第六章单纯形法的灵敏度分析.
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4.5 单纯形法的灵敏度分析
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B B b,Z CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
T 从而，最 指标变为 b （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
39
1 0 1 350 100 1 b B b 2 1 1 400 50 0 0 1 250 250
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
j ( j 1, 2,m) 变成
j c j zj
) c j ( z j ck akj (c j z j ) ck akj j ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
0 j ck akj j ck akj
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2008
第1节 单纯形表的灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里, xK 非基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只是其本身 的行的初等变换与CK 没有任何关系，所以当CK 变为CK +△CK 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变， 又因为xK 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不 变，即CB 不变，可知ZK 也不变，只是CK 变为CK +△CK 。
j j max akj 0 ck min akj 0 akj akj
目标函数： max z=50x1+100x2 x1+ x2≤300 s.t.
max
z=50x1+100x2 x1+ x2+s1=300
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
X2
s1
s2
S3
比值
50 100 1 0 0 0 1
0
b 50 50 250
0
0
0
bi a iJ
x1 50 S2 0
Zj
j cj zj
1 -2 0
-50
0 1 0
0 0
-1 1 1
50 -50
2 x2 100 0
0
50 100 50
Z=27500
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27500.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
第6章 运筹学课件单纯形法的灵敏度分析
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
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如，b2变为100，则最优矩阵可计算出：
1 0 -1 -2 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 100 0 1 0 0 1 250
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 -250 0 1 0 0 1 250
单纯形法的灵敏度分析基本思路：
1、将某个参数的变化反映在最终表中； 2、看最终表是否还满足最优表的要求：
比值 bi/ai2
c1 0 100
j
zj
1 0 1 0 0 -2 0 1 0 c1 100 c1
0 -1 1 1 0 1 0 -c1+100
0
0
- c1
0
c1-100
要使最优解不变，须- c1≤0且c1 -100 ≤0 求得0≤ c1 ≤100
二、目标函数系数ck的变化
迭代次 基变量 XB 数
基是否为单位排列阵，检验数是否都非 正，b列是否都为非负的数； 3、若满足上述要求则最优基没有改变， 若不满足则在新的最终表上继续进行迭 代，直到找到新的最优基为止。
二、目标函数系数ck的变化
1、在最终单纯形表中，xk是非基变量
除了xk的检验数外， ck的变化不会影响
到最终单纯形表中其它任何数值。 只要xk的检验数仍然非正，最优解和最 优值都会保持不变。
迭代 基变 次数 量XB x1 x4 2 x2
b
50 50 250 27500
比值 bi/ai2
一、问题的提出
事实上，系数的改变并未改变LP问题的解。
思考： 1、如果C2变为45，最优解会变吗？为保证最 优解不变， C2的取值范围？ 2、参数变化时，可否利用原问题的最优表求 解，而不必从头进行单纯形迭代，以简化计 算？
x4 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x5 0
b
0
x3 x4 x5
j
1
zj
x3 x4 x2
x1 x4 x2
0 0 100
j
2 50 0 100
zj
j
zj
0 300 0 400 1 250 0 0 0 -1 50 -1 150 1 250 -100 25000 -100 -1 50 1 50 1 250 50 27500 -50
初始 矩阵
行变换 最优 矩阵
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 50 0 1 0 0 1 250
初始矩阵变最优矩阵的过程可以表示为：
1 0 -1 -2 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 50 0 1 0 0 1 250
一、问题的提出
解：经过单纯形迭代得到最优表
CB
50 0 75 zj j=cj－zj x1 50 1 0 0 50 0 x2 75 0 0 1 75 0 x3 0 1 -2 0 50 -50 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 -1 1 1 25 -25
迭代 基变 次数 量XB x1 x4 2 x2
第六章 单纯形法 的灵敏度分析
一、问题的提出 二、目标函数系数的变化 三、右端项的变化 四、技术系数的变化 五、增加约束条件
一、问题的提出
假设范例 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：1· x1+1· x2≤300 2· x1+1 · x2≤400 0· x1+1 · x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0 中x2的目标函数系数由100变为75，求新问题 的解。
如范例，使最优解不变的cj值变化范围？
迭代 基变 次数 量XB
CB 50
x1
x2
x3
x4 x5
50
-1
b 50
比值 bi/ai2
x1
x4
2
0 100
0 0
50 0
0 1
100 0
-2 0
50 -50
1 0
0
1 1
50 250
x2
zj
50 27500
j
0 -50
二、目标函数系数ck的变化
b
50 50 250 21250
比值 bi/ai2
一、问题的提出
比较范例的最优表：
CB
50 0 100 zj j=cj－zj x1 50 1 0 0 50 0 x2 100 0 0 1 100 0 x3 0 1 -2 0 50 -50 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 -1 1 1 50 -50
迭代 基变 次数 量XB
CB 50 0 100
2
x1 x4 x2 zj
x1 50 1 0 0 50
0
x2 100 0 0 1 100
0
x3
c3
1 -2 0 50
c3-50
x4 0 0 1 0 0
0
x5 比值 b bi/ai2 0 -1 50 1 50 1 250 50 27500
-50
j
要使最优解不变，须c3-50 ≤0求得c3 ≤ 50
比值 bi/ai2 300/1 400/1 250/1
50/1 150/2 _
一、问题的提出
事实上，在单纯形表的迭代过程中，最
核心的变化是系数矩阵的行变换，其它 值如cj在每次迭代中不变，zj和检验数则 是根据其它元素计算得出。
一、问题的提出
初始基
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
二、目标函数系数ck的变化
2、在最终单纯形表中，
xk是基变量
此时各非基变量的检验数均有可能受到
影响，同时还会影响到最优值。 要最优解不变，必须保证所有的检验数 非正。
二、目标函数系数ck的变化
迭代 基变 CB 次数 量XB x1 x4 2 x2
x1
x2
x3
0
x4
0
x5
0
c1 100
b 50 50 250
一、问题的提出
要解决以上问题，需要探讨初始单纯形
表与最优单纯形表的关系。
观察范例的单纯形求解过程：
迭代次 基变量 XB 数
CB
0 0 0
x1 50
1 2 0 0 50 ① 2 0 0 50 1 0 0 50 0
x2 x3 100 0
1 1 ① 0 100 0 0 1 100 0 0 0 1 100 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 50 -50
CB 50 0 c2
2
x1 x4 x2
j
zj
x1 50 1 0 0 50
0
x2 c2 0 0 1 c2
0
x3 0 1 -2 0 50
-50
x4 x5 b 0 0 0 -1 50 1 1 50 0 1 250 0 c2 - 50