运筹学 第三版 清华大学出版社 第2章灵敏度分析
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运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
(第三版)《运筹学》教材编写组编清华大学出版社
解 先计算B-1Δb,将结果反映到最终表1-5中， 得 表2-10。
0.25 0 4 0 0 1 B b 2 0 .5 1 0 8 0.5 0.125 0 0 2
cj → CB 2 0 3 XB x1 x5 x2 cj- zj b 4+0 4-8 2+2 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 x4
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化 • 显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化。当 然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的最 优解。这样做很麻烦，而且也没有必要。因在 单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数， 经过一定计算后直接填入最终计算表中，并进 行检查和分析，可按表2-9中的几种情况 进行 处理。
0 x5 0 1 0 0
0 0.25 [-2] 0.5 0.5 –0.125 -1.5 -0.125
由于表2-10中b列有负数，故用对偶单纯形法求新 的最优解。计算结果见表2-11。
表2-11
cj → CB 2 0 3 XB x1 x3 x2 cj- zj b 4 2 3 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 1 0 0 0 x4 0.25 -0.25 0 -0.5 0 x5 0 -0.5 0.25 -0.75
b列的元素变化
在最终表中求得的经过变化后的 b 列的所有元素， 要求b i +a ir Δ br ≥0，i=1,2,…,m。由此可得 a ir Δ br ≥b i ，i=1,2，…，m 当 a ir ＞0 时，Δ br ≥b - ia / ir； 当 a ir ＜0 时，Δ br ≤b - ia / ir；于是得到
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
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步5：写出E22矩阵
E22 1 0 0 2 1 0 0 0 1
步6：计算 B21
1 2 5 B2 1 E 22 B11 0 1 2 0 0 1
21
计算新的基可行解
11 12 x B 2 b2 B2 1 b B2 1 3 1 1 1
计算单纯形乘子及检验数
Y2 C B 2 B2 2 (0,1,1) B2 1 (0,1,1)
1 1 C1 Y2 P1 3 (0,1,1) 4 1 2 0 5 C5 Y2 P5 0 (0,1,1) 1 1 0
计算新的基可行解
11 4 x B3 B31 b B31 3 1 1 9 Y3 C B3 B31 (3,1,1) B31 (1 / 3,1 / 3,2 / 3)
24
转步2：计算非基变量检验数
2 2 1 1 1 B1 P2 B1 1 0 0
20
步4：计算θ
θ=min｛-1/1,－｝=1，可知L=2，对应x6为换出变量， 主元素a22=1 新的基变量为（x4,x2,x3）T，CB2=(0,-1,-1) B2=(P4,P2,P3)
x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 2 x1 x3 x 7 1 x1 , x 2 , 变量(x4,x6,x7)T，CB0=(0,－M,－M) 初始基矩阵 1 0 0 B0 ( P4 , P6 , P7 ) 0 1 0 I 0 0 1
9
上述表格即为迭代后的计算表
2.改进单纯形法
前面我们已经熟悉了单纯形法的表格计算方法，这是求解线性规划问题的一 般的通用方法。但用这种方法求解具体问题时，发现在每次迭代过程中不必 要的计算了很多无用的数字，影响了计算效率。从计算机计算的角度来徇， 单纯形法也不是一个很经济的算法，需要计算的数字多，并且要占有大量的 计算机存储容量。这样就导致了改进单纯形法的出现。改进单纯形法是但泽 在1953年研究出来的，其基本步骤与单纯形法大致相同，最主的区别在于每 次迭代中不再以矩阵的行初等变换为基础，而是每次都从原始数据求得迭代 的结果。这样就减少了每次迭代中积累起来的误差，既提高了计算的精度， 又减少了计算机的存储容量。 我们知道，单纯形法的迭代过程实质上是从一组基到另一组基的变换，变 换一组基，得到一个新的表。根据矩阵理论，每当基变量确定后，要想得到 新的表，可以有两种方法，一是矩阵的初等行变换；二是由原始数据直接得 到即把这个基变量在初始单纯形表中相应列的系数矩阵的逆矩阵求出来，则 新表中的列都可由这个逆矩阵左乘原来的列得到。而为了确定一组新的基， 关键是要找出换入变量和换出变量，找换入变量是通过求所有非基变量列的 检验数，从中找出最大的正检验数来确定。在找出换入变量后，根据θ规则确 定换出变量。而每次迭代中真正有用的数字是b列数字，基的逆矩阵，非基变 量的检验数以及最大正检验数对应的非基变量的系数列向量。
