教育第五章 线性规划问题的灵敏度分析
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7灵敏度分析习题
3、求b1、b2、b3的灵敏度范围
对b的灵敏度分析可以利用公式：
b'i b'i max a'i ,n k 0 bk min a'i ,n k 0 a'i ,n k a'i ,n k
4 2 23 max b1 min , 2 / 3 4 / 3 1/ 3 65 25 b1 2
我们考虑如下几种互相独立的情况，看一看 如何应用上面几节讨论的结论 如果第2种生产方法的每批成本提高到21元,问是 否会改变最优解?
解:
19 7.5 0.5 8 44 max , , c2 min , 1.4 0.5 0.3 0.2 0.6 1.67 c2 40, 28.33 c2 70
由于n=3，所以b2对应x5，所以有：
2 max b2 1
2 b2
58 b2
Cj→ CB 21 0 9 XB X1 X5 X2 Cj-Zj B 4 2 23 21 X1 1 0 0 0 9 X2 0 0 1 0 4 X3 1/3 -2/3 1/3 -6 0 X4 2/3 -4/3 -1/3 -11 0 X5 0 1 0 0 0 X6 1/3 1/3 -2/3 -1
产量 品种 A 产 品数 量 B 产 品数 量 C 产 品数 量 耗费 资源 工 人工时 (小时 ) 机 器工时 (小时 ) 每 组生产 费用 (元 ) 组别 I II III IV V 资 源限制 组别 I II III IV V 单 位售价 (元 )
3 6 2
2 1 6
4 2 5
4 1 1
线性规划-灵敏度分析
若进一步问： 1）当原材料涨价或产品价格发生变化时，原最优生产计划变否？ 2）若在生产中采用了新的工艺，产品对原材料的消耗发生了变化，原最优生产 计划变否？ 3）为适应市场需要，管理者可能会生产新的产品或停止生 产某种产品，原最优 生产计划变否？
二、灵敏度分析的定义 研究数学模型某些系数的变化对最优解的影响及其影响程度的分析称为灵 敏度分析（Sensitivity Analysis）或优化后分析。
1 1
B 1b 故：原最优基不变，但最优解变为： X 5 1 0 0 0 T 0 1 b 2） 设： b b 1 3 3
要使原最优基不变，就要有： B-1b≥ 0 ，
4 1 b1 B b 1 1 3 0
5）是否有更好的增加资源的方案，实际上是问：①应增加哪种资源？②花多大代价增 加这种资源? ③最佳增量是多少？ ① 资源甲的影子价格 y1 = 5 > 1 ＝ y2 资源乙的影子价格，故应首先考虑增加资源甲。 ② 单位资源增量所支付的费用应< 资源的影子价格，即：单位费用< 5 才合算。 ③ 最佳增量应满足：
三、灵敏度分析的内容
1 当线性规划模型系数中的一个或几个发生变化时，已经求得的最优解是否会 发生变化？ 2 线性规划模型的系数在什么范围内变动时，原来的最优解不变？
3 当线性规划模型系数的变化时，已经引起原最优解的变化时，如何才能尽快
求出新的最优解？
四、灵敏度分析的理论依据及方法
记最优基矩阵为B，最优解： 最优值： X = B－1b z = CB B－1b 与b无关 与b、C无关 与C无关
4 1 1 / 3 1 0 即： N ' 1 0 0 c 1 ' 3 1 1 7 / 3 0 1 0时，原最优解不变 N ' c1 '5 4c1 '3 c1 '3 0
第五章线性规划问题的灵敏度分析
2 CB XB b x1 2 X1 3 1 0 x4 4 0 3 x2 3 0 OBJ=15 cj-zj 0
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划的灵敏度分析
资源有剩余，在 最优解中就有对 应松弛变量存在， 且其影子价为 0
影子价为 0， 资源并不一定有 剩余
4
5.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分
析cj 允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况:
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
zj-cj 3.25 0 2.75 0 0 0.25 1
c c j k
由于基变m量对应的价值系数 cj 在CB中出现，
2 基变量 zj zj (cjk c因jki )此ai它j 会影c响jk a所ij 有非cj基k a变kj (量z的j 检验zj数) 。
5.4 （技术系 数 aij 的灵敏 度分析）暂不 讲授(转5.5）
技术系数aij变化的影响比较复杂
对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
3
z8c8 qiai8c8(5040.2 531)9 i1
50
结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入基变量进行迭代。 （过程学生完成）
17
5.6 新增约束 条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件
(x)
b
i
i1
(C
B
线性规划(5)
若要保证最优解不变，必须有：-5+0.5a≤0，a≤10 -15-1.5a≤0，a≥-10 即-10≤a≤10，c1在[40,60]之间变化，最优解不变。 仍为：x1=15,x2=20;但最优值将随着c1的增大而增大；缩小而 缩小。那么c2=30在多大范围内发生变化，最优解不变？
