高三数学上学期期末教学质量调研检测试题 文
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学(文)试题(解析版)
2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,2,,M N y y x x x M =-==-∈，则M N ⋃=（ ）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{1,0,1,2,4}-C ．MD ．N【答案】C【分析】求出集合N 再求并集可得答案. 【详解】因为{0,2}N =，所以{1,0,1,2}M N M =-=．故选：C ．2．在复数范围内，复数5i12iz -=-的共轭复数的模是（ ）A ．BCD 【答案】B【分析】根据复数的除法运算可得2i z =-，再结合共轭复数和模的概念求解. 【详解】因为复数5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z --+===---+，所以2i z =+，其模为|||2i |z =+= 故选：B ．3．已知向量(,),(2,4)a x y b ==-，满足()a a b ⊥-，则动点(,)P x y 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【分析】将坐标代入运算后即可辨析为圆的标准方程. 【详解】因为()a a b ⊥-，所以(,)(2,4)(2)(4)0x y x y x x y y ⋅-+=-++=， 即22(1)(2)5x y -++=． 故动点(,)P x y 的轨迹是一个圆． 故选：B ．4．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 【答案】C【分析】结合图像逐一辨析即可.【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A 正确： 由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B 正确： 由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D 正确： 三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C 错误． 故选：C ．5．已知实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解，则2x y +的取值范围是（ ） A ．[0,2] B ．[2,2]-C ．[0,3]D ．[3,3]-【答案】C【分析】根据实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解可得01,01x y ≤≤≤≤，进而可得023x y ≤+≤. 【详解】因|||1|1t t +-=表示实数t 的范围是[0,1]，所以01,01x y ≤≤≤≤． 所以023x y ≤+≤，且当(,)(1,1)x y =时，2x y +有最大值是3； 当(,)(0,0)x y =时，2x y +有最小值是0． 故2x y +的取值范围是[0,3]． 故选:C ．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】D【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+= 故选：D ． 7．设67,ln 9ln 7a b c ===则a ，b ，c 之间的大小关系式是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】B【分析】构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断出()f x 的单调性可得答案. 【详解】24637,,ln 2ln 4ln 9ln 3ln 7a b c ======，构造函数()(0)ln x f x x x=>，得2ln 1()ln x f x x -'=，由ln 10x ->得e x >时()0f x '>， 知()f x 在区间(e,)+∞上是增函数，于是347ln 3ln 4ln 7<<，即b a c <<. 故选：B ．8．函数()()33cos()x xf x x -=--在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由于()()()33cos()33cos x x x xf x x x --=--=-，x ∈R , 则()()()33cos 33cos()()x x x xf x x x f x ---=-=---=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称， 而A,B 中图象不是关于原点对称，故A,B 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，33,cos()cos 0x x x x ->-=>，∴()0f x >，则当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，故C 错误，只有D 中图象符合题意， 故选：D ．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ） A ．111AC B D ⊥ B ．若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C ．正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D ．1ACD △3【答案】D【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可 【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 所以111CC B D ⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥， 因为1111CC AC C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ， 所以111AC B D ⊥，故A 正确； 对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ， 因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确； 对于C, 正方体1111ABCD A B C D -3 所以外接球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △2所以它的面积为213(2)sin 602⨯⨯︒=D 错误．故选：D ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和2nn S a =+，且2log n n b a a =-，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ） A ．321nn + B ．1n n + C ．21nn + D ．21nn + 【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和求出参数a 的值，以及{}n a 的通项，从而得到n b n =，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =+，当1n =时，112S a =+，即12a a =+，当2n ≥时，112n n S a --=+，即()111222n n n n n n a S S a a ---=-=+-+=所以11122a a -==+，解得1a =-，所以12n n a -=，()122log log 21n n n b a a n -=-=--=则()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查由前n 项和求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 11．已知1sin cos 2x y =，则cos sin x y 的取值范围是（ ） A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解. 【详解】设cos sin a x y =，又1sin cos 2x y =，则有1sin()sin cos cos sin ,2x y x y x y a +=+=+ 1sin()sin cos cos sin 2x y x y x y a -=-=- 由三角函数的有界性，知1111,1122a a -≤+≤-≤-≤， 所以1122a -≤≤．故选：B ．12．已知正四棱锥的体积为23，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ） A ．π2B ．π3C ．22D ．2π2【答案】A【分析】将问题转化为正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆，利用几何关系表示出内切球的表面积，利用基本不等式求最大值.【详解】如图，在正四棱锥V ABCD -中，M 、N 分别是线段BC AD 、的中点， 该正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆．圆心为E ．设,,NME OM a VO h θ∠===，则圆E 的半径 tan R EO a θ==． tan2h VO a θ==．于是，正四棱锥的体积为212(2)3a h ⋅=即有242a h 所以34tan 22a θ=此时，该正四棱锥内切球的表面积2224π4πtan S R a θ==．236662tan tan 4πS a θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭()22211tan tan 32θθ⎡⎤=-⎣⎦()222231tan tan 113228θθ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥≤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π2S ≤．当22tan 1tan θθ=-，即tan 2θmax π2S =．故选：A ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足112a =，且11n n n a a a +=+，则n a =________．【答案】11n +##11n+ 【分析】化简可得1111n na a ，则11nn a =+，进而得到n a . 【详解】由11n n n a a a +=+，得1111n na a ，且112a =， 则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， 所以1211n n n a =+-=+，故11n a n =+， 故答案为：11n +. 14．从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________． 【答案】910##0.9【分析】求得全是男医生参加的概率，根据对立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有25C 10=种选法，如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为110， 故至少有1名女医生参加的概率为1911010-=， 故答案为：910． 15．已知直线1:(2)l y m x =-+，2:20l x my m ---=，当任意的实数m 变化时，直线1l 与2l 的交点的轨迹方程是_____________．【答案】2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【分析】联立方程消m 整理即可.【详解】联立两直线得(2)(1)2y m x m y x =-+⎧⎨+=-⎩，将这两式相乘，消去参数m ，得(1)(2)(2)y y x x +=-+-，即2240x y y ++-=，可得轨迹方程为2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭16．已知函数()f x 满足2,2,(2)ln(2),2,ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图象，利用导数求切线进行求解. 【详解】因为函数()f x 满足2,2(2)ln(2),2ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0,0(),()ln ,0ln(),0ax x ax x f x f x x x x x ⎧≤-≥⎧=-=⎨⎨>-<⎩⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以函数()y f x =与()y f x =-的图象恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点， ,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点，设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e=-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.三、解答题17．设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．(1)求C ；(2)求2c S的最小值．【答案】(1)2π3C = (2)43【分析】(1)根据二倍角公式可得222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，再根据正弦定理可得222a b c ab +=-再用余弦定理求解；(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得2223c a b ab S ab ⎫++=⎪⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由二倍角公式，得()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-， 由正弦定理、余弦定理，得222a b c ab +=-，2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =． （2）注意到12π3sin 234S ab ab ==． 由余弦定理，得222222π2cos3c a b ab a b ab =+-=++， 所以22222442433334c a b ab a b ab ab ab S ab ab ab⎛⎫+++++⎛⎫==≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当a b =时等号成立，故2c S的最小值为43.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，M ，N 分别是11A B ，1A A 的中点．(1)求证：1BN C M ⊥； (2)求三棱锥1B BCN -的体积． 【答案】(1)详见解析 (2)13【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）利用等体积公式，转化为11B BCN C BNB V V --=，即可求解体积. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且平面111A B C 平面1111ABB A A B =，因为11CA C A =，11CB C B =，且点M 是11A B 的中点，所以1C M ⊥平面11ABB A ， 又因为BN ⊂平面11ABB A ，所以1C M BN ⊥； （2）三棱锥11B BCN C BNB V V --=,由条件可知ABC 是等腰直角三角形，22112AB =+=， 所以112222BNB S=⨯⨯=，点C 到平面1BNB 的距离122d C M ==， 111212323B BCNC BNB V V --==⨯⨯=.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求出直方图中m 的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率． 【答案】(1)0.030m =，平均数为71，中位数为73.33(2)35【分析】（1）利用频率之和为1可算出0.030m =，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可【详解】（1）由10(0.0100.0150.0150.0250.005)1m ⨯+++++=得0.030m =， 所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为()450.01550.015650.015750.03850.025950.0051071x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，设中位数为n ，因为0.10.150.150.40.5,0.40.30.70.5++=<+=>， 所以中位数位于[70,80)，则0.10.150.15(70)0.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈， 故0.030m =，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33． （2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有()1000.30.250.0560⨯++=个，()1000.10.150.1540⨯++=个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共10种，其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ，共6种， 故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==． 20．