XB x X N
3
这时C也分为两块（CB，CN） 其中CB是目标函数中基变量向量XB的系数行向量； CN是目标函数中非基变量向量XN的系数行向量。
XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S X s XS XB X (C ,0) (C B , C N ,0) X N C B X B C N X N 0 X S X s XS
2
3
5
14
步3：
max(σ2>0,σ3>0)=σ3，k=3对应x3为换入变量 计算x3的系数列向量a3
1 1 a3 B0 1 P3 I 2 2 I 1
a3有大于零的分量，故该题有解。
15
步4：计算θ
本章内容重点
线性规划的对偶问题概念、理论
及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
1
2.1单纯形法的矩阵表示
现在介绍用矩阵来描述单纯形法的整个计算过程 它将有助于加深对单纯形法的理解、研究改进单纯形法、对偶理论等
设线性规划问题
maxZ=CX
AX b X 0
给这个规划问题的约束条件中加入松驰变量
4
maxZ=CBXB+CNXN+0XS
BX B NX N IX S b X B , X N , X S 0 (4.5)
将式（4.5）移项后得到 BXB=b－NXN－IXS 上式左乘B-1后，得到XB的表达式 XB=B-1b－B-1NXN－B-1XS 上式代入目标函数，得到 Z=CBB－1b+(CN－CBB-1N)XN－CBB-1XS
5
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b 0 (1) X X N XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
6
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
这里（B-1b)i是向量（B-1b）中第i个元素。 （B-1Pj)i是向量（B-1Pj）中第i个元素。
8
3、单纯形表 初始单纯形表
初始非基变量
X=（XB，XN）T
（B，N） (cB，cN)
初始基变量 XS I 0 b 0
分块的系数矩阵可用表格形式表示为
基变量XB XN I 0 B-1N CN－CBB-1N 非基变量 XS B-1 －CBB-1 b －CBB-1b
σ6，σ7不用计算
σj中仍有不大于0的分量，故xB2不是最优解
22
步3：max(σ1>0)=1，k=1，故x1为换入变量。 计算x1的系数列向量 1 3 步4：计算θ θ=min｛12/3,－，－｝=4，L=1， 则x4为换出变量。a11=3为主元素。 新的基变量为（x1,x2,x3） CB3=(3,-1,-1) B3=(P1,P2,P3)
计算B0-1=B0=I
得初始解
11 11 1 x B 0 B 0 b I 3 3 , x N 0 0 1 1
计算单纯形乘子
1 Y0 CB0 B0
(0,M ,M ) I (0,M ,M ) 13
18
转步2：计算非基变量检验数
1 1 C1 Y1 P 3 (0, M ,2 M 1) 4 1 1 2 2 2 C 2 Y1 P2 1 (0, M ,2 M 1) 1 1 M 1
计算新基可行解
1 0 1 11 10 x B1 b1 B11 b 0 1 2 3 1 0 0 1 1 1
计算单纯形乘子
Y1 CB1 B11 (0,M ,M ) B11 (0,M ,2M 1)
10
例1：试用改进单纯形法求解下述问题
minZ=－3x1+x2+x3
x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x 2 , x3 0
11
解：步1 化标准形式，求初始解
maxZ′=3x1－x2－x3－Mx6－Mx7
5
0 C 5 Y1 P5 0 (0, M ,2 M 1) 1 M 0
因人工变量旋出后，一般不会再旋入，故不用计算σ7。 因σj中有大于零的分量，xB1不是最优解。
19
转步3：max(σ 1>0，σ 2>0)=σ 2，k=2， 故x2为换入变量，计算x2的系数列向量
X5=（xn+1,xn+2,…xn+m）T以后得到标准型
2
maxZ=CX+0X
AX IX S b X 0, X S 0
这里I是m×m阶单位矩阵
