第五章、灵敏度分析
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05灵敏度分析
误差分析是直接验证模型计算结果与实 测值的差异， 针对一些零散值而作的， 测值的差异 ， 针对一些零散值而作的 ， 而 灵敏度分析是从另一角度考虑该模型参数 的误差大小对状态变量所引起的计算误差 和对目标函数所引起的误差的一种敏感程 和对目标函数所引起的 误差的一种敏感程 度。
下面仅介绍一下状态变量和参数的 数目都是1时的灵敏度分析 时的灵敏度分析。 数目都是 时的灵敏度分析。 若决策变量（ 污染物排放量等） 若决策变量 （ 污染物排放量等 ） 保 持不变， 则状态变量x和目标 和目标Z均可表示 持不变 ， 则状态变量 和目标 均可表示 为参数θ的函数 的函数： 为参数 的函数： x* = f (θ0) , Z* = f (θ0)
5、网格法 、 假定有n个等定参数， 假定有 个等定参数，且已知各参数 个等定参数 的取值范围， 把各搜索区间（ 取值范围） 的取值范围 ， 把各搜索区间 （ 取值范围 ） 分成若干个等分， 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值， 计算所有网格顶点上的目标函数值 ， 并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。 若精度还不够，则可再分细些。
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 Kd 常数Ka。 常数Ka。 Ka 解：首先，建立目标函数 首先，
20 k d Z ( k d , k a ) = 10 + ( e − k d (8 / 4 ) − e − k a (8 / 4 ) ) − 8 .5 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 28 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 36 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 56 ka − kd
05灵敏度分析范文
05灵敏度分析范文灵敏度分析（sensitivity analysis）是一种用于评估模型输出结果对于模型输入参数的敏感程度的方法。
它可以用来确定哪些输入参数对于模型输出结果具有最大的影响力，帮助决策者了解系统的关键因素，并为决策提供有针对性的建议。
下面将对灵敏度分析的概念、方法与应用进行详细阐述。
灵敏度分析的概念与作用：灵敏度分析是系统分析和优化的重要工具，它可以帮助我们评估模型对不确定性参数的响应情况以及模型预测结果的可靠性。
通过灵敏度分析，我们能够精确地确定模型输入参数与输出结果之间的关系，识别出哪些参数对于结果的变化贡献最大，并根据这些结果来制定战略，减小系统风险或优化决策。
灵敏度分析的方法：灵敏度分析的方法通常可以分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析两大类。
全局灵敏度分析通过考察模型输入参数对输出结果的整体影响程度，以评估参数的重要性。
常用的全局灵敏度分析方法包括Sobol指数、Morris指数、FAST方法等。
局部灵敏度分析则是针对具体的输入参数，通过改变特定输入参数的取值来评估模型输出结果的变化情况，常用的方法包括一维灵敏度分析和多维灵敏度分析。
全局灵敏度分析通常可以通过方差分解的方式进行，可以计算各个输入参数的总效应和交互效应。
Sobol指数是一种常用的全局灵敏度指数，它能够反映每个参数的直接和交互效应对于系统的总体贡献程度。
Morris指数则通过改变参数的取值范围来计算参数的局部灵敏度指数，并通过估计偏差大小来评估模型的可靠性。
FAST方法则通过建立机器学习模型来评估参数对于输出结果的贡献度。
局部灵敏度分析则更加注重于评估单个或几个参数对于输出结果的影响。
一维灵敏度分析通常是通过改变一个参数的取值来观察输出结果的变化情况，可以通过敏感度系数（sensitivity coefficient）来评估参数对输出结果的影响程度。
多维灵敏度分析则是同时考虑多个参数对输出结果的综合影响，可以通过方差分析、设计试验等方法来进行评估。
7灵敏度分析习题
3、求b1、b2、b3的灵敏度范围
对b的灵敏度分析可以利用公式：
b'i b'i max a'i ,n k 0 bk min a'i ,n k 0 a'i ,n k a'i ,n k
4 2 23 max b1 min , 2 / 3 4 / 3 1/ 3 65 25 b1 2
我们考虑如下几种互相独立的情况，看一看 如何应用上面几节讨论的结论 如果第2种生产方法的每批成本提高到21元,问是 否会改变最优解?
