弦振动偏微分方程的求解
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
弦振动方程的导出与定解条件
弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2
弦振动偏微分方程的求解
弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。
关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。
如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。
弦振动方程的导出与定解条件
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
12
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
9
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
弦振动频率计算公式推导
弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。
在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。
为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。
在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。
我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。
弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。
当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。
将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。
从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。
当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。
通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。
通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。
弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。
【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。
】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。
在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。
而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。
弦振动方程中D'Alembert公式的算子算法
其 中 ， 是 （ （ 的任意连续可微 函数． 由上式可得
（， ｅ
Ｇ ＋Ｊ （
啦
个主要方 法． 本文主要 从 另一角 度 即算子 的方法 进一 步
令 Ｆ 一Ｊ （ （ ， 啦， 则
（ ， 一Ｇ（ ＋ Ｆ（ ｅ
讨论了 ＤＡ ｅ ｅｔ ｌｍｂｒ 公式的推导过程 ， 面将作 简单介绍． 下
其中 ｃ，ｚ ｃ 为任 意常数． 作变量变换
￣
我们首先引入另两个定解 问题
＋口 ￡
ｅ ｘ－ ａ ， ＝ － ｔ叩
ｆ 一 口 Ｍ 一 Ｏ ～ ∞ ＜ ＜ ＋ ∞ ，＞ Ｏ ｔ （＊１ ｕ ｘ， ） ） （ ０ 一 （ 或（Ｄ 钾 ， ｕ 一０
加原理知道
ｕ ｘ，） “ （ ，） Ｕ （ ｆ （ ｆ 一 １ ｆ ＋ ２ ，） （） ６
詈＋ 一（ ｎ ｎ ＋￡ ）
再联立 （ ｚ 中的初始条件 Ｕ ，） ， ＊） ｚ ０ 一０ 则问题（ ＊ｚ的求解 等价于下列问题 （ 。 的求解 ： ＊）
公式．
关键 词 ： 弦振动 方程 ＤＡｌ ｅｔ ｅ ｒ 公式 ； ｍｂ 算子方法
中图 分 类 号 ： ７ ． ７ Ｏ１５ ２ 文献标识码 ： Ａ
特 征线 的方法是求解 一维 双 曲型方程 Ｃ ｕ ｈ ａｃ ｙ问题 的
最基本方法 ， 也是 推导弦振 动方程 中的 ＥＡ ｅ ｅｔ ｒ ｌｍｂ ｒ 公式 的
弦振动方程中 ＤＡｌｍｂ ｒ 公 式的算子算法 ＇ ｅ ｅｔ
陈 名 中
（成 宁学 院 数 学 系 ，湖北
摘
成宁
４７ Ｏ ） ３ １Ｏ
要： 主要讨论 了运用算子的方法推导 出弦振动 方程 中的 ＥＡｌ ｅｔ 式． ｒ ｅ ｒ公 ｍｂ 弦振 动方程 中的 ＤＡ ｅ ｅｔ ｌｍｂ ｒ 公式
基本波动方程的求解方法
基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。
以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。
通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。
以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。
通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。
具体来说，假设原方程为：\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]将其进行傅立叶变换，可以得到：\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]然后通过解代数方程来求得 \(\hat{u}(k,\omega)\)，再进行逆傅立叶变换即可得到 u(x,t) 的解。
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弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。
关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。
如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。
对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。
对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。
选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。
理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。
一、无界弦的自由振动问题无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1]：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=)(),(),0(),(),0(),0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φϕ 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。
做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得：02=∂∂∂ηξu，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有：⎩⎨⎧='+'-==+=)2()()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φϕ 对(2)式积分:)3()(1)()(0c d ax g x f x+=+-⎰λλφ将（1）式和（3）式联立，解之则得：2)(212)()(0cd a x x f x --=⎰λλφϕ2)(212)()(0cd a x x g x ++=⎰λλφϕ 于是我们便得到了：⎰+-+++-=++-=atx atx d a at x at x at x g at x f x t u λλφϕϕ)(212)()()()(),( 这便是一维无界弦的自由振动解的表达式， 称作达朗贝尔公式。
由于对u 没有任何限制，只要一维波动方程有解，解必由达朗贝尔公式给出，且解是唯一的。
