第3章-线性规划的灵敏度分析与最优解的解释
最优化方法(线性规划)——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。
一、用lingo 软件求解线性规划例1：m a x 23..43103512,0z x ys t x y x y x y =++≤+≤≥在模型窗口输入：model:max=2*x+3*y;4*x+3*y<=10;3*x+5*y<12;! the optimal value is :7.454545 ;End如图所示：运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）：Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值）Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2（迭代次数）Variable （最优解） Value Reduced CostX 1.272727 0.000000Y 1.636364 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.454545 1.0000002 0.000000 0.9090909E-013 0.000000 0.5454545例2：12123124125m a x 54..39028045z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2;x1+3*x2+x3=90;2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve ）结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 215.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 35.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 25.00000 0.000000X4 0.000000 1.000000X5 0.000000 3.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 215.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 3.000000例323123234235m in 2..22312z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=-+=-+=≥在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3;x1-2*x2+x3=2;x2-3*x3+x4=1;x2-x3+x5=2;end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: -1.500000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX2 2.500000 0.000000X3 0.5000000 0.000000X1 6.500000 0.000000X4 0.000000 0.5000000X5 0.000000 0.5000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -1.500000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.5000000例4：（非线性）m in ..124x y zs t x y x z +++≤+= 在模型窗口输入：model :min =@abs (x)+@abs (y)+@abs (z);x+y<=1;2*x+z=4;@free (x);@free (y);@free(z);End求解器状态如下：（可看出是非线性模型！）运行结果为：Linearization components added:Constraints: 12Variables: 12Integers: 3Global optimal solution found.Objective value:（最优解函数值） 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Variable(最优解) Value Reduced Cost X 2.000000 0.000000Y -1.000000 0.000000 Z 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3.000000 -1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 -1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例例5：m a x 603020864842 1.5202 1.50.585,,0S x y zx y z x y z x y z y x y z =++++≤++≤++≤≤≥ 在模型窗口输入：Lingo 模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end（一）求解报告（solution report ）通过菜单Lingo →Solve 可以得到求解报告（solution report ）如下：Global optimal solution found at iteration: 0Infeasibilities: 0.000000Objective value: 280.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX 2.000000 0.000000Y 0.000000 5.000000Z 8.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.0000 1.0000002 24.00000 0.0000003 0.000000 10.000004 0.000000 10.000005 5.000000 0.000000分析Value,Reduced Cost ，Slack or Surplus ，Dual Price 的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value 所在列给出了问题的最优解。
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划(5)
若要保证最优解不变，必须有：-5+0.5a≤0，a≤10 -15-1.5a≤0，a≥-10 即-10≤a≤10，c1在[40,60]之间变化，最优解不变。 仍为：x1=15,x2=20;但最优值将随着c1的增大而增大；缩小而 缩小。那么c2=30在多大范围内发生变化，最优解不变？
2、b1=120，问b1在多大范围内发生变化最优基不变，最优 解和最优值是否发生变化？ 设b1变化为b1+a， 由最终单纯形表和初始单纯形表可以看出，基矩阵B和B-1分别为：
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
xB
0 5 4
X3 25 X1 35 X2 10 cj
松弛变量的检验数对应着对偶问题的最优解。
而且是这三种资源的影子价格。
即∶资源一的影子价格为=y1=-c3=0
资源二的影子价格为=y2=-c4=1 资源三的影子价格为=y3=-c5=3
分析∶资源一的影子价格为0，说明增加这种资源
引例：生产计划问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产 桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油 漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大？
2 1 5 5 1 B 1 1 * 3 3 2 3 2 2
C3 X3 -1 2 0 X4 1 -1/2 -5 0 X5 -2 3/2 -15 20 15 1350 b
C3-70
若希望生产书柜，那么就需要把X3变为基变量，则要求 C3-70 ≥0， 即C3 ≥70元生产书柜有利。