2、b1=120，问b1在多大范围内发生变化最优基不变，最优 解和最优值是否发生变化？ 设b1变化为b1+a， 由最终单纯形表和初始单纯形表可以看出，基矩阵B和B-1分别为：
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
xB
0 5 4
X3 25 X1 35 X2 10 cj
松弛变量的检验数对应着对偶问题的最优解。
而且是这三种资源的影子价格。
即∶资源一的影子价格为=y1=-c3=0
资源二的影子价格为=y2=-c4=1 资源三的影子价格为=y3=-c5=3
分析∶资源一的影子价格为0，说明增加这种资源
引例：生产计划问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产 桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油 漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大？
2 1 5 5 1 B 1 1 * 3 3 2 3 2 2
C3 X3 -1 2 0 X4 1 -1/2 -5 0 X5 -2 3/2 -15 20 15 1350 b
C3-70
若希望生产书柜，那么就需要把X3变为基变量，则要求 C3-70 ≥0， 即C3 ≥70元生产书柜有利。
第5章 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数的变化分析
由最优单纯形表可得
3 1 B p3 , p1 2 1 ,C 2 6 5 4 0 0,C B 5, 2 0 1 1 3 1 1 2 B 1 A 1 1 0 6 2 3
5.1 目标函数中价值系数的变化分析
其中， xi (i 1,2) 分别表示生产 1 产品和 2 产品的数量。用图解法如 图 5-1 所示求得最优解 B( x1 50, x2 250 ) ，即生产 1 产品 50 单位，生 产 2 产品 250 单位可以获得最大利润。假设两种产品中的某一产品的单位 利润增加或减少时，为了获取最大利润，就有可能增加或减少这一产品的 产量，也就是改变最优解。实际上产品利润在一定范围内变化时，整个线 性规划的最优解是不会变化的， 即仍然生产 50 单位的 1 产品和 250 单位的 2 产品而获利最大。当然其中某一产品利润变化超出一定范围的话，最优 解就会受到影响了。用图解法可以确定这一变化的范围，即确定其变化的 上限和下限。
用单纯形法可求得最优单纯形表如表 5-2 所示
5.1 目标函数中价值系数的变化分析
表 5-2 最优单纯形表
XB
x3
x1
0
x2
1
x3
1
x4
3 2
x5
1 -2
x6
-1
b
5
x1
1
1
0
6 -1 2
3
11
j
0
-1
0
-1
-1
47
最优方案是产品 A 生产 11 吨， 产品 C 生产 5 吨， 产品 B 和 D 不生产， 最大利润为 47 千元。
5.1 目标函数中价值系数的变化分析
第5章(灵敏度分析与参数规划)
-1 z -14 0
0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
c2 -3/2 -1/8 0 0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
0
-1.5- c2/8 c2/2 -1/8
0
试以表5.1为例，当基 变量 x2 的系数 c2 变化 c2 时，在原最优解不变的条
灵敏度分析与参数规划
max z=2x1+3x2
s.t.
x1+2x2 ≤8
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1 , x2 ≥0
max z =2x1+3x2
s.t. x1+ 2x2 +x3 = 8
4x1
+x4 = 16
4x2
+x5 = 12
x1, x2 , … , x5≥0
5-4
灵敏度分析的意义
在生产计划问题的一般形式中，A 代表企业的技术状 况，b 代表企业的资源状况，而 C 代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
5-13
基变量系数cr变化的分析算例
cj
2 3+c2 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 4 1 0 0 1/4 0
0 x5 4 0 0 -2 1/2 1
3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0
-1 z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
2 x1 4 1 0 x5 4 0 3 x2 2 0 -1 z -14 0 2 x1 4 1 0 x5 4 0 3+c2 x2 2 0
0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
c2 -3/2 -1/8 0 0 0 1/4 0
0 -2 1/2 1
1 1/2 -1/8 0
0
-1.5- c2/8 c2/2 -1/8
0
试以表5.1为例，当基 变量 x2 的系数 c2 变化 c2 时，在原最优解不变的条
灵敏度分析与参数规划
max z=2x1+3x2
s.t.
