02 线性规划基本概念 应用 标准型 图解法 灵敏度分析
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
02 线性规划基本概念 应用 标准型 图解法 灵敏度分析
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + y7 11
xj 0 , yj 0 for j = 1 to 7
25
关于模型的一些变形
• 假定第j天的需求工人数量是dj. 设yj表示 第j天实际的工人数量.设第j天的费用定 义为第j天超过需求的人数的某个函数,记 为fj(yj – dj),什么是最小费用的人员安排?
17
线性规划问题的应用举例
例．在每周的不同工作日，一个邮局需要不同数量的 专职员工。下表给出了每天需要的专职员工的数量。 工会的章程规定，每个专职员工每周必须连续工作5天 ，然后休息2天。这个邮局希望通过只用专职员工来满 足它每天的需要。表述一个LP，使得这个邮局可以利 用它使必须聘用的专职员工的数量最少。
13
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型 Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫 酸可选（30%，45%，73%，85%， 92%）会出现什么情况？ 取这5种硫酸分别为 x4、x5 千克, 则有： x1、x2、x3、
x1 x2 x3 x4 x5 100 0.3x1 0.45x2 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
线性规划的标准化及图解法
2
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
设A、B型电机各生产x1,x2台，x1,x2称为决策变量。
解：第一个约束引入松弛变量x4, 第二个约束引入剩余变量x5
18
将线性规划化成标准形式
于是，我们可以得到以下标准形式的线性 规划问题：
19
将线性规划化成标准形式
3. 变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负 约束。当某一个变量xj没有非负约束时， 可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号 限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj” 的大小。
3 . Min
S x1 x 2
4 . Min
S 2 x1 3 x 2
x1 x 2 1 s .t . x2 2 x , x 0 1 2
x1 2 x 2 2 2 x x 3 1 2 s .t . x2 4 x1 , x 2 0
该问题可推广到m个产地，n个销地的运输 问题。
7
线性规划的应用模型
某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料，每种饲料的 的维生素A，B，C含量及单位价格和所需的维生素 如下表，要求配制一个混合饲料，每单位混合饲料 的维生素A、B、C的需要量为3，5，10. 甲 A B C 单价 0.2 0.8 1.2 5 乙 0.8 0.3 0.9 6 丙 1.2 0.9 0.7 6 丁 0.6 0.7 1.5 7 需要量 3 5 10
第2章 线性规划的图解法标准化
线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它已成为线性规划是数学规划问题中的一种，以后我们还会看到所谓实际的线性规划问题一般都很复杂，为了便于第二章线性规划的图解法在管理中一些典型的线性规划应用第二章线性规划的图解法总结:以上这些实例共同特点§1 问题的提出1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产§1 问题的提出建模过程线性规划的例题:§1 问题的提出例1.目标函数：Max z = 50 x 1 + 100 x 2 约束条件：s.t.x 1 + x 2 ≤300 (A)2 x 1 + x 2 ≤400 (B)x 2 ≤250 (C)x 1 ≥0 (D)x 2 ≥0 (E)得到最优解：x 1 = 50，x 2 = 250最优目标值z = 27500§2 图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
下面通过例1详细讲解其方法：§2 图解法(1)分别取决策变量§2 图解法2）对每个不等式§2 图解法§2 图解法（4）目标函数z=50x+100x，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为§2 图解法线性规划的标准化内容之一：§2 图解法重要结论：进一步讨论例2进一步讨论解：目标函数：Min f = 2x+ 3 x约束条件：§3 图解法的灵敏度分析线性规划的标准化§3 图解法的灵敏度分析可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特§3 图解法的灵敏度分析极小化目标函数的问题：§3 图解法的灵敏度分析2、约束条件不是等式的问题§3 图解法的灵敏度分析当约束条件为§3 图解法的灵敏度分析线性模型的标准化§3 图解法的灵敏度分析例：将以下线性规划问题转化为标准形式§3 图解法的灵敏度分析通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：§3 图解法的灵敏度分析§3 图解法的灵敏度分析假设产品Ⅱ的利润§3 图解法的灵敏度分析3.2 约束条件中右边系数b§3 图解法的灵敏度分析假设原料b。
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第五章线性规划问题的灵敏度分析
2 CB XB b x1 2 X1 3 1 0 x4 4 0 3 x2 3 0 OBJ=15 cj-zj 0
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
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Minimize z = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + … + c7 x7
22
关于模型的一些变形
• 假定每天可以雇佣零时工,第j天雇佣的零时工 的工资是每单人PTj 元. • 设 yj =第j天雇佣的零时工的人数
23
修改后的线性规划? 关于模型的一些变形（原始模型）
Minimize z = x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 + x 6 + x7
subject to
x1 +
x 4 + x5 + x6 + x7
17
x 1 + x2 +
x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x4 +
x5 + x 6 + x 7
x6 + x7 x7
13
15 19
x 1 + x2 + x 3 + x 4 + x5
x2 + x 3 + x4 + x5 + x6 x3 + x4 + x5 + x6 + x7
17
线性规划问题的应用举例
例．在每周的不同工作日，一个邮局需要不同数量的 专职员工。下表给出了每天需要的专职员工的数量。 工会的章程规定，每个专职员工每周必须连续工作5天 ，然后休息2天。这个邮局希望通过只用专职员工来满 足它每天的需要。表述一个LP，使得这个邮局可以利 用它使必须聘用的专职员工的数量最少。
资源限制量
8
线性规划应用举例
配料问题
例: 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格 的产品甲、乙、丙，数据如下表。假设混合没有质量损 耗。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
• NOTE: 这里的变形是一个非线性规划问 题,不是线性规划问题. • 我们可以设sj = yj – dj 为第j天超出的人数 .
