第五章 线性规划问题的灵敏度分析
为保证所有非基变量检 验数仍满足最优条件 , 有 cj − zj cj − zj max a kj > 0 ≤ ∆ c j ' ≤ min a kj < 0 j j a kj a kj
7
CB 0 4 5
XB x5 x4 x2
b 100 200 100 13ห้องสมุดไป่ตู้0 c j -zj
0 . 25 125 + 100 1 . 00 = 300 − 0 . 75 25 OBJ ' = 125 × 0 + 300 × 4 + 25 × 5 = 1325
100 ' ' X ' = b + ∆ b ⋅ P6 = 200 100
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： 灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/ (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/ 当线性规划有关参数和条件发生变化时 最优解/最优值的变化情况； 最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化， (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优 分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化 基/最优解/最优值不变。 最优解/最优值不变。
x1, x3为非基变量 所以 ∆c1 ≤ 3.25, ∆c3 ≤ 2.75, c1 ≤ 4.25 c3 ≤ 5.75
6
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析 • 由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所 中出现， 不考虑ark=0的情况，因为当 有非基变量的检验数 ark=0时，cj的变化不影响zk， • 只有一个基变量的 cj′ 发生变化，变化量为∆ cj′ 发生变化，变化量为∆ 同时因为基变量检验数始终 • 令 cj′ 在CB中的第k行，研究非基变量xj 机会成本的变化 为0，不考虑其变化。
灵敏度分析内容： 灵敏度分析内容： (1)参数 的影响分析; (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; 增加约束或变量的影响分析 或变量的影响分析； (2) 增加约束或变量的影响分析；
2
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具 (1)灵敏度分析工具 Pj’ =B-1Pj b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’ Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理 (2)灵敏度分析原理 （LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0 LP）
a '1,n +i M a ' k ,n +i M
L O L O
a ' m,n +i L + ∆bk ),L bm )
a '1,n + m M ' a k ,n + m M ' a m ,n + m
T
为保证最优解的基变量 不发生变化, 必须满足 X B = B −1b = b′ ≥ 0
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 非基变量对应的价值系数变化， – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数 基变量对应的价值系数变化，
（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (c j + ∆c j ) − z j ≤ 0 故有 ∆c j ≤ −(c j − z j )
5
例5.1
CB 0 4 5 XB x5 x4 x2 b 100 200 100 1300 cj-z j 1 5 3 x1 x2 x3 1/4 0 -13/4 2 0 -2 -3/4 1 11/4 4.25 5 5.75 -3.25 0 -2.75 4 x4 0 1 0 4 0 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 1/4 1 -3/4 0.25 -0.25 0 x7 -1 -1 1 1 -1
8
例2： max f ( x ) = ( 2 + λ1 ) x1 + (3 + λ2 ) x2 2 x1 + 3 x 2 ≤ 12 4 x1 ≤ 16 s.t . 5 x2 ≤ 15 x1 , x 2 ≥ 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
9
上例题的最优单纯形表为： 上例题的最优单纯形表为：
− 3 .25 − 0 .25 − 2 .75 − 1 max , ≤ ∆ c 4 ≤ min − 2 , − 1 1 2 − 0 .25 ≤ ∆ c 4 ≤ 1, 3 .75 ≤ c4 ≤ 5
• 有一边为空集如何处理 • 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中 • 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
' '
X = X + ∆bi P n +i
N 0 '
OBJ = C B X
N
N
14
CB 0 4 5
XB x5 x4 x2
b 100 200 100 1300 c j -zj
1 x1 1/4 2 -3/4 4.25 -3.25
5 x2 0 0 1 5 0
3 x3 -13/4 -2 11/4 5.75 -2.75
3
(3)分析结论 (3)分析结论
原问题 可行 可行 不可行 不可行
对偶问题 可行 不可行 可行 不可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 引入人工变量， 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
−1 / 5 m ax ≤ ∆ c2 1/ 5 − 1 ≤ ∆ c2 , 2 ≤ c2
10
5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项b 约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 由对偶单纯形法可看出b 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。 第三种情况时， 原问题 对偶问题 可行 可行 不可行 不可行 可行 不可行 可行 不可行 结论或继续计算的步骤 仍为最优解 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 引入人工变量， 引入人工变量，编制新单纯形表进行求解 11