解:
19 7.5 0.5 8 44 max , , c2 min , 1.4 0.5 0.3 0.2 0.6 1.67 c2 40, 28.33 c2 70
由于n=3，所以b2对应x5，所以有：
2 max b2 1
2 b2
58 b2
Cj→ CB 21 0 9 XB X1 X5 X2 Cj-Zj B 4 2 23 21 X1 1 0 0 0 9 X2 0 0 1 0 4 X3 1/3 -2/3 1/3 -6 0 X4 2/3 -4/3 -1/3 -11 0 X5 0 1 0 0 0 X6 1/3 1/3 -2/3 -1
产量 品种 A 产 品数 量 B 产 品数 量 C 产 品数 量 耗费 资源 工 人工时 (小时 ) 机 器工时 (小时 ) 每 组生产 费用 (元 ) 组别 I II III IV V 资 源限制 组别 I II III IV V 单 位售价 (元 )
3 6 2
2 1 6
4 2 5
4 1 1
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
第五节 控制系统灵敏度分析
下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算 放大器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器 件，它的基本应用电路是图3-36（a）所示的反相放大 器电路。
通常，运算放大器的增益A远大于104 。由于输入阻抗
很高，所以运算放大器的输入电流可以忽略不计，因
此在节点n，可写ur出 u电n 流u关c 系un式如0 下
第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动
机。开环系统结构图如图3-37(a)所示，为了改善系统性能， 加入速度反馈如图3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在 表3.6中给出。
参数名 Ra Km J
B Ke Ka Ks
参数值 1 10 2 0.5 0.1 54 1
从图中可以看出，系统有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)两个
GB(s)=C(s)/R(s)
则，灵敏度定义为
S GB (s) / GB (s) GB (s) G(s) G(s) / G(s) G(s) GB (s)
取微小增量的极限形式，则式(3.77)成为
S GB (s) G(s) G(s) GB (s)
(3.77) (3.78)
输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考虑
两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用， 可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此时只有干扰ML(s)起作用。 相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令ML(s)=0。 如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号ML(s)对输 出w (s)的影响就应该很小，下面就来验证此结论。
考虑到C(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
R(s,)则输出的改变就是：
C(s)
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
线性规划的灵敏度分析
资源有剩余，在 最优解中就有对 应松弛变量存在， 且其影子价为 0
影子价为 0， 资源并不一定有 剩余
4
5.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分
析cj 允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况:
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
zj-cj 3.25 0 2.75 0 0 0.25 1
c c j k
由于基变m量对应的价值系数 cj 在CB中出现，
2 基变量 zj zj (cjk c因jki )此ai它j 会影c响jk a所ij 有非cj基k a变kj (量z的j 检验zj数) 。
5.4 （技术系 数 aij 的灵敏 度分析）暂不 讲授(转5.5）
技术系数aij变化的影响比较复杂
对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
3
z8c8 qiai8c8(5040.2 531)9 i1
50
结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入基变量进行迭代。 （过程学生完成）
17
5.6 新增约束 条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件
