第五章灵敏度分析
运筹学 填空题 及基础知识
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
工程经济学不确定性分析
第五章 不确定性分
不确定性因素：建设投资、经营成本、产品售价、销 售数量、项目寿命等。 不确定性因素一般可以分为两种类型：一种是完全不 确定型的，也就是不可测定的不确定性；一种是风险 型的，也就是可测定的不确定性。完全不确定型，是 指不但方案实施可能出现的结果是不确定的，而且对 结果出现的概率分布也全然不知；风险型是指虽然方 案实施后出现的结果是不确定的，但这些结果出现的 可能性即概率分布状况是已知或是可估计的。 不确定性分析通常包括盈亏平衡分析(收支平衡分析)、 敏感性分析(灵敏度分析)和概率分析(风险分析)。其中 盈亏平衡分析只适用于财务评价，敏感性分析和风险 分析可同时适用于财务评价和国民经济评价。
盈亏平衡点的求解除借助盈亏平衡分析图图解外，还可以用前述 函数式表示的平衡方程式进行求解。盈亏平衡点通常有以下四种 表示方式：
产(4能)以力达时到的设销计售生单产能价力的时盈的亏销平售衡单点价。表由示P=。(p设-v-pt)0Q表-示F=达0可到得设：计生
p0= F／Q +v +t（5-4） 产品销售价格是由市场决定的。企业的价格盈亏平衡点越低，在 市场中的竞争能力就越强。
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
第五章 实验室质量控制基础知识
第五章 实验室质量控制基础知识§5-1 误差一、基本概念在一系列的实际测定过程中，即使采用最可靠的分析方法，使用最精密的仪器，由技术很熟练的分析人员对同一试样进行多次测定，所得的结果也不会都完全相同。
所以，在进行分析时，往往要平均测定多次，然后取几次结果的平均值作为这组分析结果的代表，但是平均值同真实值之间还会存在差异，因此分析结果中误差是不可避免的。
在工作中，我们应该了解产生误差的原因，采取措施减小误差，并对所测定的数据进行科学的处理，获得可靠的分析结果。
1．准确度与误差（Error ）准确度是指测得值与真实值之间接近的程度。
准确度的高低用误差的大小来衡量。
即误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
（1）误差的表示方法 ① 绝对误差测量值和真值之差，称为绝对误差。
绝对误差 = 测量值 - 真值。
② 相对误差绝对误差与真值的比值，叫作相对误差。
相对误差（RE%） =%100⨯真值绝对误差由于真值一般是不知道的，所以绝对误差常以绝对偏差表示。
③ 绝对偏差某一测量值与多次测量值的均值之差称为绝对偏差，用di 表示。
④ 相对偏差绝对偏差与均值的比值，叫作相对偏差相对偏差（%）=%100⨯-xd i⑤ 平均偏差绝对偏差的绝对值之和的平均值，叫平均偏差，用 表示。
∑=-=ni i d n d 11⑥ 相对平均偏差相对平均偏差是平均偏差与均值的比值。
相对平均偏差（%）=%100⨯--xd⑦ 极差一组测量值内最大值与最小值之差，称为极差，用R 表示R=Xmax - Xmin⑧ 差方和S 、方差s2、标准偏差s 、相对标准偏差RSD ％或变异系数CV ％ S 2121)(1i ni ini x n x ==∑-∑=∑∑==--=ni n i i i x n x n s 11222])(1[11∑∑==--=n i ni i i x n x n s 1122])(1[11RSD ％ =%100⨯-xs（3）准确度和精密度某单次重复测定值的总体均值与真值之间的符合程度叫作准确度。
工程经济第五章 风险和不确定性分析
21.31 11.25 8.45 7.09 10.95 7.60
9.53 8.45 7.68 7.13 8.02 8.45 8.88 9.30
28
相同原理下，也可以采用分析图的方式。
回收期（年）
16
产量 10.95 12 8.88
8
7.6投资 4 -20% -10%
7.68
6.48 售价
10%
+20%
16
例：某公司生产某型飞机整体壁板的方案设计生产能力为
100件/年，每件售价P为6万元，方案年固定成本F为80万元，
单位可变成本V为每件4万元，销售税金Z为每件200元。若 公司要求经营安全率在55％以上，试评价该技术方案。 解 盈亏平衡方程
Px F Vx Zx
F 80 xb 40.4件 P V Z 6 4 0.02
例如，原材料价格的变动对投资回收期的影响。
23
敏感性分析的基本思路：
预测项目的主要不确定因素可能发生的变化，分析不确
定因素的变化对经济评价指标的影响，从中找出敏感因素， 并确定其影响程度，提出相应的控制对策，为科学决策提供 依据。 对项目评价指标有影响的不确定因素很多，例如产品产
（销）量，售价，原料、动力价格，投资，经营成本，工期
解之有 xb2＝BEP2＝4000件 即
x 2286
用方案A 用方案C 用方案D
22
2286 x 4000
4000 x
第二节
敏感性分析（Sensitivity Analysis）
又称灵敏度分析
敏感性分析是常用的一种评价经济效益的不确定
性方法。用于研究不确定因素的变动对技术方案经济
效益的影响及其程度。 即当构成技术经济评价的基础数据发生变化时， 其评价指标会有多大变动。
第5章灵敏度分析
第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。
也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。
