最优化 5 灵敏度分析
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图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
灵敏度分析5种实例
Maxz=2x1+3X2+4x3x1+2X2+x i+x4=3S.t2x l-x2+3x3-x5=4x1,∙∙∙,x5≥0基变量xl=2,x2=3；非基变量x3=x4=x5=O;由约束条件得基变量用非基变量表示为p=⅛-5⅞-⅛^4÷y⅞[j⅛=f+∣Λ⅛-⅜X4-⅜X5目标函数中基变量用非基变量代入后Z=14-fx3-fx4-fx5o（1）当目标函数中系数Ci变化时（只要考虑最优性条件）：设目标函数变为MaX z,=cx l+3X2+4x3目标函数中基变量用非基变量代入2=⅛c+f-（yC-^）x3-（y+fc）x4-（⅜-jc）%5所以如果“-等，∣+⅛C,∣-⅜C≥0,则符合最优解判别条件，所以目标函数最优性不变z=∙⅛c+/由“一等，f+⅛c,£一"之0解得最优性不变的C的范围。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（2）当约束条件右边常数2变化时（先考虑可行性条件看最优基是否变化，再考虑）：x1+2X2+x3+x4=b设约束条件变为2X1-X2+3X3-X5=4X I,∙∙∙,Λ5≥0先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得为4,JX2=2^-4根据可行性条件，必须和％≥o,解得匕的范围，即在此范围内最优基不变（最优解可能变化，要另外去求）。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（3）当约束条件中价值系数传变化时（先看可行性条件看最优基是否变化,再考虑最优值）：a ll x l+Ix1+x3+X4=3设约束条件变为，2X1-X2+3X3-X5=4x1,∙∙∙,x5≥0Ir=5先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得解得为｛,^v_2q∣-36(x21Il根据可行性条件，必须%,马≥0,解得。
”的范围，即在此范围内最优基不变(最优解可能变化，要另外去求)。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
最优化理论与算法：灵敏度分析概述
2. B 1b ' 0。 此时，原来的最优基对于新问题 来说，不再是可行的，但由于所有的判别数 0，所以 是对偶可行的，此时，只要把原问题最优表的右端列 B 1b ' 加以修改，代之以 ，就可用对偶单纯性法求解 1 cB B b ' 新问题。
例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
j为非基变量下标
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+ห้องสมุดไป่ตู้cr
z 'j c 'j c 'B B 1 Pj c ' j cB cB B 1 Pj c ' j cB B 1 Pj c j cB B 1Pj c j c 'j z j c j cB y j c j c 'j 若j r , 有 z 'j c 'j z j c j 0 zr' cr' zr cr 0 cr cr 0 y j z j c j cr yrj ; 0 y j cr cr'
max 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 8 4x1 16 4 x2 12 x j 0 j 1,2
min 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 x3 4x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
j为非基变量下标
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+ห้องสมุดไป่ตู้cr
z 'j c 'j c 'B B 1 Pj c ' j cB cB B 1 Pj c ' j cB B 1 Pj c j cB B 1Pj c j c 'j z j c j cB y j c j c 'j 若j r , 有 z 'j c 'j z j c j 0 zr' cr' zr cr 0 cr cr 0 y j z j c j cr yrj ; 0 y j cr cr'
max 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 8 4x1 16 4 x2 12 x j 0 j 1,2
min 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 x3 4x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
2(2)灵敏度分析
c j→ CB 0 2 1 0 2 基 x3 x1 x2 cj-zj x3 x1 15 5 b 35/2 11/2 -1/2
2 x1 0 1 0 0 0 1
1 x2 0 0 1 0 5 1
0 x3 1 0 0 0 1 0
0 x4 5/4 1/4 [-1/4] -1/4 0 0
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2 0 1
-7
0 [2] 1 0 0 1 0
-1/2 0
最优生产计划应为每天生产7/2件家电Ⅰ， 51/4件家电Ⅲ。
分析参数aij的变化
灵 敏 度 分 析 举 例
例 在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备A,B和 调试工时变为8h、4h、1h，该产品的利润变为3元/件， 试重新确定该公司最优生产计划。
设生产工时变化后的新家电Ⅱ的生产量为x2′，其中：
（2）若家电Ⅰ的利润不变，则家电Ⅱ的利润在什 么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发 生变化？ 设家电Ⅱ的利润为（1+λ）元，如下
项目 CB 基 b 2 x1 1+λ x2 0 x3 0 x4 0 x5
0
2 1+λ
x3
x1 x2 cj-zj
15/2
7/2 3/2
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
15 / 2 1 / 2 3/2 3 7 4 0 2 2
1 P 6 0 0
5/4 1/ 4 1 / 4
cj→ CB 基 b
2 x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
3 x6
灵 敏 度 分 析 举 例
第3章 线性规划灵敏度分析与最优解的解释
使用Excel Excel进行灵敏度分析 3.4 使用Excel进行灵敏度分析 LINGO的灵敏度分析报告 3.5 LINGO的灵敏度分析报告
�
x2
5 4 Q4 3 2 5x1+2x2=20 (1.5, 3.25) 4x2=13 Q3 (2,3) Q2(3,2.5) x1+2x2=8 Q1 1 2 3 4 5
1.5 X = 3.25
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz = 19.25
*
1 0
x1
对偶价格: 对偶价格:约束条件右端项每增加一个单位引起的最优 值的改进量称为对偶价格. 值的改进量称为对偶价格.