(x)
b
i
i1
(C
B
最优化方法Lecture5 灵敏度分析
0 cr cr 0
目标函数值 cB cB B1b cB B1b cB B1b
cB B1b cr br
cr变为cr’ 后，只要把原单纯形表中xr所在的行乘以(cr’-cr)加到
判别数行，并使xr对应的判别数为0，继而可用单纯形法继续做下去。
例：min x1 2x2 x3 s.t x1 x2 x3 4 3x1 2x2 6 xj 0 j 1,2,3
2. 基列Pj→Pj’ 重新计算
练习题
一个LP问题为 min z 10x1 16x2 x3
s.t
x1 2x2 x3 2 2
x1 x2
4
x j 0, j 1, 2,3
其中 0,求：
1）当 0 时，求解上述LP问题；
2） 在什么范围内变化，原问题的最优性不变。
有两个LP问题如下：
5 0 2 1 14
-3+5 0 -3+5 0 -8+20
x* 0, 0, 4, 6T
fmin 4
x3 1 1 1 0 4 x4 3 -2 0 1 6
0 -2 0 0 4
问题：c2在什么范围变化时，最优解不变？
二、改变右端向量b
设b→b’,而且改变前的最优基矩阵为B
1. B1b ' 0 此时，原来的最优基仍为最优基，
x1 x2 x3 x4 x3 1 1 1 0 4 x4 3 -2 0 1 6
0 3 0 04
最优表为：
x1 x2 x3 x4 x2 1 1 1 0 4 x4 5 0 2 1 14
-3 0 -3 0 -8
x* 0, 4, 0, 14T
fmax 8
x1 x2 x3 x4
x3 1 1
1 04
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第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵敏度分析
我们前面讨论的线性规划问题，其目标 函数系数，约束系数和约束常数都是确定的 常数，但实际问题中，由于各种因素的影响， 这些常数是有变化的。例如产品的需求量、 产品的售价、原材料和能源的价格以及资源 的供应量等的变动，从而引起
c j 和 bi
a
的值的变化，工艺条件的改变， ij 的值就发 生变化。
a
i 1
m
ij i
y
当 C j 变为 C j j 后， 要保证最终表中这个检验数仍然小于或
j C j j C B B 1 P j 0 等于零，即
那么，
j j
才能满足原最优解条件。这就可以确定
Cj
的
变化范围。
（1） 若 C j 是基变量 x j 的系数，由于 C j CB ，当 C j 变化 j 时，就引 起了 CB 的变化。这时
C1 这样如上所分析，可知：当-1≤ ≤0 时，顶点 B C2
仍然是最优解，为了计算出C1 在什么范围内变化时最优解 不变，我们假设单位产品Ⅱ的利润为 100 元不变，即
C2 100；则有
C1 -1≤≤0 100
C 0≤ 1 ≤100
也即只要当单位产品Ⅱ的利润为 100 元， 单位产品Ⅰ的 利润在 0 与 100 元之间变化时， 顶点 B x1 50, x2 250 ） （ 仍然是最优解。
优解、最优值不变。
2、基变量的系数有波动
设 C1 有波动为 ，令C1 2 ，同样这一波动对由判别准则知
C B B 1 A C 0
从而，
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 , 6 , 5, 4 , 0 , 0 0 1 0 1 2 6 1 2 1 3 0
C B B 1 A C 0
，
即
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 6 5 4 0 0 0 1 0 1 2 1 1 0
C 从而， 1 0, 1 ，也就是当 1 或 2 7 是最优基、最
同样假设单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变， C1 50， 即 有
50 -1≤≤0 C2
50≤ C2 ≤+∞
也就是说当单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变，而单位 产品Ⅱ的利润只要大于等于 50 元时，顶点 B 仍是其最优 解。
如果当C1 和C2 都变化时，则也可以通过不等式
C1 -1≤ ≤0 来判断 B 点是否仍然为其最优解，例如当 C2
'j C j CB B 1 A j ( a j1 , a j 2 ,, a jn )
若要原最优解不变，即必须满足 'j 0 。于是得到
( 1 , 2 ,, n ) j ( a j1 , a j 2 ,, a jn ) 0
从而可以确定出 j 的范围，进而可以确定出 C j 的范围。
化为标准型：
min S ( 2 x1 6 x 2 5 x3 4 x 4 ) 3 x1 4 x 2 3 x3 x 4 x5 26 2 x1 3 x 2 2 x3 3 x 4 x 6 21 x j 0 , j 1, ,6