' i,n + k
当 a i,n+k < 0, 则有
−1
∆b
⇒ ∆ bk a
≥ −b
m,n +1
m, n + k
m, n + m
' i
13
当 a 'i ,n+ k > 0, 则有 − bk ∆bi ≥ ' a i ,n + k
'
当 a 'i ,n+k < 0, 则有 − bk ∆bi ≤ ' a i ,n+ k
15
课堂练习： max f ( x ) = 2 x1 + 3 x 2 s .t . 2 x1 + 3 x 2 4 x1 5 x2 x1 , x 2 ≤ 12 ≤ 16 ≤ 15 ≥0
4 x4 0 1 0 4 0
0 x5 1 0 0 0 0
0 x6 1/4 1 -3/4 0.25 -0.25
0 x7 -1 -1 1 1 -1
令 ∆ b 2 = 100 , 则有
为例, 是对应的初始基变量， 以b2为例 x6是对应的初始基变量，所以有 − 100 − 200 − 100 max , ≤ ∆ b2 ≤ min − 0 .75 1 0 .25 − 200 ≤ ∆ b2 ≤ 133 .3
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析) 又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化:C, b, A 哪些参数容易发生变化: • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
12
x B = 'B
'
当 a i,n+k > 0, 则有
−1
(b + ∆ b ) = B
−1
b + B '− 1 ∆ b = b ' + B
0 ' ' M − bi − bi ' ' ∆bk b1 ≤ ' ∆b ≥1 ' k b 0 ' a i,n+k ' a i,n+k b 2 + B −1 ∆ b = b 2 + ∆ b P ' = k n+k k M M 0 ' ' bm bm M 0 ' a1,n+1 L a'1,n+k L a'1,n+m b 1' + ∆ b k a 1' , n + k ' ' M O M M 'O b 2 + ∆ b k a 2 ,n + k ' ' = ≥ −10 ,即,n+b i L ∆'i,b+kk aLn +ak'i,n+≥ 0 + an i, m B = ai 1 M O M O M ' M ' a' b m + ∆ b k a m ,n + k L a' L a'
线性规划问题及灵敏度分析
实验一 线性规划问题及灵敏度分析实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。
用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。
实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容：一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法：操作步骤：1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。
2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。
3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。
4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。
5．求解线性规划。
启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。
6．学习例题 点击File→Load Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。
用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。
下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。
用WinQSB 软件求解下列线性规划问题：1234max657Z x x x x =+++s.t. 12341234123123431234269260852150730001020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪-+-≥⎪⎪++=⎪-≥⎨⎪-≥⎪≤≤⎪⎪≥⎩无约束解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。
7灵敏度分析习题
3、求b1、b2、b3的灵敏度范围
对b的灵敏度分析可以利用公式：
b'i b'i max a'i ,n k 0 bk min a'i ,n k 0 a'i ,n k a'i ,n k
4 2 23 max b1 min , 2 / 3 4 / 3 1/ 3 65 25 b1 2
我们考虑如下几种互相独立的情况，看一看 如何应用上面几节讨论的结论 如果第2种生产方法的每批成本提高到21元,问是 否会改变最优解?
解:
19 7.5 0.5 8 44 max , , c2 min , 1.4 0.5 0.3 0.2 0.6 1.67 c2 40, 28.33 c2 70
由于n=3，所以b2对应x5，所以有：
2 max b2 1
2 b2
58 b2
Cj→ CB 21 0 9 XB X1 X5 X2 Cj-Zj B 4 2 23 21 X1 1 0 0 0 9 X2 0 0 1 0 4 X3 1/3 -2/3 1/3 -6 0 X4 2/3 -4/3 -1/3 -11 0 X5 0 1 0 0 0 X6 1/3 1/3 -2/3 -1
产量 品种 A 产 品数 量 B 产 品数 量 C 产 品数 量 耗费 资源 工 人工时 (小时 ) 机 器工时 (小时 ) 每 组生产 费用 (元 ) 组别 I II III IV V 资 源限制 组别 I II III IV V 单 位售价 (元 )
3 6 2
2 1 6
4 2 5
4 1 1
线性规划-灵敏度分析
若进一步问： 1）当原材料涨价或产品价格发生变化时，原最优生产计划变否？ 2）若在生产中采用了新的工艺，产品对原材料的消耗发生了变化，原最优生产 计划变否？ 3）为适应市场需要，管理者可能会生产新的产品或停止生 产某种产品，原最优 生产计划变否？
