江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学Word版含答案

2018秋高三期中考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2018．11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，则复数z＝________．2. 函数y＝的定义域为________．3. 已知x，y∈R，直线(a－1)x＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．4. 已知函数f(x)为偶函数，且x>0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－1)＝________．5. 已知向量m＝(1，a)，n＝(，3a＋1)．若m∥n，则实数a＝________．6. 设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝6，cos B＝－，则角A的大小为________．7. 设实数x，y满足则3x＋2y的最大值为________．8. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．9. 已知条件p：x>a，条件q：>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为__________．11. 若函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则函数f(x)在[－π，0]上的单调增区间为________．12. 在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心．若△ABC的面积为＋1，AC＝，tan C＝2，则(＋)·(＋)＝________．13. 已知正实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值是________．14. 已知函数f(x)＝2x－x2，g(x)＝ln x－ax＋5(e为自然对数的底数，e≈2.718)．对于任意的x0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则整数a 的取值集合是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知·＝||||，设∠BAC＝α.(1) 求tan α的值；(2) 若cos β＝，β∈(0，)，求cos(β－α)的值．16. (本小题满分14分)已知a∈R，函数f(x)＝a－.(1) 若f(x)≤2x对x∈(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；(2) 当a＝1时，解不等式f(x)≥2x.在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切．(1) 若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 km、2 km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为 km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比，比例系数为 2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为θ(θ∈(0，))，铺设三段鹅卵石路的总费用为y(万元)．(1) 求南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式；(2) 求y的最小值及此时tan θ的值．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右准线方程为直线x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．(1) 求椭圆C的方程；(2) 假设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连结OM并延长交椭圆C于点N，且＝，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且·＝λ，当≤λ≤时，求△OAB的面积S的范围．已知函数f(x)＝，g(x)＝x2－2x.(1) 求f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；(2) 若关于x的不等式f2(x)＋tf(x)>0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；(3) 若h(x)＝g(x)＋4xf(x)存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)＋h(x2)－xx＝0，求证：x1＋x2≥3.2018秋高三期中考试试卷(二)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1在矩阵对应的变换下得到的直线过点P(3，2)，求实数k的值．22. (本小题满分10分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．(1) 求连续命中2次的概率；(2) 设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．23. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC 为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；(2) 求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．24. (本小题满分10分)已知正项数列{a n}满足a n＋1＝a n－a(n∈N*)．求证：(1) 0<a1<1，且当n≥2时，a n≤；(2)2018秋高三期中考试试卷(二)(扬州)数学参考答案及评分标准1. 3－i2. (－∞，2]3.4. 25. 16.7. 38. x＝－39. a≤－210. y＝±x11. (－3，0)(区间开闭皆可)12. 113. 14. {3，4，5，6，7}||cos α＝||·||，所以cos α＝.||，得||·15. 解：(1) 由·＝||·因为0＜α＜π，所以sin α＝＝＝.所以tan α＝.(6分)(2) 因为cos β＝，β∈(0，)，所以sin β＝.(8分)由(1)知sin α＝，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝×＋×＝.(14分)16. 解：(1) ∵f(x)≤2x对x∈(0，2)恒成立，∴a≤＋2x对x∈(0，2)恒成立．∵＋2x≥2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号，∴a≤2.(6分)(2) 当a＝1时，f(x)＝1－，∵f(x)≥2x，∴ 1－≥2x(*)．①若x＞0，则(*)可化为2x2－x＋1≤0，∴x∈?；(9分)②若x＜0，则(*)可化为2x2－x－1≥0，解得x≥1或x≤－.∵x＜0，∴x≤－.(12分)由①②可得，(*)式的解集为(－∞，－]．(14分)17. 解：∵直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切，∴圆心O到直线x－3y－10＝0的距离r＝＝.(2分)(1) 记圆心到直线l的距离为d，∴d＝＝2.当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝2，满足题意；(3分)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0，∴d＝＝2，解得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－10＝0.