设B是一个可行基，也称为基矩阵 于是可将系数矩阵A分为两块A=（B，N） 这里N是非基向量构成的矩阵 对应于B的变量xB1,xB2,…,xBm是基变量 用向量XB=（xB1,xB2,…,xBm）T表示 其它的为非基变量。则
23
B2 1 P1 B2 1 4 0 2 2
步5：写出E11矩阵 步6：计算
B31
1 / 3 0 0 E11 0 1 0 2 / 3 0 1
1 / 3 2 / 3 5 / 3 B31 E11 B21 0 1 2 2 / 3 4 / 3 7 / 3
min( / 1,3 / 2,1 / 1) 1 11
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
16
步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 1 2 2 C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 1 M 0 1 C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 3M 1 0 C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 M 0
E22 1 0 0 2 1 0 0 0 1
步6：计算 B21
1 2 5 B2 1 E 22 B11 0 1 2 0 0 1
21
计算新的基可行解
11 12 x B 2 b2 B2 1 b B2 1 3 1 1 1
计算单纯形乘子及检验数
Y2 C B 2 B2 2 (0,1,1) B2 1 (0,1,1)
1 1 C1 Y2 P1 3 (0,1,1) 4 1 2 0 5 C5 Y2 P5 0 (0,1,1) 1 1 0
计算新的基可行解
11 4 x B3 B31 b B31 3 1 1 9 Y3 C B3 B31 (3,1,1) B31 (1 / 3,1 / 3,2 / 3)
24
转步2：计算非基变量检验数
2 2 1 1 1 B1 P2 B1 1 0 0
20
步4：计算θ
θ=min｛-1/1,－｝=1，可知L=2，对应x6为换出变量， 主元素a22=1 新的基变量为（x4,x2,x3）T，CB2=(0,-1,-1) B2=(P4,P2,P3)
x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 2 x1 x3 x 7 1 x1 , x 2 , 变量(x4,x6,x7)T，CB0=(0,－M,－M) 初始基矩阵 1 0 0 B0 ( P4 , P6 , P7 ) 0 1 0 I 0 0 1
9
上述表格即为迭代后的计算表
2.改进单纯形法
前面我们已经熟悉了单纯形法的表格计算方法，这是求解线性规划问题的一 般的通用方法。但用这种方法求解具体问题时，发现在每次迭代过程中不必 要的计算了很多无用的数字，影响了计算效率。从计算机计算的角度来徇， 单纯形法也不是一个很经济的算法，需要计算的数字多，并且要占有大量的 计算机存储容量。这样就导致了改进单纯形法的出现。改进单纯形法是但泽 在1953年研究出来的，其基本步骤与单纯形法大致相同，最主的区别在于每 次迭代中不再以矩阵的行初等变换为基础，而是每次都从原始数据求得迭代 的结果。这样就减少了每次迭代中积累起来的误差，既提高了计算的精度， 又减少了计算机的存储容量。 我们知道，单纯形法的迭代过程实质上是从一组基到另一组基的变换，变 换一组基，得到一个新的表。根据矩阵理论，每当基变量确定后，要想得到 新的表，可以有两种方法，一是矩阵的初等行变换；二是由原始数据直接得 到即把这个基变量在初始单纯形表中相应列的系数矩阵的逆矩阵求出来，则 新表中的列都可由这个逆矩阵左乘原来的列得到。而为了确定一组新的基， 关键是要找出换入变量和换出变量，找换入变量是通过求所有非基变量列的 检验数，从中找出最大的正检验数来确定。在找出换入变量后，根据θ规则确 定换出变量。而每次迭代中真正有用的数字是b列数字，基的逆矩阵，非基变 量的检验数以及最大正检验数对应的非基变量的系数列向量。
XB x X N
3
这时C也分为两块（CB，CN） 其中CB是目标函数中基变量向量XB的系数行向量； CN是目标函数中非基变量向量XN的系数行向量。
XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S X s XS XB X (C ,0) (C B , C N ,0) X N C B X B C N X N 0 X S X s XS
2
3
5
14
步3：
max(σ2>0,σ3>0)=σ3，k=3对应x3为换入变量 计算x3的系数列向量a3
1 1 a3 B0 1 P3 I 2 2 I 1
a3有大于零的分量，故该题有解。
15
步4：计算θ
本章内容重点
线性规划的对偶问题概念、理论
及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
