灵敏度分析
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析是企业或组织的常用调查分析方式，用于判断响应选择和反应情况，识别外部和内部环境变化。
灵敏度分析也称为灵敏度测试或灵敏度评估，是某种现象和外来因素之间关系的检测。
社会及经济发展的快速增长促使企业接受不断变化的环境，企业向顾客提供产
品和服务，需要持续修改和评估其产品和服务的灵敏度。
灵敏度分析旨在发现企业是否响应足够快来适应市场的变化，并且能够在变化的市场上胜出。
灵敏度分析是对影响变量和反应量之间响应关系的量化分析，它有助于企业识
别和捕捉可能影响企业绩效的众多因素。
例如，灵敏度分析可以帮助企业判断客户对定价的反应，预测价格变动对销量的影响，以及识别新产品加入市场时的客户需求。
灵敏度分析具有系统的分析和评估市场变化的能力，使企业能够提供高品质的产品和服务，保持市场领先地位。
灵敏度分析是企业必不可少的管理工具。
它有助于企业了解市场的需求，及时
适应市场变化，控制预算和避免投资失误。
它还可以帮助企业制定正确的策略，以确保企业目标的实现，保证企业顺利前行。
灵敏度分析
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最优解或最优 解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX
s.t. AX = b
设 为基本解， 是X基≥对应0 的目标系数向量， 是
基的逆矩阵，则原问题可表示为：
（２）检验数 CN CB B1N ，即 j Cj CBB1 pj 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B1b 和 CN CBB1N 同时发生变化
一、目标系数 的灵c j敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
求（１）使原最优解基不变的b1 的变化范围； （２）若 b1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x1+ 2x2
x1+ 2x2 40 s.t. 2x1+ x2 50
x1 , x2 0
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数
b
允许
例1.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x 2 + 35x 3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2x1 + x 2 + x 3 ≤ 2000
x1, x 2, x 3 ≥ 0
问当x2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型鲁棒性的技术，它可以帮助我们了解模型输出对于输入参数的变化的反应程度。
通过灵敏度分析，我们可以识别出哪些参数对于模型输出具有重要影响，从而优化模型的性能和可靠性。
本文将介绍灵敏度分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在科学研究和工程领域的重要性。
首先，让我们来了解一下灵敏度分析的基本概念。
灵敏度分析是通过对模型输入参数进行逐一变化，并观察模型输出的变化情况来评估模型的鲁棒性。
在进行灵敏度分析时，我们通常会选择一个基准点作为参考，比如模型输入参数的平均值或某个特定值。
然后，通过改变输入参数的值，并观察模型输出的变化情况，来评估模型对于输入参数的变化的敏感程度。
灵敏度分析有多种方法和指标可以使用，常见的方法包括一元灵敏度分析、总变差分析和区间分析等。
一元灵敏度分析是最简单的方法，它通过改变单个参数的值，观察模型输出的变化情况来评估参数的影响程度。
总变差分析则是通过改变所有参数的值，观察模型输出的总变差情况来评估参数的综合影响程度。
区间分析则是通过将参数的取值范围划分为多个子区间，观察模型输出在不同子区间的变化情况来评估参数的影响程度。
灵敏度分析在科学研究和工程设计中具有广泛的应用。
在科学研究中，灵敏度分析可以帮助我们理解模型的复杂性和不确定性，从而提高模型的可信度和预测能力。
在工程设计中，灵敏度分析可以帮助我们识别出对于系统性能具有关键影响的输入参数，并进行优化和控制，从而提高系统的稳定性和可靠性。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们进行风险评估和决策分析。
通过评估不同参数对于模型输出的影响程度，我们可以识别出可能导致系统失败或风险增加的敏感参数，并制定相应的风险控制策略。
同时，灵敏度分析还可以提供决策支持，帮助我们在不同参数取值的情况下，评估和比较不同决策方案的优劣。
综上所述，灵敏度分析是一种可以评估模型鲁棒性的重要技术。
通过灵敏度分析，我们可以识别出对于模型输出具有重要影响的参数，并优化模型的性能和可靠性。
实验结果的灵敏度分析
实验结果的灵敏度分析实验是科学研究中不可或缺的一部分。
通过实验可以验证理论，揭示规律，为科学研究的发展提供支持。
然而，实验结果的可靠性和准确性往往是人们关注的焦点。
为了评估实验结果的稳定性和可信度，灵敏度分析是一种常用的方法。
本文将对实验结果的灵敏度分析进行探讨，旨在阐明其重要性和应用场景。
一、什么是灵敏度分析灵敏度分析是一种系统地评估实验结果对于输入参数变化的敏感程度的方法。
它能够帮助我们了解实验结果对于参数的响应程度，找出影响实验结果的主要因素，从而为进一步的研究和决策提供依据。
通常，灵敏度分析可通过多种途径进行，如参数敏感度分析、局部敏感度分析和全局敏感度分析等。
二、灵敏度分析的意义灵敏度分析对于科学研究具有重要意义。
首先，它可以帮助我们了解实验结果的稳定性。
通过灵敏度分析，我们可以观察输入参数变化对实验结果的影响程度，若实验结果对于参数变化不敏感，则说明实验结果较为稳定可靠。
其次，灵敏度分析可以揭示实验结果中的主要因素。
在实验过程中，我们常常需要面对各种参数和影响因素，通过灵敏度分析，可以确定哪些因素对实验结果具有重要影响，进而提供优化研究方向和决策依据。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们发现异常结果和探索实验结果潜在的风险因素。
三、灵敏度分析的应用场景根据实际需求和研究目的，灵敏度分析可以应用于多个领域。
以下将针对不同领域的实验结果灵敏度分析进行简要介绍。
1. 生态学领域生态学研究中，我们常常需要评估各种生态系统的稳定性和脆弱性。
通过灵敏度分析，可以了解生态系统对于各种环境因素的响应程度，找出对生态系统稳定性具有重要影响的关键因素，为生态保护和可持续发展提供科学依据。
2. 经济学领域经济学研究往往需要分析不同经济因素对于经济系统的影响。
通过灵敏度分析，可以评估经济模型中各个参数对于经济结果的敏感程度，识别经济政策的潜在风险和利益分配的不平衡情况，为经济决策提供参考。
3. 工程领域工程设计中常常需要考虑各种参数对于产品性能和安全性能的影响。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设 x j为非基变量 , 则有
z
0 j
m
akjqk
k 1
设aij变动aij ,则有
z
N j
z
0 j
aij qi
cj
z
N j
cj
z
0 j
aij qi
0
即
aij qi
cj
z
0 j
对于第 i 行约束为 型, qi 0, 所以
cj zj qi
aij
13
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 • 哪些参数容易发生变化
– C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
