常见的运筹学灵敏度分析
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常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
灵敏度分析(运筹学)
--25-- --第2章 对偶问题--
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
运筹学24灵敏度分析
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
运筹学灵敏度分析
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原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
运筹学8_灵敏度分析
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于b2：β12<0,
β22>0，所以
−
5
=
max{−
b2 }
β 22
≤
Δb1
≤
min{−
b1 }
β12
基变量 xi 的系数 ci 的变化范围
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 ci 是基变量xi 的系数， ci 变化影响每一个非基 变量xj对应的检验数σj
• 当 ci 变为 ci’ = ci +Δci 时，要使得线性规划最优解不
变需要且只需要每一个非基变量xj对应的检验数都有
σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0
什么是灵敏度分析
• 在以前讲的线性规划问题中，aij，bi，cj 均为已知常数， 但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字，如随市 场条件变化， cj 的值就会变化； aij 也会随工艺条件的改 变而改变， bi 是各项资源的投入数量，随着企业资金水 平的变化也会变化。
• 问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的 最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时， 问题的最优解不变？这就是灵敏度分析。
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
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x2
y1
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1 1/5 3/5 -2/5
1
0 1/5 -2/5 3/5
Z
36
0
0 -3/5 1/5
6/5
第二种情况（当jJB）：由于B中元素的改变影响到B-1
的变化，因此也影响到整个单纯形表T(B)的变化。目前的
基B对应的解有可能既不是原始可行，也不是对偶可行。
于是不如重新求解
0
03
x1
x2
x3
x4
y5
0
1
3/5
-2/5 2/5
1
0
-2/5
3/5 2/5
0
0
1/5
6/5 -1/5
18
用单纯形法迭代求得最优解为：
cj
4
3
0
03
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
y5
3
y5
10
4
x1
2
Z
38
0
5/2
3/2
-1 1
1
-1
-1
10
0
1/2
1/2
10
（5）对增加新约束条件的分析
在企业生产过程中，经常有新情况发生，造成原本不
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
max Z 4 x1 3 x2 2 y1
2 s.t.3
x1 x1
3 2
x x
2 2
16
（4）对增加新产品的分析
设某企业在计划期内，拟议生产新产品Xn+1，并已知新 产 品 的 单 位 利 润 为 Cn+1 ， 消 耗 系 数 向 量 为 Pn+1=(a1,n+1,a2,n+1,…am,n+1)T，此时应如何分析才能确定该新 产品是否值得投产？
增加新产品应在不影响企业目前计划期内最优生产的前 提下进行。因此可从现行的最优基B出发考虑：
cj
4
3
CB
XB
b
x1
x2
3
x2
3
3/2
1
0
x3
15
-5/2
0
Z
9
1/2
0
0
0
x3
x4
0
1/2
1
-3/2
0
3/2
得到新的最优解为：x1=0,x2=3; maxz=9
8
2.对价值系数Cj变化的分析 （1）当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变 化时，只影响到非基变量xj的检验数 由于 j (CB B 1 Pj ) (C j C j ) j C j 所以,当 j 0 即当 Cj j 时,最优解不变（最小值）
解：
CB B1 A C 3
4 C110
1 0
3
/5 2/
5
2 3
/ /
5 5
4
C1
3
0
0
4 C1
3
1 5
2 5
C1
6 5
3 5
C1
4
C1
3
0
0
12
0
0
12
5 5 C1
6 5
3 5
C1
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
36
0
0
1/5
6/5
5
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解 的可行性B-1b≥0,因此，为使最优解不变，只需变化以后的
B-1b≥0即可。
B1
b
3/ 2
5 /5
2 3/
/ 524
3/5
6
6
0
CB B1 b 3 4126 12
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
7
用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
5
b2
7542585253bb22
0
由
7542585253bb2200
解得：
16 b2 36
写 B-1
6
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如 b2=6，则
B1
b
3/ 2
5 /5
2 / 524 12
灵敏度分析=对于市场的变化，我们的决策 究竟怎样变化（不需要将 它当成一个新问题）
B
Xb
I
-Z
0
N
B-1N
B-1b
Cj-Zj
CB-CBB-1B
灵敏度分析
n
max z cjxj
或
j1
n
ajxj
bi (i 1,2, L ,m)
j1 xj 0(j 1,2, L ,n)
y1 2 y1
24 26
x1
,
x
2
0
(材料约束) (工时约束)
用单纯形法求得其最优表为：
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
Z
36
4
320
0
x1
x2
y1
x3
x4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
0
0 3/5 1/5
6/5
10
解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影
3 2
x x
2 2
y1 2 y1
24 26
x1
,
x
2
0
(材料约束 ) (工时约束)
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
x2
y1
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
Z
36
0
0 3/5 1/5
6/5
解：
3 CB B1 P3 C3 1/ 5
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参 数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响 以下两式的成立？
B 1b 0
C B B
1A C
0
3
1、对于参数b的灵敏度分析
从矩阵形式的单纯形表中可以看出，b的变化只影响最优 解的变化和最优值的变化。
b
X
XB
B-1b
将约束条件加入松驰变量，化为等式 3 x1 4 x2 x5 30 ，加入最优单纯形表中。
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
0
x5
30
Z
36
4
300
0
x1
x2
x3
x4
x5
0
1 3/5 -2/5 0
1
0 2/5 3/5 0
3
40
01
0
0 1/5
6/5 0
在这个表中，由于x1,x2是基变量，必须为单位向量，因此 将x1,x2化为单位向量得
若σn+1=CBB-1Pn+1－Cn+1<0，则应投产 若σn+1=CBB-1Pn+1－Cn+1>0，则不应投入。
即新产品的机会成本小于目前的市场价格时，应投产 否则不应投产。
例19 现有一新产品丙，经预测其单位利润为3，技术消耗 系数为P5=（2，2）T，问该产品是否值得投产？
17
解：
5
CB
22/3
1
0
0 2/3 -1/3
0
x3
10/3
0
0
1 1/6 -5/6
Z
106/3 0
0
0 6/7 1/6
22
对于增加新产品和新约束的灵敏度分析，在计算机软件中 是用Modify Program 来完成的
1、增加新产品的灵敏度分析
Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
紧缺的某种资源变成为紧缺资源，对生产计划造成影响
，如水、电和资源的供应不足等，对生产过程提出了新
约束等。
对增加新约束条件的分析方法步骤是：