数学中的灵敏度分析
2-4灵敏度分析
20
仍然来看上例的最优表格：
Cj
b xj
2 x1 1 1 2 1 0 0
3 x2 1 4 3 0 1 0
3 x3 1 7 3 -1 2 -1
0 0 j x4 x5 1 0 3/1 0 1 9/1 0 0 4/3 -1/3 B-1 -1/3 1/3 -5/3 -1/3
N =（-1，-5/3，-1/3）
N 0为原始单纯形表寻优的最优性条件（正则性
10
例：c3发生变化时，
3 =c3-z3=c3-[2×(-1)+3×2]=c3-4≤0，
令
得c3≤4。即当c3≤4时，最优解不变； 否则 3 >0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
例2 已知某LP问题的最优单纯表如下： 若C`1=5，则C`1>C1+C1=17/4， 最优解发生变化，重新用单纯形 法求解。 要保持原最优解， C3的变化范围为 C311/4
用表格单纯形法求解如下：
6
CB XB 0 0 2 0 2 3 X4 X5 -Z X1 X5 -Z X1 X2 -Z
Cj
b xj
3 9 0 3 6 -6 1 2 -8
2 x1 1 1 2 1 0 0 1 0 0
3 3 0 0 x2 x3 x4 x5 1 1 1 0 4 7 0 1 3 1 3 1 0 1 3 1 6 1 0 1 -1 -2 0 0 1 0
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
灵敏度分析5种实例
Maxz=2x1+3X2+4x3x1+2X2+x i+x4=3S.t2x l-x2+3x3-x5=4x1,∙∙∙,x5≥0基变量xl=2,x2=3；非基变量x3=x4=x5=O;由约束条件得基变量用非基变量表示为p=⅛-5⅞-⅛^4÷y⅞[j⅛=f+∣Λ⅛-⅜X4-⅜X5目标函数中基变量用非基变量代入后Z=14-fx3-fx4-fx5o（1）当目标函数中系数Ci变化时（只要考虑最优性条件）：设目标函数变为MaX z,=cx l+3X2+4x3目标函数中基变量用非基变量代入2=⅛c+f-（yC-^）x3-（y+fc）x4-（⅜-jc）%5所以如果“-等，∣+⅛C,∣-⅜C≥0,则符合最优解判别条件，所以目标函数最优性不变z=∙⅛c+/由“一等，f+⅛c,£一"之0解得最优性不变的C的范围。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（2）当约束条件右边常数2变化时（先考虑可行性条件看最优基是否变化，再考虑）：x1+2X2+x3+x4=b设约束条件变为2X1-X2+3X3-X5=4X I,∙∙∙,Λ5≥0先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得为4,JX2=2^-4根据可行性条件，必须和％≥o,解得匕的范围，即在此范围内最优基不变（最优解可能变化，要另外去求）。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（3）当约束条件中价值系数传变化时（先看可行性条件看最优基是否变化,再考虑最优值）：a ll x l+Ix1+x3+X4=3设约束条件变为，2X1-X2+3X3-X5=4x1,∙∙∙,x5≥0Ir=5先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得解得为｛,^v_2q∣-36(x21Il根据可行性条件，必须%,马≥0,解得。
”的范围，即在此范围内最优基不变(最优解可能变化，要另外去求)。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
灵敏度分析
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。
•cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：
2解.：分由析最优b2单=1纯8和形b表2=可2知4时：B，1最优 基21和最11优解的变化。
当b1=16时， b 1260
B1b
2 1
111260 142
最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 1
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x3 1 0 1 2 -1 4 x2 0 1 0 -1 1 8 -f -1 0 0 -4 -2 -88
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
bi
0 2/3 1/3 1 4/3
1 1/3 2/3 0 28/3
2 8/3 8/3 0 85.33
新的最优解为X=(0 28/3 0 0 0 4/3)T
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
3.灵敏度分析
3T (0,0,1)
T
b (14,8,92)
Min( 8 1
,
92 ) 4
b1
Max( 14) 2
即， 120 b1 105
15 15
15
14 92
8
Min( , ) b Max( )
1 13
2
8
即, 1380 13
b2
15
15 15
15
b 92 3 11
例4 下面是某LP问题的单纯形表 x4 , x5为松弛变量
1 2
4 2
0
所以， 1 1
4
13
五、C的改变
例4:下面是一张LP问题的最优单纯
形表,观察其基变量、非基变量目标
函数系数的改变对检验数的影响
cj
2 3100
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 1 1 0 -1 3 -1
3 x2 2 0 1 2 -1 1
σ
0 0 -3 -3 -1
bi
ir
当ir
0时，br
bi
ir
6
即，br的变化范围是：
