运筹学第二章24灵敏度分析
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灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
运筹学图解法的灵敏度分析 PPT课件
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
运筹学24灵敏度分析
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
运筹学——对偶问题与灵敏度分析幻灯片PPT
产品A 产品B 资源限制
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
OR1
18
Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
70 X3 1200 X1
X2 σj
OR1
b
360 200 300 0
240 50 30 3600
84 20 24 4280
〔1〕根据LP问题，列出初始单纯形表。检查b列的数字， 假设都为非负，检验数都为非正，那么已得到最优解， 停顿计算。假设检查b列的数字时，至少还有一个负分 量，检验数保持非正，那么进展以下计算。
〔2〕确定换出变量：将B-1b中最小的负分量所对应的 变量确定为换出变量。
〔3〕确定换入变量：检查换出变量所在行〔第L行〕的
〔3〕在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形 法，这样可使问题的处理简化。
OR1
29
2.2灵敏度分析〔考研时常考的知识点〕
灵敏度分析通常有两类问题：①是当C,A,b 中某一局部数据发生给定的变化时，讨论 最优解与最优值怎么变化；②是研究 C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原 有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优 解如何变动？
OR1
22
对偶单纯形法
设有问题maxZ=CX ，
AX ＝b ，
X ≥0
又设B是其一个基，当非基变量都为0时， 可以得到XB=B-1b。假设在B-1b中至少有 一个负分量，设第i个为负分量，并且在单 纯形表的检验数行中的检验数都为非正，
这种情况就可以用对偶单纯形法来进展求 解。
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
OR1
18
Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
70 X3 1200 X1
X2 σj
OR1
b
360 200 300 0
240 50 30 3600
84 20 24 4280
〔1〕根据LP问题，列出初始单纯形表。检查b列的数字， 假设都为非负，检验数都为非正，那么已得到最优解， 停顿计算。假设检查b列的数字时，至少还有一个负分 量，检验数保持非正，那么进展以下计算。
〔2〕确定换出变量：将B-1b中最小的负分量所对应的 变量确定为换出变量。
〔3〕确定换入变量：检查换出变量所在行〔第L行〕的
〔3〕在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形 法，这样可使问题的处理简化。
OR1
29
2.2灵敏度分析〔考研时常考的知识点〕
灵敏度分析通常有两类问题：①是当C,A,b 中某一局部数据发生给定的变化时，讨论 最优解与最优值怎么变化；②是研究 C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原 有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优 解如何变动？
OR1
22
对偶单纯形法
设有问题maxZ=CX ，
AX ＝b ，
X ≥0
又设B是其一个基，当非基变量都为0时， 可以得到XB=B-1b。假设在B-1b中至少有 一个负分量，设第i个为负分量，并且在单 纯形表的检验数行中的检验数都为非正，
这种情况就可以用对偶单纯形法来进展求 解。
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
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（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的 σk<0, 说明新产品 D 不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
bi air br ≥ 0
当
i 1 , 2 , , m
br ≥ bi / air
air > 0 时， air < 0
br ≤ bi / air
i
max bi / air air > 0 ≤ br ≤ min bi / air air < 0
i
4、系数阵A的元素发生变化：
2、灵敏度分析的内容： 目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
二、手工进行灵敏分析的基本原则
1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
1、研究最优表格中的数据来源： （1）能否从表格中直接看出B-1？
B1 (b b) b发生变化， X B
X B B 1b
B1 (b b) B1b B1b
B 1b B 1 (0 , 0 ,, 0 , br , 0 ,, 0)T (a1r br ,, air br ,, amr br )T br (a1r ,, air ,, amr )T
3、右端常数b发生变化：
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值。
为什麽？ 因为
X B B 1b 若bi的变化→
①保持B-1b≥0, 当前的基仍为最优基，最优解的结构不
变（取值改变）；
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；