二、有界弦的自由振动问题。
描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧====>+∞<<-∞=（初始条件）边界条件），),(),0(),(),0((0),()0,()0,(2x x u x x u l t u t u t x u a u t xx tt φϕ 对于该问题，适合用分离变量方法进行求解。
第一步，分离变量，分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解，可以先不估计初始条件。
令：)()(),(t T x X x t u =，把它代入方程，得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''两边除以)()(2t T x X a ，得)()()()(2x X x X t T a t T ''='' 此式左端仅是t 的函数，右端仅是x 的函数，而x 与t 是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，令这个常数为λ-，就得到一个常微分方程：02=+''T a T λ及其边值问题（因,0)()0()0,(==t T X t u 所以0)0(=X ;同理,0)()(),(==t T l X l t u 所以0)(=l X ） 故第二个常微分方程是：⎩⎨⎧==<<=+''0)(0)0(0))(l X X l x x X x X ）（（λ第二步，解固有值问题怎么找到满足条件的固有值λ，使常微分方程的边值问题有非零解。
分三种情况讨论。
（1）0=λ,这时方程为：, 0=''X ,通解为：B Ax X +=,由边界条件0)()0(==l X X ，得A=0;B=0，0)(≡x X ，不满足要求。
（2）0<λ，不妨设2k -=λ，这时方程0))(2=-''x X k x X （的通解为：kx kx Be Ae X -+=由边界条件0)()0(==l X X ，得⎩⎨⎧=+=+-0klkl Be Ae B A 不难求出A=B=0，同样不满足要求。
（3）0>λ，不妨设2k =λ（0>k ），这时方程0))(2=+''x X k x X （的通解为：kx B kx A X sin cos +=由条件X(0)=0，知，A=0，再由条件0)(=l X ，得0sin =kl B ，由于B 不能再为零，则必有),2,1( ==n ln k π或者：),2,1(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n l n πλ我们把),2,1(2=⎪⎭⎫⎝⎛=n l n n πλ叫做固有值，与固有值对应的非零解为：lx n B x X n n πsin)(=，n B 是任意常数。
求固有值和固有函数的边值问题称为固有值问题。
把固有值2⎪⎭⎫⎝⎛=l n n πλ代入确定T 的常微分方程：latn D l at n C t T n n n ππsincos)(+=，n C ,n D 为任意常数。
这样得到： ),2,1(sinsin cos )()(),( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n l x n l at n D l at n C t T x X x t u n n n n n πππ 把n B 归入常数n C ,n D第三步，写出级数形式解由于方程和边界条件都是线性齐次的，故由叠加原理，级数:∑∑+∞=+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sinsin cos ),(),(n n n n n l x n l at n D l at n C x t u x t u πππ 仍满足方程和边界条件。
第四步，确定级数解中的系数n C 和nD由初始条件：∑+∞===1sin),0()(n nlxn Cx u x πϕ及 ∑+∞===1sin ),0()(n n t l xn D l a n x u x ππφ,由正弦展开的系数公式，得： ⎰=l n dx l xn x l C 0sin )(2πϕ⎰=l n dx lx n x a n D 0sin )(2πφπ 这样我们得到该问题的定解为：∑⎰⎰+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=100sin sin sin )(2cos sin )(2),(n l ll x n l at n d l n a n l at n d l n lx t u ππξπξξφππξπξξϕ三、无界弦的受迫振动问题 该问题的偏微分方程为：⎩⎨⎧==>+∞<<-∞+=（初始条件）),(),0(),(),0()0,(),(2x x u x x u t x t x f u a u t xx tt φϕ 对该问题，用拉普拉斯变换计算比较方便[2]。
对泛定方程施行拉普拉斯变换dt e t x u x p u pt ⎰+∞-=0),(),(得：0),(2002=----==p x f u a u u p u p xx t tt代入初始条件得：0),(22=----p x f u a p u p xx φϕ该非齐次常微分方程的通解是d p p f pe e a d p pf pe e a BeAep x u x apx a px x a px a px apx apx )](),()([21)](),()([21),()()(ξϕξξφξξϕξξφ+++++-+=⎰⎰---考虑到+∞→x 和-∞→x 时u 不应为无穷大，所以A=0，B=0，另为保证积分收敛，第一个积分下限取∞+，第二个积分下限取∞-。
所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++++=+++++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞--ξξϕξξϕξξξξξξφξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξξξξξξξξξd p p e a d p p e a d p f p e a d p f p e a d p e a d p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f pe a p x u x x p x a x p x ax p x a x p x a x p x a x p x x p x a x p x x p x ax p )(21)(21),(21),(21)(21)(21)](),()([21)](),()([21)](),()([21)](),()([21),()()()()()()()()()()(对于第一个中括号，运用延迟定理，),(1t H P⇔则⎩⎨⎧+>+<=--⇔--)(0)(1)()(at x at x a x t H p e a x p ξξξξ所以ξξφξξφξd a d p e a atx x x a x p )(21)(21)(⎰⎰+∞+--⇔ 同理ξξφξφξd ad pe a x at x x a x p )(21)(21)(⎰⎰-∞---⇔ 对第三个中括号，)(ξϕ代替了）（ξφ且多了一个因子p ，则对第一个中括号中原函数中）（ξφ替换行为)(ξϕ并对t 求导即得第三个中括号里的原函数分别为： ξξϕξd p pe a x x p )(21)(⎰∞+--)(21at x a +⇔ϕ ξξϕξd p p e a x x p )(21)(⎰∞---)(21at x a-⇔ϕ对第二个中括号，运用卷积定理⎰-⇔td t f f p f p f 02121)()()()(ττττξτξτξξττξξξτξd d f a d d axt H f a d p f p e a t t a x xt x x a x p ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞+--=---=0)(0)(),(21)(),(21),(21同理：τξτξξξτξd d f ad p f pe a t x t a x x a x p ⎰⎰⎰--∞---=0))()(),(21),(21 于是得到该问题解的表达式为：⎰⎰⎰+--+--++-++=at x at x t t a x t a x d d f ad a at x at x t x u τξτξξξφϕϕττ0)()(),(21)(21)]()([21),( 四、半无界弦的自由振动问题该问题即求下面问题的解[3]：⎪⎩⎪⎨⎧===>+∞<≤=∞→（初始条件）边界条件）有限，,),0(,0),0((,0)0,()0,0(2b x u x u u t u t x u a u t x xx tt 对t 做拉普拉斯变换。