1
2.4.1 边际值(影子价) qi
• 以(max,)为例
• 边际值(影子价)qi 是指在最优解的基础上，当第 i 个约
3
关于影子价的一些说明
• 影子价是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价与资源的 紧缺度有关
• 松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位 • 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位 • 资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子价为 0 • 影子价为 0，资源并不一定有剩余 • 应用，邮电产品的影子价格
CB B1 Pj
m
(C
B
B
1
)i
aij
m
qiaij
i 1
i 1
2
例2.4.2
max f ( x) x1 5x2 3x3 4x4
2x1 3x2 x3 2x4 800
s.t.
5x1 4x2 3x3 4x4 1200 3x1 4x2 5x3 3x4 1000
x1, x2, x3, x4 0
akj
0 c j'
min j
c
j z akj
j
akj
0
7
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
bk ak,nibi 0
k 1,2,, m
当 ak,ni 0, 则有
当 ak,ni 0, 则有
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立, 从而有
max k
ak
bk
,ni
ak ,ni
0 bi
min k
bk ak ,ni
ak ,ni
0
此时, 基变量的解值和目标函 数会发生变化
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
17
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 x8 -150 -7/2 0 7/2 0
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 x5 75 -0.33 0 -2.67 0 4 x4 100 -0.33 0 0.33 1 5 x2 175 1 1 1 0 0 x6 100 2.33 0 -2.33 0 1275 3.67 5 6.33 4
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
设x4的价值系数增加c4，对应k=2，
max
3.25 2
,
0.25 1
c4
min
2.75 2
,
1 1
0.25 c4 1, 3.75 c4 5
• 有一边为空集如何处理
max CΔ Y
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
4
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
i 1
i 1
要满足 c j ( z j z j ) 0, 则有 c j z j akjck
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j z akj
j
akj
0
ck
c
j z akj
j
akj 0
为保证所有非基变量检 验数仍满足最优条件 , 有
max j
c
j z akj
j
ak ,ni
ak ,nm
am,n1
am,ni
am,n
m
b b1,b2 ,,(bi bi ),bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
X B B1b 0
9
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
即 ak ,n1b1 ak ,n2b2 ak ,ni (bi bi ) ak,nmbm
束行的右端项 bi 减少一个单位时，目标函数的变化量
f
(x)
C B B1b
m
(C
B
B
1
)k
bk
k 1
qi f ( x) bi (CBB1 )i , 左导数
机会成本 zni CB B1Pni (CB B1 )i
因此 qi zznnii
松弛变量, 人工变量 剩余变量
机会成本的另外表达形 式
zj
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
– 上述两个公式不充分，为什么？ – 引起B–1发生变化，从而引起非基变量的检验数 cj– zj 的变化
3、对应非基变量的 aij
– 只影响对应非基变量xj的检验数 cj– zj – 若 aij > 0，不会破坏最优解 – 若 aij < 0，必须保证 cj– zj 0
16
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 CB XB b 1 5 3 4 0 0 0 0 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 (1) 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 650 1 2 3 3 0 0 0 1 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 (1) 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 450 5/2 0 -5/2 3 0 1.5 -2 1 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 -150 -7/2 0 7/2 0 0 -1.5 1 1
6
2 基变量对应的价值系数的灵敏度分析
• 由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，变化量为 cj • 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变量xj 机会成本的变化
m
m
z j z j (ci ci)aij ciaij ck akj
件加入最优单纯型表，并变换为标准型 3、利用对偶单纯型法继续迭代
– 为什么可以利用对偶单纯型法
例2.4.2 第2步
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 CB XB b 1 5 3 4 0 0 0 0 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 (1) 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 650 1 2 3 3 0 0 0 1
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max
100 0.25
,
200 1
b2
min
100 0.75
200 b2 133.3, 1000 b2 1333.3
cj-zj -2.67 0 -3.33 0
x5 x6 x7 x8 00 0 0 1 1/4 -1 0 0 1 -1 0 0 -3/4 1 0 0 (-1.5) 1 1 0 0.25 1 0 0 -0.25 -1 0 1 0 -0.83 0.17 0 0 -0.33 0.67 0 0 0.5 -0.5 0 1 -0.67 -0.67 0 0 1.17 0.17 0 0 -1.17 -0.17
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0