已知函数()1ln f x a x x=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）求证：当1x ≥时，()2122x x f ≤+．【答案】（1）()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；()2(1ln 2)f x =-极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得()111k f a '==-=，从而可求出a 的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，（2）由()2122x x f ≤+，令211()2ln 22x g x x x =+--，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可【详解】（1）解：定义域：()0,∞+， ∵()2211aax f x xx x-'=-=，∴()1112k f a a '==-=⇒=， 当2a =时，()221x f x x -'=；当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，0f x ，所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；11()2ln 22(1ln 2)22f x f ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值．（2）证明：由（1）知1()2ln f x x x=+，令211()2ln 22x g x x x =+--，则32222121(1)[1(1)]()x x x x x g x x x x x x ----+'=--==， 1x ≥，(1)1x x +>∴，1(1)0x x -+<∴， ∴()0g x '≤，即()g x 在[1)+∞，上单调递减， ()(1)0g x g ∴≤=，∴当1x ≥时，21()22x f x +≤．21．平面内定点(1,0)F ，定直线:4l x =，P 为平面内一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且||2||PQ PF =． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点F 与坐标轴不垂直的直线交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断||||FR AB 是否为定值． 【答案】(1)22143x y += (2)||1||4FR AB =为定值．【分析】（1）设(,)P x y ，利用||2||PQ PF =可得到222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦，化简即可；（2）设:(1)(0)AB y k x k =-≠，与椭圆的方程进行联立可得221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，可求出D 的坐标，继而求出线段AB 的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解 【详解】（1）设(,)P x y ，因为||2||PQ PF =，即224PQ PF =，所以222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦化简整理，得22143x y +=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=（2）法一：由条件可得直线AB 的斜率必存在且不为0，可设:(1)(0)AB y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 设AB 中点为()00,D x y ，知212024234x x k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234R kx k =+，所以()222231||13434k k FR k k +=-=++，而()22121||34k AB k +=+， ∴||1||4FR AB =为定值． 法二：设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为()00,D x y ，则2122834k x x k +=+， 由22143x y +=可得12e ==，∴()()222122|831211|242434k k B k A e x x a k +=+-=⋅-=++，()12002311234x x k y k x k k+-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭，又线段AB 的垂直平分线方程为()001y y x x k-=--， 令0y =，得00R x ky x =+，∴()200002223133||11343434R k y k FR x ky x ky k k k k k +--=-=+-=+=⋅+=+++， ∴||1||4FR AB =为定值． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）． (1)求直线l 及曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长． 【答案】(1)230x y --=，221x y -=；【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答. （2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 322θθρθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=， 所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．（2）把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB == 所以直线l 被曲线C 截得弦AB23．设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈． (1)求证：115236a b -<； (2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)|2||2|a b ab -<-，理由见解析【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三角不等式即可证明；（2）首先根据题意得到||1,||1a b <<，再计算|2|a b -与|2|ab -平方的大小，即可得到答案. 【详解】（1）不等式1,1122121421122222x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪++-<⇔++-<⇔⎨⎪---+<⎪⎩，或11,2211222x x x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪+-+<⎪⎩或1,121112222x x x x ⎧>⎪⎪⇔-<≤-⎨⎪++-<⎪⎩或1122x -<≤或11112x x <<⇔-<<， 即{11}M x x =-<<，由,a b M ∈，知1,1a b -<<，得||1,||1a b <<，于是 1111115||||2323236a b a b -≤+<+=； （2）|2||2|a b ab -<-．理由如下： 由得||1,||1a b <<，知2210,40a b ->->，所以()()22222222(2)(2)44140a b ab a b a b a b ---=+--=---<，得22(2)(2)a b ab -<-，即|2||2|a b ab -<-．。
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研(期末)数学(文)试题(解析版)
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研（期末）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}230B x x x =+<，则A B =（ ）A ．{}2,1-B ．{}2,1--C ．{}2,1,0--D ．{}0,1【答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}23030B x x x x x =+<=-<<，因此，{}2,1A B =--.故选：B. 2．已知1i1i-=+z ，则2i z -=（ ）A ．1B ．3CD 【答案】A【分析】化简复数z ，求出共轭复数z ，进而可得2i z -，即得 2i z -. 【详解】解：2221i (1i)12i i i,i,2i i 11i 1i 2z z z ---+====-=-=-=+- 故选：A3．圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O 的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O 的体积为（ ）A B ．2π3C D ．3π2【答案】C【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R 的方程，解之即可求得球的体积.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，母线2l =， 则圆锥的侧面积为π2πrl =，故1r =，所以圆锥的底面积为2ππr =，则圆锥的表面积为2ππ3π+=，设球的半径为R ，则24π3πR =，得R ，所以球的体积34π3V R ==故选：C.4．直线20x y -=被圆2288280x y x y +--+=截得的弦长为（ ）A B C D 【答案】C【分析】利用配方法，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由222288280(4)(4)4x y x y x y +--+=⇒-+-=，所以圆心为(4,4)，半径为2，圆心(4,4)到直线20x y -=所以弦长为故选：C5．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据()11,x y 、()22,x y 、、(),n n x y 进行分析，其中i x 表示减重质量（单位：千克），i y 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），1i =、2、、n ，由此得到的线性回归方程为()ˆˆ0y bxa b =+>.下述四个说法： ①a 的值一定为0；②ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大； ③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上. 其中所有正确说法的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．②③④ D ．①②④【答案】B【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由b 的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数2R 越接近于1，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.【详解】a 的实际意义为当减重质量为0时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗， 从其意义上来看，a 的值应该等于0，但拟合直线并不一定过坐标原点，因此a 的值可能比0略大或略小，所以①错误； ˆb的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，因此ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确； 相关指数()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，所以残差的平方和()21ni ii y y =-∑越小，2R 越接近于1，回归效果越好，所以③正确；有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误. 故选：B.6．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线11A B 不垂直的是（ ）A ．AEB ．1A EC ．1BD D ．1E F【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接1AE ，则11BD AE ∥，因为11AB A B ∥，且11,,AB AE AB AA AE AA A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AA E ，且1A E ⊂平面11,AA E AE ⊂平面1AA E ，所以11,AB A E AB AE ⊥⊥，所以11111,A B A E A B AE ⊥⊥，又11BD AE ∥，所以111A B BD ⊥.若111A B E F ⊥，则111D E E F ⊥，且111D E EE ⊥，则11D E ⊥平面11EE F F ，显然不成立，所以11A B 不垂直于1E F .故选：D7．设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性估计,,a b c 的取值范围，进而比较大小. 【详解】对a ：2x y =在R 上单调递增，则0.210.20222,221<=>=，即12a <<；对b：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>=，即01b <<； 对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ； 综上所述：b a c <<. 故选：D.8．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（ ） A ．12个 B ．13个 C ．15个 D ．16个【答案】C【分析】设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，结合线性规划和实际意义即可求解.【详解】由题意知，设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点(3.5,10.5)A ，由图可知，直线y x =-平移到点A 时，目标函数z x y =+取到最小值， 此时 3.5,10.5x y ==，结合实际意义，x 、y 为正整数，所以4,11x y ==，满足甲的苹果不多于10个， 所以甲乙两人一共的苹果至少有15个. 故选：C.9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2T T π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且将()y f x =的图象向右平移4π个单位后的图象关于y 轴对称，则T =（ ） A ．34πB ．πC ．32πD ．3π【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得44,Z 3k k ω=--∈，由22T ππω=>可得04ω<<，即可求解.【详解】将函数()sin()6f x x πω=+图象向右平移4π个单位长度，得sin()64y x πωπω=+-，图象关于y 轴对称， 则函数sin()cos()cos()6426434y x x x πωπππωππωπωωω=+-=--+=--为偶函数，所以,Z 34k k πωππ--=∈，解得44,Z 3k k ω=--∈；又22T ππω=>，所以04ω<<，所以83ω=， 则23π843T π==. 故选：A.10．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin a B b C =，则ABC 的面积为（ ） A ．2sin 22a CB ．2sin 22b AC ．2sin 22c BD ．)222312a b c ++【答案】A【分析】根据题意和正弦定理可得sin sin A C =，进而,a c A C ==，利用诱导公式可得sin sin 2B C =，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】sin sin a B b C =，由正弦定理，得sin sin sin sin A B B C =，又0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin A C =，则,a c A C ==，所以sin sin()sin(2)sin 2B A C C C ππ=--=-=， 所以ABC 的面积为2211sin 2sin sin 2222a CS ac B a C ===. 故选：A. 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，两条渐近线为12,l l .设F 关于1l 的对称点为P ，且线段AP 的中点恰好在2l 上，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C【分析】方法1：根据几何性质分析可得：2OH HR OF =，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点222,b a ab P cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再求线段AP 的中点Q ，代入渐近线方程2:bl y x a =-运算求解.【详解】方法1：如图，设O 为坐标原点，()(),0,,0F c A a -，直线FP 与1:0l bx ay +=交于点H ，则1FH l ⊥，且H 为线段FP 的中点，设线段PA 中点为Q ，则Q 在2l 上，∵FH b ==，则OH a ，设直线HQ 与y 轴的交点为R ，则R 为线段HQ 的中点，且HQx 轴，则11244a cHR HQ FA +===， ∵△△OHR OFH ，则HR OH OHOF=，∴2OH HR OF =，即()24c a c a +=，整理得240c ca a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭设双曲线的离心率为ce a=，则240e e +-=，解得e =e =（舍去）.