2010-2011学年上学期江苏省郑级高级中学高三数学期末模拟试卷(1)

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江苏省灌南高级中学2010-2011学年度高二年级下学期调研数学试题(二)

江苏省灌南高级中学2012-2013学年度高二年级上学期期末考试模拟数学试题（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．纸的．．相．应位置上．．．．. 1. 命题“,sin x R x x ∃∈=”的否定是 .2. 如果直线l 是曲线32y x x =-在点(1,1)-处的切线，则切线l 的方程．3. 设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的条件．(从“充要”“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选取)4. 在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，3BE ED =，以{},,AB AC AD为基底，则GE = _________5.以椭圆221164x y +=内的点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为． 6. 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅= ，则12PF PF +=_______ ．7. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC CC ===，则直线1BC 和平面11DBB D 所成角的正弦值为_________.8. 若函数2ln y ax x =-是区间1(0,)2上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 .9. 已知定点(6,2),A F 为抛物线x y 42=的焦点，P 为抛物线上任意一点，则使||||PA PF +取得最小值的点P 的坐标是_______________.10. 已知1111ABCD A BC D -是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，13BN NC =，设1MN AB AD AA αβγ=++，则αβγ++的值为__________．11. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为．12. 设O 为坐标原点,向量(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为___________.13. 已知32()f x ax bx cx =++，当1x =时,函数()f x 有极大值4，当3x =时,函数()f x 有极小值0，则=)(x f ______________； 14. 在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b所在的直线平行；②若a ，b ，c 所在的直线两两异面，则a ，b ，c一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c三向量一定也共面；④已知三个不共面向量a ，b ，c ，则空间任一向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++（x y z ，，为常数）.其中正确命题的序号是 __________.二、解答题:本大题共6小题,计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分）设p ：方程221122x y m m +=-+表示双曲线； q ：函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．求使“p q ∧”为真命题的实数m 的取值范围．16. (本小题满分14分)已知函数32()2f x x ax bx =+++与直线450x y -+=切于点(1,1)P -．（1）求实数,a b 的值；（2）若0x >时，不等式2()22f x mx x ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围．ABCC 1D 1A 1B 1D E F17. (本小题满分15分)已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,BC A D 的中点.试求：(1)求1AC 与DE 所成的角的余弦值的大小； (2)求AD 与平面1B EF 所成的角的正弦值的大小； (3)求二面角1B EF B --的大小的余弦值的大小.18.(本小题满分15分)已知椭圆()222210y x a b a b+=>>的离心率3e =，过点()0,A b -和(),0B a .（1）求椭圆的方程；（2）已知定点()1,0E -，若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.19.(本小题满分16分)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20.（本小题满分16分）已知圆锥曲线C 的焦点为(1,0)F ，相应的准线方程为2x ，且曲线C 过定点(0,1)B .又直线l 与曲线C 交于,M N 两点．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）试判断是否存在直线l ，使得点F 是△BMN 的重心．．．若存在，求出对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（3）试判断是否存在直线l ，使得点F 是△BMN 的的垂心．．．若存在，求出对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．高二年级数学试题参考答案一、填空题：1. ,sin x R x x ∀∈≠2.20x y --=3.充分不必要条件4.3114123GE AD AB AC =--5.450x y +-=6.7.8.2a ≤ 9. (1,2) 10. 3211. 1 12. 448(,,)333Q 13. 32()69f x x x x =-+ 14. ④二、解答题：15解：命题P ：∵方程221122x y m m +=-+表示双曲线，∴(12)(2)0m m -+<，即2m <-或12m >。