于是，我们面临这样的问题：当线性规划 问题的某些常数发生变化时，对已求出的最 有解有什么影响？显然，当线性规划问题的 一个或几个常数发生变化以后，原来已求得 的结果一般会发生变化。当然，可以用单纯 形法从头计算，以便得到新的解。这样做很 麻烦，而且也没有必要，因在单纯形表迭代 中，每次都和基变量的系数矩阵B有关，因 此，可以把发生变化的个别系数，经过一定 的计算直接填入最终表中，并进行检查和分 析----灵敏度分析。
产品 资源 设 备 原料 A 原料 B 利润
Ⅰ 1 2 0 50
Ⅱ 1 1 1 100
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问工厂应分别生产多少个Ⅰ产品和 Ⅱ产品才能使工厂获利最大？ 为了解决这个实际问题，我们把它归 结为数学问题来研究。 我们就得到了描述该问题的一组数学 表达式：
max Z 50x1 100x2 x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250 x1 , x2 0
二、目标函数中价值系数c 的变化分析
技术方法：用单纯形法分析 用图解法分析
j
可以分别就对应的基变量和非基变量来讨论。 若是非基变量的系数
是基变量的系数
若 c j 是非基变量x j 的系数，这时它在计算表中所对应的 检验数是 j C B B Pj C j
1
或 j C j
max{ bi
| air 0} r min{ bi
air
| air 0}
仍然依例 1 来分析常数项的波动。 无妨设b1 有波动，令b1 26 。 因b1 的波动和 B 是基和判别准则无关。 仅影 响单纯形表中的
B 1b 0 ，故只要B 1b 0 ，则 B 仍是最优基。
从图1-1中可以看出只要目标函数的斜率在 直线E（设备约束条件）的斜率与直线F（ 原料B的约束条件）的斜率之间变化时，顶 点B仍然是最优解。 如果目标函数直线逆时针旋转，当目标函 数的斜率等于直线F的斜率时，则可知直线 AB上的任一点都是其最优解。如果继续逆 时针旋转，则可知A点为其最优解。
如果目标函数直线顺时针方向旋转，当目标 函数的斜率等于直线E的斜率时，则可知直 线BC上的任一点都是其最优解。如果继续顺 时针旋转，当目标函数的斜率在直线E的斜 率和直线G的斜率之间，则顶点C为最优解。 当目标函数的斜率等于直线G的斜率时，则 直线CD上的任一点都是其最优解，如果在继 续顺时针旋转，可知顶点D为其最优解。
' 资源数量的变化是指系数r 发生变化，即 br br r 。 b
并假设线性规划问题的其他系数都不变，这样是最终表中 原问题的解相应的变化为：
' X B B 1 (b b ) ，这里 b (0,0, ,0,0) 。只要 r
' XB 0
，最终表中检验数不变，则最优基不变，但最优
用图解法或单纯形法求得最优解为：
x1 50, x2 250
我们知道生产一个单位的Ⅰ产品可以获利50元， 生产一个单位的Ⅱ产品可以获利100元，在目前的 生产条件下已求得生产Ⅰ产品50单位，生产Ⅱ产 品250单位可以获得最大利润。假设两种产品中的 某一产品的单位利润增加或减少时，我们意识到 为了获取最大利润就有可能应该增加或减少这一 产品的产量，也就是改变最优解。但是实际上这 一产品利润在一定范围内变化时整个线性规划的 最优解其实是不会变化的，即仍然生产50单位的 Ⅰ产品和250单位的Ⅱ产品而获利最大。当然其中 某一产品利润变化超出一定范围的话，最优解就 会受到影响了。我们的任务就是用简单的图解法 揭示这一变化的范围，定出其上限和下限。
用单纯形法可求得最优基 B= 表：
x1 S 47 x3 x1 5 11 0 0 1 x2 1 1 1 x3 0 1 0 x4
1 3 2 2
p 3 ,p 1
的单纯形
x5 1 2
x6 1 3
1 1
6
最优方案是产品 A 生产 11 吨，产品 C 生产 5 吨，产品 B 和 D 不生产，最大利润为 47 千元。 由最优单纯形表可得
1 1 26 5 即B b 2 3 21 11 2 0
所谓灵敏度分析: 就是在建立数学模型和求得最优解之后， 研究线性规划的一些系数变化时，对最优解 产生或最优基有什么影响？或者这些系数在 什么范围内变化时，最优解或最有基不变。 有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化 而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
一、目标函数的系数发生了变化，对最优解 会产生什么影响 二、约束条件右边的值发生了变化，对最优 解会产生什么影响 三、增加了新变量，对最优解会产生什么影 响 四、用QM软件如何分析
这 时 在 最 终 表 中 求 得 的 b 列 的 所 有 元 素
bi air r 0, i 1,2,, m 由此可得 air r bi , i 1,2, m
当 air 0 时， r 当 ir
bi
a ir
a 0时，
air
r
bi
a ir
于是得到资源系数的变化范围：
' XB
解的值发生了变化，所以
为为新的最优解。新的最优
解的值可允许变化范围用一下方法确定。
0 r B 1 (b b) B 1b B 1b B 1b B 1 0
a1r 0 a1r r B 1 r air r r air a 0 a mr r mr
