第6章 单纯形法的灵敏度分析
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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2007-10-15
目标:min f=300y1+400y2+250y3
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
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管 理 运 筹 学
26
这时与其对应的约束条件譬如说设备台时 数全部用完了，只有当 c j
j , 即 c j z j
时，对应为非基变量的松弛变量要变成入基变 量了。
对于设备台时数约束来说，当其松弛变量
的价格指标从0变到50时，也就是只要当前余 下一台时数设备从不能获利变成获利50元时，
( B, I ) ( I , B )，因此也有： ( B , － I ) ( I , －B )
因此，在初始单纯形表里的系数矩 阵中的单位矩阵正好变成了B1. 如上例 的最终单纯形表如下：
管 理 运 筹 学
33
1
1
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
管
理
运
筹
学
4
只是 ck变成了 ck ck . 这时 k ck zk 就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k 即可.
管
理
运
筹
学
5
2. 在最终的单纯形表中， k 是基变量 x 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
必然存在一个检验数大于0，我们可
以通过迭代来得到新的最优解。
管
理
运
筹
学
18
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标项的灵敏度分析是指： 约束方程中常数项在什么范围内变化
时，其对偶价格不变。因此我们首先
应从单纯形表格中找到有关对偶价格
的信息。
管 理 运 筹 学
19
所谓对偶价格是指：约束条件的常数项
增加一个单位而使得目标函数值得到改进的
管
理
运
筹
学
30
约束 条件 ≤
对偶价格的取值
等于这个约束条件对应的松弛变量的
z j 值。
≥ =
等于这个约束条件对应的剩余变量的 z j值的相反 数，即 z j .
等于这个约束条件对应的人工变量的 z j 值。
管
理
运
筹
学
31
其次，我们已知单纯形法的实质是:
令 A ( B, N ) ，
Ax b
S2 0
S3 0
b
50 50
250
X1 S2 2
C’1 1 0 0
0 0
1 100 0
管 理 运
1 -2
0 C’1 - C’1
筹 学
0 1
0 0 0
-1 1
1 -C’1+100 C’1-100
X2 100 0 ZJ CJ -ZJ C’1 0
17
从σ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并 且从σ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，
如在最优解中S2 =50是基变量，即原 料A有50千克没用完，再增加A原料是不 会增加利润的，故A的对偶价格为0。
管
理
运
筹
学
24
我们知道对于任何的松弛变量它在目标函 数中的系数 c j 0, 而在最终的单纯形表上若松 弛变量为基变量时，都有其检验数 j 0, 那 么为松弛变量的 z j 也为零，因为 z j c j j 0, 这正确反映了对任何为基变量的松弛变量所对 应的约束条件的对偶价格为零。
量的 z j 有关了。这将使得最优目标值特
别“恶化”而不是改进，故这时约束条 件的对偶价格应取 j z
管 理 运 筹
值的相反数 z j .