2020年江苏省高考数学一轮训练试题考点6：解析几何

2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学 Ⅰ试题 2011.13、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲答案：0<m9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断：当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |＝当n ＝3时，| A 3B 3 |＝3当n ＝4时，| A 4B 4 |＝3……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲17、（本题满分15分）已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；（Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)8．已知F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x ，)0(>>b a 的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13-．三、解析几何题1．已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ．(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ; (2)当23PQ =时，求直线l 的方程;(3)探索AM AN •u u u u r u u u r是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)l Q 与m 垂直，且11,3,3m k k =-∴=故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=Q 圆心坐标（0，3）满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，23,431PQ CM =∴=-=Q ，则由2311k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u rQ ①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5(0,),3AN =-u u u r 又(1,3)AC =u u u r ，5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r．②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313kAN k k --=++u u u r515 5.1313k AM AN AC AN k k--∴⋅=⋅=+=-++u u u u r u u u r u u u r u u u r综上所述，AM AN ⋅u u u u r u u u r 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r．2．已知A 、B 是椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线(22)x t t =-<<交椭圆于M 、N 两点，经过A 、M 、N 的圆的圆心为1C ，经过B 、M 、N 的圆的圆心为2C ． (1)求证12C C 为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围．解：(1)由题设A （-2，0），B （2，0），由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解出22(,1),(,1)44t t M t N t ---．设1122(,0),(,0)C x C x ，由22112()14t x t x +=-+-解出13(2)8t x -=．同理，2222()14t x x t -=-+-解出23(2)8t x += ，122132C C x x =-=(定值)． (2)两圆半径分别为131028t x ++=及210328tx --=，两圆面积和222(310)(103)(9100)6432S t t t ππ⎡⎤=++-=+⎣⎦，所以S 的取值范围是257,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0),F 动圆过点2F ，且与圆1F 相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且1ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程．解：(1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆1F 内切，所以2MF r =，所以124MF MF =-，即124MF MF +=．所以点M 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其中24,1a c ==，所以2,3a b ==．所以曲线C 的方程22143x y +=． (2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABF AOF S S ∆∆=．因为13ABF S ∆=，所以13AOF S ∆=．不妨设点11(,)A x y 在x 轴上方，则111132AOF S OF y ∆=⋅⋅=，所以113,3y x ==±，即：A 点的坐标为3(3,)2或3(3,)2-，所以直线l 的斜率为12±，故所求直线方程为20x y ±=．4．已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过(0,)A p 点，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦. (1)求弦长MN ；(2)设12,AM l AN l ==，求1221l l l l +的取值范围．解：(1)设00(,)C x y ，则圆C 的方程为：22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．[来源:学科网]令0y =，并由2002x py =，得2220020x x x x p -+-=，解得1020,,x x p x x p =-=+从而212MN x x p =-=， (2) 设MAN θ∠=，因为21211sin 22MAN S l l OA MN p θ∆=⋅⋅=⋅=，所以2122sin p l l θ=，因为l 12+l 22-2 l 1 l 2cos θ=4p 2 ，所以l 12+l 22=)tan 11(4cos sin 44222θθθ+=+p p p . 所以22212122211214(1)sin tan 2(sin cos )22sin(45)2p l l l l l l l l pθθθθθ+++===+=+︒．因为0090θ<≤，所以当且仅当45θ=︒时，原式有最大值22，当且仅当90θ=︒时，原式有最小值为2，从而1221l l l l +的取值范围为[2,22]． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±13x ，则这条双曲线的方程是答案：2219x y -= 10.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为答案： 212. 若过点A (a ,a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是答案：3312a a <-<<或 18．(本小题满分16分)已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程；（2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。

江苏省2010-2011年第一学期高一期末数学试题及答案

江苏省2010-2011年第一学期高一期末数学试题及答案一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．集合，，若，则 ▲2．已知函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ▲．3．定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为 ▲4．，与的大小关系是 ▲ 。

5．函数的定义域为 ▲ 。

6．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 ▲ 。

7．函数，的值域为 ▲ 。

8．已知函数，，，则的大小关系为 ▲ 。

则函数的零点为 ▲ 。

（精确到0.1）xy-1第10题图10．已知函数的图像如图所示，则 ▲ ； ▲ 。

11．若函数的值域为，则函数的定义域为 ▲ 。

12．设函数，当时恒成立，则取值范围▲ 。

13．已知函数，则 ▲ 。

14．已知命题：①函数为偶函数；②定义在上的函数在区间上是单调减函数，在区间上也是单调减函数，则函数在上是单调减函数；③函数的图象一定过定点；④函数的图像和函数的图像的公共点个数为，则的值不可能是1。

