运筹学 第二章 灵敏度分析
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第二章 线性规划的
灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据中某 一个或某几个发生变化时，对最优解会产生什么影响。 或者说，要使最优解保持不变，各个数据可以有多大 的幅度的变动。这种研究线性规划模型的原始数据变 化对最优解产生的影响就叫做线性规划的灵敏度分析。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最 优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新 的最优解？
20 x1 10 x2 90
模型
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 20 x 10 x 90 2 1 x1 , x2 0
525 300 100% 50% 450
500 350 100% 50% 300
变化的百分比总和为100%， 所以最优解不变
2.6 约束条件系数变化的灵敏度分析
约束条件中的技术（工艺）系数 aij ，往往涉及车间生产能 力、产品消耗资源数等比较确定的数据，这些参数变化的时 候也会对最优解产生影响。
影子价格与线性规划的对偶问题
课本P54
max z 300 x1 500 x2 400 x3 x1 2 x3 4 2 x x 12 2 3 s.t. 3 x1 2 x2 x3 18 x1 , x2 , x3 0
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？ 假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
例1.1 百分比总和>100% ——最优解变化与否不确定
门的单位利润 c1=300 c1=600，占允许增加量的百分比 窗的单位利润 c2=500 c2=300 ，占允许减少量的百分比
600 300 100% 66.67% 450
500 300 100% 66.67% 300
A公司希望用最小的代价把该工厂的全部资源收买过来，故有
min z = 4y1 + 12 y2 + 18y3
显然，yi ≥ 0 (i=1,2,3)
综上，现在的问题为：
min z 4 y1 12 y2 18 y3 y1 3 y3 300 s.t. 2 y2 2 y3 500 y , y , y 0 1 2 3
max z 300 x1 500 x2 x1 4 1.5 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 , x3 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减少？元 因此，总利润增加？元
灵敏度分析的应用举例
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
影子价格是一种边际价格 资源的影子价格实际上又是一种机会成本
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量）
基本概念
约束限制值：
允许的增量：针对影子价格不变 允许的减量：针对影子价格不变
可从敏感性报告中获得的信息？？
该问题为原问题的对偶问题
该问题的最优解的意义： 代表资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。这种 估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡 献而做的估价，为区别起见，称为影子价格（阴影价格）
影子价格
资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较
稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。
c1=0(z=0x1+500x2)
可行域 c1=300(z=300x1+500x2)
1 23 4 5 6 7 8
x1
c1=750(z=750x1+500x2)
2.3 多个目标函数系数同时变化
多个系数 c j 发生变化，即其他条件均不变，把300改成450， 把500改成400
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
但此时敏感性报告是否有效？
2.5.1 敏感性报告——百分之百法则
含义：如果约束右端值同时变化，计算每一右端值变化量 占该约束右端值允许变化量的百分比，然后将每个约束右 端值变化的百分比相加。如果所得的变化的百分比总和不
超过100%，那么影子价格依然有效；如果超过了
100%，那就无法确定影子价格是否依然有效，可通过 重新运行“规划求解”命令来判断。
规划求解得到
2.7 增加一个新变量
在例1.1中，如果增加一个变量x3，比如考虑增加一种新产品： 防盗门，单位利润400元，生产一扇防盗门会占用车间1、车间 2、车间3各2、1、1小时，此时，新的线性规划模型变为：
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
约束条件系数 aij 变化的灵敏度分析 变量
x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
c jj 发生变化，即其他条件均不变，把 只有一个系数 c 300 改成 500
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
百度文库
如果所得的变化的百分比总和不超过100%，则最优 解不会改变；如果超过了100%，则不能确定最优解 是否改变，可通过重新运行“规划求解”命令来判 断
敏感性报告——百分之百法则
作用 1. 可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函数系 数的变化范围； 2. 百分之百法则通过将允许的增加量或减少量在各个系 数之间进行分摊，从而可以直接显示出每个系数允许的变化 值； 3. 线性规划求解后，如果将来条件变化，致使目标函数 中一部分或所有系数都发生变化，那么百分之百法则可以直 接表明最初最优解是否保持不变
变化的百分比总和为133.34%， 所以最优解变化与否不确定，需通过“规划求解”重新计算
重新“规划求解”得到
最优解改变，最大利润改变
例1.1 百分比总和=100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=525，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=350 ，占允许减少量的百分比
例1.1——百分比总和<100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=450，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=400 ，占允许减少量的百分比
450 300 100% 33.33% 450
变化的百分比总和为66.66%， 所以最优解不变
500 400 100% 33.33% 300
max z 500 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
用Excel求解
最优解没有改变
2.2.1 敏感性报告
几个基本概念
递减成本： 它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
例1.1 下列模型中，对最优值有 影响的因素有哪些？
max z = 300x1 + 500x2 x1 4 s.t. 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1 , x2 0
灵敏度分析的内容
目标函数系数 c j 变化的灵敏度分析
约束右端值 bi 变化的灵敏度分析
（单个变化和多个变化） （单个变化和多个变化）
2.4 单个约束右端值变化的灵敏度分析
只有一个约束右端值 bi 发生变化，即如果其他条
件均不变，把12改成13
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 13 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解改变，利润增加
如果车间2的可用工时不断增加，会出现什么情况？
为什么？
最优解不改变，利润不变
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量） 可从敏感性报告中获得的信息？？
补充说明： 影子价格
影子价格的解释： 1. 线性规划的对偶问题 例1.1的线性规划问题为
max z 450 x1 400 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解没有改变
敏感性报告
不能反映多个目标函数系数改变时带来的影响
敏感性报告——百分之百法则