Max（ bi
ir
|
ir
O）
br
Min（ bi
ir
|
ir
0）
注：
(1) 此时最优基不变，但最优值发生改变
(2) 只能有一个常数项发生改变
7
例 2:
下面是求解同一LP问题的初始单纯形表
和最优单纯形表
求b1, b2 , b3的变化范围，使原最优基仍最优 初始单纯形表
cj cB xB b
2 x1 1 3 x2 2 0 x6 1
σ -8
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假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性
一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~
随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法
局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法
对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是
，（1）
同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程
（2）
或以矩阵形式表示为（3）
式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。
对于非时变（静止）系统，将其代数方程，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。
令表示隐性代数方程式的解。
对输入因素求导数，得到下面的灵敏度公式：
（4）
式中，称为静态灵敏度矩阵，和由静态点的变量值计算。
对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。
2．有限差分法
局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。
其中比较简单的是采用向前差分格式
（5）
式中，截断误差与同阶。
有时采用更为精确的中心差分公式
（6）
而，
中心差分法的截断误差与同阶。
虽然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每一个导数时需要求一次函数值，这意味着多做一次结构分析，增加了计算工作量。
3．格林函数法
微分方程（1）关于初始值的方程为
（7）
上式中，，分别表示摄动时间和观测时间，表示灵敏度矩阵，即（8）
格林函数法的基本思路是，要求得灵敏度矩阵，就要借助式（2）或式（2）非齐次线性微分方程求得通解，而非齐次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成的，其中齐次方程的通解可由解式（6）得到，而非齐次方程的特解由
（9）
得到，上式中的被称为格林函数，基于式（8）的解的数值方法称为格林函数法。
直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加，而格林函数的计算量与变量数成比例关系。
二、全局灵敏度分析方法
灵敏度分析方法有以下特点：⑴它研究的是各因素对模型的全局影响（不仅是在某点处，而是在不同位置处）；⑵因素的范围可扩展到因素的整个定义域，各因素可同时变化，能够对非线性、非叠加、非单调模型进行研究和分析。
目前，最常见的全局灵敏度分析方法是Sobol’法。
Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法。
定义一个维的单元体作为输入因素的空间域，表示为
（10）
Sobol’方法的中心思想是将函数分解为子项之和
（11）
上式右端共有个子项，且有多种分解方法。
现在普遍应用的是1990年Sobol’提出的具有一般代表性的基于多重积分的分解方法。
该分解方法的特点如下：（1）为常数项，各子项对其所包含的任一因素的积分为0
（12）
（2）各子项之间正交。
即如果：
，则
（13）
（3）式（11）中分解形式唯一，且各阶子项可由多重积分求得。
如：
（14）
（15）
（16）
式（15）及（16）中，及分别表示除及除与之外的其它输入因素，类似地可求其余的高阶子项。
根据统计学的知识，模型输出的总方差为
（17）
现将式（11）中各阶子项的方差称为各阶偏方差，即阶偏方差
（18）
把式（11）平方并在整个内积分，结合式（13）可得总方差与各阶偏方差的关系：总方差等于各阶偏方差之和。
即
（19）
将各阶灵敏度系数定义为各阶偏方差与总方差的比值。
s阶灵敏度定义为（20）
这里，称为因素的一阶灵敏度系数，表示对输出的主要影响；为二阶灵敏度系数，表示两因素之间的交叉影响；依此类推，为阶灵敏度，表示个因素之间的交叉影响。
由式（19）可知：
（21）
在Sobol’法中，各积分可由蒙特卡罗法求出。
因此，及可通过蒙特卡罗估计得出
（22）
（23）
（24）
三、数例分析
例如一个非单调模型由下式表示
式中、服从以下分布，，。
用Sobol’法方法分析各参数对的灵敏度。
计算过程如下：首先可以由乘同余法产生均匀分布的为随机数，根据这些伪随机数生成各参数在均匀分布的随机数。
由Latin超立方采样获得随机序列后，代入进行统计分析，最后可以得到参数和对的灵敏度分别为0.202和
0.769。
这表明的变化对的影响较大。
四、结论
1．局部灵敏度和全局灵敏度分析方法是两种比较常用的数学分析方法，在对结构进行灵敏度分析时起着重要作用。
2．当所研究模型是非线性的或者影响输入变量的不确定性处于不同数量级时，局部法可能不能够提供有效的分析结果，但局部法具有较高的计算效率，可用于模型快速的前期研究中。
3．全局法不受模型限制，因素变动范围可扩展到因素的整个定义域，它在灵敏度分析时可以提供比较全面的分析结果，因而愈来愈广泛地在灵敏度分析方面得到运用。
（参考文献略）。