即 112 1 2 或 2312 C1 5 2 时， 最优基、 最优解 不变、 最优值变。
对于两个变量的线性规划问题的灵敏度 分析，我们还可以用图解法进行
例题2 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要的设 备台时和A、B两种原材料的消耗以及资源的 限制情况，如表1-1所示：
3 1 B p3 , p1 2 1 C 2 6 5 4 0 0 C B 5, 2 0 1 1 B A 1 1 0
1 3 2
6
1 1 2 3
问题 2 如果产品 A、B、C、D 的利润有波动， 问限制在什么范围，才能是原最优解不变。 1、非基变量目标函数系数波动 对于本题非基变量为x2 , x4 无妨设 x2 的系数C 2 6 有波动，令C 2 6 ，则 这一波动对 B 是可行基无影响。 因此， 要使最优 基、最优解不变，由判别准则知
一、 什么是灵敏度分析
我们前面讨论的线性规划问题，其目标 函数系数，约束系数和约束常数都是确定的 常数，但实际问题中，由于各种因素的影响， 这些常数是有变化的。例如产品的需求量、 产品的售价、原材料和能源的价格以及资源 的供应量等的变动，从而引起
c j 和 bi
a
的值的变化，工艺条件的改变， ij 的值就发 生变化。
a
i 1
m
ij i
y
当 C j 变为 C j j 后， 要保证最终表中这个检验数仍然小于或
j C j j C B B 1 P j 0 等于零，即
那么，
j j
才能满足原最优解条件。这就可以确定
Cj
的
变化范围。
（1） 若 C j 是基变量 x j 的系数，由于 C j CB ，当 C j 变化 j 时，就引 起了 CB 的变化。这时
C1 这样如上所分析，可知：当-1≤ ≤0 时，顶点 B C2
仍然是最优解，为了计算出C1 在什么范围内变化时最优解 不变，我们假设单位产品Ⅱ的利润为 100 元不变，即
C2 100；则有
C1 -1≤≤0 100
C 0≤ 1 ≤100
也即只要当单位产品Ⅱ的利润为 100 元， 单位产品Ⅰ的 利润在 0 与 100 元之间变化时， 顶点 B x1 50, x2 250 ） （ 仍然是最优解。
优解、最优值不变。
2、基变量的系数有波动
设 C1 有波动为 ，令C1 2 ，同样这一波动对由判别准则知
C B B 1 A C 0
从而，
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 , 6 , 5, 4 , 0 , 0 0 1 0 1 2 6 1 2 1 3 0
C B B 1 A C 0
，
即
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 6 5 4 0 0 0 1 0 1 2 1 1 0
C 从而， 1 0, 1 ，也就是当 1 或 2 7 是最优基、最
同样假设单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变， C1 50， 即 有
50 -1≤≤0 C2
50≤ C2 ≤+∞
也就是说当单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变，而单位 产品Ⅱ的利润只要大于等于 50 元时，顶点 B 仍是其最优 解。
如果当C1 和C2 都变化时，则也可以通过不等式
C1 -1≤ ≤0 来判断 B 点是否仍然为其最优解，例如当 C2
'j C j CB B 1 A j ( a j1 , a j 2 ,, a jn )
若要原最优解不变，即必须满足 'j 0 。于是得到
( 1 , 2 ,, n ) j ( a j1 , a j 2 ,, a jn ) 0
从而可以确定出 j 的范围，进而可以确定出 C j 的范围。
化为标准型：
min S ( 2 x1 6 x 2 5 x3 4 x 4 ) 3 x1 4 x 2 3 x3 x 4 x5 26 2 x1 3 x 2 2 x3 3 x 4 x 6 21 x j 0 , j 1, ,6
于是，我们面临这样的问题：当线性规划 问题的某些常数发生变化时，对已求出的最 有解有什么影响？显然，当线性规划问题的 一个或几个常数发生变化以后，原来已求得 的结果一般会发生变化。当然，可以用单纯 形法从头计算，以便得到新的解。这样做很 麻烦，而且也没有必要，因在单纯形表迭代 中，每次都和基变量的系数矩阵B有关，因 此，可以把发生变化的个别系数，经过一定 的计算直接填入最终表中，并进行检查和分 析----灵敏度分析。
产品 资源 设 备 原料 A 原料 B 利润
Ⅰ 1 2 0 50
Ⅱ 1 1 1 100
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问工厂应分别生产多少个Ⅰ产品和 Ⅱ产品才能使工厂获利最大？ 为了解决这个实际问题，我们把它归 结为数学问题来研究。 我们就得到了描述该问题的一组数学 表达式：
max Z 50x1 100x2 x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250 x1 , x2 0
