最新高三数学上学期期末考试试卷
山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)-, B.(10)-, C.(20]-, D.(10]-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1D.23.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i- B.1i+ C.22i- D.22i+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=A.2B.2-C.2D.2-5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c b a<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为A.163πB.283π C.649π D.20π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三上学期期末考试数学试卷
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q =I （ ）A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．∅2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种3．设1,2,3,4,5k =，则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能是（ ） A ．10B ．40C ．50D ．804．已知(1,0),||1,||a b a b ==-=r rr r a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．已知锐角θ满足2cos21sin 2θθ=+，则tan θ=（ ） A ．13B ．12C ．2D ．36．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则“对*N n ∀∈，1n n a a +>”是“()11n n nS n S +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上的一点，212PF F F ⊥，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点A ，记1PF A △，2PF A △的面积分别为1S ，2S ，且1232S S =，则C 的离心率为（ ） ABCD ．38．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD 为平行四边形，//EF 面ABCD ，记该刍甍的体积为1V ，三棱锥E ABD-的体积为2V ，AB a =，EF b =，若2125V V =，则ba=（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23二、多选题9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y 与第()1,2,3,4,5x x =天的数据如表所示．根据表中数据可知x ，y 具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为ˆ2010yx =+，则（ ）A ．样本相关系数在(]0,1内B ．当2x =时，残差为-2C ．点()3,15a 一定在经验回归直线上D ．第6天到该医院就诊人数的预测值为13010．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．||4AB ≥B ．||||8OA OB +>C ．若点(4,1)P ，则||||PA AF +的最小值是5D ．若AB 倾斜角为3π，且AF B F >，则3AF BF =11．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，满足对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()()()2f xy f x f y f x f y =⋅--+，且1x >时，()2f x >．则下列说法正确的是（ ）A ．()12f =B ．当()0,1x ∈时，()2f x <C ．()f x 在()0,1是减函数D ．存在实数k 使得函数()y f x k =+在()0,1是减函数三、填空题 12．设复数i 1i 1z +=-（i 为虚数单位），则1z z +=.13．如图，在三棱锥-P ABC 中，AC BC ⊥，PA ⊥平面ABC ，且PA AB =，E 为PB 中点，AF PC ⊥于点F ，写出图中一条一定与EF 垂直的线段为.14．设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为.四、解答题15．某学校有A 、B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)求王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)如果王同学第2天去A 餐厅用餐，求他第1天在A 餐厅用餐的概率；(3)A 餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，A 餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）.依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为学生对于A 餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关联？如果有关联，请分析两者的影响规律.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.16．设ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3C π=.(1)若1a b +=，求c 的最小值； (2)求cos cos cos2A BA B -+-的值. 17．已知数列{}n a 满足：11a =，()*13n n a a n n λ++=+∈N ，R λ∈. (1)证明：数列{}2n a 是等差数列；(2)是否存在λ使得数列{}n a 为等差数列?若存在，求λ的值及数列{}n a 的前n 项和n S ；否则，请说明理由.18．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，212AB BC ==，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点1A 的位置，且二面角1A DE B--的大小为60°.(1)求证：1AC BE ⊥； (2)求直线1A E 与平面1ACD 所成角的正弦值. 19．已知函数()()sin R e xxf x x =∈. (1)求()f x 的单调区间；(2)若对于任意的()π0,,2x f x kx ⎡⎤∈≥⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数k 的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2．(1)求椭圆C 的方程；1,0，且与椭圆C交于M，N两点(2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点()-是否存在最大（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为,αβ，试问αβ-取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．值？若存在，求当αβ。
2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案
( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程； （2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（ ） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（ ）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（ ）
2