在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。
灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。
一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。
全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。
全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。
常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。
这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。
敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。
灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。
例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。
在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。
首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。
其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。
最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。
总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。
灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新问题：工厂研制了一种新产品，估计单位利 润为cn+1，问是否投入生产，若投入生产， 求最优生产方案
2018/10/13
1
26
解：设x j 表示产品Bj的产量，（j 1,2, , n 1) max z c1 x1 c2 x2 cn xn cn 1 xn 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1n 1 xn 1 b1 a x a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 n 1 n 1 2 s.t : a x a x a x a x b mn n mn 1 n 1 m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 1 0
2018/10/13
19
B 1 (b b) B 1b B 1b a1r br a1r 0 B 1b B 1 br B 1b air br B 1b br air 0 a b a mr r mr bi air br 0 max{ bi arj
最优基不变但最优解改变
若B 1 b 0： 最优基改变，由于CN- CBB-1N≤0不变,
用对偶单纯形法解决
3、A改变
2018/10/13
检验数、最优解、最优值改变
7
总之：参数A、C、b的变化所产生的影响有： 最优解不变；最优基不变但最优解改变；最优基改变
当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保
1 1
若C N C B B 1 N 0 ：新问题还没取到最优
在原最优单纯形表上 用单纯形法继续迭代
2018/10/13 9
例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关 数据如下表：问如何安排生产，使获利最多？
2018/10/13
10
max z 2 x1 x 2 5x 2 15 6x1 2 x 2 24 s.t. x1 x 2 5 x1, x 2 0
2018/10/13 24
技术参数灵敏度分析
增加或者减少一种或者多种产品
增加或者减少一种或者多个约束条件；
原有技术系数发生变化
2018/10/13
1
25
增加一个新变量的灵敏度分析
资源的合理利用问题：
某厂计划在下一个生产 周期内生产 B1，B2， ，Bn 种产品，要消 耗A1，A2， ，Am 种资源，已知每件产品 所消费的资源数、每种 资源的数量限制以及每 件产品可获得的利润如 下表，问如何安 排生产计划，才能充分 利用现有资源，使获得 的总利润最大？
2018/10/13
X B x1 , x2 ,, xm X N xm1 , xm2 , xn
CB c1 , c2 ,, cm
CN cm1 , cm2 , cn
b b1 , b2 ,, bm
28
增加一个新变量xn+1 对问题： 1c x c x c x 1 c x z 1 1 C 2 , c 2 n n Nn,1 nP 1 Cmax C B N N C B B N n 1 B n 1 基B B
授课内容
线性规划常量分析
价格灵敏度分析
资源灵敏度分析
技术参数灵敏度分析 参数规划
2018/10/13 1
线性规划常量分析
某厂计划生产Bn种产品，消耗Am种资源，已知每件 产品消耗的资源数、资源数量限制以及每件产品获 得的利润如表，如何安排，获得的利润最大？
2018/10/13
2