x5 + x6 + x7 13
x6 + x7 15 x7 19
x 1 + x 2 + x 3 + x4 + x 5
x2 + x 3 + x4 + x5 + x6 xj 0 for j = 1 to 7
14
16
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 11
20
关于决策变量的选择的启示
9
线性规划应用举例
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23；
对于丙： x31，x32，x33；
对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
7
资源 1 2 … m
单位活动 对z的贡献 c1
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型的一般形式
利润系数/成本系数 决策变量
Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
技术系数/ 消耗系数
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
• 是不是可以将决策变量设为第j天开始休 息的工人数?
–第j天工作的工人数至少是 dj. –每一个工人休息2天后工作5天.
• 结论:有些时候决策变量隐含了约束条件.
–做好很难,但一旦定义好了模型很简单. –我们会在整数规划中看到更多的例子.
21
关于模型的一些变形
• 假定每天开始工作的工资不同.第j天开始工作 的工人的工资是每单人cj 元.
Minimize subject to
Mon Tues Wed Thurs Fri 17 13 15 19 14
Sat 16
Sun 11
z = x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 + x 6 + x7 x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17
x 1 + x2 +
x1 + x2 + x 3 + x1 + x2 + x 3 + x4 +
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫 酸可选（30%，45%，73%，85%， 92%）会出现什么情况？ 取这5种硫酸分别为 x4、x5 千克, 则有： x1、x2、x3、
x1 x2 x3 x4 x5 100 0.3x1 0.45xБайду номын сангаас 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100
13
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型 Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
(x2 , y2)
(xi , yi) (x1 , y1)
ei = yi-y ＾ i
x
15
线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化绝对误差之和.
MinZ | ei | | yi β0 β1 xi |
i i
MinZ e1i e2i e1i -e2i yi β0 β1 xi s.t. β0 , β1无符号限制 e , e 0, i 1,2, , n 1i 2i
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 所需人数 17 13 15 19 14 16 11
18
线性规划问题的应用举例
解：设 x1表示星期1开始工作,工作到星期5的人数 x2表示星期2开始工作,工作到星期6的人数 类似定义x3 ,x4 ,x5x6 x7
19
Day Demand
x13+x23+x33≤ 60
(原料3，供应量限制）
11
xij≥0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3
线性规划模型的特点：
用一组未知变量表示要求的方案，这组 未知变量称为决策变量； 存在一定的限制条件，且为线性表达式； 有一个目标要求（最大化，当然也可以 是最小化），目标表示为未知变量的线 性表达式，称之为目标函数； 决策变量是连续变化量。
有多少种配比方案？为什么？ 何为最好？
5种硫酸价格分别为：400，700，1400， 1900，2500元/千克，则有：
MinZ 400x1 700x2 1400x3 1900x4 2500x5 x1 x2 x3 x4 x5 100 s.t.0.3x1 0.45x2 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100 x 0, j 1,2,,5 j
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成 正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
14
线性规划问题的应用举例
y
(xn , yn)
ˆ ˆx ˆ y 0 1
还可以加上一些特定的需求.例如,要求必须过某 一点.
i i
16
线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化最大绝对误差.