max
z = 2 x1 + 5 x2 x1 + 2 x2 ≤ 8 5 x + 2 x ≤ 20 1 2 4 x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0
x2
5 4 3 2 1 0 Q1 1 2 3 4 5 Q4 5x1+2x2=20 Q3 (2,3) 4x2=12 Q2 (3,2.5) x1+2x2=8
线性规划的灵敏度分析与最优解的解释31灵敏度分析简介32图解法与灵敏度分析321目标函数系数322约束条件右端值204x32523直线q204x3252315325对偶价格
第3章 线性规划的灵敏度分析 与最优解的解释 3.1 灵敏度分析简介 3.2 图解法与灵敏度分析 3.2.1 目标函数系数 3.2.2 约束条件右端值
灵敏度分析: 3.3 灵敏度分析:计算机求解 Scientist) (Management Scientist)
目标函数系数的100%法则: 法则: 目标函数系数的 法则 对所有变化的目标函数系数, 对所有变化的目标函数系数,计算其占允许增加量和 允许减少量的百分比之和.如果和没有达到100%,最优 允许减少量的百分比之和.如果和没有达到 , 解就不会改变. 解就不会改变. 约束条件右端值的100%法则: 法则: 约束条件右端值的 法则 对所有变化的右端值, 对所有变化的右端值,计算其占允许增加量和允许减 少量的百分比之和.如果和没有达到100%,对偶价格就 少量的百分比之和.如果和没有达到 , 不会改变. 不会改变.
北邮最优化课件 5对偶理论与灵敏度分析
极大化目标函数
x, y 0.
2013-8-6
可行解
最优化理论 4
4. 对偶问题（续二）
对比一下从消费者和供应商各自的利益导出的两个问题， 我们不难发现两个问题可以通过下述简单的变换，而相互转 化： 极小化费用 Min 大于等于约束 食品费用 极大化利润Max 小于等于约束 价格约束
当你把食谱问题的对偶问题解出以后（练习），你会发现 一个（重要的）事实：这两个问题的最优值是相等的！ 思考题：在数学上，是不是还有一些对偶的问题和概念？
因此, 对偶可行性和互补松弛条件在此情况下得以满足. 但除非xB B -1b 0, 原可行性才会被满足.换言之, 在达到 最优解前,至少存在一个p B (原问题基变量的下标集) 使得x p 0, 对偶单纯形法将重置xB 0(即是从基变量中 结束x p ),以及选择一个"适当"的非基变量xq B进基当然 . 在旋转运算中对偶可行性和互补松弛条件将被保持(关键)
2013-8-6 最优化理论 28
4. 对偶理论—对偶单纯形法2
注:对偶可行的基本解不一定是原问题的可行解.若还是原问 题的可行解,则此解即为最优解.
回忆(修正)单纯形法的基本思路是保持原问题的可行性 和互补松弛条件下,在它的最优解上寻求对偶问题的可行性. 类似的,对偶单纯形法的基本思路是:在保持对偶可行性和 互补松弛条件下,在它的最优解上寻求原问题的可行性.