解：设x j 表示产品B j的产量,（j 1, 2, , n) max z c1 x1 c2 x2 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 s.t am1 x1 am 2 x2 cn xn a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
是最优单纯形表的 s.t中基变量 xi 其中aij 所在行对应非基变量 x j的系数
2018/10/13
17
(CB CB ) B 1 A CB B 1 A (0, CB B 1 A Cr (ar1 ,
' j
Cr , 0) B 1 A
1
arn )
1
c j (CB CB ) B A c j CB B A Cr arj
2018/10/13
3
aij , bi , c j都是常数，但在建模 线性规划问题中，
时这些系数有可能采用的是估计值或预测值。 市场的变化 工艺的变化 资源的变化
研究内容：
c j 值变化
aij 值变化
bi 值变化
的变化对最优解的影响。
aij , bi , c j
2018/10/134源自例即 15 b1 15
结论：当劳动力的拥有 量在30至60之间时， 仍然不生产产品 B
2018/10/13 23
问题2
1/ 3 1/ 3 65 35/ 3 B b 1/ 5 2/ 5 30 1
1
最优解X （ 10， 0， 0， 5， 0），最优值Z 30
问题1：当利润变为1.5；2时候，该公司的最优生产 计划如何变化？
问题2：产品Ⅱ的利润改变为1+Δc时候，那么Δc 在什么范围内变化时候，原最优解不变？
2018/10/13 11
最优单纯形表：
2018/10/13
12
问题1
2018/10/13
13
问题2
1 c 2 1 3
2018/10/13 14
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a1n1 xn1 b1 1 1 CB CB a x a x C B N , C B P bb C , c B B n 1 a x b N n 1 a x 21 1 22 2 2n n 2 2 n 1 n 1 1 1 N N Pm1 ,, Pn，Pn1 C C B N , c C B P N B n 1 B n 1 N，Pn1 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n am n1 xn1 bm
2018/10/13
27
对问题：
增加一个新变量xn+1 设B P , P ,, P 1 2 m
N Pm1 , Pm2， , Pn
max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t : a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 0
例：某工厂准备生产 A、B、C三种产品，他们都消 耗劳动力和材料，有关数据如表：
若市场对B产品有需求，问B的售价至少需涨至多 少才可考虑生产？ 设B产品的售价涨至4元，求最优生产方案？
2018/10/13 15
最优单纯形表：
2018/10/13
16
结论：若ci是基变量的系数，则当ci的改变量ci 在范围 j j 0, j N ci min | aij 0, j N max | aij aij aij 内时，最优解不变.
CB 0 0 0 -z 0 0 2500 -z 1500 0 2500 -z
2018/10/13
XB x3 x4 x5 x3 x4 x2 x1 x4 x2
θ i 32.5 40 25 5 7. 5
5
对 max z CX , s.t : AX b, X 0
1、C改变：
当C变为C时，即 CB CN (C B C N )时, CN CB B N C N C B B N ,, Z CB B b Z C B B b 但B 1b 0不变,若C N C B B 1 N 0, 仍然为最优解。
Max z = 1500 x1 + 2500x 2 3x1 +2x 2 +x 3 = 65 2x +x +x = 40 1 2 4 s.t. 3x 2 +x 5 = 75 x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 ,x 5 0
1500 x1 65 3 40 2 75 0 0 1500 15 (3) 15 2 25 0 -62500 1500* 5 1 5 0 25 0 -70000 0 2500 X2 2 1 (3) 2500* 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1/3 -2/3 0 -500 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 -2/3 -1/3 1/3 -2500/3 -2/ 9 1/9 1/3 -500
持不变？或者最优基保持不变但最优解有所改变？
若最优解发生变化，如何用最简单的方法找到现
行的最优解？
2018/10/13
8
价格灵敏度分析
当C变为C时，即 CB CN (C B C N )时 CN CB B 1 N C N C B B 1 N Z CB B 1b Z C B B 1b 1 X B b， 0 0不变，还是新问题的基本可行解 若C N C B B N 0 : X B b， 0 还是最优解
2018/10/13 21
问题1
最优单纯形表：
bk bk max | k1 0 b1 min | k1 0 k1 k1