第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2007-10-15
目标:min f=300y1+400y2+250y3
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法灵敏度分析与对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1(解：(l)cl?24⑵ c2?6(3)cs2?82(解：(1)cl??0.5(2)?2?c3?0(3)cs2?0.53(解：(1)bl?250(2)0?b2?50(3)0?b3?1504(解：(1)bl??4(2)0?b2?10(3)b3?4最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B???最优解变为xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,最小值变为-78;?0, x2?14, x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl6(解：⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
(3)0?b2?45o(4)最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。
7.解：⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为max z?2.5xl?2x2?3x3约束条件:8xl?16x2?10x3?35010xl?5x2?5x3?4502xl?13x2?5x3?400xl,x2,x3?0解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万ye©(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
(3)B食品的加工工序改良之后，仍不投产B,最大利润不变;若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中xl?14.167,x2?0, x3?ll, x4?31.667;(4)若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中xl?ll,x2?0, x3?7.2, x4?38;所以建议生产乙产品。
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
对偶问题的单纯形法
对偶问题的单纯形法嘿，朋友！你知道对偶问题的单纯形法吗？这可是线性规划里非常重要的一个概念啊！简单来说，对偶问题就是和原问题相对应的另一个问题。
就好像一个事物的两面一样。
那为什么我们要研究对偶问题呢？这可太有用啦！通过研究对偶问题，我们能从不同的角度去理解和解决线性规划问题。
而对偶问题的单纯形法呢，就是专门用来解决对偶问题的一种方法。
它就像是一把钥匙，能打开对偶问题这扇神秘的大门。
比如说吧，假设有个工厂，它要考虑如何安排生产来达到利润最大化。
这就是原问题。
但同时呢，从资源的角度来看，也存在一个对偶问题，就是如何分配资源才能让资源的价值最大化。
我们用对偶问题的单纯形法来解决的时候，就像是在一个迷宫中寻找最佳路径。
我们从一个初始的解开始，逐步调整，就像在迷宫中探索，直到找到最优解。
举个具体例子吧，有个企业要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品需要2 个单位的资源 1 和 3 个单位的资源 2，生产 B 产品需要 3 个单位的资源1 和 2 个单位的资源 2，资源 1 有 10 个单位，资源 2 有 15 个单位，A 产品的利润是 5 元，B 产品的利润是 8 元。
那怎么安排生产能让利润最大呢？这就是原问题。
然后对应的对偶问题就是，资源 1 和资源 2 分别有多大的价值呢？用对偶问题的单纯形法，我们就能逐步找到答案。
哎呀，这可真是个神奇的方法！它不是那种死板的、一成不变的方法，而是充满了灵活性和智慧。
就像下棋一样，每一步都要精心考虑。
你想想看，如果我们能熟练掌握对偶问题的单纯形法，那在面对各种实际问题时，不就像是有了一把利器，可以轻松地披荆斩棘吗？这难道不令人兴奋吗？朋友，好好去研究对偶问题的单纯形法吧，它会给你带来意想不到的收获哦！。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
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分析
灵敏度分析与对偶理论
min f 300 y 1 400 y 2 250 y 3 1 y 1 2 y 2 50 y 1 y 2 y 3 100 y1 , y 2 , y 2 0
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
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X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
2 +（2/3） λ
CBB-1b =（19，50）
1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的
对偶价格是13/3。
！ 注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料）
2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料）
x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0
►◄
其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3
0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即：
B-1b = 2/3 -10/3 18+λ = 2 +（2/3） λ ≥ 0
变
可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
原来的基仍为最优基？
解： 原最终单纯形表为
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
3.检查对偶问题是否仍为可行解；
4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
原问题 对偶问题
可行解 可行解 可行解 非可行解 非可行解 可行解 非可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型
对偶价格的取值
≤
等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值
≥
等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值
的相反数
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解： 设 C1 = 9 + λ
则有：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9+λ 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj λ–4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
不影响 C – CBB-1A ≤ 0 b
改
最优解 XB= B-1b 将求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。
在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品，
（ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为：
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题 三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；
b B 1 b
P j B 1 P j
m
j c j
a ij y i
j 1
2.检查原问题是否仍为可行解；
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过
改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
（1） B-1b ≥ 0
（2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
不影响 B-1b ≥ 0 C 改
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
2 +（2/3） λ
CBB-1b =（19，50）
1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的
对偶价格是13/3。
！ 注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料）
2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料）
x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0
►◄
其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3
0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即：
B-1b = 2/3 -10/3 18+λ = 2 +（2/3） λ ≥ 0
变
可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
原来的基仍为最优基？
解： 原最终单纯形表为
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
3.检查对偶问题是否仍为可行解；
4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
原问题 对偶问题
可行解 可行解 可行解 非可行解 非可行解 可行解 非可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型
对偶价格的取值
≤
等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值
≥
等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值
的相反数
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解： 设 C1 = 9 + λ
则有：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9+λ 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj λ–4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
不影响 C – CBB-1A ≤ 0 b
改
最优解 XB= B-1b 将求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。
在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品，
（ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为：
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题 三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；
b B 1 b
P j B 1 P j
m
j c j
a ij y i
j 1
2.检查原问题是否仍为可行解；
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过
改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
（1） B-1b ≥ 0
（2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
不影响 B-1b ≥ 0 C 改