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如运筹学、经济学、管理学等。
在解决实际问题时，了解线性规划问题的解的唯一性与最优性是十分重要的。
本文将对线性规划的解的唯一性与最优性相关的知识点进行总结。
1. 线性规划问题的基本形式线性规划问题可用如下形式表示：\[\begin{align*}\text{目标函数：} & \text{max}\, z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots +c_nx_n \\\text{约束条件：} & \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\\ldots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \leq b_m \\\end{cases} \\\text{非负约束：} & x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0\end{align*}\]其中，目标函数为线性函数，约束条件为一组线性不等式，非负约束表示决策变量必须为非负数。
2. 解的存在性与唯一性线性规划问题的解可能存在以下情况：- 无解：约束条件相互矛盾，无法找到满足所有约束条件的解。
- 有界解：存在满足所有约束条件的解，但在此解上目标函数值无上界或下界，即目标函数值可以无限增大或无限减小。
- 无界解：在满足所有约束条件的解中，目标函数值既没有上界也没有下界，即可以一直朝着无限大或无限小的方向增加。
解的唯一性有以下情况：- 无穷多解：存在多个解能够同时满足所有约束条件且具有相同的目标函数值。
- 唯一解：满足所有约束条件的解只有一个。
3. 解的最优性解的最优性是指在满足约束条件的前提下，使得目标函数值最大或最小。
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。
This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。
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3.2 图解法灵敏度分析
逆时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更 小的负数，从而斜率变大了。直到与A重合，我们就获得 了多重最优解——在极点3和极点4之间的点都是最优点。 因此A的斜率是目标函数直线的上限。
以及
CDD=-CSS+P
D=-S(CS/CD)+P/CD
因此我们看到只要满足下列条件，极点3就仍然为最优解 点：
-3/2 ≤-CS/CD ≤-7/10
3.2 图解法灵敏度分析
为了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高级袋的利 润CD=9，代入上式得
-3/2≤-CS/9≤-7/10 从左边的不等式得到
则直线A和直线B的斜率都已经计算出来了，我们来看 保持极点3仍然为最优解点，应满足条件：
-3/2≤目标函数的斜率≤-7/10
3.2 图解法灵敏度分析
现在让我们考虑目标直线斜率的一般形式。用CS表示标
准袋的利成：
P=CSS+CDD 把上面方程写成斜截式，得到
只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对偶价格就不 会改变。右端值如果超过了这些范围，对偶价格信息会随之改变。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3.2 多系数同时变化 系统灵敏度分析的输出是基于单函数系数变化的。它假设 所有其他系数都保持不变。因此目标函数系数和约束右端 值的变化范围只能适用于单个系数发生变化的情况。然而 很多情况下，我们可能更关注两个或两个以上系数同时变 化时，目标函数将怎样变化。有些多系数同时变化的分析 可能会用到100%法则。下面分析如何应用100%法则。
顺时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更 大的负数，从而斜率变小了。直到与B重合，我们又获得 了多重最优解——极点3和极点2之间都是最优点。因此B 的斜率是目标函数直线斜率的下限。
因此，极点3总是最优解点，只要直线B的斜率≤目标函 数直线的斜率≤直线A的斜率
3.2 图解法灵敏度分析
根据直线A和直线B的表达式，可以算出A的斜率是 -7/10，截距是630。B的斜率是-3/2，截距是1062。
3.2 图解法灵敏度分析
观察最优范围，我们得出结论，无论是CS升高到13美 元还是使CD降低到8美元（但不是同时改变），都不会带 来最优解的变化。但当CS与CD同时改变时，目标函数斜率 的变化导致了最优解的变化。这个结论强调了这样一个事 实：仅仅是通过最优范围，只能用于判断在一次改变一个 目标函数系数的情况下最优解的变化。
从上述数据中，我们可以看到束缚性约束条件（切割与印染和成型） 在目标函数的最优下，松弛为0。缝合部门有120小时的松弛或未使用 的缝合能力，检查与包装部门有18小时的松弛。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3 灵敏度分析：计算机求解
这里，约束条件1（切割与印染）和约束条件3（成型） 的非零对偶价格分别为4.37和6.94。这告诉我们，每额外 增加1小时的切割与印染时间会使最优解增加4.37美元， 每增加1小时成型时间会使最优解增加6.94美元。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪个更能左右 最优解。
比如，管理层认为高级袋的利润9美元只是一个估计量， 如果通过灵敏度分析得到高级袋的利润在6.67和14.29美 元之间变化时，模型的最优解都是540个标准袋和252个高 级袋，那么管理层就对9美元这个估计量和模型所得出的 最优产量比较满意。但是，如果灵敏度分析告诉我们只有 当高级袋的利润在8.9和9.25美元之间，模型的最优解才是 540个标准袋和252个高级袋，那么管理层就必须思考9美 元这个估计量的可信程度有多大了。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
假设Par公司的会计部门指出原先的标准袋和高级袋利润 计算有误，应该是11.5美元和8.25美元。为了确定这样的 变化是否会对最优解产生影响，我们先要定义两个术语 “允许增加量”和“允许减少量”。对于目标函数的系数， 允许增加量是在不超过最优范围的情况下，系数尽可能增 加的最大量；而允许减少量是在不低于最优范围下限的情 况下，系数可能减少的最大量。
看上图结果，我们看到管理科学家软件除了提供松弛/ 剩余变量和对偶价格的约束信息之外，还给出了目标函数 系数和约束条件右端值的变化范围。 变量S的最优化范围是：
6.3≤CS≤13.5 变量D的最优化范围是：
6.67≤CD≤14.29 这个最优化范围与图解法得出的结论是一致的。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
本章主要内容
3.1 灵敏度分析简介 3.2 图解法灵敏度分析 3.3 灵敏度分析：计算机求解 3.4 多于两个决策变量的情况 3.5 电子通信公司问题
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。 在真实世界里，周围的环境，条件是在不断变化的。原 材料的成本在变，产品的需求在变，公司购买新设备、股 票价格的波动，员工流动等等这些都在不断发生。如果我 们要用线性规划模型去解决实际问题，那模型中的系数就 不可能是一成不变的。 这些系数的变化会对模型的最优解产生什么样的影响呢？ 运用灵敏度分析，我们只需要改变相应的系数就可以得到 答案，而不需要建立新的模型。
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值变化对 最优解的影响。还是以Par公司为例，在最优产量的情况下， 切割与印染部门和成型部门的工作时间已经完全被占用了。 如果现在公司增加了这两个部门的生产能力，那么最优解 以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵敏度分析可以 帮助确定每一个工时的边际价值，以及在利润下降之前部 门工时的最大增加量。
Max 10S+9D s.t.