方法2：由题意可得：()(),0,,0F c A a -， 不妨设直线1:b l y x a=，(),P m n ，则0122n b m c a n b m c a -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得222b a m c ab n c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设线段PA 中点为Q ，点(),0A a ，则22,2b a ac ab Q c c ⎛⎫-+-⎪⎝⎭， 将Q 点坐标代入方程2:b l y x a =-得222ab b b a ac c a c -+-=-⨯，整理得240c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，设双曲线的离心率为c e a=， 则240e e +-=，解得171e -=171e +=（舍去）. 故选：C.12．已知函数32()1f x x mx nx =+++在区间(0,1)单调递增，则（ ） A ．34m n +≤ B ．134m n +≥-C ．34m n +≤D ．134m n +≥-【答案】D【分析】由题意可知不等式2()320g x x mx n =++≥在(0,1)上恒成立，对称轴为3mx =-.分别对13m -≥、30m -<<、03m-≤三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m 的取值范围分别求出3m n +、3m n +取值范围即可.【详解】因为函数32()1f x x mx nx =+++在(0,1)上单调递增， 所以不等式2()320f x x mx n '=++≥在(0,1)上恒成立，令2()32g x x mx n =++，(0,1)x ∈，对称轴为3m x =-. 当13m-≥即3m ≤-时，函数()g x 在(0,1)上单调递减， ()(1)320g x g m n >=++≥，得23n m ≥--， 所以33233m n m m m +≥--=-，由3m ≤-知，36m -≤-，无法判断3m n +的取值范围；36959m n m m m +≥--=--，由3m ≤-知，596m --≤，无法判断3m n +的取值范围； 当013m <-<即30m -<<时，函数()g x 在(0,)3m -上单调递减，在(,1)3m-上单调递增， 所以2()()033m m g x g n >-=-+≥，得23m n ≥，所以22192733()3324m m n m m +≥+=+-， 由30m -<<知，2219271927336324324m n m ⎛⎫⎛⎫+=+->-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221113()244m n m m m +≥+=+-≥-；当03m-≤即0m ≥时，函数()g x 在(0,1)上单调递增， ()(0)0g x g n >=≥，所以330m n m +≥≥，30m n m +≥≥. 故选：D.二、填空题13．命题“0R x ∃∈，200510x x -+<”的否定是__________．【答案】R x ∀∈，2510x x -+≥【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“0R x ∃∈，200510x x -+<”的否定是R x ∀∈，2510x x -+≥．故答案为：R x ∀∈，2510x x -+≥14．已知()1,2a =，()2,b m =，()a ab -∥，则a b -=__________．【分析】根据向量平行得到4m =，再计算模长得到答案.【详解】()1,2a b m -=--，由()a ab -∥，则122m -⨯=-，则4m =，所以()1,2a b -=--，则5a b -=． 故答案为：515．写出一个同时满足下列性质的函数：()f x = __________． ①定义域为R ； ②()00f ≠；③设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()221f x f x '+=．【答案】()sin x ϕ+（πk ϕ≠，Z k ∈），答案不唯一【分析】确定()()sin f x x ϕ=+（πk ϕ≠，Z k ∈），再验证即可. 【详解】()()sin f x x ϕ=+（πk ϕ≠，Z k ∈），满足定义域为R ；()0sin 0f ϕ=≠；()()()()()()2222sin cos 1f x f x x x ϕϕ'+=+++=，故答案为：()sin x ϕ+（πk ϕ≠，Z k ∈）16．已知某圆台的上、下底面面积分别为π和4π，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________． 【答案】65π4【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R ，根据垂径定理列式求解即可.【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，设球的半径为R 22142R R --=，即(222124R R -=-，即2221444R R R -=+--，即2144R -=-22412R R --，即(222421R R -=-，所以22244411R R R -=---，即2417R -=，则26516R =，65R = ∴这个球的表面积是26565π4π4π164S R ==⨯=．故答案为：65π4三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1211n n n n S n S n -=＋＋＋，n *∈N ． (1)求n S ； (2)设n T 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ． 【答案】(1)()12n n n S +=； (2)21n nT n =+.【分析】（1）由已知可推出，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，即可解出12n S n n +=，进而解得n S ； （2）由（1）可得11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后求和即可得到n T . 【详解】（1）由题()()1112n n n n nS n S ++-+=，可得1112n n S S n n +-=+，又知11111S a ==，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以()111122n S n n n +=+-=，即()12n n n S +=． （2）由（1）可得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴11111122121223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是直角三角形，且4PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)证明：PB平面EFG ；(2)求三棱锥B EFG -的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）证明平面PBC平面EFG ，根据PB ⊂平面PBC ，得到证明.（2）确定B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，B EFG D EFG G EFD V V V ---==，计算得到答案. 【详解】（1）E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，故EF AD BC ∥∥，FG PC ∥，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，FG ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，故EF平面PBC ，FG平面PBC ，EF FG F ⋂=，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，平面PBC平面EFG ，PB ⊂平面PBC ，故PB 平面EFG ．（2）连接DE ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， 故P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，P A ⊥CD ，四边形ABCD 为正方形，AD ⊥CD ，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面P AD ．GD ＝2，12222EFD S =⨯⨯=△．BC平面EFG ，故B ，C 两点到平面EFG 的距离相等，G 是线段CD 的中点，C ，D 两点到平面EFG 的距离相等， 即B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，11422333B EFG D EFG G EFD EFD V V V S DG ---===⨯⨯=⨯⨯=△，三棱锥B －EFG 的体积为43．19．随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：()52155960i i y y=-=∑139937.4≈.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=-⋅-∑∑∑线性回归方程的斜率()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，截距ˆˆay bx =-. 附：r[]0,0.25 [)0.30,0.75 []0.75,1相关性 弱 一般强【答案】(1)0.98r ≈，y 与x 具有很强的线性相关关系(2)73.2004ˆ1.yx =+，预测2023年该公司的研发人数约为613人【分析】（1）首先求,x y ，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解； （2）根据参考公式求ˆb和ˆa ，即可求得回归直线方程，并代入7x =求预报值. 【详解】（1）由条形统计图，得()11234535x =⨯++++=，2042202983964823205y ++++==，所以()()()()()()5222222123451i i x xx x xx x x x x x x =-=-+-+-+-+-∑()()()()()222221323334353=-+-+-+-+-10=，()()()()()()()51211611000221762162732iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑.所以()()57320.982374iix x y y r --===≈≈⨯∑.因为相关系数0.980.75r ≈>，所以y 与x 具有很强的线性相关关系，且为正相关.（2）()()()2515173273.ˆ210iiii i x x y y bx x ==--===-∑∑， 所以320ˆˆ73.23100.4ay bx =-=-⨯=， 所以73ˆˆˆ.2100.4ybx a x =+=+. 由题意知，2023年对应的年份代码7x =， 当7x =时，73.ˆˆ27100.4612.8ˆybx a =+=⨯+=， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，12BA A △的面积为2，点()4,0M -满足213MA MA =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 自左向右依次交于P ，Q 两点，R 为线段PQ 上一点，且MP RQ MQ PR ⋅=⋅，设直线l 与直线OR 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k 为定值. 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由12BA A △的面积为2，可得2ab =，再结合213MA MA =，可得2a =，1b =，进而得到椭圆C 的标准方程；（2）方法一：根据题意可得直线l 的方程()()1140y k x k =+≠，联立方程组，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，再结合MP RQ MQ PR ⋅=⋅，可得31122344x x x x x x -+=+-，从而得到31x =-，313y k =，即()11,3R k -，进而得证；方法二：根据题意可得直线l 的方程()40x my m =-≠，联立方程组，结合韦达定理可得12y y +，12y y ，再结合MP RQ MQ PR ⋅=⋅，可得101220y y y y y y -=-，进而得到23k m=-，11k m =，进而得证.【详解】（1）由12BA A △的面积为2，得1222a b ⨯⨯=，即2ab =，因为()4,0M -，()1,0A a -，()2,0A a ， 所以由213MA MA =，得()434a a +=-+， 解得2a =，所以1b =.故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：由题意可知直线l 的方程为()()1140y k x k =+≠，联立()2211,44,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得()222211141326440k x k x k +++-=，令()()()()22222111132441644161120k k k k ∆=-+-=->，则211012k <<.设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2112213241k x x k -+=+，21122164441k x x k -=+. 由MP RQ MQ PR ⋅=⋅，得MP RQ MQ PR ⋅=⋅.所以MP PR MQRQ=，所以31122344x x x x x x -+=+-， 解得()221222121211321122164432242441411328841k k x x x x k k x k x x k --⨯+++++===--++++，313y k =，所以()11,3R k -. 故()2111133k k k k =⨯-=-，即21k k 为定值. 方法二：由题可设直线l 的方程为()40x my m =-≠， 联立22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 可得()2248120m y my +-+=，令0∆>，即()()2284840m m -+>，即212m >，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,R x y 由根与系数的关系可得12284m y y m +=+，122124y y m =+. 由MP RQ MQ PR ⋅=⋅，得MP RQ MQ PR ⋅=⋅，所以MP PR MQRQ=.即得101220y y y y y y -=-. 化简得1201222128y y y y y m ⨯==+.所以03y m=，0041x my =-=-. 故23k m=-，11k m =.所以213k k =-，即21k k 为定值. 21．已知函数()()e 0xf x x ax a =-≠，其中e 为自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()()ln g x f x a x =-，证明：当e a >时，函数()g x 有两个零点.注：函数e x y =与11y x =+的图象有唯一公共点()0,1.【答案】(1)函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞- (2)证明见解析【分析】（1）把1a =代入函数()()e 0xf x x ax a =-≠，然后对其求导得()()1e 1x f x x '=+-，再利用导数与函数的单调性求解即可；（2）由()()e 0xf x x ax a =-≠知：()()()ln e ln e ln e x x xg x f x a x x ax a x x a x =-=--=-，令e x t x =，则证明函数()g x 有两个零点转化为()()ln 0h t t a t t =->有两个零点，对()h t 求导，然后利用导数研究其单调性与最值来处理即可得出其证明.【详解】（1）当1a =时，()e x f x x x =-，x ∈R ，则()()1e 1xf x x '=+-.注意到()00f '=，易知当0x >时，0fx；当0x <时，()0f x '<.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()ln e ln e ln e x x xg x f x a x x ax a x x a x =-=--=-，定义域为()0,∞+.令e x t x =，则当0x >时，()1e 0xt x '=+>，所以函数e x t x =在()0,∞+上单调递增，所以()0,t ∈+∞，所以当e a >时，()()e ln e x xg x x a x =-有两个零点等价于当e a >时，()()ln 0h t t a t t =->有两个零点.()1a t a h t t t-'=-=，令()0h t '=，则t a =.当t a >时，()0h t '>；当0t a <<时，()0h t '<， 所以()h t 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减， 所以()()()min ln 1ln h t h a a a a a a ==-=-. 因为e a >，所以()0h a <.又因为()110h =>，所以只需证明当e a >时，()2e e 0a a h a =->.设()()2e e x v x x x =->，则()e 2x v x x '=-.