北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32- B.32C.23- D.235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9B.1-或9C.1-或9- D.1或9-7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A .2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.14.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ijQ j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】计算出集合B 后由交集定义运算可得.【详解】{}{}101B x x x x =->=<，故{}2,0A B ⋂=-.故选：C.2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，再利用复数的乘法可求得()1i z --的值.【详解】在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，由复数的几何意义可得1i z =-+，因此，()()()1i 1i 1i 2z --=--⋅-+=.故选：A.3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.【答案】B 【解析】【分析】先表示出,,a b a b ⋅ ，然后根据πcos 3a b a b ⋅= 求解出m 的值.【详解】因为2a b m ⋅= ，2,a b ==所以πcos 3a b a b ⋅= ，所以1222m =，解得33m =或33m =-（舍去），故选：B.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32-B.32C.23- D.23【答案】B 【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()()431241442C C 20,1,2,3,4kk k kk k k T x x k x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240k -=，可得3k =，因此，展开式中的常数项为3334C 24832T =⋅=⨯=.故选：B.5.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b >B.11a b> C.b a a b > D.2211ab a b>【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 举反例即可得，对D 作差计算即可得.【详解】对A ：若0a b >>，则22a b <，故错误；对B ：若0a b >>，则11a b<，故错误；对C ：若0a b >>，则22a b >，0ab >，左右同除ab ，有a bb a>，故错误；对D ：由a b >且a ，b 为非零实数，则2222110a b ab a b a b --=>，即2211ab a b>，故正确.故选：D.6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9 B.1-或9 C.1-或9- D.1或9-【答案】D 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,2C -因为直线:20l x y b -+=与圆C=，即45b +=，解得1b =或9-.故选：D.7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011ee0.58512%55kkP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A.2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQ PF +最小时，点Q 的位置，进而求出,a b 的关系即得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为0bx ay ±=，由对称性不妨令点P 在第二象限，由双曲线定义得211||||2||2PQ PF PQ PF a F Q a +=++≥+，当且仅当P 为线段1FQ 与双曲线的交点时因此2PQ PF +的最小值为1||F Q 的最小值与2a 的和，显然当1FQ 与渐近线0bx ay +=垂直时，1||F Q 取得最小值，而1PF 平行于渐近线0bx ay -=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为0x y ±=，显然选项ABD 不满足，C 满足，所以双曲线C 的方程可能是22122x y -=.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a 为强率，由310π13<<可得，373101331.31244159a +==>+，即3a 为强率；由313π14<<可得，473131631.41254159a +==>+，即4a 为强率；由316π15<<可得，573161931.51264159a +==>+，即5a 为强率；由319π16<<可得，673192231.61274159a +==>+，即6a 为强率；由322π17<<可得，763222531.1252183.41597a +===<+，即7a 为弱率，所以7m =，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.【答案】29n -【解析】【分析】由等差数列及其前n 项和的性质计算即可得.【详解】设()()1171n a a n d n d =+-=-+-，则313321315S a d d =+=-+=-，即2d =，故()72129n a n n =-+-=-.故答案为：29n -.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.【答案】π4【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在ABC 中，由2cos 2b c a C -=及正弦定理，得2sin sin sin cos 2B C A C -=，则sin()sin sin cos 2A C C A C +-=，整理得cos sin sin 2A C C =，而sin 0C >，因此2cos 2A =，又0πA <<，所以π4A =.故答案为：π414.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.【答案】28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y ，依题意，||||2MF y =+||2y =+，整理得24(||)x y y =-，所以M 的轨迹方程是28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>.故答案为：28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、()1,0,A a a 、(),,0B a a 、()10,0,D a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a 、()10,,C a a ，则()1,0,B C a a =-- 、()1,,BD a a a =-- 、()11,,0A C a a =- 、()1,0,A D a a =-- 、()10,,AB a a = 、()11,0,0A D a =- 、()10,0,AA a = ，设11B P B C λ= ，[]0,1λ∈，则()11,,AP AB B P a a a a λλ=+=-- ，222210AP BD a a a a λλ⋅=-+-= ，故1AP BD ⊥，故①正确；设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z =，则有11100A C n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax ay ax az -+=⎧⎨--=⎩，取1x =，则()1,1,1n =- ，有0AP n a a a λλ⋅=-+-+= ，故AP n ⊥ ，又AP ⊄平面11A C D ，则//AP 平面11A C D ，故②正确；当0λ=时，有()0,,AP a a = ，此时110000A A P D =+⋅+= ，即11AP A D ⊥，即此时直线AP 与直线11A D 所成角为π2，故③错误；由()1,1,1n =- ，()11,,PA AA AP a a a λλ=-=- ，则133PA n d n ⋅== ，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD PA ⊥去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB =结合勾股定理的逆定理去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B 与AP 中点E 、连接ME ，又M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，故//ME AD 、12ME AD =，又底面ABCD 是正方形，故//BN AD 、12=BN AD ，故//ME BN 且ME BN =，故四边形MEBN 为平行四边形，故//MN EB ，又EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，故//MN 平面PAB ；【小问2详解】选条件①：CD PA ⊥，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.