其中正确命题的序号为 ▲ 。

二．本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。

15．（本小题满分14分）计算：（1）；（2）。

16．（本小题满分14分）已知集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若求实数的取值范围。

17．（本小题满分14分）已知函数，（1）证明函数是偶函数；（2）用分段函数表示并作出其图象；（3）指出函数的单调区间及相应的单调性；（4）求函数的值域。

18．（本小题满分16分）我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时５元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。

（1）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元。

江苏省常州市第一中学2011届高三数学上学期教学质量检测苏教版

江苏省扬州市第一中学2010-2011学年度第一学期高三期末试题一、填空题（每小题5分，共70分） 1．α是第一象限角，43tan =α，则=αsin ____________ 2．已知复数z=3-4i,则复数z 的实部和虚部之和为_____________3．已知集合A ＝{－1,3,m}，集合B ＝{3,4}。

若B ⊆A ，则实数m ＝___________ 4．程序如下： 1←t 2←iWhile 4≤i i t t ⨯←1+←i i End While int Pr t以上程序输出的结果是5．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ．6．若实数对（x ，y ）满足约束条件0230x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y 1+的最小值为．7．设a>0，b>0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b的最小值是______8．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是．9．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =12 (a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为10．若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为． 11．设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； ④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则．其中正确命题的序号为12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，则PD PC ⋅的最大值为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ．14．已知函数xx x x f 4341ln )(+-=,2()2 4.g x x bx =-+若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，则实数b 取值范围是二、解答题（共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ；16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座FG 高1.5m ，现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？（参考数据：30.20.58,0.660.81≈≈）18．（本小题共16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．C D BA EG H已知M （p, q ）为直线x+y-m=0与曲线y=-1x 的交点，且p<q ，若f （x ）=2x-mx 2+1 ，λ、μ为正实数。

江苏省东海县高级中学2011届高三数学期末模拟试题一

江苏省东海县高级中学2011届高三数学期末模拟试题一 2011.1一、填空题：（每小题5分，共70分）1. 复数sin1cos2z i =+在复平面内对应的点位于第 ★ 象限.2. 已知：0(,)|230,,,1x y A x y x y x R y R x ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪=++≥∈∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭{}222(,)|(),,B x y x a y a x R y R =-+<∈∈，若点(,)P x y A ∈是点(,)P x y B ∈的必要不充分条件，则正实数a 的取值范围是 ★ . 3. 函数22log 1(),log 1x f x x -=+若12()(2)1f x f x +=（其中12,x x 均大于2），则12()f x x 的最小值为 ★ .4. 研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），则关于x 的不等式2cx bx a -+>有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x -+>⇒-+>，令1y x =，则1,12y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭。

参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集 ★ .5. 设函数112()lgm x x i i m a f x m-=+=∑，其中a R ∈，m 是给定的正整数，且2m ≥，如果不等式()(2)lg f x x m <-在区间[1,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是 ★ .6. 在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 ★ .7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()f x x =，若对任意的[2,]x t t ∈-，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ★ . 8. 数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，，1，1，n ，的第2011项为 ★ . 9. 设集合M ={}1,2,3,4,5,6,7,8，12,,,k s s s 都是M 的含两个元素的子集，且满足对任意的{}{}{}*,,,(,,1,2,3,,,)i i i j j j s a b s a b i j i j k k N ==≠∈∈，都min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者），则k 的最大值是 ★ . 10. 直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点成为整点。

江苏省江都高级中学2010-2011学年第二学期高二期末考试模拟试卷数学(理)

