常见的运筹学灵敏度分析
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whut运筹学9灵敏度分析
x1 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2
-z 0 -5 0 0 -10 -10 -280
若在原问题中又增加了一个新变量x7, 价值系数为25，技术系数列向量 为 a7=(1, 1, 1)T, 求新问题的最优解。
灵敏度分析
解: 由于增加了新变量 x7, 最终表中的数字都不改变。计算 x7 的检验数：
' k
ck C B B 1 ( pk pk ).
•若
' k
0,
则当前基仍为最优基。
•若
' k
0,
则当前基不再是最优基。修改单纯形表的第
k
列，
以 xk 为进基变量继续用单纯形法求解即可。
灵敏度分析
例 4 已知线性规划问题及其最优单纯形表：
maxz 60x1 30x2 20x3
8x1 6x2 x3 48
灵敏度分析
(3) 增加一个新变量xn+1的分析
若追加了一个新变量xn+1, 价值系数为cn+1 , 技术系数列向量为
pn1 (a1,n1 , a2,n1 ,, am,n1 )T .
新变量xn+1的检验数为： n1 cn1 C B B 1 pn1
• 若 n1 0, 则当前基仍为最优基。新问题的最优解为
x3 0 -2 1 0 2 -4 8
灵敏度分析 x1 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 -z 0 -5 0 0 -10 -10 -280
解: (a) 假设 c1' 60 . 由于 x1 是基变量, CB 将改变，此时非基变量的
检验数为
' N
N
(0,0, c1)B 1N
2
( 2 , 5 , 6 ) (0,0, ) 2
运筹学第11讲灵敏度分析1
12.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
12 x2 3/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
cj zj
0 0 0 11//84 19//24
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij） 或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及 其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
2 1 1c2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 1 5/ 4 15/ 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
1 c2 0； 1 3c2 0
44
22
cj zj
0
0
0 14 1/44c2
121/
23c2 2
即故当产品Ⅱ的13利 润c在2 [12
,
1→1+△c2
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析增加一个变量 xj 的变化 4. 分析增加一个约束条件的变化
系数矩阵A
5. 分析系数 aij 的变化
第5页
初 始
基变量 基变量 基可
运筹学05-灵敏度分析
0 1 0
4 4 2
2 1
2
4 1
2 1
8
1 0
4 0 0
4 4 2
0 -8 2
40 4-8 22
4 -4 4
将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。
Ci
2
3
0
0
0
B-1b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
1
0
0
1/4
0
4
0
(1)、参数A，b，C在什么范围内变动，对当前方案无影响？
(2)、参数A，b，C中的一个(几个)变动，对当前方案影响？
(3)、如果最优方案改变，如何用简便方法求新方案？
当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯 形法从头计算，看最优解有无变化，但这样做既麻烦又没 有必要。
灵敏度分析一词的含义是指对系统或事物因周围条件变化 显示出来的敏感程度的分析。
5.1 目标函数系数的灵敏度分析
考虑检验数 σ C CB B1 A
σ j C j CB B1 Pj
(1) 若ck是非基变量的系数：
设 c'k ck Δck ,则 σ'k ck Δck CB B1 Pk σk Δck 当 σ'k σk Δck 0 即 σk Δck 时 原最优解不变；
B-1(b + b) ≥ 0 ， 则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化； 否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。
例 Max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t
4x1 16 4x2 12
x1,x2 0
解: 下表为最优单纯形表
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
灵敏度分析(运筹学)
--25-- --第2章 对偶问题--
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
运筹学24灵敏度分析
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
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.
17
解 5 ： C B B 1 P 5 C 5 ( 1 /56 /5 ) 2 2 3 1 /5
值得投产。 其系数列为：
B1P5 352 5
3
2
5222 52
5
5
将此变量加入最优单纯形表中得：
cj
4
3
0
03
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
y5
3
x2
4
4
x1
6
0
1
3/5
-2/5 2/5
面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题
一、当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是 否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模 型参数的灵敏度分析)
二、增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基 是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化） (称为 模型结构的灵敏度分析)
时，它的变化只影响xj的系数列B-1Pj和检验数 j ，为使最 优方案不变，只需 j 0
.
14
例18 对于下列规划问题的最优解，若由于工艺改进，y1的 技术系数改为p3=(1,1)T，试讨论最优解的变化。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
0
x5
30
Z
36
4
300
0
x1
x2
x3
x4
x5
0
1 3/5 -2/5 0
1
0 2/5 3/5 0
3
40
01
0
0 1/5
6/5 0
在这个表中，由于x1,x2是基变量，必须为单位向量，因此 将x1,x2化为单位向量得
.