条件②：PB =，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由PB =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，又//AB CD ，故CD PA ⊥，又CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）π4ϕ=（2）π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值；（2）利用三角恒等变换化简得出()1sin 22g x x =-，由0x m <<可得022x m <<，结合题意可得出关于m 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，可得到函数ππ2284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，函数π24y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()ππ4k k ϕ-=∈Z ，可得()ππ4k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π4ϕ=.【小问2详解】解：由（1）可知，()π2sin 2cos 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()()21112cos sin 2cos 21cos 2sin 2222g x f x x x x x x =-+=+-++=-，因为0x m <<，则022x m <<，由()0g x =，可得1sin 22x =，因为()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则π5π266m <≤，解得π5π1212m <≤.因此，实数m 的取值范围是π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.【答案】（1）27（2）X 的分布列见解析，()47E x =（3）23s >2212s s =【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为27；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X =，()2527C 100C 21P X ===，()2227C 12C 21P X ===，()1011011212121P X ==--=，所以X 的分布列如下图所示：X012P 10211021121()1010140122121217E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，23s >2212s s =.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.【答案】19.22143x y +=20.3260x y ±-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P 、Q 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由13A F a c =+=，12c e a ==，解得2a =，1c =，故3b ==，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】由椭圆C 的标准方程为22143x y +=，则()12,0A -、()22,0A 、()1,0F ，由题意可得直线2A P 斜率存在且不为0，设2:2A P l x my =+，令0x =，则2y m =-，故20,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234120m y my ++=，即()234120m y m y ⎡⎤++=⎣⎦，故0y =或21234m y m -=+，由()22,0A ，故21234P m y m -=+，则112121144222A PQ A A Q A A P Q P Q P S S S y y y y =-=⨯-⨯=- ，又()212122P A FP P y S y =⨯-=，即2422P Q P P y y y y -=⨯=，即Q P P y y y -=，若Q P y y >，则2Q P y y =，即2122234m m m -=⨯+，即223412m m +=，即249m =，则23m =±，若Q P y y <，则P Q P y y y -=，即0Q y =，不符，故舍去，即23m =±，故22:23A P l x y =±+，即直线2A P 的方程为3260x y ±-=.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）ey =（2）15,2⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭、51,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的单调递增区间；（3）令()21g x ax x =+-，分析可知，函数()g x 在()0,1上有且只有一个异号零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当0a =时，()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x-'=，所以，()1e f =，()10f '=，故当0a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =.【小问2详解】解：当1a =时，()()1e 11e x x x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()2221e 2e 1e x x x x x x x x f x x x +-+-+'==，由()0f x ¢>，即210x x +->，解得152x +<-或512x ->，因此，当1a =时，函数()f x的单调递增区间为1,2⎛+-∞- ⎪⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【小问3详解】解：因为()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则()()2221e 11e x x ax x f x a xx x +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令()21g x ax x =+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当0a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<，不合乎题意；当0a >时，函数()21g x ax x =+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()10g a =>，合乎题意；当a<0时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102x a=->，因为()010g =-<，只需()10g a =>，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N ，都有n m na q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，可得当2n ≥时，43n n a a +=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出n a 通项公式后，检验2n na a +是否恒等于3即可得；（3）借助{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，则当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j i q q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j i n j ij n a q a -+-=即可得.