令()()e 2e x x x x ϕ=->，则()ee 2e 20x x ϕ=>-'->，所以()x ϕ在()e,+∞上单调递增，()()()ee e 2e 0v x x ϕϕ=>=->'，所以函数()v x 在()e,+∞上单调递增，()2e 2e e e 0x v x x =->->，即()2e e 0a a h a =->，所以()h t 在()1,a ，(),e aa 上各存在一个零点，所以当e a >时，函数()h t 有两个零点，即函数()g x 有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点个数问题，考查转化思想和运算能力，属难点、难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,2sin x y αα=--⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆2C 的极坐标方程为2(32cos 2)5ρθ-=.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设P 是1C 上的点，1F ，2F 是2C 的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值. 【答案】(1)()212212:11;:15x C x y C y ++=+=；【分析】(1)根据1C 的参数方程和22sin cos 1αα+=化简即可求出1C 的普通方程；根据二倍角的余弦公式和222x y ρ+=、sin y ρθ=化简即可求出2C 的直角坐标方程；(2)由题意可知(12cos ,2sin )P αα--，12(2,0),(2,0)F F -，根据两点坐标求距离公式可得12PF PF⋅=. 【详解】（1）由题意知，1cos 12cos 22sin sin 2x x y y αααα+⎧=-⎪=--⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩， 又22sin cos 1αα+=，所以221()()122x y+-+=， 即1C 的普通方程为22(1)4x y ++=；由2(32cos 2)5ρθ-=，得22[32(12sin )]5ρθ--=， 整理，得224(sin )5ρρθ+=，又222x y ρ+=，sin y ρθ=， 所以2C 的直角坐标方程为2255x y +=，即2215x y +=； （2）因为P 是1C 上的点，所以(12cos ,2sin )P αα--， 由(1)知，12(2,0),(2,0)F F -，得1PF =2PF所以12PF PF ⋅== 由二次函数的性质知，当1cos 12α=时，12PF PF ⋅所以12PF PF ⋅. 23．设a 、b 、c 为正数，且b c c a a b a b c+++≤≤.证明： (1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111a b c≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a b a b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤， 所以，111a b c≤≤， 因为函数1y x=在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c +++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
高三数学第一学期期末调研试卷 文试题
普陀区高三年级质量调研数学试卷〔文科〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、填空题〔本大题满分是56分〕1. 设平面向量，，那么 .2. 函数,,假设的反函数的图像经过点，那么 .3. 集合，，那么 .4. 假设数列对任意的都有，且，那么=________.5. 假设直线的一个法向量为，那么直线的倾斜角为 .6. ，其中是第四象限角，那么 .7. 一个球的半径为，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的间隔为，那么关于的函数解析式为 .8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，那么此抛物线的焦点到其准线的间隔为 .9. 假设，那么 .10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，假设一次采购数量到达一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，那么该程序运行时，在输入一个正整数之后，输出的变量表示的实际意义是；假设一次采购85台该电子产品，那么元.11. 方程为的曲线上任意两点之间间隔的最大值为 .12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即. 〔填入推导的步骤〕13. 数列的前项和〔，〕，那么 .14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是〔写出所有正确结论的编号〕①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题〔本大题满分是20分〕15. “〞是“〞的〔〕A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.16. 如图，直角三角形的直角顶点是空间坐标系的原点，点在轴正半轴上，；点在轴正半轴上，.我们称绕轴逆时针旋转后得到的旋转体为四分之一圆锥体. 以下关于此四分之一圆锥体的三视图的表述错误的选项是．．．．．．〔〕A. 该四分之一圆锥体主视图和左视图的图形是全等的直角三角形；B. 该四分之一圆锥体俯视图的图形是一个圆心角为的扇形；C. 该四分之一圆锥体主视图、左视图和俯视图的图形都是扇形；D. 该四分之一圆锥体主视图的图形面积大于俯视图的图形面积.17. 双曲线上到定点的间隔是6的点的个数是〔〕A. 0个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.18. 假设对于任意角，都有〔〕，那么以下不等式中恒成立的是〔〕A. ；B. ；C. ；D. .三、解答题〔本大题满分是74分〕19. 〔此题满分是10分〕如图，平面，是边长为2的正方形，. 求异面直线与所成角的大小.20. 〔此题满分是14分，其中第1小题6分，第2小题8分〕为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能HY.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天〔24小时〕耗电仅度，比普通冰箱约节电能，到达国家一级HY.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内一共可以吸收1吨二氧化碳.〔1〕一台节能型冰箱在一个月〔按天不连续使用计算〕中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳〔准确到千克〕？〔2〕某小城数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡〞补贴政策支持下，假设每月月初都有150户居民“以旧换新〞换购节能型冰箱，那么至少多少个月后〔每月按30天不连续使用计算〕，该所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内一共吸收的二氧化碳的量？21. 〔此题满分是14分，其中第1小题7分，第2小题7分〕.的三个内角A、B、C的对边分别为、、.〔1〕假设当时，取到最大值，求的值；〔2〕设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.22.〔此题满分是16分，其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分〕设为非零实数，偶函数，.〔1〕务实数的值；〔2〕试确定函数的单调区间〔不需证明〕；〔3〕假设函数在区间上存在零点，试务实数的取值范围.23. 〔此题满分是20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分〕是直线上的个不同的点〔，、均为非零常数〕，其中数列为等差数列.〔1〕求证：数列是等差数列；〔2〕假设点是直线上一点，且，求证: ；〔3〕设，且当时，恒有〔和都是不大于的正整数, 且〕.试探究：在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由.高三调研数学试卷参考答案及评分HY一、填空题〔每一小题4分，满分是56分〕：1. ；2. 4；3. ；4. 〔文，理〕40；5. ；6. 〔或者〕；7. ，；8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采购一共需花费的金额; ；11. ； 12. ；13. 理：；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.二、选择题〔每一小题4分，满分是16分〕：题号15 16 17 18答案 B C B D三、解答题：19.〔此题满分是10分〕〔理科〕解：由结论：“当时，〞且根据此题条件，故此题需根据变量和常数1的大小比拟进展分类讨论：〔1〕当时，；〔2〕当时，；〔3〕当或者时，有. 故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合. ...3 ...6 ...9 (10)〔文科〕解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 联结AF，PF，EF，DF. 因为ABCD是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD.故〔或者其补角〕的大小即为异面直线与所成角的大小.又正方形边长为2，PD=1，故，，. 所以，.于是，，所以异面直线与所成角的大小为. (3)...7 ...9 (10)20.〔此题满分是14分，其中第1小题6分，第2小题8分〕解:〔1〕由于节能型冰箱比普通冰箱约节电能，故一台节能型冰箱一天〔小时〕消耗的度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月…3中比普通冰箱要少消耗电：〔度〕；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，那么〔千克〕.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约千克的二氧化碳. 〔2〕设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有，因为，故可解得.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内一共吸收的二氧化碳的量. ...6 ...10 (14)21. 〔此题满分是14分，其中第1小题7分，第2小题7分〕解：〔1〕因为故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为. 〔2〕由〔1〕结论可得，此时. 又，因此，当且仅当时等号成立.所以.故面积的最大为. ...2 ...5 ...7 ...9 ...12 (14)22.〔此题满分是16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分〕〔理科〕解：〔1〕设BC的中点为D，连结AD、DM，那么有于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.因为，点到平面的间隔为，不妨设，.在Rt△ADM 中，.由,,故.而当时，，即，所以，点到平面的间隔的取值范围是.〔2〕解法一：当时，由〔1〕可知,故可得,.设向量与的夹角为，因为...3 (6)...9 ...11 ...13 (15).所以，故向量与夹角的大小为.解法二：如图，以中点O 为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴〔其中点为中点〕，建立空间直角坐标系.由〔1〕可知，当时，.所以有，，，,，即，.设向量与夹角为，那么故向量与夹角的大小为.解法三：如图，过点作//，交于.联结.因为是正三棱柱，故可得.当时，由〔1〕可知,故可得.在等腰三角形中，不难求得，即异面直线与所成角为，而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补...16 ...10 ...13 ...16 ...11 ...14 (16)角，即与夹角的大小为.〔文科〕解:〔1〕为偶函数，对恒成立，即对恒成立，又，于是得对恒成立，.〔2〕由〔1〕得可知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为和.〔3〕解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程在区间上有实数解，那么，设，可知函数在区间上单调递增，...3 ...6 (9)...12 (14)那么，.解法二：假设函数在区间上存在零点，那么必有即. (16) (13)…16 23. 〔此题满分是20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分〕解：〔1〕证：设等差数列的公差为,因为，所以为定值，即数列也成等差数列.〔2〕证：因为点、和都是直线上一点，故有() 于是，...4 (6)…9令，，那么有.〔3〕〔文科〕假设存在点满足要求, 那么有，又当时，恒有，那么又有，所以又因为数列成等差数列，于是，所以，故，同理，且点在直线上〔是、的中点〕，即存在点满足要求. ...10 (12) (15)...18 (20)〔3〕〔理科〕提出命题：〔在此题大前提下〕假设点满足，那么系数数列的和是点在直线上的充要条件.证明：设，由条件，先证充分性：“当时，点在直线上〞.因为，故而〔〕，所以当时，即有，即点在直线上.再证必要性：“假设点在直线上，那么.〞因为，故而因为〔〕，所以又因为点在直线上，所以满足，故.补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，假设满足，那么都有.【评分建议】1. 假设能提出一个由题中三条线索出发的相关猜测或者命题，但没有任何研究过程，那么无论对错都给2分；2. 假设能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，那么最高得10分；〔不说明“补充〞的内容不扣分〕3. 假设能提出一个满足充分性或者满足必要性的相关命题〔或者猜测〕，且证明过程正确，那么最高得7分；4. 假设能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题〔或者猜测〕，且有正确的研究过程，那么最高得5分.5. 假设还有其他答题情况，那么根据详细内容酌情给出评分参考.制卷人：打自企；成别使；而都那。
2020届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题文(含解析)
2020届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题文（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合，再求两个集合的交集.【详解】因为，又因为所以故选：C【点睛】本题主要考查了集合的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3.已知，，则（）A. B. 8 C. D. 128【答案】A【解析】【分析】先求向量的坐标，再求其模.【详解】因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了向量的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）；③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；④乙班成绩波动比甲班小.其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】①看两班的平均数易知正确；②看两班的中位数正确；③看两班的众数正确；④看两班的方差.【详解】①从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；②因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；③根据甲、乙两班的众数，所以正确；④因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误故选：C.【点睛】本题主要考查了样本中的数字特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求从6罐中随机抽取2罐的方法数，再求能中奖的方法数，再用古典概型求概率.【详解】从6罐中随机抽取2罐的方法数是能中奖的方法数是则能中奖的概率为概率为故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.设为奇函数，且当时，，则当时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设时，则，再由为奇函数，则有求解.【详解】设时，则所以又因为奇函数，所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用奇偶性求解析式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.直线与平面平行的充要条件是（）A. 直线上有无数个点不在平面内B. 直线与平面内的一条直线平行C. 直线与平面内的无数条直线都平行D. 直线与平面内的任意一条直线都没有公共点【答案】D【解析】【分析】A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的判定定理来判断，C. 由无数个不代表所有的来判断D. 由直线与平面平行的定义来判断.【详解】A. 无数个点不是所有点，所以不正确；B. 缺少直线在平面外，所以不正确；C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；D. 由直线与平面平行的定义，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8.若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆的上顶点是抛物线的焦点因为两点重合所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别作出这四个函数的图象，再根据条件来判断.【详解】A. 的图象如下：最小正周期是不正确，B. 的图象如下：最小正周期是不正确C. 的图象如下：最小正周期是，在区间单调递增，正确D. 的图象如下：最小正周期是，在区间单调递减，不正确故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根据均值不等式，可有，则，，，，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。