定义 如果目标函数系数同时变化，计算出每一系数变化量占 该系数允许变化量的百分比，然后将各个系数变化的百分比 相加。
灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据中某 一个或某几个发生变化时，对最优解会产生什么影响。 或者说，要使最优解保持不变，各个数据可以有多大 的幅度的变动。这种研究线性规划模型的原始数据变 化对最优解产生的影响就叫做线性规划的灵敏度分析。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最 优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新 的最优解？
20 x1 10 x2 90
模型
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 20 x 10 x 90 2 1 x1 , x2 0
525 300 100% 50% 450
500 350 100% 50% 300
变化的百分比总和为100%， 所以最优解不变
2.6 约束条件系数变化的灵敏度分析
约束条件中的技术（工艺）系数 aij ，往往涉及车间生产能 力、产品消耗资源数等比较确定的数据，这些参数变化的时 候也会对最优解产生影响。
影子价格与线性规划的对偶问题
课本P54
max z 300 x1 500 x2 400 x3 x1 2 x3 4 2 x x 12 2 3 s.t. 3 x1 2 x2 x3 18 x1 , x2 , x3 0
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？ 假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
例1.1 百分比总和>100% ——最优解变化与否不确定
门的单位利润 c1=300 c1=600，占允许增加量的百分比 窗的单位利润 c2=500 c2=300 ，占允许减少量的百分比
600 300 100% 66.67% 450
500 300 100% 66.67% 300
A公司希望用最小的代价把该工厂的全部资源收买过来，故有
min z = 4y1 + 12 y2 + 18y3
显然，yi ≥ 0 (i=1,2,3)
综上，现在的问题为：
min z 4 y1 12 y2 18 y3 y1 3 y3 300 s.t. 2 y2 2 y3 500 y , y , y 0 1 2 3
max z 300 x1 500 x2 x1 4 1.5 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 , x3 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减少？元 因此，总利润增加？元
灵敏度分析的应用举例
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
影子价格是一种边际价格 资源的影子价格实际上又是一种机会成本
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量）
基本概念
约束限制值：
允许的增量：针对影子价格不变 允许的减量：针对影子价格不变
可从敏感性报告中获得的信息？？
该问题为原问题的对偶问题
该问题的最优解的意义： 代表资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。这种 估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡 献而做的估价，为区别起见，称为影子价格（阴影价格）
影子价格
资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较
稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。
c1=0(z=0x1+500x2)
可行域 c1=300(z=300x1+500x2)
1 23 4 5 6 7 8
x1
c1=750(z=750x1+500x2)
2.3 多个目标函数系数同时变化
多个系数 c j 发生变化，即其他条件均不变，把300改成450， 把500改成400
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
但此时敏感性报告是否有效？
2.5.1 敏感性报告——百分之百法则
含义：如果约束右端值同时变化，计算每一右端值变化量 占该约束右端值允许变化量的百分比，然后将每个约束右 端值变化的百分比相加。如果所得的变化的百分比总和不
超过100%，那么影子价格依然有效；如果超过了
100%，那就无法确定影子价格是否依然有效，可通过 重新运行“规划求解”命令来判断。
规划求解得到
2.7 增加一个新变量
在例1.1中，如果增加一个变量x3，比如考虑增加一种新产品： 防盗门，单位利润400元，生产一扇防盗门会占用车间1、车间 2、车间3各2、1、1小时，此时，新的线性规划模型变为：
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
约束条件系数 aij 变化的灵敏度分析 变量
x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
c jj 发生变化，即其他条件均不变，把 只有一个系数 c 300 改成 500
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
百度文库
如果所得的变化的百分比总和不超过100%，则最优 解不会改变；如果超过了100%，则不能确定最优解 是否改变，可通过重新运行“规划求解”命令来判 断
敏感性报告——百分之百法则
作用 1. 可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函数系 数的变化范围； 2. 百分之百法则通过将允许的增加量或减少量在各个系 数之间进行分摊，从而可以直接显示出每个系数允许的变化 值； 3. 线性规划求解后，如果将来条件变化，致使目标函数 中一部分或所有系数都发生变化，那么百分之百法则可以直 接表明最初最优解是否保持不变
变化的百分比总和为133.34%， 所以最优解变化与否不确定，需通过“规划求解”重新计算
重新“规划求解”得到
最优解改变，最大利润改变
例1.1 百分比总和=100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=525，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=350 ，占允许减少量的百分比
例1.1——百分比总和<100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=450，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=400 ，占允许减少量的百分比
450 300 100% 33.33% 450
变化的百分比总和为66.66%， 所以最优解不变
500 400 100% 33.33% 300
max z 500 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
用Excel求解
最优解没有改变
2.2.1 敏感性报告
几个基本概念
递减成本： 它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
例1.1 下列模型中，对最优值有 影响的因素有哪些？
max z = 300x1 + 500x2 x1 4 s.t. 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1 , x2 0
灵敏度分析的内容
目标函数系数 c j 变化的灵敏度分析
约束右端值 bi 变化的灵敏度分析
（单个变化和多个变化） （单个变化和多个变化）
2.4 单个约束右端值变化的灵敏度分析
只有一个约束右端值 bi 发生变化，即如果其他条
件均不变，把12改成13
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 13 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解改变，利润增加
如果车间2的可用工时不断增加，会出现什么情况？
为什么？
最优解不改变，利润不变
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量） 可从敏感性报告中获得的信息？？
补充说明： 影子价格
影子价格的解释： 1. 线性规划的对偶问题 例1.1的线性规划问题为
max z 450 x1 400 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解没有改变
敏感性报告
不能反映多个目标函数系数改变时带来的影响
敏感性报告——百分之百法则
定义 如果目标函数系数同时变化，计算出每一系数变化量占 该系数允许变化量的百分比，然后将各个系数变化的百分比 相加。