【小问1详解】由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，则当2n ≥时，43n na a +=，故623a a =，953a a =，117339a a a ==，又31a =，52a =，故691125323393329120a a a a a a a ++=++=+⨯+⨯=，即253a =；【小问2详解】{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由如下：设()11n b b n d =+-，112n n c c -=⋅，由234b c ==，112b c c +=，即有11111442b d c b c c +==⎧⎨+=⎩，解得1113b c d ==⎧⎨=⎩，故32n b n =-，12n n c -=，则1232n n n n a b c n -=+=+-，有()21122322234n n n a n n +-++=++-=++，则121234232n n n n a n a n ++-++=+-，不恒等于3，故{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”；【小问3详解】由{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，即当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j ii i j j i i j i j j i j i i j ia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ，故12j i q q =，即12i j q q =，由1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有22212j i n i j n j i j i n i in j a a q q q a a q q --++--+====，即对任意的1n i ≥+时，有2j i n j ij n a q a -+-=，即{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n i n a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i i a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出12j i q q =.。
天津市部分区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
祝各位考生考试顺利!第I 卷（共45分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱锥的体积公式13V Sh =h ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A.{}1,2,4,5 B.{}2 C.{}0,3 D.{}0,2,3,52.设x ∈R ，则“0x >”是“20x x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.14a =，0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.a c b << C.c a b << D.b c a<<4.已知函数()f x 在[]4,4-上的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()cos2x f x x π=⋅ B.()cos 2x f x x π=⋅C.()sin 2x f x x π=⋅ D.()sin 2xf x x π=⋅5.已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12a =，32618a a =-，则5S =（）A.30B.80C.240D.2426.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.247.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线6x π=对称B.图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.()g x 的一个单调递增区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.曲线()y g x =与直线2y =的所有交点中，相邻交点距离的最小值为6π8.已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，2SB =，SC =，1AB =，3BC =，则三棱锥S ABC -的体积是（）A.2 C.2 D.9.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为52，实轴长为4，C 的两个焦点为1F ，2F .设O 为坐标原点，若点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=-，则OP =（）A.2 C. D.第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(B)期末答案
228BC m −， .........6分22AC ， .........7分 ， 0，上的两个三等分点，， ...........3分⊥，PB PA)0,3，解:（1）因为()35P A B =，()23P B A =， 所以对杭州亚运会项目了解的女生为350305×=，...........1分了解亚运会项目的学生为304523=，...........2分结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：了解 不了解 合计 男生 15 35 50 女生 30 20 50 合计4555100...........4分零假设H 0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据()220.001100152030351009.09110.8285050455511x χ××−×==≈<=×××， 依据α＝0.001的独立性检验，可以推断H 0成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关............6分 （2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为15931530×=+（人）；...........7分女生人数为30961530×=+（人），...........8分由题意可得，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3..........9分()043649C C 50C 42P X ===，()133649C C 10121C P X ===， ()223649C C 5214C P X ===，()313649C C 1321C P X ===.随机变量X 的分布列如下：则()5105140123422114213E X =×+×+×+×=............12分 ，0∆>， 211143x x −+， 221y x =+， )())()2121123423x x x x −+++。
第1套：浙江宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷与答案
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
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一．选择题：每题5分，共60分
1．已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，()(){}021|<+-=x x x B ，则=B A （ ）
A ．{}0,1-
B ．{}1,0
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,1,0 2．若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a （ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2