，则
的值为
_______ . 6. 已知 DABC 的三个顶点坐标为 A(0, 0), B (1, 3), C (0, 2) ，则 DABC 在矩阵
é ê ê ê ê ë
1 2 3 2
- 3ù ú 2 ú 1 ú ú 2 û 作用下得到的图形面积为_______.
7. 上海世博局将 10 个自愿者的名额分配给不同的四个大学，要求一个大学 1 个名额，一个大学 2 个名额，一个大学 3 个名额，一个大学 4 个名额，则不同的分配方案种数为_______.
2
(1) 若 z1 是纯虚数,求 m 的值； (2) 若 z 2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围； (3) 若 z1 , z 2 都是虚数,且 OZ 1 × OZ 2 = 0 ,求 | z1 + z 2 | . 解：（1）m=0 （2）-1＜m＜1 4分 5分
5 2 （3） 4
（2）若 P 为
求线段 QP 的最大值及对应的 Q 点坐标. 23. 上海世博会为选拔自愿者采用知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3 题者则被淘汰，已知选手甲回答
2
(1) 若 z1 是纯虚数,求 m 的值； (2) 若 z 2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围； (3) 若 z1 , z 2 都是虚数,且 OZ 1 × OZ 2 = 0 ,求 | z1 + z 2 | .
é1 0 ù é 1 2 ù ur é1 ù A=ê , B = ú ê -2 -1ú b = ê7 ú ë0 -1û ë û, ë û 求矩阵 M = AB 的特征值及对应的一个 18.已知矩阵

2010-2011第一学期江苏省常州2011届高三模拟数学试题(非一摸)

（第9题图）2010-2011第一学期江苏省常州2011届高三模拟数学试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则)(N M C U ⋃＝____▲____. 2．复数21i(1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a a b ，+=a b ||=b ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ▲ ．5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ．6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有1nk k a =∑＝2n－1，则21nk k a =∑= ▲ ．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是 ▲ ．8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥；③若,//m m n αβ= ，则//n α且//n β；④若,m n m αβ⊥= ，则n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 ▲ ．11．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是（第8题）数/分BE())0,0，则PC ·PD 的最大值为 ▲ ．13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ▲ ．【填空题答案】1．{4}； 2．12-; 3．2； 4．23-； 5．π；6．()1413n -； 7．1； 8．90； 9．10； 10．①③④ ； 11．(21)-，； 12．4； 13．413()i i V iH k ==∑； 14．0．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形．【解】（1）由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． …………6分【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =.……………8分于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0，所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c a c =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-，得a =c .因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．OB C AP (18题图）（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ．【证明】（1）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ， GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG . ……………………4分因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ． ……………………7分（2）因为AB ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF . ……………………9分又AC =AD ，所以AF ⊥CD . ………………… 11分而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE . 因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE .因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE ． ………………… 14分 17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =.所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为2sin 22)cos y PB PA ααα-=+=+=. ……………………6分故所求函数关系式为()2sin π0cos 4y ααα-=≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22sin 1cos y αα-'=，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>.所以当π6α=时，2sin 4cos y αα-=+取得最小值， ………………… 13分此时π6OP =km ），即点P 在OA 上距O km 处.【答】变电站建于距O 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】（1）由离心率e ==，即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+. ② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.设G 与直线l 相切于点T=4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =. ………………… 16分（说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分）20．（本小题满分16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】（1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以11.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒[]min ()2mf x f m ==-+这时，[]min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞ ，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分。

江苏省江阴高级中学2010-2011学年度第一学期期末初二数学试卷

江苏省江阴高级中学2010－2011学年度第一学期期末考试初二数学试卷出卷人：徐惠忠复核人：杜春跃一、细心填一填.(本大题共11小题，每空2分，共28分，把答案填写在题中横线上,只要你理解概念仔细运算,相信你一定会填对的．)1．4的算术平方根是；－27的立方根是．2．科学家发现某病毒的长度约为0.000000595mm ，用科学记数法表示的结果为 mm ．3. 点P （－2，－3）关于y 轴的对称点的坐标是________，到y 轴的距离是______． 4．函数31-=x y 中，自变量x 的取值范围是． 5．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________． 6．已知直线y ＝3x －1，把其沿y 轴向上平移5个单位后的直线所对应的函数解析式是．7．已知菱形的两条对角线分别长为10㎝，8㎝，则此菱形的面积为 cm 2． 8．梯形的上底长为3 cm ，下底长为7cm ，则它的中位线长为 cm ．9．如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长为________.10．如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则二元一次方程组,y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的解是．当≤+b ax kx 时，x 的取值范围是 .11.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK △的面积为 . 二、精心选一选（本大题共7小题，每小题3分，共21分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把选项的字母代号填在题后的括号内，相信你一定能选对！） 12.下列汉字或字母中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C D F 第9题图 D A B RP F C G KE 第11题图第12题图第14题图左眼13. 等腰三角形的周长为cm 13，其中一边长为cm 3，则该等腰三角形的底边为（）A ．cm 7B ．cm 8C ．cm 7或cm 3D ．cm 314. 如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成……………………………………………………（）A.(1，0)B. ），（01-C.），（11-D. ），（1-1 15.在101001.0-, 5, 72 , 2π-0中，无理数的个数有…………（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是……………………（） A.当AB=BC 时，它是菱形 B.当AC ⊥BD 时，它是菱形 C. 当AC=BD 时，它是正方形 D. 当∠ABC=900时，它是矩形17．若一组数据n x x x x x ,,.,,4321⋅⋅⋅的平均数为2010，那么2,2,2,24321++++x x x x …,2+n x 这组数据的平均数是…………………………………………………（） A ．2009 B.2010 C.2011 D.201218.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图6-1），在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成22次变换后，骰子朝上一面的点数是……………………………………………（）A ．6B ．5C ．3D ．2三、认真答一答。