2013-8-6
最优化理论
18
4. 对偶理论15 5. 对偶理论
P D 有限最优解 无界 不可行
有限最优解
无界
不可行
定理4.1.2 设(4.1.1)和(4.1.2)中有一个问题存在最优 解，则另一个问题也存在最优解，且这两个问题 的最优目标函数值相等。 证明：设(4.1.1)存在最优解。引进松弛变量，将 （4.1.1）写成等价形式：
灵敏度分析
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第15页 页
灵敏度分析的主要内容
max z = ∑c j x j
s.t.
n
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第12页 页
分别在什么范围变化时，最优基不变？ 例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2 max z = 2 x1 + 3 x2 变化
s.t. 2x + 2x ≤ 12 1 2
4x1 ≤ 16 5x2 ≤ 15 x1, x2 ≥ 0
s.t. 2x + 2x ≤ 12 +λ 1 2 1
4x1 ≤ 16 +λ2 5x2 ≤ 15 +λ3 x1, x2 ≥ 0
非基变量 XN B-1N CN－CBB-1N Xs B-1
－CBB-1
基变量 XB I 0
XB
B-1b
Y*T= CBB-1 Z*=CBB-1b
X B' = B (b + ∆b)
原问题
cj − zj
对偶问题 可行解 可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基不变 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
灵敏度分析图解法
若 c1增加16 —x2
（c2
不变）
14 —
=
-
c1x1 c2
+
Z c2
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
C
6—
4—
2x1 + 2x2 18
新的最优解
D 4x1 + 6x2 48
2—
0
A
|| 24
|||| |||
6 E 8 10 12 14 16 18
x1
目标函数的系数
– 当这些系数在什么范围内变化时，原最优解 仍保持不变？
– 若最优解发生变化，如何用最简单的方法找 到现行的最优解？
• 研究内容：
研究线性规划中，aij , bi , c j 的变化对最
优解的影响。
研究方法：
➢ 图解法
仅适用于含2个变量 的线性规划问题
➢ 对偶理论分析
在单纯形表中 进行分析
灵敏度分析——图解法
最优解 (3,6)
4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18
4—
4x1 + 6x2 48
2—
D
0
A
|| 24
| 6
||| ||| 8 10 12 14 16 18
x1
E (8,0)
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
x2
=
-
34x1 40
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
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1 0 2 1 -3+5 0 1 0 0 1 0 0
x* 0, 0, 4, 6 fmin 4
T
问题：c2在什么范围变化时，最优解不变？
二、改变右端向量b 设b→b’,设改变前的最优基为B。
1. B1b' 0 此 时 ， 原 来 的 最 优 基 仍 为 最 优 基 ， 但 基 变 量 的 取 值 、 目 标 函 数 最 优 值 将 发 生 变 化 。 设 b' b b, 则 x B b' B b b B b B b
最优表为： x1 x2 1 x4 5 -3 x2 1 0 0 x3 1 2 -3 x4 0 4 1 14 0 -8
x1 x3 1 x4 3 0
x2 1 -2 3
x3 1 0 0
x4 0 1 0
4 6 4
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
x1 x3 1 x4 3 0
x2 1 -2 3
x3 1 0 0
x4 0 1 0 4 3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
1 2 ' 若 P 1 P 1 , 则 3 1 1 02 cBB P c 2 0 1 150 2 11
' r
2. c2由-2变为3, 此时Δ c2 =3-(-2)=5
x1 x2 x4 1 5 -3 x1 x2 x4 x3 x4 x2 1 0 0 x2 x3 1 2 -3 x3 x4 0 1 0 x4 4 14 -8+20 4 6 4 4 14 -8
m in x 1 2x 2 x 3
1 1 5 0 -3+5 0 1 1 3 -2 0 -2
2. 若原最优解不满足新增加约束
设原问题最优基为B，则有
in cx m 1 1 st . . x B N x B b B N m 1 m 1 P x P B B N x N x n 1 b m 1 x, xn1 0
xB I xN B-1N xn+1 0 B-1b 1 bm+1
1 ' 1
所以，最优基、最优解保持不变。
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
x1 x2 1 x4 5 -3
x2 1 0 0
x3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
1 2 若 P 1 P 1 , 则 3 1 1 02 1 2 0 cBB P 1 c 13 0 2 1 1 1 02 2 1 y 1 B P 1 2 1 1 3
x1 x1 1 x5 0 x2 0 0 x1 1 x3 0 x2 0 0
x2 0 0 1 0 0 0 1 0
x3