3．已知命题p ：对任意R x ∈，总有02>x ；q ：“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ）
A ．q p ∧
B ．q p ⌝∧⌝
C ．q p ∧⌝
D ．q p ⌝∧
4．等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ）
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
5．设函数()()⎩⎨⎧≥<-+=-1
,21,2log 112x x x x f x ，则()()=
+-12log 22f f （ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．372cm
B ．390cm
C ．3108cm
D ．3138cm 7．若圆1C ：122=+y x 与圆2C ：08622=+--+m y x y x 外切，则=m （ ）
A ．21
B ．19
C ．9
D ．11-
8．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ）
A ．76
B ．
73C ．98 D ．9
4
9．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．
332πB ．π4C ．π2D ．3
4π
10．在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a ，()x x g a log =的图像可能是（ ）
11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为 120，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2 C ．3D ．2
12．设函数()x f '是奇函数()x f ()R x ∈的导函数，()01=-f ，当0>x 时，()()0<-'x f x f x ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围是（ ）
A ．
()()1,01, -∞-B ．()()+∞-,10,1 C ．()()0,11,--∞- D ．()()+∞,11,0 第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选做题，考生根据要求做答．
二．填空题：每题5分，共20分
13．设向量a
，b 不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ．
14．若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤-≥+-022020
1y x y x y x ，则y x z +=的最大值为．
15．（理）在6
212⎪⎭⎫
⎝
⎛+x x 的展开式中，常数项等于．
（结果用数值表示）
（文）已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n S S a ，则=n S ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2=AB ，3=AC ， 60=A ． （1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值．
18．（本小题满分12分）（理）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；
（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为1x ，2x ，3x ，随机变量X 表示1x ，2x ，3x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望EX ．
（文）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．
（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19．（本小题满分12分）（理）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4==PC PD ，6=AB ，3=BC ．点E 是
CD 的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且FB AF 2=，GB CG 2=.
（1）证明：FG PE ⊥；
（2）求二面角C AD P --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
（文）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4==PC PD ，6=AB ，3=BC ．
（1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：PD BC ⊥；
（3）求点C 到平面PDA 的距离．
20．（本小题满分12分）设1F ，2F 分别是椭圆E ：
122
22=+b
y a x ()0>>b a 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，113BF AF =．
（1）若4=AB ，2ABF ∆的周长为16，求2AF ； （2）若5
3
cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率．
21．（本小题满分12分）已知函数()()x a x x f -+=1ln ． （1）讨论()x f 的单调性；
（2）若()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．
四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，
圆O 与ABC ∆的底边BC 交
于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．
（1）证明：EF ∥BC ；
（2）若AG 等于圆O 的半径，且32==MN AE ，求四边形EBCF 的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨
⎧==α
α
sin cos t y t x （t 为参数，0≠t ），其
中πα<≤0．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：
θρsin 2=，3C ：θρcos 32=．
（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()a x x x f ++-=212，()3+=x x g ． （1）当2-=a 时，求不等式()()x g x f <的解集；
（2）设1->a ，且当⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡-∈21,2a x 时，()()x g x f ≤，求a 的取值范围．
高三数学综合测试一
参考答案
13．
2；14．
2
；15．240（2-）；16．
n
-；
17．（1）7；（2）
73
4；
（2）22==DC BD ，利用余弦定理求得1=AC ；
18．（理）（1）
18
5；（2）X 的可能取值为2，3，4，相应概率为，1411，6313，126
1，920=EX ； （文）（1）1，3，2；（2）15
4
；
19．（理）（1）略；（2）3
7
；（3）2559；（文）（1）略；（2）略；
（3）
2
7
3； 20．（1）5；（2）
2
2
； 21．（1）0≤a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增，当0>a 时，增区间：
⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0，减区间：⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1a ；
（2）()1,0； 22．（1）AF AE =，AC AB =，
EF AC
AF
AB AE ⇒=∥BC ； （2）连OE ，R OA 2=，R OE = 30=∠⇒BAD ，从而2=R ，2=EM ，
33
16331032221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯=EBCF
S 梯形； 23．（1）()0,0，⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛23,23；（2）4max =AB ； 24．（1）()2,0；（2）⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∈34,1a ；。