第6 单纯形法的灵敏度分析与对偶

迭代 基变量 CB X1
次数
50
X1
50 1
S2
00
X2
S1
100 0
01
0 -2
10
100 50
Cj-Zj
0
0 -50
S2
S3
00
0 -1
11
01
0 50
0 -50
b
50 50 250 27500
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§1 单纯形表的灵敏度分析
我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3进行灵敏度分析。 这里δ3=-50，所以当c3的增量Δc3≤50，最优解不变。 再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除a11’外,系数 a13’大于
= Zj + Ck a’Kj
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§1 单纯形表的灵敏度分析
根据上式可知
检验数 j(j=1,2,…..,m)变成了 ’j,有 ’ j=Cj-Z’j= j - CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当j
k时， ’j <=0
δ j ΔCka'kj 0, ΔCka'kj δ j
当a'kj 0时, ΔCk
0
-50
S2
S3
0
0
0
-1
1
1
0
1
0
50
0 -50
b
50 50 250 27500
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应约束条 件的对偶价格。在最优解中S2 =50是基变量，即为，原料A有50千克没 用完，再增加A原料是不会增加利润的， A的对偶价格为0。对于任何 为基变量的松弛变量所对应的约束条件的对偶价格为0。
那么如果c1’取值超出这个范围，必然存在一个检验数 大于0，我们可以通过迭代来得到新的最优解。
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§1 单纯形表的灵敏度分析
二、约束方程中常数项的灵敏度分析
迭代 基变 次数 量
2
X1
S2
X2
Zj
Cj -Zj
CB X1 50
50 1 00 100 0
50
0
X2
S1
100
0
0
1
0
-2
1
0
100 50
，满足ΔCk
δj a'kj
，所有小于0的a'kj
满足ΔCk
δj a'kj
，所以可知ΔCk的变化范围为
Max
δj a'kj
a'kj
0
ΔCk
Min
δj a'kj
a'kj
0
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§1 单纯形表的灵敏度分析
例：
目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300
2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下
0，
a15’小于0，可知
3 a13
50 1
50
，有
max
j a'1 j
a
' 1
j
0 50
。同样有
min
j a'1
j
a
' 1
j
0
50
。这样可以知道当-50≤Δc1≤50时，也就是x1的
目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
在最终的单纯形表中，用C’1代替原来的C1=50,计算得表
cj
b
xB cB x1
x2
x3
x4
x5
x1
1
30
x5
-1
10
zj
cj-zj
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§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量
Ck Ck+ Ck ， CB不变，Zk也不变，这时 K’= Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的最优解仍为最 优解，
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§1 单纯形表的灵敏度分析
迭代 基变量 CB
X1
X2
S1
S2
S3
次数
b
50 100
0
0
0
X1
C’1 1
0
1
0
-1
50
S2
0
0
0
-2
1
1
50
2
X2
100 0
1
0
0
1
250
Zj
C’1 100
C’1
0
-C’1+100
Cj -Zj
0
0
- C’1
0
C’1-100
从δ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并且从δ5≤0，得 到c1’≤100。
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程
单纯形法的矩阵描述
max Z = CX
max Z = CBXB + CNXN
s.t. AX = b
s.t. B·XB+N·XN=b
X≥0
XB,XN ≥0
则XB=B-1(b-NXN)=B-1b-B-1NXN
代入 Z = CBXB+CNXN
= CB(B-1b-B-1NXN)+CNXN
= CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
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§1 单纯形表的灵敏度分析
可以看出，上题中对于设备台时数约束来说，当其松弛变量在目标函数
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。 对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时
δj a'kj
,这里 δj a'kj
0;
当a'kj 0时, ΔCk
δj a'kj
,这里 δj a'kj
0;
当j
k时，δ'k
Ck
ΔCk
Zk
'
Ck
ΔCk
Zk
ΔCk
a'kk
,因为X
是基
K
变量，
知δk 0，a'kk 1，可知δ'k 0。
要使得最优解不变，对于除了a'kk
以外的所有大于0的a'kj
只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤ - K
2.在最终的单纯形表中， X k是基变量
当Ck变成Ck+ Ck时，最终单纯形表中约束方程的增广矩阵不变，但是基
变量的目标函数的系数CB变了，则Zj(j=1,2,…..,n)一般也变了，不妨设 CB=(CB1, CB2…, Ck,…， CBm),
令XN=0，则 XB= B-1b Z = CBB-1b
若B-1b ≥0，则 X=(B-1b,0)是一个基本可行解。
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单纯形法的矩阵描述
EX：已知线形规划问题：
Max Z = 5x1+2x2+3x3
s.t. x1+5x2+2x3 ≤b1
x1-5x2-6x3 ≤b2
x1,x2,x3 ≥0 对于给定的非负常数b1 ，b2，其最优单纯形表如下， 请完成该表，并求出b1 ，b2。
当CB变成=(CB1, CB2。。。,Ck+ Ck,…,CBm),则：
Zj=(CB1, CB2。。。, Ck,…， CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj)T Z’j=(CB1, CB2。。。, Ck+Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj)T