高三数学上学期期末教学质量检测试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么A. B. C.R D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．应选：D．【点睛】此题考察了交集及其运算，考察了不等式的解法，是根底题．z满足为虚数单位，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．，那么是A. B.C. D.【答案】C【解析】的否认为，应选C.x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，假设，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，那么，即，．应选：B．【点睛】线性回归直线经过样本中心点．为单调递增函数的是A. B. C. D.【解析】【分析】利用根本函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，在都为单调递减函数，在为单调递增函数．应选：D．【点睛】此题考察根本函数的单调性，熟记简单函数的单调性是关键.，那么A.2021B.C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】函数，，．应选：B．【点睛】此题考察分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原那么.中，，且，，成等差数列那么的前5项和为A.31B.62C.64D.128【答案】B【解析】【分析】设等比数列公比为q，由，可得根据，，成等差数列，可解得，再求和即可.【详解】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，应选：B．【点睛】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，属于根底题.、，满足，，且，那么在上的投影为A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．应选：C．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于根底题.9.某几何体的三视图如下列图，假设图中，那么该几何体的体积为A.2B.1C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体体积．【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，画出直观图，如下列图；由图中数据，计算几何体的体积为：．应选：A．【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.，那么A.0B.7C.D.4【答案】B【解析】【分析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．应选：B．【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】渐近线为，时，，所以，即，，，应选A．xOy中，点在单位圆O上，设，假设，且，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进展求解即可．【详解】，，，，那么，应选：C．【点睛】此题主要考察两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决此题的关键．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的最大值为______．【答案】【解析】【分析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．【点睛】此题考察诱导公式和辅助角公式的应用，考察正弦函数图像的性质的应用，属于根底题. x、y满足约束条件，那么的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决此题的关键．在点处的切线与圆相切，那么______．【答案】【解析】【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的间隔等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．【点睛】此题考察导数的运用：求切线的斜率，考察直线和圆相切的条件：，考察方程思想和运算才能，属于根底题．的前n项和为，，且对任意正整数n都有，那么______【答案】【解析】【分析】对任意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对任意正整数n都有，，即，．数列是首项与公差都为1的等差数列．，解得．故答案为：．【点睛】此题考察由数列递推关系求通项公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察推理才能与计算才能，属于中档题．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕中，角的对边分别为，且满足.〔1〕求角的大小；〔2〕，的面积为1，求边.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】〔1〕∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π∴〔2〕∵，S△ABC=1，∴即：又由余弦定理得：故：【点睛】此题考察正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考察计算才能．18.某种植园在果临近成熟时，随机从一些果树上摘下100个果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如下列图．经计算估计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个果中恰有1个在内的概率．某经销商来收买果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的果大约还有10000个，经销商提出如下两种收买方案：A：所以果以10元千克收买；B：对质量低于250克的果以2元个收买，高于或者等于250克的以3元个收买．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】〔1〕265；〔2〕；〔3〕见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据频率分布直方图和中位数的定义求解．〔2〕有分层抽样可得，应从内抽取4个果，从内抽取2个果，列举出从6个中任取3个的所有可能情况，然后判断出这个果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．〔3〕分别求出两种收买方案中的获利情况，然后做出选择．试题解析：〔1〕由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，那么有，解得．故中位数为265.〔2〕设质量在内的4个果分别为，质量在内的2个果分别为.从这6个果中选出3个的情况一共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，一共计12种，因此概率．〔3〕方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或者等于250克元故的总计元．由于，故B方案获利更多，应选B方案．点睛：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19.如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的断定定理可得平面；〔2〕由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的间隔为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：〔1〕取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.〔2〕因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的间隔为2..三棱锥的体积.【方法点晴】此题主要考察线面平行的断定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的断定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证明的.：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ假设点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】Ⅰ由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，那么，得，，由，得，由，得，那么，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．【点睛】此题考察椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考察推理才能与计算才能，属于中档题．.其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)假设对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕求导得到区间上单调递减，上单调递增；〔2〕直接求导，对分类讨论，得到.试题解析：〔1〕，令其为，那么所以可得即单调递增，而，那么在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增〔2〕，另，可知.，令，①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，∵，∴时，，时，.可知此时满足条件.②当时，结合对应二次函数的图像可知，，单调递增，∵，∴时，，时，.可知此时不成立.③当时，研究函数.可知.对称轴.那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时.所以不满足条件.综上所述：.中，曲线的参数方程为〔为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系取一样的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴〕中，直线的方程为.〔1〕求曲线在极坐标系中的方程；〔2〕求直线被曲线截得的弦长.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕把曲线的参数方程利用同角三角函数的根本关系消去参数，化为普通方程，再根据，化为极坐标方程．〔2〕把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的间隔公式求得弦长．试题解析：〔Ⅰ〕把曲线的参数方程利用同角三角函数的根本关系消去参数，化为普通方程为再化为极坐标方程是．〔Ⅱ〕直线的直角坐标方程为由求得或者可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．考点：极坐标、参数方程.〔1〕求的解集；〔2〕假设的最小值为,正数满足，求证：.【答案】〔1〕；〔2〕见解析.【解析】试题分析：〔1〕将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；〔2〕由〔1〕中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：〔1〕由图像可知：的解集为.〔2〕图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“〞成立，即.。
高三数学上学期期末教学质量调研检测试题文
安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21012A =--，，，，，{}220B x x x =+<，则A B I =A.{}12，B. {}21--，C.{}1-D.{}210--，，2. 下列命题中的假命题．．．是 A. R x ∀∈，120x ->C. R x ∃∈，lg 1x <B. *N x ∀∈，2(1)0x ->D. R x ∃∈，tan 2x =3. 等差数列{}n a 中，若36912a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和等于A. 22B. 33C. 44D. 554. 己知)0(9432>=a a ，则3log 2a = A.13 B. 13-C. 3-D. 35. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知平面向量a r ，b r 满足2b a =r r，且a r 与b r 的夹角为60︒，则“1m =”是“()a mb a -⊥r r r”的A. 充分不必要条件 C. 充要条件B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于A. 1322或 B.23或2 C.12或2 D.2332或8. 过点()11M，的直线与圆224640x y x y+--+=相交于A、B两点，则AB的最小值为（）A. 23B. 4C. 25D. 59. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为A.12B. 0C. 1- D.32-10. 已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点. 若OC mOA nOB=+u u u r u u u r u u u r，其中m，Rn∈. 则m n+的取值范围是A. ()01， B. ()10-， C. ()1+∞， D. ()1-∞-，11. 设nS是等比数列{}n a的前n项和，公比0q>，则1n nS a+与1n nS a+的大小关系是A.11n n n nS a S a++> B.11n n n nS a S a++< C.11n n n nS a S a++≥ D.11n n n nS a S a++≤12. 设()xf是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x=对称，且当01x<≤时，()3logf x x=. 记()f x在[]1010-，上零点的个数为m，方程()1f x=-在[]1010-，上的实数根和为n，则有A. 20m=，10n=B. 10m=，20n=B. 21m=，10n=D. 11m=，21n=第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知3()f x x mx =+，R m ∈，若函数()y f x =的图象在点()1(1)f ，处的切线与x 轴平行，则m = ．14. 设0a >，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80，则a = ．15. 若变量x ，y 满足约束条件220200x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，，，则21y x +的最大值为 ．16. 在正四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，记S 为最大的截面面积，T 为最小的截面面积，则ST= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且1a =，6A π=.（Ⅰ）当3b =，求角B 的大小；（Ⅱ）求ABC ∆面积最大值.18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，111A B C ABC -是直三棱柱，四边形ABDC 是梯形，//AB CD ，且122AB BD CD ===，60BDC ∠=︒，E 是1C D 的中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面1BB D ；（Ⅱ）当AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12时，求该几何体的体积.19.（本题满分12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n 人，得到如下的统计表和频率分布直方图.（Ⅰ）写出其中的a 、b 、c 及x 和y 的值；（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，点F 是其右焦点，点A 是其左顶点， 且3AF =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作不与x 轴重合的直线交椭圆E 于两点B 、C ，直线AB 、AC 分别交直线:4l x =于点M 、N . 试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得0QM QN ⋅=u u u u r u u u r？