x4
x5
0 1/4 0 4 -4 -2 -2 1/2 1 4 1/2 -1/8 0 -3/2 -1/8 0 -20 0 1/4 0 4 1 -1/4 -1/2 2 3 0 0 1/4 -1/2 -3/4 0 -17
x* 0, 0, 4, 6 fmin 12
T
问题：c3在什么范围变化时，最优解不变？
一般情况：
令 c cr cr 则 cBB P r c 1 cBB P cr r cr r c r
' r
' r 1
' r
若要保持最优性不变
则 0 r cr 0cr r
x3 0 -2 1/2 -3/2
x3 1 x4 4 x5 0 2 x4 x5 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 4 4 1 2 0 0 -14
x* 4, 2 fmax 14
T
若该厂又从别处抽出4台时用于生产产品1和2， 求这时该厂生产产品1和2的最优方案。
1 0 0 4 4 0 1 8 1 B b 2 1 0 2 1 0 2 1 0 8 2 4 0 4 8 4 B1b' B1b B1 b 4 2 2 4 0 20 f cBB1bcBB1 b 14 2 0 3 8 2
B1b 0 可 行 性
cBB1Ac 0 最 优 性 （ 对 偶 可 行 ）
一、价值系数向量c的变化
L
in cx m .. A x b st x 0
设(L)的最优解为xB=B-1b, xN=0, fmin=cBB-1b
1、非基变量xk的系数ck改变为 c’k
1
x1 x2 -2 x4 -3 3
x2 1 0 0
x3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
无界！
一般的，当非基列Pj→Pj’， 若zj’-cj≤0，则原最优解也是新问题的最优解。 若zj’-cj >0，则把yj→yj’, zj-cj → zj’-cj 迭代。
2. 基列Pj→Pj’ 重新计算
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+Δcr
1 z'j c'j c'B B1P c ' c c B P j j B B j c' j 1 ' cBB1P c c B P c c j j B j j j
例 ： m in x 1 2x 2 x 3 s.t x 1 x 2 x 3 4 3x 1 2x 2 6 xj 0 j 1,2,3
引入松弛变量x4，得它的最优单纯形表为
x1 x2 x4 1 5 -3 x2 1 0 0 x3 1 2 -3 x4 0 1 0 4 14 -8
1. x2 x4
c3由1变为-3时 x1 x2 x3 1 5 -3 1 0 0 1 2 -3
x4 0 1 0
m in x 1 2x 2 x 3
4 14 -8
由于z3’-c3’=cBB-1P3- c3’ =z3-c3+(c3- c3’)=-3+(1+3)=1 x1 x2 x4 x3 x4 1 5 -3 1 3 -4 x2 1 0 0 1 -2 -1 x3 1 2 1 1 0 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8 4 6 -12
-1b c B B 0
L'
P
m 1 B
P
m 1 N
0
cBB-1N-cN
1 B 0 B 0 1 B' m1 , B' m1 1 1 1 P B P B B 1 1 b B b B 0 xB 1 x B' b' m1 1 b m 1 1 1 n1 m 1 P B B b P B B m1 b ' f ' cB B'1 b' cB 0 B'1 b' cBB1b
m in 2x x2 1 3 s.t x 1 2x 2 x 3 4x 1 4x2 8 x5 12 x4 16
xj 0 j 1,2,3,4,5
x1
x2 2 0 4 3
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0 8 16 12 0
最优表为： x1 x2 x1 1 x5 0 x2 0 0 0 0 1 0
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
引入松弛变量x4，得最优表 x1 x2 x3 x4 x2 1 1 1 0 4 x4 5 0 2 1 14 -3 0 -3 0 -8 增加新约束： x 2 1 x 2 2x 3
例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
m ax 2x x2 1 3 s.t x 1 2x 2 8 4x 1 16 4x2 12 xj 0 j 1,2
zj cj cB yj cj c'j 若 j r,有 z'j c'j zj cj 0 cr 0 yj zj cj cr yrj ;
' ' ' zr cr zr cr 0 cr 0 yr cr cr
0 cr cr 0 目 标 函 数 值 cB cB B1b cBB1b cBB1b cBB1b cr b r cr变为cr’ 后，只要把原单纯形表中xr所在的行乘以(cr’-cr)加到 判别数行，并使xr对应的判别数为0，既可用单纯形法继续做下去。
xB I
xN B-1N
m 1 m 1 1 P P N B B N
xn+1 0
B1b
m 1 1 b P m 1 B B b
0
0
1
0
cBB-1N-cN
cBB1b
in m st ..
x 1 2x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 4 3x 1 2x 2 6 xi 0,i 1 ,2,3
考虑检验数：zj-cj=cBB-1Pj-cj
若 j k,有
j为非基变量下标
z'j c'j cBB1P j cj zj cj 0
' ' ' ' zk ck cBB1P c z c c c k k k k k k ' ' 若 zk ck 0 ， 则 B 仍 为 最 优 基 ； ' ' 若 zk ck 0 ， 改 变 后 xk为 进 基 变 量 。
四．增加新的约束