(6分)综上，直线l的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.(7分)(2) 设P(x0，y0)．∵直线y＝3与圆O交于A，B两点，不妨取A(1，3)，B(－1，3)，∴直线P A，PB的方程分别为y－3＝(x－1)，y－3＝(x＋1)．令x＝0，得M(0，)，N(0，)，则y M·y N＝·＝(*)．(13分)∵点P(x0，y0)在圆C上，∴x＋y＝10，即y＝10－x，代入(*)式，得y M·y N＝＝10为定值．(15分)18. 解：(1) ∵∠COF＝θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为 km，∴∠AOE＝－θ，∴d1＝sin (－θ)．(4分)(2) 分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3.由(1)知d2＝2sin (－θ)，d3＝sin θ，∴y＝2{[sin(－θ)]2＋[2sin (－θ)]2＋(sin θ)2}＝20＝20－10(sin 2θ＋cos 2θ)＝20－10sin (2θ＋)，θ∈(0，)．(9分)∵θ∈(0，)，∴ 2θ＋∈(，)，∴当2θ＋＝时，y min＝20－10(万元)．(12分)此时2θ＝，∴ tan 2θ＝＝1，解得tan θ＝－1.(14分)答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20－10)万元，此时tan θ的值为－1.(15分)19. 解：(1) 因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝c.由右准线方程为直线x＝2，得＝2，解得a＝，c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(4分)(2) ①设B(x1，y1)，而A(0，1)，则M(，)．因为＝，所以N(，)．因为点B，N都在椭圆上，所以将②式两边同时乘以再减去①式，解得y1＝，x＝.(8分) 所以OB＝＝＝.(9分)②由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得1＋k2＝m2.联立直线l的方程与椭圆C的方程得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＝8k2＞0.(11分)因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)－＋m2＝＝＝＝λ，所以k2＝.△OAB的面积S＝×1×AB＝|x1－x2|＝＝＝＝.(14分)因为S＝在上为单调减函数，且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，所以△OAB的面积S的范围是.(16分)20. (1) 解：因为f(x)＝，f(1)＝0，所以P点坐标为(1，0)．x)＝，f′(1)＝1，则切线方程为y－0＝x－1，又f′（所以函数f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y－1＝0.(3分)(2) 解：f′（x)＝(x＞0)．x (0，e)e(e，＋∞)x)＋0－f′（f(x)单调递增极大值单调递减由f2(x)＋tf(x)>0，得f(x)[f(x)＋t]>0.①当t>0时，f(x)>0或f(x)<－t，满足条件的整数解有无数个，舍去；②当t＝0时，f(x)≠0，得x>0且x≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；③当t<0时，f(x)<0或f(x)>－t，当f(x)<0时，无整数解；当f(x)>－t时，不等式有且仅有三个整数解，又f(3)＝，f(2)＝f(4)＝，f(5)＝.因为f(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，所以f(5)≤－t<f(4)，即≤－t<，即－<t≤－.所以实数t的取值范围是－<t≤－.(8分)(3) 证明：h(x)＝x2－2x＋4ln x.因为h(x1)＋h(x2)－xx＝0，所以x－2x1＋4ln x1＋x－2x2＋4ln x2－xx＝0，即(x1＋x2)2－2(x1＋x2)＝xx＋2x1x1－4ln (x1x2)．令t＝x1x2，φ(t)＝t2＋2t－4ln t(t>0)，(11分)t)＝2t＋2－＝(t>0)．则φ′（t)<0，所以函数φ(t)＝t2＋2t－4ln t(t>0)在(0，1)上单调递减；当t∈(0，1)时，φ′（t)>0，所以函数φ(t)＝t2＋2t－4ln t(t>0)在(1，＋∞)上单调递增．当t∈(1，＋∞)时，φ′（所以函数φ(t)＝t2＋2t－4ln t(t>0)在t＝1时，取得最小值，最小值为 3.(14分)因为存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)＋h(x2)－xx＝0，所以(x1＋x2)2－2(x1＋x2)≥3，即(x1＋x2)2－2(x1＋x2)－3≥0，所以x1＋x2≥3或x1＋x2≤－1.因为x1，x2为正实数，所以x1＋x2≥3.(16分)2018秋高三期中考试试卷(二)(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：设直线y＝kx＋1上任意点M(x，y)在矩阵x′，y′），则对应的变换下得到的点M′（＝＝，即∴(5分)＋1，将P(3，2)代入上式，解得k＝－2.(10分) 代入直线方程y＝kx＋1得x′＝k(－x′＋y′）22. 解：(1) 设A i(i＝1，2，3)表示第i次投篮命中，A i表示第i次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3＋A1A2A3)＝××＋××＝.(4分)(2) 命中的次数X可取0，1，2，3，则P(X＝0)＝(1－)3＝，P(X＝1)＝C()1(1－)2＝，P(X＝2)＝C()2(1－)1＝，P(X＝3)＝()3＝.故X的分布列为X 012 3P(8分)所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.答：X的数学期望为 2.(10分)23. 解：(1) 根据题中空间直角坐标系可知A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，)，(1分)∴＝(2，2，0)，＝(0，1，－)，∴ cos〈，〉＝＝＝.(3分)设异面直线AB与A1C所成的角为α，则α∈(0，]，∴ cos α＝|cos〈，〉|＝.(4分)(2) 由(1)得＝(2，1，－)，＝(－2，0，0)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，∴∴取z＝1，则n＝(0，，1)．(7分)∴ cos〈，n〉＝＝＝.(9分)设直线AB与平面A1BC所成的角为β，β∈(0，]，则sin β＝|cos〈，n〉|＝.(10分)24. 证明：(1) 由a1－a＝a2＞0，解得0＜a1＜1.(1分)下面用数学归纳法证明：当n≥2时，a n≤.①当n＝2时，a2＝a1－a＝－(a1－)2＋≤，所以不等式成立；②假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即a k≤，则当n＝k＋1时，有a k＋1＝a k－a＝－(a k－)2＋≤－(－)2＋＝＜＝.则当n＝k＋1时，不等式也成立．综合①②，当n≥2时，都有a n≤.(5分)(2) 记f(x)＝ln(1＋x)－(x＞0)，(6分)x)＝－＝＞0，当x＞0时，f′（所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即ln(1＋x)＞.(8分)令x＝(i∈N*)，则＜ln＜ln，从而有a i＜＜[ln(i＋1)－ln i]＝ln(n＋1)－ln 2＜ln(n＋1)．(10分)。