0.7S+D≤630 切割与缝合 0.5S+0.83333D≤600 缝合 1.0S+0.66667D≤708 成型 0.1S+0.25D≤135 检查与包装 S,D≥0
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3.1 计算机输出的解释——第一个例子 回忆Par公司的例子，其中有4个小于或等于约束条件的， 都是关于各个生产部门的生产时间。在松弛/剩余变量一栏 中，可以看到每个部门的松弛变量值。信息归总如下：
3.2 图解法灵敏度分析
对于双变量的线性规划问题，当目标函数的系数或约束 条件的右端值变化时，用图解法对其进行灵敏度分析。
我们先思考目标函数的系数变化会对Par公司的最优产 量产生什么样的影响。选择每个标准袋的利润是10美元， 每个高级袋的利润是9美元，如果其中一种袋子利润下降， 公司就会削减其产量，如果利润上升，公司就会增加其产 量。究竟利润变化多少，管理者才应该改变产量呢？
第三章 线性规划的灵敏度分析
与最优解的解释
引言
灵敏度分析是研究当一个线性规划问题中的系数发生变化 时，其对函数最优解的影响程度。运用灵敏度分析，我们 可以回答以下问题： 1.如果目标函数的系数发生了变化，对最优解会产生什么影 响？ 2.如果改变约束条件的右端值，对最优解会产生什么影响？ 首先我们将介绍如何使用图解法进行双变量线性规划问题 的灵敏度分析，然后介绍如何使用管理科学家软件得到灵 敏度分析报告。
现在，模型的最优解540个标准袋和252个高级袋。每 个目标函数系数都有一个最优范围，即目标函数系数在什 么范围内变化，模型的最优解保持不变。
3.2 图解法灵敏度分析
3.2.1 目标函数系数 认真观察图发现，只要目
标函数直线的斜率处于直线 A（和切割与印染约束线重 合）的斜率与直线B（与成 型约束线重合）的斜率之间， 极点3（S=540，D=252） 就是最优解的点。
3.2 图解法灵敏度分析
3.2.2 约束条件右端值的变化 现在让我们来考虑约束条件 右端值的变化对可行域带来 的影响，及其可能对最优解 带来的变化。为了阐明敏感 度分析的这方面内容，我们 假设Par公司的切割与印染部 门增加了10个小时的生产时 间，然后来考虑将会有什么 发生。切割与印染约束条件 的右端值由630变为640，约 束条件可写作 7/10S+D≤640
3.1 灵敏度分析简介
回忆Par公司的问题：
我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产540个，高级袋生产252个， 这个最优解的前提是每个标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是9 美元。
3.1 灵敏度分析简介
假设，我们得知由于价格的下降，标准袋的利润由10 美元下降到8.5美元。这时我们可以用灵敏度分析来确定标 准袋生产540个，高级袋生产252个是否还是最优解。如果 还是，则不必建立新的模型求解了。
计算机输出结果的最后一部分右端值范围给出了对偶价 格适用范围的限制条件。只要约束条件右端值处于系统所 给出的下限和上限之间，对偶价格就会给出当右端值增加 1时，最优解的增加量。
右端值范围给出了一个对偶价格的适用范围。如果右端 值的变化超出了这个范围，就需要重解原问题并找出新的 对偶价格。我们把这个对偶价格适用的范围称作可行域。 Par公司问题的可行域汇总如下。
3.2 图解法灵敏度分析
在这里，我们要注意的是，对偶价格可能只适用于在右 端值仅发生了很小的变动时的情况。随着所获得的资源越 来越多，从而右端值越来越大，其他的约束条件也可能会 约束和限制目标函数值的变化。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
为了使用管理科学家软件，我们使用小数代替分数。Par 公司的问题用小数形式的系数表示如下：
3.2 图解法灵敏度分析
当目标函数绕最优点旋转，使之与坐标轴垂直时，像式 中出现的那种斜率的上限或下限就不存在了。为了说明这 种特殊情况，我们设Par公司的目标函数为18CS+9CD；这 样，图中，极点2是最优解点，绕着极点2逆时针旋转目标 函数，当目标函数与直线B重合时，就得到了斜率的上限3/2。所以目标函数斜率上限一定是-3/2。最后当目标函 数垂直于坐标轴时，其斜率接近负无穷大，在这种情况下， 目标函数的斜率没有下限，只有上限-3/2。-CS/CD≤-3/2