Min Max|ei|
0 , 1
i
MinZ e
e yi β0 β1 xi e s.t. β0 , β1无符号限制 e 0
12
练习
下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪 些不能？请说明理由。
1x1 2 x2 x3 70 2 x1 2 x3 50
2 x1 2 x2 4 x3 10
3 x1 2 x2 x3 15 2 x1 x2 x3 42.5 2 x1 5 x2 x1 x3 50
如何建立线性规划模型? 请先自己完成
10
线性规划应用举例
目标函数：利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。 Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （甲中原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （甲中原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （乙中原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （乙中原材料2不超过50%） x11+x21+x31≤ 100 (原料1，供应量限制） x12+x22+x32≤ 100 (原料2，供应量限制）
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关于模型的一些变形
• 假定每天可以雇佣零时工,第j天雇佣的零时工 的工资是每单人PTj 元. • 设 yj =第j天雇佣的零时工的人数
23
修改后的线性规划? 关于模型的一些变形（原始模型）
Minimize z = x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 + x 6 + x7
subject to
x1 +
x 4 + x5 + x6 + x7
17
x 1 + x2 +
x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x4 +
x5 + x 6 + x 7
x6 + x7 x7
13
15 19
x 1 + x2 + x 3 + x 4 + x5
x2 + x 3 + x4 + x5 + x6 x3 + x4 + x5 + x6 + x7
17
线性规划问题的应用举例
例．在每周的不同工作日，一个邮局需要不同数量的 专职员工。下表给出了每天需要的专职员工的数量。 工会的章程规定，每个专职员工每周必须连续工作5天 ，然后休息2天。这个邮局希望通过只用专职员工来满 足它每天的需要。表述一个LP，使得这个邮局可以利 用它使必须聘用的专职员工的数量最少。
资源限制量
8
线性规划应用举例
配料问题
例: 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格 的产品甲、乙、丙，数据如下表。假设混合没有质量损 耗。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
• NOTE: 这里的变形是一个非线性规划问 题,不是线性规划问题. • 我们可以设sj = yj – dj 为第j天超出的人数 .
x5 + x6 + x7 13
x6 + x7 15 x7 19
x 1 + x 2 + x 3 + x4 + x 5
x2 + x 3 + x4 + x5 + x6 xj 0 for j = 1 to 7
14
16
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 11
20
关于决策变量的选择的启示
9
线性规划应用举例
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23；
对于丙： x31，x32，x33；
对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
7
资源 1 2 … m
单位活动 对z的贡献 c1
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型的一般形式
利润系数/成本系数 决策变量
Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
技术系数/ 消耗系数
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
• 是不是可以将决策变量设为第j天开始休 息的工人数?
–第j天工作的工人数至少是 dj. –每一个工人休息2天后工作5天.
• 结论:有些时候决策变量隐含了约束条件.
–做好很难,但一旦定义好了模型很简单. –我们会在整数规划中看到更多的例子.
21
关于模型的一些变形
• 假定每天开始工作的工资不同.第j天开始工作 的工人的工资是每单人cj 元.
Minimize subject to
Mon Tues Wed Thurs Fri 17 13 15 19 14
Sat 16
Sun 11
z = x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 + x 6 + x7 x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17
x 1 + x2 +
x1 + x2 + x 3 + x1 + x2 + x 3 + x4 +
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫 酸可选（30%，45%，73%，85%， 92%）会出现什么情况？ 取这5种硫酸分别为 x4、x5 千克, 则有： x1、x2、x3、
x1 x2 x3 x4 x5 100 0.3x1 0.45xБайду номын сангаас 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100
13
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型 Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
(x2 , y2)
(xi , yi) (x1 , y1)
ei = yi-y ＾ i
x
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线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化绝对误差之和.
MinZ | ei | | yi β0 β1 xi |
i i
MinZ e1i e2i e1i -e2i yi β0 β1 xi s.t. β0 , β1无符号限制 e , e 0, i 1,2, , n 1i 2i
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 所需人数 17 13 15 19 14 16 11
18
线性规划问题的应用举例
解：设 x1表示星期1开始工作,工作到星期5的人数 x2表示星期2开始工作,工作到星期6的人数 类似定义x3 ,x4 ,x5x6 x7
19
Day Demand
x13+x23+x33≤ 60
(原料3，供应量限制）
11
xij≥0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3
线性规划模型的特点：
用一组未知变量表示要求的方案，这组 未知变量称为决策变量； 存在一定的限制条件，且为线性表达式； 有一个目标要求（最大化，当然也可以 是最小化），目标表示为未知变量的线 性表达式，称之为目标函数； 决策变量是连续变化量。
有多少种配比方案？为什么？ 何为最好？
5种硫酸价格分别为：400，700，1400， 1900，2500元/千克，则有：
MinZ 400x1 700x2 1400x3 1900x4 2500x5 x1 x2 x3 x4 x5 100 s.t.0.3x1 0.45x2 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100 x 0, j 1,2,,5 j
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成 正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
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线性规划问题的应用举例
y
(xn , yn)
ˆ ˆx ˆ y 0 1
还可以加上一些特定的需求.例如,要求必须过某 一点.
i i
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线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化最大绝对误差.
Min Max|ei|
0 , 1
i
MinZ e
e yi β0 β1 xi e s.t. β0 , β1无符号限制 e 0
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练习
下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪 些不能？请说明理由。
1x1 2 x2 x3 70 2 x1 2 x3 50
2 x1 2 x2 4 x3 10
3 x1 2 x2 x3 15 2 x1 x2 x3 42.5 2 x1 5 x2 x1 x3 50
如何建立线性规划模型? 请先自己完成
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线性规划应用举例
目标函数：利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。 Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （甲中原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （甲中原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （乙中原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （乙中原材料2不超过50%） x11+x21+x31≤ 100 (原料1，供应量限制） x12+x22+x32≤ 100 (原料2，供应量限制）