学
29
对于含有等于号的约束条件，其约束
条件的对偶价格就和该约束方程的人工变
量有关了。其约束条件的对偶价格就等于
此约束方程的人工变量的
zj
值。
下表给出了一个由最终单纯形表对于 不同约束类型的对偶价格的取值。
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1 , cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 cB (cB1 , cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则：
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
管
理
运
筹
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50
250
27500 CJ -ZJ -50
管
理
运
筹
学
34
由上表可知：
1 1 B 2 0
0 1 0
迭代
1 1 1
同时还可以知道： b B 1b. b
管 理 运 筹 学
11
也就是说，要使得最优解不变， 对于除了a'kk以外的 所有大于0的a'kj，Ck的增量满足ΔCk 所有小于0的a'kj满足ΔCk j a' kj ，
j
a' kj
，
所以可知Ck的变化范围为: j j max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0 a' kj a' kj
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管
理
运
筹
学
1
§1 §2
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题
§3
§4
对偶规划的基本性质
对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管
理
运
筹
学
3
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，Xk是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系，所以当 ck 变成 ck ck 时，在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的 目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，
管 理 运 筹 学
7
＝cB1a1 j＋cB 2 a2 j＋（ck＋ ck）ak j＋cBm am j ＝cB1a1 j＋cB 2 a2 j＋ck akj＋cBm am j＋ ck ak j ＝z j＋ ck ak j
管
理
运
筹
学
8
根据上式可知检验数 了 , 且有： j
学
6
j , a2 j , , akj , amj )T z j (cB1 , cB 2 , , ck , cBm )(a1 a1 j 变成了 zj (cB1 , cB 2 , , ck＋ ck , cBm ) akj a mj
管
理
运
筹
学
35
下面我们研究当右端项 b j 发生变 化时，在什么范围内其对偶价格不变
由于 b j 的变化并不影响系数矩阵的迭
代，故其最终单纯形表中的系数矩阵没有
变化。要使对偶价格不变，只要原来最终 单纯形表中的所有 z j 值都不变化。
管
理
运
筹
学
36
而 z j cB p j , 这样当基变量的系数不变， 即基不变时，原线性规划问题的对偶价 格就不变。而要使所有基变量不变，只 bj 要使当 变化时，原来的基不变得到的 基本可行解仍然是可行解，也就是所求 的基变量的值一定要大于0。
量Δc3≤50时，最优解不变。
再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏
度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’ 50 和 a13’大于0， a15’小于0，可知 3 50, 有:
a13 1
管
理
运
筹
学
15
j ' max a 1 j 0 max 50 50，同理 a '1 j j ' 5 有： min a 1 j 0 min 50. a '1 j a '15
数量。因此可知约束条件的对偶价格与松弛 变量（或剩余变量，或人工变量）的 z j 值 有关系，下面仍以上面的题为例在单纯形表 中找到约束方程的对偶价格。
此题的求解结果与最终单纯形表如下：
管 理 运 筹 学
20
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
13
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50
250
27500 CJ -ZJ -50
管
理
运
筹
学
14
我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3 进行灵敏度分析。这里σ3=-50，所以当c3的增
j ( j 1, 2, m) 变成
j c j z j
c j ( z j ck akj ) (c j z j ) ck akj j ck akj
26
这时与其对应的约束条件譬如说设备台时 数全部用完了，只有当 c j
j , 即 c j z j
时，对应为非基变量的松弛变量要变成入基变 量了。
对于设备台时数约束来说，当其松弛变量
的价格指标从0变到50时，也就是只要当前余 下一台时数设备从不能获利变成获利50元时，
( B, I ) ( I , B )，因此也有： ( B , － I ) ( I , －B )
因此，在初始单纯形表里的系数矩 阵中的单位矩阵正好变成了B1. 如上例 的最终单纯形表如下：
管 理 运 筹 学
33
1
1
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
管
理
运
筹
学
4
只是 ck变成了 ck ck . 这时 k ck zk 就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k 即可.
管
理
运
筹
学
5
2. 在最终的单纯形表中， k 是基变量 x 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
必然存在一个检验数大于0，我们可
以通过迭代来得到新的最优解。
管
理
运
筹
学
18
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标项的灵敏度分析是指： 约束方程中常数项在什么范围内变化
时，其对偶价格不变。因此我们首先
应从单纯形表格中找到有关对偶价格
的信息。
管 理 运 筹 学
19
所谓对偶价格是指：约束条件的常数项
增加一个单位而使得目标函数值得到改进的
管
理
运
筹
学
30
约束 条件 ≤
对偶价格的取值
等于这个约束条件对应的松弛变量的
z j 值。
≥ =
等于这个约束条件对应的剩余变量的 z j值的相反 数，即 z j .