x1+2x2 ≤8
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1 , x2 ≥0
max z =2x1+3x2
s.t. x1+ 2x2 +x3 = 8
4x1
+x4 = 16
4x2
+x5 = 12
x1, x2 , … , x5≥0
5-4
灵敏度分析的意义
在生产计划问题的一般形式中，A 代表企业的技术状 况，b 代表企业的资源状况，而 C 代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
5-13
基变量系数cr变化的分析算例
cj
2 3+c2 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 4 1 0 0 1/4 0
0 x5 4 0 0 -2 1/2 1
3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0
-1 z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
2 x1 4 1 0 x5 4 0 3 x2 2 0 -1 z -14 0 2 x1 4 1 0 x5 4 0 3+c2 x2 2 0
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（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (cj cj)zj 0 故有cj (cj zj)
6
例5.1
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容： (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; (2) 增加约束或变量的影响分析；
3
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’
设x4的价值系数增加c4，对应k=2（第二行）
ma x32.25 ,01.25c4mi n 2.2 75 , 1 1 0.25 c41, 3.75 c45
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
9
例2：maxf (x) (21)x1 (32)x2
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1,x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
c3 2.75, c3 5.75
7
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
• 由于基变量对应的价值系数在CB不中考出虑现，ark因=0此的它情会况影，响因所为当
5
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj
允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
2x1 3x2 12
s.t.
4x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
10
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
原问题 对偶问题 可行 可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行
迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行
迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表进行求1解2
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0 • b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
a' 1, n 1
a' 1, n i
a' 1,n m
设
B 1
a' k ,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a
'
mLeabharlann ,n1a' m,ni
a' m,nm
b b1, b2 , , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
XB B 1b b 0
有非基变量的检验数
ark=0时，cj的变化不影响zk，
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，同变时化因量为基 c变j 量检验数始终
• 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变为量0，xj 机不会考成虑本其的变变化化。
m
m
zj zj (ci ci)aij ciaij ciakj
i1
i1
要满足cj (zj zj ) 0, 则有cj zj akjck
max1/12c1 min11//55 2c1 1, 0c1 3
max
1/ 5 1/ 5
c2
1 c2, 2 c2
11
5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。
大家好
1
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
• 哪些参数容易发生变化:C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
2
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
4
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
zj
akj
akj
0
ck
cj zj akj
akj
0
为保证所有非基验 变数 量仍 检满足最优 , 有条件
maxcj zj j akj
akj 0cj'
mincj zj j akj
akj 0
8
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
13
x
当a '
B
'B
1
i,nk
(b
0,
则 b )有 B
1b
当 Ba'i,n1k
b
0,
则 b ' 有 B 1
b
0
bi bb12'a' 'i,bnk'kB
b
' m
1
0
b
k
0
bbbi12'' a'i,bnk'kb
要保持 (cj cj)zj 0 故有cj (cj zj)
6
例5.1
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容： (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; (2) 增加约束或变量的影响分析；
3
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’
设x4的价值系数增加c4，对应k=2（第二行）
ma x32.25 ,01.25c4mi n 2.2 75 , 1 1 0.25 c41, 3.75 c45
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
9
例2：maxf (x) (21)x1 (32)x2
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1,x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
c3 2.75, c3 5.75
7
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
• 由于基变量对应的价值系数在CB不中考出虑现，ark因=0此的它情会况影，响因所为当
5
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj
允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
2x1 3x2 12
s.t.
4x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
10
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
原问题 对偶问题 可行 可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行
迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行
迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表进行求1解2
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0 • b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
a' 1, n 1
a' 1, n i
a' 1,n m
设
B 1
a' k ,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a
'
mLeabharlann ,n1a' m,ni
a' m,nm
b b1, b2 , , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
XB B 1b b 0
有非基变量的检验数
ark=0时，cj的变化不影响zk，
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，同变时化因量为基 c变j 量检验数始终
• 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变为量0，xj 机不会考成虑本其的变变化化。
m
m
zj zj (ci ci)aij ciaij ciakj
i1
i1
要满足cj (zj zj ) 0, 则有cj zj akjck
max1/12c1 min11//55 2c1 1, 0c1 3
max
1/ 5 1/ 5
c2
1 c2, 2 c2
11
5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。
大家好
1
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
• 哪些参数容易发生变化:C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
2
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
4
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
zj
akj
akj
0
ck
cj zj akj
akj
0
为保证所有非基验 变数 量仍 检满足最优 , 有条件
maxcj zj j akj
akj 0cj'
mincj zj j akj
akj 0
8
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
13
x
当a '
B
'B
1
i,nk
(b
0,
则 b )有 B
1b
当 Ba'i,n1k
b
0,
则 b ' 有 B 1
b
0
bi bb12'a' 'i,bnk'kB
b
' m
1
0
b
k
0
bbbi12'' a'i,bnk'kb