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数1()ln 2f x x x=+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()g x f x m =-. 若函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围（注：e 为自然对数的底数）.请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数，R θ∈）. （Ⅰ）求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点. 求四边形ABCD 面积的最大值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a ，b 满足1a b +=. （Ⅰ）求证：3314a b +≥；（Ⅱ）若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立，求实数23a b +的取值范围.安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBACABABAB1.【解析】{}{}22020B x x x x x =+<=-<<，所以A B I ={}1-. 2.【解析】1x =，()210x -=，故（B ）不正确. 3.【解析】由36912a a a ++=，得64a =，所以11111611()11442a a S a +===.4.【解析】由)0(9432>=a a，得42log 93a =，所以2131log log 3323a a =⇒=-. 5.【解析】易知三个命题都正确.6.【解析】由题意可知0a ≠r r ，0b ≠r r ，又2b a =r r，a r 与b r 的夹角为60︒，所以 ()2()()00a mb a a mb a a ma b -⊥⇔-⋅=⇔-⋅=r r r r r r r r r2212012a m a m ⇔-⋅=⇔=r r .7.【解析】设14PF r =，123F F r =，22PF r =.当曲线Γ是椭圆时，1226a PF PF r =+=，所以12122F F e a ==； 当曲线Γ是双曲线时，1222a PF PF r =-=，所以12322F F e a ==. 8.【解析】22224640(2)(3)9x y x y x y +--+=⇒-+-=. 因为点()11M ，在圆内，所以当直线AB 与圆心()23C ，和点M 的连线垂直时，AB 最短，2min 292954AB CM=-=-=.9.【解析】1n =时，1cos32S π==；2n =时，12cos 023S π=+=； 3n =时，3cos 13S π==-；4n =时，431cos 32S π=-+=-； 5n =时，35cos123S π=-+=-；6n =时，1cos20S π=-+=；又cos3n π的周期为6，200763361=⨯+，所以2007n =时S 的值与1n =时S 的值相等.10.【解析】由C 、O 、D 共线，得OD OC mOA nOB λλλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，其中R λ∈.因为A 、B 、D 共线，所以1m n λλ+=，所以1m n λ+=.由于点D 在圆外，且OD u u u r 、OC u u u r方向相反，所以1λ<-故()110m n λ+=∈-，.11.【解析】当1q =，221111(1)n n n n S a n a S a na ++=+>=；当1q ≠，11111111(1)(1)11n n n n n n n n a aS a S a q a q q a q q q+-++-=----- 2121121111(1)(1)(1)011n n n nn a q a q q q q q a q q q--+-⎡⎤=---=-=>⎣⎦--. 12.（12）【解析】根据题设可得()f x 是周期为4的周期函数，且()00f =，()10f =，()10f -=，.()20f =，()20f -=，…，()100f =，()100f -=，所以21m =.根据函数()y f x =的性质可作出其图象(部分)，如图所示.由图象可知方程()1f x =-在[]04，上的两个实数根关于1x =对称，故其和等于2. 根据周期性，可得方程()1f x =-在[]48，上的两个实数根和等于10，在[]810，上的两个实数根和等于18，在[]108--，上无实数，在[]84--，上的两个实数根和等于14-，在[]40-，上的两个实数根和等于6-.所以2101814610n =++--=. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.131415163-2133213.【解析】2()3f x x m'=+，由(1)30f m'=+=得3m=-.14.【解析】52axx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项公式为5102(5)2155C Crrr r r rrT x a xx--+==⎪⎝⎭.由51002r-=，得4r=. 所以445C80a=（0a>），得2a=.15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为112122y yx x=⋅++，所以21yx+表示可行域内的点()P x y，与点12B⎛⎫- ⎪⎝⎭，连线的斜率的一半. 由图可知，当点P位于点()11A，时，斜率最大，故21yx+的最大值为11213=+.16.【解析】如图，设AB a=，G为△BCD的中心，则33BG a=，63AG a=.由22OG OB BG AG OA-=-，可得64OB a=.当截面经过球心时，面积最大，所以264Sπ⎫=⎪⎪⎝⎭.易知OE BC⊥，所以当截面圆的直径为BC时，面积最小，所以2142T aπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以22643212a S T a ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理sin sin a bA B=，得sin 13sin 32b A B a ==⨯=. 因为31b a =>=，所以B A >，故3B π=或23π. ………… 6分 （Ⅱ）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及1a =，6A π=，得2231b c bc +-=.因为222b c bc +≥，所以()22132323b c bc bc bc bc =+--=-≥，所以23bc -≤，所以11123sin 22223ABC S bc A ∆+=⨯⨯=-≤. 故ABC ∆面积最大值为234+. ………… 12分 18.【解析】（Ⅰ）如图1所示，取CD 的中点F ，连接AF 、EF . 因为E 是1C D 的中点，所以1EF CC //.又11BB CC //，所以1EF BB //，所以EF //平面1BB D . 因为12AB CD =，//AB CD ，F 为CD 的中点，所以AB FD =，且//AB FD ，所以四边形ABDF 是平行四边形，因此//AF BD ，从而//AF 平面1BB D .因为AF 、EF ⊂平面AEF ，AF EF F =I ，所以平面//AEF 平面1BB D . 又AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面1BB D . ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）1//EF CC ，又1CC ⊥平面ABDC ，所以EF ⊥平面ABDC ，所以EF AF ⊥. 在Rt AEF ∆中，tan 2EF EFAEF AF ∠==，所以1EF =，所以12CC =.11111--ABC A B C D CBB C V V V =+几何体，如图2所示，连接BC ，易知BC BD ⊥，又1BB BD ⊥，所以BD ⊥平面11BB C C ，所以BD 是几何体11D CBB C -的高，所以11-182322333D CBB C V =⨯⨯⨯=， 111-122sin 6032ABC A B C V =⨯⨯⨯︒=2.所以814233333V =+=几何体.………… 12分 19.【解析】（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为6150.4=，12200.6=，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为20人，且抽样总人数201000.0210n ==⨯.所以第5组的人数为1002020152025----=，且 0.1202a =⨯=，0.2204b =⨯=，0.82520c =⨯=，151000.01510x ==，251000.02510y ==. ………… 4分（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为2:4:61:2:3=，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分（Ⅲ）记第1组抽取的1人为A ，第2组抽取的2人分别为B 1，B 2，第3组抽取的3人分别为C 1，C 2，C 3.从这6人中随机抽取2人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ； A ，C 1 ； A ，C 2 ； A ，C 3 ； B 1，B 2 ； B 1，C 1 ；B 1，C 2； B 1，C3；B 2，C 1 ； B 2，C 2； B 2，C3； C 1，C 2； C 1，C 3； C 2，C 3 共15种.其中没有第3组人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ；B 1，B 2 共3种. 所以这2人中没有第3组人的概率为31155=. ………… 12分 20.【解析】（Ⅰ）依题意有 123c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2a =，1c =，所以23b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. ………… 4分 （Ⅱ）根据题意可设直线BC 的方程为1x my =+，代入22143x y +=， 整理得22(34)690m y my ++-=.设 11(1)B my y +，，22(1)C my y +，，0(0)Q x ，， 则 122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 又易知(20)A -，，所以直线AB 的方程为：11(2)3y y x my =++，直线AC 的方程为：22(2)3y y x my =++，从而得11643y Mmy ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，22643y N my ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，.所以()()()2212120021212123636(4)(4)3339y y y y QM QN x x my my m y y m y y ⋅=-+=-++++++u u u u r u u u r2220022293634(4)(4)996393434m x x m m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以当20(4)9x -=，即01x =或07x =时，0QM QN ⋅=u u u u r u u u r.故在x 轴上是存在定点(10)Q ，或(70)，，使得0QM QN ⋅=u u u u r u u u r. ………… 12分21.【解析】（Ⅰ）221121()22x f x x x x -'=-=（0x >）. 当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '>.所以函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增. ………… 4分（Ⅱ）“函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点”等价于“函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点”. 由（Ⅰ）可知函数()f x 在区间11e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 所以当12x =时，函数()f x 有最小值11ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又112e f e ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()112f =，()1310e 2e f f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 所以在区间11e⎡⎤⎢⎥⎣⎦，附近，函数()y g x =的大致图象如图所示.由图可知，所以当且仅当1ln 2m =-或1122e m -+<≤时，函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点，从而函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点. ………… 12分 22.【解析】（Ⅰ）将方程6cos ρθ=的两边同乘以ρ，得26cos ρρθ=，所以226x y x +=，22(3)9x y ⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程.直线4cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，R θ∈）.当2k πθπ=+，Z k ∈时，直线l 的普通方程是4x =；当2k πθπ≠+，Z k ∈时，消去参数t ，得直线l 的普通方程是(4)tan 1y x θ=--.………… 4分（Ⅱ）将4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x +=，整理得22(cos sin )70t t θθ+--=.设两点A 、C 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122(cos sin )7.t t t t θθ+=--⎧⎨=-⎩，所以12AC t t =-===设直线0l 的参数方程为004cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，0θ为直线0l 的倾斜角）.同理可得BD =因为0l l ⊥,所以02πθθ-=，那么0sin 2sin 20θθ+=.所以BD =所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=.因为()()8sin 28sin 216θθ-++= .故16S ≤. 四边形ABCD 面积的最大值为16. ………… 10分23. 【解析】（Ⅰ）证法一、由1a b +=，可得332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+2()313a b ab ab =+-=-.又2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以3113144ab --=≥. 从而3314a b +≥. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有()()()2222211a b a b +++≥. 又1a b +=，所以2212a b +≥. 因为2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+111244-=≥. 证法三、因为1a b +=，所以1b a =-，所以33332(1)133a b a a a a +=+-=-+.因为221111333244a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥，所以3314a b +≥. （Ⅱ）因为()()x a x b x a x b a b -+----=-≥，所以“若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立”，则5a b -≤.因为1a b +=，所以1b a =-，所以()15a a --≤，得32a -≤≤. 所以[23305]a b a +=-∈，.故所求的23a b +的取值范围是[05]，. ………… 10分。
高三上学期期末教学质量调研数学试题含解析
