π3<A －π3<2π3，∴A －π3＝π3，∴A ＝2π3.(2)由三角形面积公式得S ＝12bc sin 2π3＝3，得bc ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝12，∴b ＋c ＝4，∴b ＝c ＝2.3．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin(2x ＋π6)． 因为f (x )的最大值为6，A >0，所以A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)，又x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．4．解 (1)∵函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.(2)∵2AC →·CB →＝2ab ，∴2ab ·cos(π－C )＝2ab ，cos C ＝－22，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34，∴12－32sin 2A ＝12－34，sin 2A ＝12， ∴A ＝π12，∴B ＝π6.由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4，即a 6－24＝b 12＝2222，解得a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12ab ·sin C ＝3－1.5．解 (1)由题意知P A ⊥AC ，P A ⊥AB ， 则△P AC ，△P AB 均为直角三角形， 在Rt △P AC 中，P A ＝1，∠PCA ＝60°， 解得AC ＝33， 在Rt △P AB 中，P A ＝1，∠PBA ＝30°，解得AB ＝3， 又∠CAB ＝90°，BC ＝AC 2＋AB 2＝303万米． (2)sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝310，cos ∠ACD ＝－110， 又∠CAD ＝30°，所以sin ∠ADC ＝sin(30°＋∠ACD )＝33－1210，在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠ACD ，AD ＝AC ·sin ∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313万米．。