江苏省盐城市2010-2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题及参考答案(全word版)

第6题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题(总分160分, 考试时间120分钟) 2011-1-20一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q = ▲ . 2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位),则12-z z = ▲ . 3．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ .4．某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人, 50岁及以上的有30人.现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查, 则35岁到49岁的应抽取 ▲ 人．5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ . 6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果S= ▲ . 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ . 8．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan5tan100tan100tan(15)+- tan(15)tan51+-=； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=.一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ . 9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ .10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ▲ .11．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥ m l l m ,那么①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).12．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .第15题C 1ABCDEF A 1B 1 第16题第17题13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ,2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x , 设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内, 则-b a 的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分) 如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在⊙O 上,点A 34(,)55, 点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°,E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.17．(本小题满分16分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==. （Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据1.4).19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ；（Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由；（Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围；（Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f xg x =成立, 求a 的取值范围.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点,⊥OC AB ,过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.D.（选修4—5：不等式选讲）已知0>m , a , b ∈R ，求证：()22211a mba mb mm++≤++.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）设,m n N ∈,()(12)(1)m nf x x x =+++.（Ⅰ）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．AD 第21-A 题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}0,22.22+i3.,sin 2∃∈≥x R x4.55.346.617.π8.90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++= 当时9. 22(2)(2)10-+-=x y 10.8 11.②④ 12.71313.4 14.9 二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==………………………………6分（Ⅱ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+ BOC AOC310-=10分同理, 4sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为34(,1010-+………………………………14分16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点,所以11////EF AB AB ………………………4分而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD ………………………………………7分（Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥,而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B = ,所以AB ⊥面11BCC B ………… 11分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为1cos 602122p OA =⋅=⨯= ,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅= ,所以M 的方程为22(2)4x y -+=……………… 5分（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=---- =222322x x y x x -++=++……8分所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2 ……………………………………………………………10分（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11分设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3 ……………16分 18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分（Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8],故当且仅当14x -=,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得244a -≤,所以a的最小值为24 1.6-≈ ………………14分 19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--……………4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列……………………5分理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+, 所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 ………………………………………………………………… 9分（Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………………………10分因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………………………12分212(10)1n n S c +-= ，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480xg x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立……………………………………………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=,所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e ==………………………………………………………4分（Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y ==…………………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='，（i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数, 故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ……………………………………………7分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数, 所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e ………………………………………………………………………8分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==………………………………………………………………9分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y ……………………………10分所以当312a a +≥时,得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）, 得52ln 2233a -≤≤………………………………………………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a , 得ln 22ln 20222a a a +--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<, 所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<……………………………………14分③当222a e <<时,()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2aa 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2a g 3ln 222a a a<-, 得23ln 22ln 204222a a a a-++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-, 则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解.④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由(2a g e <得2222ln 204a e -+-<无解. 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-………………………16分数学附加题部分21．A.证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°………………………………………………………………………………5分所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ……………………………………………………………………………………10分B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量………………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC 分所以1MN MC r +≤……………………………………………………………………………10分D. 因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb m m++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++…10分 22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m nC C + 2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ……………………4分（Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==,(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=,即随机变量ξ的概率分布列为:分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。