1
2.1单纯形法的矩阵表示
现在介绍用矩阵来描述单纯形法的整个计算过程 它将有助于加深对单纯形法的理解、研究改进单纯形法、对偶理论等
设线性规划问题
maxZ=CX
AX b X 0
给这个规划问题的约束条件中加入松驰变量
4
maxZ=CBXB+CNXN+0XS
BX B NX N IX S b X B , X N , X S 0 (4.5)
将式（4.5）移项后得到 BXB=b－NXN－IXS 上式左乘B-1后，得到XB的表达式 XB=B-1b－B-1NXN－B-1XS 上式代入目标函数，得到 Z=CBB－1b+(CN－CBB-1N)XN－CBB-1XS
5
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b 0 (1) X X N XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
6
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
这里（B-1b)i是向量（B-1b）中第i个元素。 （B-1Pj)i是向量（B-1Pj）中第i个元素。
8
3、单纯形表 初始单纯形表
初始非基变量
X=（XB，XN）T
（B，N） (cB，cN)
初始基变量 XS I 0 b 0
分块的系数矩阵可用表格形式表示为
基变量XB XN I 0 B-1N CN－CBB-1N 非基变量 XS B-1 －CBB-1 b －CBB-1b
σ6，σ7不用计算
σj中仍有不大于0的分量，故xB2不是最优解
22
步3：max(σ1>0)=1，k=1，故x1为换入变量。 计算x1的系数列向量 1 3 步4：计算θ θ=min｛12/3,－，－｝=4，L=1， 则x4为换出变量。a11=3为主元素。 新的基变量为（x1,x2,x3） CB3=(3,-1,-1) B3=(P1,P2,P3)
计算B0-1=B0=I
得初始解
11 11 1 x B 0 B 0 b I 3 3 , x N 0 0 1 1
计算单纯形乘子
1 Y0 CB0 B0
(0,M ,M ) I (0,M ,M ) 13
18
转步2：计算非基变量检验数
1 1 C1 Y1 P 3 (0, M ,2 M 1) 4 1 1 2 2 2 C 2 Y1 P2 1 (0, M ,2 M 1) 1 1 M 1
计算新基可行解
1 0 1 11 10 x B1 b1 B11 b 0 1 2 3 1 0 0 1 1 1
计算单纯形乘子
Y1 CB1 B11 (0,M ,M ) B11 (0,M ,2M 1)
10
例1：试用改进单纯形法求解下述问题
minZ=－3x1+x2+x3
x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x 2 , x3 0
11
解：步1 化标准形式，求初始解
maxZ′=3x1－x2－x3－Mx6－Mx7
5
0 C 5 Y1 P5 0 (0, M ,2 M 1) 1 M 0
因人工变量旋出后，一般不会再旋入，故不用计算σ7。 因σj中有大于零的分量，xB1不是最优解。
19
转步3：max(σ 1>0，σ 2>0)=σ 2，k=2， 故x2为换入变量，计算x2的系数列向量
X5=（xn+1,xn+2,…xn+m）T以后得到标准型
2
maxZ=CX+0X
AX IX S b X 0, X S 0
这里I是m×m阶单位矩阵
设B是一个可行基，也称为基矩阵 于是可将系数矩阵A分为两块A=（B，N） 这里N是非基向量构成的矩阵 对应于B的变量xB1,xB2,…,xBm是基变量 用向量XB=（xB1,xB2,…,xBm）T表示 其它的为非基变量。则
23
B2 1 P1 B2 1 4 0 2 2
步5：写出E11矩阵 步6：计算
B31
1 / 3 0 0 E11 0 1 0 2 / 3 0 1
1 / 3 2 / 3 5 / 3 B31 E11 B21 0 1 2 2 / 3 4 / 3 7 / 3
min( / 1,3 / 2,1 / 1) 1 11
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
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步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 1 2 2 C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 1 M 0 1 C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 3M 1 0 C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 M 0