等于这个约束条件对应的人工变量的 z j 值。
管
理
运
筹
学
31
其次，我们已知单纯形法的实质是:
令 A ( B, N ) ，
Ax b
S2 0
S3 0
b
50 50
250
X1 S2 2
C’1 1 0 0
0 0
1 100 0
管 理 运
1 -2
0 C’1 - C’1
筹 学
0 1
0 0 0
-1 1
1 -C’1+100 C’1-100
X2 100 0 ZJ CJ -ZJ C’1 0
17
从σ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并 且从σ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，
如在最优解中S2 =50是基变量，即原 料A有50千克没用完，再增加A原料是不 会增加利润的，故A的对偶价格为0。
管
理
运
筹
学
24
我们知道对于任何的松弛变量它在目标函 数中的系数 c j 0, 而在最终的单纯形表上若松 弛变量为基变量时，都有其检验数 j 0, 那 么为松弛变量的 z j 也为零，因为 z j c j j 0, 这正确反映了对任何为基变量的松弛变量所对 应的约束条件的对偶价格为零。
量的 z j 有关了。这将使得最优目标值特
别“恶化”而不是改进，故这时约束条 件的对偶价格应取 j z
管 理 运 筹
值的相反数 z j .
学
29
对于含有等于号的约束条件，其约束
条件的对偶价格就和该约束方程的人工变
量有关了。其约束条件的对偶价格就等于
此约束方程的人工变量的
zj
值。
下表给出了一个由最终单纯形表对于 不同约束类型的对偶价格的取值。
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1 , cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 cB (cB1 , cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则：
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
管
理
运
筹
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50
250
27500 CJ -ZJ -50
管
理
运
筹
学
34
由上表可知：
1 1 B 2 0
0 1 0
迭代
1 1 1
同时还可以知道： b B 1b. b
管 理 运 筹 学
11
也就是说，要使得最优解不变， 对于除了a'kk以外的 所有大于0的a'kj，Ck的增量满足ΔCk 所有小于0的a'kj满足ΔCk j a' kj ，
j
a' kj
，
所以可知Ck的变化范围为: j j max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0 a' kj a' kj
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管
理
运
筹
学
1
§1 §2
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题
§3
§4
对偶规划的基本性质
对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管
理
运
筹
学
3
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，Xk是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系，所以当 ck 变成 ck ck 时，在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的 目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，
管 理 运 筹 学
7
＝cB1a1 j＋cB 2 a2 j＋（ck＋ ck）ak j＋cBm am j ＝cB1a1 j＋cB 2 a2 j＋ck akj＋cBm am j＋ ck ak j ＝z j＋ ck ak j
管
理
运
筹
学
8
根据上式可知检验数 了 , 且有： j
学
6
j , a2 j , , akj , amj )T z j (cB1 , cB 2 , , ck , cBm )(a1 a1 j 变成了 zj (cB1 , cB 2 , , ck＋ ck , cBm ) akj a mj
管
理
运
筹
学
35
下面我们研究当右端项 b j 发生变 化时，在什么范围内其对偶价格不变
由于 b j 的变化并不影响系数矩阵的迭
代，故其最终单纯形表中的系数矩阵没有
变化。要使对偶价格不变，只要原来最终 单纯形表中的所有 z j 值都不变化。
管
理
运
筹
学
36
而 z j cB p j , 这样当基变量的系数不变， 即基不变时，原线性规划问题的对偶价 格就不变。而要使所有基变量不变，只 bj 要使当 变化时，原来的基不变得到的 基本可行解仍然是可行解，也就是所求 的基变量的值一定要大于0。
量Δc3≤50时，最优解不变。
再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏
度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’ 50 和 a13’大于0， a15’小于0，可知 3 50, 有:
a13 1
管
理
运
筹
学
15
j ' max a 1 j 0 max 50 50，同理 a '1 j j ' 5 有： min a 1 j 0 min 50. a '1 j a '15
数量。因此可知约束条件的对偶价格与松弛 变量（或剩余变量，或人工变量）的 z j 值 有关系，下面仍以上面的题为例在单纯形表 中找到约束方程的对偶价格。
此题的求解结果与最终单纯形表如下：
管 理 运 筹 学
20
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
13
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50
250
27500 CJ -ZJ -50
管
理
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筹
学
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我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3 进行灵敏度分析。这里σ3=-50，所以当c3的增
j ( j 1, 2, m) 变成
j c j z j
c j ( z j ck akj ) (c j z j ) ck akj j ck akj