21
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
0
x5
-4
Z
36
4
300
0.167 0.667 -0.500 -1.170
0
S3
0
-0.833 -0.333 0.500 -0.167
0
B(i)
3.333 7.333 2.000 35.333
0
B(i) A(i,j)
0 0
.
24
练习1：一家企业制造三种产品，需三种资源，技术服务、劳力
、行政管理，下表列出了三种产品每单位数量对每种资源的需要
量 产品
A
B
C
资源限量
技术服务 1
1
1
100
劳力
10
4
5
600
行政管理 2
2
6
300
单位利润 10
6
4
（1）问如何安排生产，可使利润最大？
（2）C产品的单位利润为多少时才值得生产？
（3）若劳力资源增加到800小时，问最优计划是否要改变，若要改 变，应如何改变？
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
.
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
4 C 131 5 .5 2 C 15 6 5 3 C 1 4 C 1300 12
0
0
12
55C 1
5 65 3C 10
1 55 2C 10 5 65 3C 10
2C 11 2 即 2C 14.5
若 C 1 5 ,则 C B B 1 A C 00 1 58 5 C B B 1 b 3 6 6 C 1 4 将上述数字替换单纯形表中相应位置的数字得：
15
B 1P 3 3 2 //5 5
2/51 1/5 3/5 1 1/5
将上述数据替换最优表中相应位置的数据，然后再用单
纯形法求得新的最优解。
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
x2
y1
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1 1/5 3/5 -2/5
1
0 1/5 -2/5 3/5
Z
36
0
0 -3/5 1/5
增加新产品应在不影响企业目前计划期内最优生产的前 提下进行。因此可从现行的最优基B出发考虑：
若σn+1=CBB-1Pn+1－Cn+1<0，则应投产 若σn+1=CBB-1Pn+1－Cn+1>0，则不应投入。
即新产品的机会成本小于目前的市场价格时，应投产 否则不应投产。
例19 现有一新产品丙，经预测其单位利润为3，技术消耗 系数为P5=（2，2）T，问该产品是否值得投产？
灵敏度分析=对于市场的变化，我们的决策 究竟怎样变化（不需要将 它当成一个新问题）
B
Xb
I
-Z
0
N
B-1N
B-1b
Cj-Zj
CB-CBB-1B
.
灵敏度分析
n
maxz cjxj
或
j1
n
ajxj
bi(i 1,2,L,m)
j1
xj 0(j1,2,L,n)
maxz=cx
AX b
X
0
.
2
灵敏度分析（2）
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
.
9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
x1, x2 0
例19 对于生产计划问题，设增加电力约束，生产1单位甲
产品需耗电3个单位，生产1单位乙产品需耗电4个单位，且
每天供电量不超过30单位。试分析此时最优解的变化情况
。
.
20
解：将最优解x1=6,x2=4代入约束条件 3x14x230， 不 满足，说明约束条件起作用。
将约束条件加入松驰变量，化为等式 3x14x2x53 ，加入最优单纯形表中。
1
0
-2/5
3/5 2/5
Z
36
0
0
1/5
6/5 -1/5
.
18
用单纯形法迭代求得最优解为：
cj
4
3
0
03
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
y5
3
y5
10
4
x1
2
Z
38
0
5/2
3/2
-1 1
1
-1
-1
10
0
1/2
1/2
10
（5）对增加新约束条件的分析
在企业生产过程中，经常有新情况发生，造成原本不
紧缺的某种资源变成为紧缺资源，对生产计划造成影响
2、增加新约束的灵敏度分析
Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
C(j)-Z(j)
*Big M
0 1.000
0 0 0
X2
3.000
0 0 1.000 0 0
S1
0
1.000 0 0 0 0
S2
0
因此，当 B1b0时，最优基不变（即生产产品的品种 不变，但数量及最优值会变化）。
B1b0 是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以 求出新的最优方案。
b变化的时候，.仅对B-1b有影响
此时，基变量不变
4
P33 例题16 对于生产计划问题，为使最优方案不变，试 讨论第二个约束条件b2的变化范围。
0
0
A(i,j)
X3 3.000 0
2.500 1.000 1.500 -1.000 10.000 0
X1 4.000 1.000 -1.000 0
-1.000 1.000 2.000
0
C(j)-Z(j)
0 -0.5000 0 -0.5000 -1.000 38.000
*Big M
0
0
0
0
0
0
.
23
CBB1b3 416212
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0