第一学期期末教学质量调研数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合 A＝{2＋a2，a}，B＝{0，1，3}，且A⊆B，则实数 a 的值是___．【答案】1【解析】【分析】根据两集合之间的关系，得出，既而求得a=1.【详解】因为A⊆B，且即，且A⊆B所以a=1故答案为1【点睛】本题主要考查了集合之间的关系，属于基础题.2.已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z的模为___．【答案】【解析】【分析】先根据题意把复数z＝化简得，得出模.【详解】因为z＝化简所以故答案为【点睛】本题考查了复数的四则运算和模长的求法，属于基础题.3.为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为_________.【答案】80【解析】【分析】根据题意利用分层抽样，按比例计算即可得出答案.【详解】利用分层抽样抽的高中学生人数为：故答案为80【点睛】本题主要考查了分成抽样，按比例计算即可，属于基础题.4.执行下边的伪代码，输出的结果是_______．【答案】11【解析】试题分析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则a的值为______．【答案】6【解析】【分析】由题意得出双曲线的左准线和抛物线的准线，直接计算可的结果.【详解】由已知条件可得，故其左准线为：而抛物线的准线为：即解得a=6故答案为6【点睛】本题主要考查了双曲线的准线和抛物线的准线，公式的熟记是解题的关键，属于基础题.6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据题意列出取2个小球的所有可能性，再找出之和为3的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中5个小球取出2个小球的所有可能性为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）共10种情况，取出小球之和为3的倍数情况为：（1,2）、（1,5）、（2,4）、（4,5）4种情况，所以取出之和为3的倍数的概率：故答案为【点睛】本题主要考查了古典概型，属于基础题.7.设实数x，y满足约束条件则的最大值是________．【答案】1【解析】【分析】根据题意画出约束条件的可行域，然后求得的交点，在将点带入即可求得答案. 【详解】根据实数x，y满足约束条件画出可行域，如图：解得A（0，-1）可知当目标函数经过点A取最大值即故答案为1【点睛】本题考查了简单的性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.8.已知是等比数列的前n项和，若成等差数列，且则正整数k的值是_________.【答案】6【解析】【分析】先根据题意，数列是等比数列，且成等差数列代入公式求得，再利用求和公式求出k的值.【详解】因为数列是等比数列，且成等差数列即2=+所以解得或（舍）等比数列求和所以即故答案是6【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，通项公式以及等比求和的运用，解题的关键是对等比等差数列的性质的掌握，小综合，属于较为基础的题目.9.如图，在正三棱柱中，若,点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为___________.【答案】【解析】【分析】先用等体积法转化：三棱锥的体积相当于三棱锥的体积，然后求得底面积和高，运用体积公式解出即可.【详解】过点A做BC的垂线，垂足为M，因为在正三棱柱中，所以//平面故点E到平面的距离就相当于点A到平面的距离，AM垂直BC，且平面ABC垂直平面，且平面ABC垂直平面=BC故AM就是点A到平面因为故答案为.【点睛】本题考查了立体几何的垂直问题以及求体积的问题，解题关键是能否运用等体积法，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为_______．【答案】8【解析】【分析】根据题意求出点A、B的坐标，然后根据△CMN的面积为4求得MN的长以及高PD的长，再利用面积公式，求得结果.【详解】当y=0时，解得x=-1或x=3，即A（-1,0），B（3,0）圆的标准方程：圆心C（1,2）半径r=△CMN的面积为4即则，即要使△PAB的面积最大，则此时三角形的高PD=2+2=4，AB=3-(-1)=4则△PAB的面积故答案为8【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及面积公式等综合知识，解题的关键是在于能否知道直线与圆的相交关系，属于中档题.11.已知正实数x，y满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】先根据均值不等式求出，然后把原式化简得，再利用函数的单调性易得当xy=时，原式取最小值，求得结果.【详解】因为，所以原式又因为x，y都是正实数，且令t=xy，（）原式=是单调递减的，所以当xy=时，原式取最小值为：故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式以及结合函数的单调性，本题易错答案为，主要是没有考虑到均值不等式的条件：“一正、二定、三相等”，属于中档题.12.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC∥AD，若＝－1，则＝________．【答案】【解析】【分析】先根据题意以及圆的直径所对的圆周角为直角，可得，求得，然后求得OBD为等边三角形，求出，再利用数量积求得结果.【详解】因为＝－1，所以因为AB为直径，BC∥AD，所以，即即，所以可得，又因为AB=2，在直角三角形ABD中，三角形OBD为等边三角形，所以＝故答案为【点睛】本题主要考查了向量的综合应用以及与圆的相关知识，本题易错的向量的数量积的几何意义，这个需要弄明白是解题的关键，属于较难题型.13.已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，即+m=0有两个不同的解，解之得即或因为的导函数，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在递减；f(x)的最大值为，且且f(1)=0；要使函数有3个不同的零点，（1）有两个不同的解，此时有一个解；（2）有两个不同的解，此时有一个解当有两个不同的解，此时有一个解，此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=-m，此时有两个不同的解，此时有一个解此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=，综上：的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.14.在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．【答案】6【解析】【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案.【详解】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得由正弦定理：即（正弦平方差）整理可得：即设因为为锐角三角形，所以此时即所以=令当，f(x)递增；当，f(x)递减；所以故的最小值是6故答案为6【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及与导函数的应用的综合题目，易错点在于前面的化简会用到正弦差定理，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求证：AE∥平面PBC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据题意，利用线面垂直的判断证明AE⊥平面PCD，然后得证.（2）取CP的中点F，用中位线证明EF∥AB且EF＝AB，四边形AEFB是平行四边形，然后得证.【详解】（1）因为△PAD是正三角形，点E是PD的中点，所以AE⊥PD．又平面PCD⊥面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD，AE平面PAD．所以AE⊥平面PCD．又PC平面PCD，所以AE⊥PC．（2）取PC的中点F，连结EF，在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，所以EF∥CD且CD＝2EF．又AB∥CD，CD＝2AB，所以EF∥AB且EF＝AB，所以四边形AEFB是平行四边形，所以AE∥BF，又AE平面PBC，BF平面PBC，所以AE∥平面PBC．【点睛】本题考查了线面垂直的判断以及线面平行的判断定理，熟练线面关系以及性质判断是解题关键，属于基础题.16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，，x∈R，其部分图象如图所示．（1）求函数y＝f(x)的解析式；（2）若，，求cos2α的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由图像可得A＝2，，求得，再求得得出答案；（2）因为求得，然后求得，再，然后利用公式求得cos2α.【详解】（1）由图可知，A＝2，，所以，所以，．又，所以，即，因为，所以，故，．所以．（2）因为，所以，即，因为，所以．又因为，所以．所以，所以．所以．【点睛】本题主要考查了已知三角函数图像求解析式，以及三角恒等变化的综合题型，解题的关键是在于对于三角恒等变化的公式熟练的运用，学生容易在运用三角恒等变化公式的时候忽略角的范围，属于中档题.17.一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R 分别在圆弧AC，BD上，P，Q在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．【答案】（1），定义域为；（2）见解析【解析】【分析】（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t，RQ＝＝，运用面积公式y＝，定义域为（2）对函数进行求导，判断函数的单调性，然后求得最值.【详解】选AP＝t．（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t．在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AQ＝1－t，AR＝1，故RQ＝＝．所以 y＝PQ·RQ＝．显然解得．所以y＝，定义域为．（2）由（1）知，y＝，即y＝，．令，．则．令，得或（舍）或（舍）．列表：所以当时，取最大值，y取最大值．答：面积y取最大值时，AP的长为米．【点睛】本题考查了导函数的实际运用，利用导函数求最值，易错点在于求出函数的解析式而忽略了定义域，属于中档题.18.如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，，求k2·(k1－) 的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由离心率为，右准线方程为求出a＝2，c＝1，故得到答案；（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)，据题意，求得所以，再将点带入方程求得点的坐标，既而求得斜率k；（3）先用点差法，求得与k的关系，以及直线AM，然后联立AM与椭圆求得k1与k的关系，同理求得k2与k的关系，然后进行整理化简可得答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．依题意，，且，解得a＝2，c＝1．故b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的标准方程为．（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．据题意，，即，整理可得，所以．代入坐标，可得即又点M， N在椭圆C上，所以解得所以直线l的斜率．（3）依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，所以两式相减，得，即，所以，即，所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，所以．又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组整理得，所以，得，．所以点M的坐标为．同理，点N的坐标为．又点M，N，F三点共线，所以，整理得，依题意，，，故．由可得，，即．所以．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是在于问题的转化以及计算，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.19.已知函数，其中．（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）设函数．①求函数的单调区间；②若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）①见解析②【解析】【分析】（1）求导，然后求得在x=1处的切线方程，然后利用垂直求出a的值；（2）①求导函数，然后对a进行讨论，然后求得原函数的单调区间；②不等式对任意的实数恒成立，转化为的最小值大于0，由第一问知函数的单调性，对a进行分类，易知成立，当或时，利用单调性，最值以及零点的存在性定理判断出不符合题意，求得a的范围.【详解】（1）因为函数，定义域为，所以，，，所以函数图象在处的切线方程为，即．依题意，，解得．所以实数a的值为1．（2）令，，则．（1）① 若，，故函数在上单调增．② 若，记．若，即，则，函数在上单调增．若，即，令，得，．当时，，在和上单调增；当时，，在上单调减．③ 若，令，得（负舍）．当时，，在上单调增；当时，，在上单调减．综上所述，当时，函数的单调增区间为，减区间为；当时，函数的单调增区间为，无减区间；当时，函数的单调增区间为和，减区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在上单调增，故，所以符合题意；当时，函数在上单调减，在上单调增，故存在，，所以不符题意；当时，在上单调增，在上单调减．下面证明：存在，．首先证明：．要证：，只要证：．因为，所以，故．所以．其次证明：当时，对任意的都成立．令，，则，故在上单调递减，所以，即．所以当时，对任意的都成立．又当时，，与题意矛盾，故不符题意．综上所述，实数a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了导函数的应用的综合知识，难度极强，包含了切线方程、单调性的讨论、最值的应用和零点存在性定理的应用，属于难题.函数单调性的判断方法：（1）根据函数单调性的定义；（2）图像法，画出函数的图像；（3）导函数法；（4）复合函数利用同增异减.20.已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．【答案】（1）；（2）3，9，27；（3）3【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项和求和公式，再利用等差中项得，然后求得公差d=2，求出通项；（2）假设存在，使得，，成等比数列，利用等比数列中项可得法一：利用函数的单调性转化为零点问题求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；（3）根据题意由可知，，然后用累加法和放缩法得，再对n进行讨论，求得k的值.【详解】（1）设等差数列的公差d，则，．又是等差数列，所以，即，解得d＝2．此时，，符合数列是等差数列，所以．（2）假设存在，使得，，成等比数列．则，由（1）可知，，代入上式，得，整理得．（*）法一：令，x≥1．则，所以在上单调增，所以在上至少有一个根．又，故是方程（*）的唯一解．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．法二：，即，所以方程（*）可整理为．因为，所以无解，故．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．（3）由可知，．又，，故，所以．依题意，对任意恒成立，所以，即，故．若，据，可得当，时，．由及可得．所以，当，时，，即．故当，时，，故不合题意．若，据，可得，即．所以，当，时，，当时，，得，所以．当，时，，所以，故．故当时，对任意都成立．所以正整数k的最小值为3．【点睛】本题考查了数列的综合应用，包括与函数的结合，放缩法的运用，这些点都属于难点，综合性很强，属于极难题目.。
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安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21012A =--，，，，，{}220B x x x =+<，则A B =A.{}12，B. {}21--，C.{}1-D.{}210--，，2. 下列命题中的假命题．．．是 A. R x ∀∈，120x ->C. R x ∃∈，lg 1x <B. *N x ∀∈，2(1)0x -> D. R x ∃∈，tan 2x =3. 等差数列{}n a 中，若36912a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和等于A. 22B. 33C. 44D. 554. 己知)0(9432>=a a ，则3log 2a =A.13 B. 13-C. 3-D. 35. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知平面向量a ，b 满足2b a =，且a 与b 的夹角为60︒，则“1m =”是“()a mb a -⊥”的A. 充分不必要条件 C. 充要条件B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于A. 1322或B.23或2 C. 12或2D. 2332或8. 过点()11M ，的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. B. 4C. D. 59. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为A.12B. 0C. 1-D. 32-10. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆外一点. 若OC mOA nOB =+，其中m ，R n ∈. 则m n +的取值范围是A. ()01，B. ()10-，C. ()1+∞，D. ()1-∞-，11. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，公比0q >，则1n n S a +与1n n S a +的大小关系是A. 11n n n n S a S a ++>B. 11n n n n S a S a ++<C. 11n n n n S a S a ++≥D. 11n n n n S a S a ++≤12. 设()x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，()3log f x x =. 记()f x 在[]1010-，上零点的个数为m ，方程()1f x =-在[]1010-，上的实数根和为n ，则有A. 20m =，10n =B. 10m =，20n =B. 21m =，10n = D. 11m =，21n =第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知3()f x x mx =+，R m ∈，若函数()y f x =的图象在点()1(1)f ，处的切线与x 轴平行，则m = ．14. 设0a >，若52x ⎛ ⎝展开式中的常数项为80，则a = ．15. 