江苏省苏州市2011届高三第一学期期末数学试题

江苏省苏州市2011届高三零模调研测试数学试卷 2011．1．20一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数()212i +的共轭复数是． 2．若双曲线()22221,0x y a b a b-=>的离心率为2，则b a = ． 3．样本数据11，8，9，10，7的方差是．4．函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A wx A w ϕϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ．5．已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是． 6．设,E F 分别是Rt ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知3,6AB AC ==,则AE AF ⋅= ．7．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥；③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是．8．已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈，则2αβ+= ． 9．右图是一个算法的流程图，最后输出的S = ．10．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为．11．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 m （π取3.14，精确到1m ）．12．已知数列{}n a 满足()*115132,N 37n n n a a a n a +-==∈-,则数列{}n a 的前100项的和为． 13．已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b ++≤≤，则b a的取值范围为． 14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()3a b c b c a bc +++-=． ⑴求A ;⑵若90,4B C c -=︒=，求b ．（结果用根式表示）16．（本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点．⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD ．17．（本小题满分14分）有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方与车身长()l m 的积，且车距不得小于一个车身长l （假设所有车身长均为l ）．而当车速为()60/km h 时，车距为1．44个车身长．⑴求通过隧道的最低车速；⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18．（本小题满分16分）如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点．⑴若AB BC λ= ,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*12111N 1n n n S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+． ⑴求1S ,2S 及n S ；⑵设12n a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对一切*n N ∈,均有21116,63n k k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =>>且为常数． ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数．21．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等．⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X ．⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；⑵求X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，11A E CF ==．⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值；⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值．24．（本小题满分10分）设()1n f n n +=，()()*1,ng n n n =+∈N ． ⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小．⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．苏州市2011届高三调研测试试卷数学参考答案1．34i -- 2 3．2 4．4π 5．58 6．10 7．①② 8．4π9．25 10．1121m << 11．100 12．200 13．35,43⎛⎫ ⎪⎝⎭14．4 15．16．18．20．21．22．23．24．。

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江苏省郑集高级中学2010—2011年度高三阶段性考试数学试题（01.08）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.已知全集R U =，集合}22)21(|{},0lg |{≥=<=xx N x x M ，则=N M C U )( ▲ ．2.已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则=a ▲ ． 3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 ▲ 人．4.长方形ABCD 中，AB =2, BC =1,在长方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到A,B 两点的距离均大于1的概率为 ▲ ．5.执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = ▲ ．6.函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．7.已知椭圆C ．：12222=+by a x 以抛物线x y 162=的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C 的离心率为 ▲ ．8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足5762a a a -=，若存在两项n m a a ,使得22a a a n m =，则nm 41+的最小值为 ▲ ． 9. 等腰△ABC 的腰AB 上的中线CD 的长为2，则△ABC 周长的最大值为 ▲ ．考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共2页，包含填空题（第1题至第14题，共14题）、解答题（第15题至第20题，共6题）两部分．2、答题前，请您务必将自己的班级、姓名、考试号用书写黑色字迹的．．．．．．．0．．．5．毫米签字笔．．．．．填写在答题纸上的指定位置．3、作答必须用书写黑色字迹的．．．．．．．0．．．5．毫米签字笔．．．．．写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．10.在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE BD ⋅＝ ▲ ．11.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n ，联结原点O 与点(,3)n A n n +，若用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数，则(1)(2)(2010)f f f +++= ▲ ．12.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()2121x x k x f x f -≤-成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件。