二、目标函数中价值系数c 的变化分析
技术方法：用单纯形法分析 用图解法分析
j
可以分别就对应的基变量和非基变量来讨论。 若是非基变量的系数
是基变量的系数
若 c j 是非基变量x j 的系数，这时它在计算表中所对应的 检验数是 j C B B Pj C j
1
或 j C j
max{ bi
| air 0} r min{ bi
air
| air 0}
仍然依例 1 来分析常数项的波动。 无妨设b1 有波动，令b1 26 。 因b1 的波动和 B 是基和判别准则无关。 仅影 响单纯形表中的
B 1b 0 ，故只要B 1b 0 ，则 B 仍是最优基。
从图1-1中可以看出只要目标函数的斜率在 直线E（设备约束条件）的斜率与直线F（ 原料B的约束条件）的斜率之间变化时，顶 点B仍然是最优解。 如果目标函数直线逆时针旋转，当目标函 数的斜率等于直线F的斜率时，则可知直线 AB上的任一点都是其最优解。如果继续逆 时针旋转，则可知A点为其最优解。
如果目标函数直线顺时针方向旋转，当目标 函数的斜率等于直线E的斜率时，则可知直 线BC上的任一点都是其最优解。如果继续顺 时针旋转，当目标函数的斜率在直线E的斜 率和直线G的斜率之间，则顶点C为最优解。 当目标函数的斜率等于直线G的斜率时，则 直线CD上的任一点都是其最优解，如果在继 续顺时针旋转，可知顶点D为其最优解。
' 资源数量的变化是指系数r 发生变化，即 br br r 。 b
并假设线性规划问题的其他系数都不变，这样是最终表中 原问题的解相应的变化为：
' X B B 1 (b b ) ，这里 b (0,0, ,0,0) 。只要 r
' XB 0
，最终表中检验数不变，则最优基不变，但最优
用图解法或单纯形法求得最优解为：
x1 50, x2 250
我们知道生产一个单位的Ⅰ产品可以获利50元， 生产一个单位的Ⅱ产品可以获利100元，在目前的 生产条件下已求得生产Ⅰ产品50单位，生产Ⅱ产 品250单位可以获得最大利润。假设两种产品中的 某一产品的单位利润增加或减少时，我们意识到 为了获取最大利润就有可能应该增加或减少这一 产品的产量，也就是改变最优解。但是实际上这 一产品利润在一定范围内变化时整个线性规划的 最优解其实是不会变化的，即仍然生产50单位的 Ⅰ产品和250单位的Ⅱ产品而获利最大。当然其中 某一产品利润变化超出一定范围的话，最优解就 会受到影响了。我们的任务就是用简单的图解法 揭示这一变化的范围，定出其上限和下限。
用单纯形法可求得最优基 B= 表：
x1 S 47 x3 x1 5 11 0 0 1 x2 1 1 1 x3 0 1 0 x4
1 3 2 2
p 3 ,p 1
的单纯形
x5 1 2
x6 1 3
1 1
6
最优方案是产品 A 生产 11 吨，产品 C 生产 5 吨，产品 B 和 D 不生产，最大利润为 47 千元。 由最优单纯形表可得
1 1 26 5 即B b 2 3 21 11 2 0
所谓灵敏度分析: 就是在建立数学模型和求得最优解之后， 研究线性规划的一些系数变化时，对最优解 产生或最优基有什么影响？或者这些系数在 什么范围内变化时，最优解或最有基不变。 有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化 而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
一、目标函数的系数发生了变化，对最优解 会产生什么影响 二、约束条件右边的值发生了变化，对最优 解会产生什么影响 三、增加了新变量，对最优解会产生什么影 响 四、用QM软件如何分析
这 时 在 最 终 表 中 求 得 的 b 列 的 所 有 元 素
bi air r 0, i 1,2,, m 由此可得 air r bi , i 1,2, m
当 air 0 时， r 当 ir
bi
a ir
a 0时，
air
r
bi
a ir
于是得到资源系数的变化范围：
' XB
解的值发生了变化，所以
为为新的最优解。新的最优
解的值可允许变化范围用一下方法确定。
0 r B 1 (b b) B 1b B 1b B 1b B 1 0
a1r 0 a1r r B 1 r air r r air a 0 a mr r mr
即 112 1 2 或 2312 C1 5 2 时， 最优基、 最优解 不变、 最优值变。
对于两个变量的线性规划问题的灵敏度 分析，我们还可以用图解法进行
例题2 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要的设 备台时和A、B两种原材料的消耗以及资源的 限制情况，如表1-1所示：
3 1 B p3 , p1 2 1 C 2 6 5 4 0 0 C B 5, 2 0 1 1 B A 1 1 0
1 3 2
6
1 1 2 3
问题 2 如果产品 A、B、C、D 的利润有波动， 问限制在什么范围，才能是原最优解不变。 1、非基变量目标函数系数波动 对于本题非基变量为x2 , x4 无妨设 x2 的系数C 2 6 有波动，令C 2 6 ，则 这一波动对 B 是可行基无影响。 因此， 要使最优 基、最优解不变，由判别准则知