二、灵敏度分析的定义 研究数学模型某些系数的变化对最优解的影响及其影响程度的分析称为灵 敏度分析（Sensitivity Analysis）或优化后分析。
1 1
B 1b 故：原最优基不变，但最优解变为： X 5 1 0 0 0 T 0 1 b 2） 设： b b 1 3 3
要使原最优基不变，就要有： B-1b≥ 0 ，
4 1 b1 B b 1 1 3 0
5）是否有更好的增加资源的方案，实际上是问：①应增加哪种资源？②花多大代价增 加这种资源? ③最佳增量是多少？ ① 资源甲的影子价格 y1 = 5 > 1 ＝ y2 资源乙的影子价格，故应首先考虑增加资源甲。 ② 单位资源增量所支付的费用应< 资源的影子价格，即：单位费用< 5 才合算。 ③ 最佳增量应满足：
三、灵敏度分析的内容
1 当线性规划模型系数中的一个或几个发生变化时，已经求得的最优解是否会 发生变化？ 2 线性规划模型的系数在什么范围内变动时，原来的最优解不变？
3 当线性规划模型系数的变化时，已经引起原最优解的变化时，如何才能尽快
求出新的最优解？
四、灵敏度分析的理论依据及方法
记最优基矩阵为B，最优解： 最优值： X = B－1b z = CB B－1b 与b无关 与b、C无关 与C无关
4 1 1 / 3 1 0 即： N ' 1 0 0 c 1 ' 3 1 1 7 / 3 0 1 0时，原最优解不变 N ' c1 '5 4c1 '3 c1 '3 0
第五章线性规划问题的灵敏度分析
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划的灵敏度分析
资源有剩余，在 最优解中就有对 应松弛变量存在， 且其影子价为 0
影子价为 0， 资源并不一定有 剩余
4
5.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分
析cj 允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况:
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
zj-cj 3.25 0 2.75 0 0 0.25 1
c c j k
由于基变m量对应的价值系数 cj 在CB中出现，
2 基变量 zj zj (cjk c因jki )此ai它j 会影c响jk a所ij 有非cj基k a变kj (量z的j 检验zj数) 。
5.4 （技术系 数 aij 的灵敏 度分析）暂不 讲授(转5.5）
技术系数aij变化的影响比较复杂
对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
3
z8c8 qiai8c8(5040.2 531)9 i1
50
结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入基变量进行迭代。 （过程学生完成）
17
5.6 新增约束 条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件
(x)
b
i
i1
(C
B
线性规划(5)
若要保证最优解不变，必须有：-5+0.5a≤0，a≤10 -15-1.5a≤0，a≥-10 即-10≤a≤10，c1在[40,60]之间变化，最优解不变。 仍为：x1=15,x2=20;但最优值将随着c1的增大而增大；缩小而 缩小。那么c2=30在多大范围内发生变化，最优解不变？
2、b1=120，问b1在多大范围内发生变化最优基不变，最优 解和最优值是否发生变化？ 设b1变化为b1+a， 由最终单纯形表和初始单纯形表可以看出，基矩阵B和B-1分别为：
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
xB
0 5 4
X3 25 X1 35 X2 10 cj
松弛变量的检验数对应着对偶问题的最优解。
而且是这三种资源的影子价格。
即∶资源一的影子价格为=y1=-c3=0
资源二的影子价格为=y2=-c4=1 资源三的影子价格为=y3=-c5=3
分析∶资源一的影子价格为0，说明增加这种资源
引例：生产计划问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产 桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油 漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大？
2 1 5 5 1 B 1 1 * 3 3 2 3 2 2
C3 X3 -1 2 0 X4 1 -1/2 -5 0 X5 -2 3/2 -15 20 15 1350 b
C3-70
若希望生产书柜，那么就需要把X3变为基变量，则要求 C3-70 ≥0， 即C3 ≥70元生产书柜有利。
第5章(灵敏度分析与参数规划)
0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
c2 -3/2 -1/8 0 0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
0
-1.5- c2/8 c2/2 -1/8
0
试以表5.1为例，当基 变量 x2 的系数 c2 变化 c2 时，在原最优解不变的条
灵敏度分析与参数规划
max z=2x1+3x2
s.t.
x1+2x2 ≤8
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1 , x2 ≥0
max z =2x1+3x2
s.t. x1+ 2x2 +x3 = 8
4x1
+x4 = 16
4x2
+x5 = 12
x1, x2 , … , x5≥0
5-4
灵敏度分析的意义
在生产计划问题的一般形式中，A 代表企业的技术状 况，b 代表企业的资源状况，而 C 代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
5-13
基变量系数cr变化的分析算例
cj
2 3+c2 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 4 1 0 0 1/4 0
0 x5 4 0 0 -2 1/2 1
3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0
-1 z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
2 x1 4 1 0 x5 4 0 3 x2 2 0 -1 z -14 0 2 x1 4 1 0 x5 4 0 3+c2 x2 2 0
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。
This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。