若函数()()1≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 ▲ ．13.已知函数kx x x x f ++-=224)(在)4,0(上有两个不同零点21,x x ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 ▲ 行．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………………二、解答题（本大题共6小题，计90分）15. （本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若向量m (0,1)=-，向量n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m+n |的最小值．16．（本题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°， P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（3）求证CE ∥平面P AB ．CAPABCDEF17．（本题满分15分）某园林公司计划在一块O 为圆心,R (R 为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ∆区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．(1) 设COD θ∠=, CMDl =,分别用θ,l 表示弓形CMDC 的面积(),()S f S g l θ==弓弓； (2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?(参考公式:扇形面积公式21122S R Rl θ==)18．（本题满分15分）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．（1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.19．（本题满分16分）设函数2()ln f x x m x =-，2()h x x x a =-+． ⑴当0a =时，()()f x h x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；⑵当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在[]1,3上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围；⑶是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．20．（本题满分16分）若公差0≠d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知2312,2231+=+=S a .（1）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和；（2）记2-=n n a b ，若自然数 ,,,,21k ηηη满足,121 <<<<≤k ηηη并且,,,,,21 k b b b ηηη成等比数列，其中,3,121==ηη求k η（用k 表示）；（3）记,c nS nn =试问在数列}{n c 中是否存在三项),,,(,,*∈<<N t s r t s r c c c t s r 恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．命题人：庄后伟审核：张克平王广群2011.01.08江苏省郑集高级中学2010—2011年度高三阶段性考试数学试题Ⅱ（01.08）附加题部分（由选做题、必做题两部分组成，共40分）注意事项及说明：1.本加试题由选考物理科目的考生解答。

2.本加试题共40分，时间为30分钟。

21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：PM 2=P A ·PC ；（2）若⊙O的半径为OAOM ，求MN 的长．B. 选修4－2：矩阵与变换求矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．C. 选修4－4：坐标系与参数方程求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 是参数)截得的弦长.D ．选修4－5：不等式选讲设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．OCM NA PB（第21题）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B，90,BCA PB BC CA ∠====，点,E F 分别是,PC PA 的中点，求二面角A BE F --的余弦值．23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率．命题人：庄后伟审核：王广群张克平2011.01.08（第22题）江苏省郑集高级中学2010—2011年度高三阶段性考试数学试题参考答案（01.08）填空题1. (,0]-∞2. 13. 404. 41π-5.1516 6. 2 7. 21 8. 23 9. 26 10. 32- 11. 1340 12. 2113.（-7，-2） 14. 21n -15.解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，………………………………3分即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A =． …………………………………5分 ∵0πA <<，∴π3A =．…………………………………………7分（Ⅱ）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--． 10分 ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<．……………………………12分 ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．……………………13分所以|m +n|min =分 16.解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2．在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝AD ＝4． ∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯……………… 3分则V＝123= ……………… 5分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ．… 7分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分NF EDCBAP（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ． ……… 12分在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ， ∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分17解：（1）212S R θ=扇，21sin 2OCD S R θ∆=,21()(sin )2S f R θθθ==-弓.又12S R l =扇，21s i n 2O C D l S R R∆=, 1()(sin )2lS g l R l R R==-弓.(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y21113()22y R lR π=-，221sin 82y R θ=⋅，31(sin )22y R l R θ=-⋅,222212311113()sin 8(sin )22222y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .21[3(510s i n )]2R πθθ=--. 设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈. '()510cos g θθ=- , …………12分'1()0,cos ,()2g g πθθθθ<>∈在（0, ）3上为减函数；'1()0,cos ,()2g g πθθθθπ><∈在（，）3上为增函数.当3πθ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润最大. 【说明】本题考查导数，函数性质，考查运算能力和分析问题和解决问题的能力.18.解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5m m == 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ． …………………………………………4分（2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD的距离为2，所以=， …………………………………………6分解得，1k =-或17k =-，故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………8分（3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分 19. （1）由a =0,f (x )≥h (x )可得-mlnx ≥-x即ln xm x ≤┉┉┉┉┉┉┉┉1分记ln xxϕ=，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于min ()m x ϕ≤.求得2ln 1'()ln x x xϕ-= ┉┉┉┉┉┉┉┉2分当(1,)x e ∈时;'()0x ϕ<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ϕ> ┉┉┉┉┉┉┉┉3分故()x ϕ在x =e 处取得极小值，也是最小值，即min ()()x e e ϕϕ==，故m e ≤. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分（2）函数k (x )=f (x )-h (x )在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x -2lnx =a ，在［1,3］上恰有两个相异实根。