若变量x ，y 满足约束条件220200x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，，，则21y x +的最大值为 ．16. 在正四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，记S 为最大的截面面积，T 为最小的截面面积，则ST= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且1a =，6A π=.（Ⅰ）当b =B 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆面积最大值.18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，111A B C ABC -是直三棱柱，四边形ABDC 是梯形，//AB CD ，且122AB BD CD ===，60BDC ∠=︒，E 是1C D 的中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面1BB D ；（Ⅱ）当AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12时，求该几何体的体积.19.（本题满分12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n 人，得到如下的统计表和频率分布直方图.（Ⅰ）写出其中的a 、b 、c 及x 和y 的值；（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为12，点F 是其右焦点，点A 是其左顶点， 且3AF =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作不与x 轴重合的直线交椭圆E 于两点B 、C ，直线AB 、AC 分别交直线:4l x =于点M 、N . 试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得0QM QN ⋅=？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数1()ln 2f x x x=+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()g x f x m =-. 若函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围（注：e 为自然对数的底数）.请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数，R θ∈）. （Ⅰ）求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点. 求四边形ABCD 面积的最大值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a ，b 满足1a b +=. （Ⅰ）求证：3314a b +≥；（Ⅱ）若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立，求实数23a b +的取值范围.安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分.1.【解析】{}22020B x x x x x =+<=-<<，所以A B ={}1-. 2.【解析】1x =，()210x -=，故（B ）不正确. 3.【解析】由36912a a a ++=，得64a =，所以11111611()11442a a S a +===.4.【解析】由)0(9432>=a a，得42log 93a =，所以2131log log 3323a a =⇒=-.5.【解析】易知三个命题都正确.6.【解析】由题意可知0a ≠ ，0b ≠ ，又2b a = ，a 与b的夹角为60︒，所以 ()2()()00a mb a a mb a a ma b -⊥⇔-⋅=⇔-⋅=2212012a m a m ⇔-⋅=⇔= .7.【解析】设14PF r =，123F F r =，22PF r =.当曲线Γ是椭圆时，1226a PF PF r =+=，所以12122F F e a ==； 当曲线Γ是双曲线时，1222a PF PF r =-=，所以12322F F e a ==. 8.【解析】22224640(2)(3)9x y x y x y +--+=⇒-+-=. 因为点()11M ，在圆内，所以当直线AB 与圆心()23C ，和点M 的连线垂直时，AB 最短，min 4AB ===.9.【解析】1n =时，1cos32S π==；2n =时，12cos023S π=+=； 3n =时，3cos 13S π==-；4n =时，431cos 32S π=-+=-；5n =时，35cos 123S π=-+=-；6n =时，1cos 20S π=-+=；又cos3n π的周期为6，200763361=⨯+，所以2007n =时S 的值与1n =时S 的值相等.10.【解析】由C 、O 、D 共线，得OD OC mOA nOB λλλ==+，其中R λ∈.因为A 、B 、D 共线，所以1m n λλ+=，所以1m n λ+=.由于点D 在圆外，且OD 、OC方向相反，所以1λ<-故()110m n λ+=∈-，.11.【解析】当1q =，221111(1)n n n n S a n a S a na ++=+>=；当1q ≠，11111111(1)(1)11n n n n n n n n a aS a S a q a q q a q q q+-++-=----- 2121121111(1)(1)(1)011n n n nn a q a q q q q q a q q q--+-⎡⎤=---=-=>⎣⎦--. 12.（12）【解析】根据题设可得()f x 是周期为4的周期函数，且()00f =，()10f =，()10f -=，.()20f =，()20f -=，…，()100f =，()100f -=，所以21m =.根据函数()y f x =的性质可作出其图象(部分)，如图所示.由图象可知方程()1f x =-在[]04，上的两个实数根关于1x =对称，故其和等于2. 根据周期性，可得方程()1f x =-在[]48，上的两个实数根和等于10，在[]810，上的两个实数根和等于18，在[]108--，上无实数，在[]84--，上的两个实数根和等于14-，在[]40-，上的两个实数根和等于6-.所以2101814610n =++--=. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.【解析】2()3f x x m '=+，由(1)30fm '=+=得3m =-.14.【解析】52x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为5102(5)2155C C rr r r r r r T x a x--+==. 由51002r -=，得4r =. 所以445C 80a =（0a >），得2a =. 15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为112122y yx x =⋅++，所以21y x +表示可行域内的点()P x y ，与点102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，连线的斜率的一半. 由图可知，当点P 位于点()11A ，时，斜率最大，故21y x +的最大值为11213=+.16.【解析】如图，设AB a =，G 为△BCD 的中心，则BG =，AG =. 由OG AG OA =-，可得OB =. 当截面经过球心时，面积最大，所以24S π⎫=⎪⎪⎝⎭.易知OE BC ⊥，所以当截面圆的直径为BC 时，面积最小，所以2142T a π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以223212a S T a ⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理sin sin a b A B =，得sin 1sin 2b A B a ===因为1b a =>=，所以B A >，故3B π=或23π. ………… 6分 （Ⅱ）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及1a =，6A π=，得221b c +=.因为222b c bc +≥，所以(22122b c bc bc =+=≥，所以bc111sin 222ABC S bc A ∆==≤. 故ABC ∆面积最大值为24+. ………… 12分 18.【解析】（Ⅰ）如图1所示，取CD 的中点F ，连接AF 、EF . 因为E 是1C D 的中点，所以1EF CC //.又11BB CC //，所以1EF BB //，所以EF //平面1BB D . 因为12AB CD =，//AB CD ，F 为CD 的中点，所以AB FD =，且//AB FD ，所以四边形ABDF 是平行四边形，因此//AF BD ，从而//AF 平面1BB D .因为AF 、EF ⊂平面AEF ，AF EF F = ，所以平面//AEF 平面1BB D . 又AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面1BB D . ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）1//EF CC ，又1CC ⊥平面ABDC ，所以EF ⊥平面ABDC ，所以EF AF ⊥. 在Rt AEF ∆中，tan 2EF EFAEF AF ∠==，所以1EF =，所以12CC =.11111--ABC A B C D CBB C V V V =+几何体，如图2所示，连接BC ，易知BC BD ⊥，又1BB BD ⊥，所以BD ⊥平面11BB C C ，所以BD 是几何体11D CBB C -的高，所以11-1223D CBB C V =⨯⨯=111-122sin 602ABC A B C V =⨯⨯⨯︒=所以V ==几何体 ………… 12分 19.【解析】（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为6150.4=，12200.6=，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为20人，且抽样总人数201000.0210n ==⨯. 所以第5组的人数为1002020152025----=，且 0.1202a =⨯=，0.2204b =⨯=，0.82520c =⨯=，151000.01510x ==，251000.02510y ==. ………… 4分（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为2:4:61:2:3=，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分（Ⅲ）记第1组抽取的1人为A ，第2组抽取的2人分别为B 1，B 2，第3组抽取的3人分别为C 1，C 2，C 3.从这6人中随机抽取2人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ； A ，C 1 ； A ，C 2 ； A ，C 3 ； B 1，B 2 ； B 1，C 1 ；B 1，C 2； B 1，C3；B 2，C 1 ； B 2，C 2； B 2，C3； C 1，C 2； C 1，C 3； C 2，C 3 共15种.其中没有第3组人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ；B 1，B 2 共3种. 所以这2人中没有第3组人的概率为31155=. ………… 12分 20.【解析】（Ⅰ）依题意有 123c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2a =，1c =，所以23b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. ………… 4分 （Ⅱ）根据题意可设直线BC 的方程为1x my =+，代入22143x y +=， 整理得22(34)690m y my ++-=.设 11(1)B my y +，，22(1)C my y +，，0(0)Q x ，， 则 122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 又易知(20)A -，，所以直线AB 的方程为：11(2)3y y x my =++，直线AC 的方程为：22(2)3y y x my =++，从而得11643y Mmy ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，22643y Nmy ⎛⎫⎪+⎝⎭，.所以()()()2212120021212123636(4)(4)3339y y y y QM QN x x my my m y y m y y ⋅=-+=-++++++2220022293634(4)(4)996393434m x x m m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以当20(4)9x -=，即01x =或07x =时，0QM QN ⋅=.故在x 轴上是存在定点(10)Q ，或(70)，，使得0QM QN ⋅=. ………… 12分 21.【解析】（Ⅰ）221121()22x f x x x x -'=-=（0x >）. 当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '>.所以函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增. ………… 4分（Ⅱ）“函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点”等价于“函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点”.由（Ⅰ）可知函数()f x 在区间11e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 所以当12x =时，函数()f x 有最小值11ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又112ef e ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()112f =，()1310e 2e f f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 所以在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，附近，函数()y g x =的大致图象如图所示.由图可知，所以当且仅当1ln 2m =-或1122e m -+<≤时，函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点，从而函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点. ………… 12分 22.【解析】（Ⅰ）将方程6cos ρθ=的两边同乘以ρ，得26cos ρρθ=，所以226x y x +=，22(3)9x y ⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程.直线4cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，R θ∈）.当2k πθπ=+，Z k ∈时，直线l 的普通方程是4x =；当2k πθπ≠+，Z k ∈时，消去参数t ，得直线l 的普通方程是(4)tan 1y x θ=--.………… 4分（Ⅱ）将4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x +=，整理得22(cos sin )70t t θθ+--=.设两点A 、C 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122(cos sin )7.t t t t θθ+=--⎧⎨=-⎩，所以12AC t t =-===设直线0l 的参数方程为004cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，0θ为直线0l 的倾斜角）.同理可得BD =. 因为0l l ⊥,所以02πθθ-=，那么0sin 2sin 20θθ+=.所以BD =所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=.因为()()8sin 28sin 216θθ-++= .故16S ≤. 四边形ABCD 面积的最大值为16. ………… 10分23. 【解析】（Ⅰ）证法一、由1a b +=，可得332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+2()313a b ab ab =+-=-.又2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以3113144ab --=≥. 从而3314a b +≥. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有()()()2222211a b a b +++≥. 又1a b +=，所以2212a b +≥. 因为2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+ 111244-=≥. 证法三、因为1a b +=，所以1b a =-，所以33332(1)133a b a a a a +=+-=-+.因为221111333244a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥，所以3314a b +≥. （Ⅱ）因为()()x a x b x a x b a b -+----=-≥，所以“若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立”，则5a b -≤.因为1a b +=，所以1b a =-，所以()15a a --≤，得32a -≤≤.所以[23305]a b a +=-∈，. 故所求的23a b +的取值范围是[05]，. ………… 10分。