2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一学段考试文数试题Word版含答案
甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次考试数学文科试题参考答案
文科参考答案1．B 2．B 3．C 4．B 对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B. 5．Ap 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-， ∴2a <-.6．B 7．D8．D 设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =. 故选：D. 9．D10．C 因为()()()πcos ln sin ln 2x x x xf x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭， 所以()()()()()sin ln sin ln xx x x f x x x ee x e ef x ---=-+=-+=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，又因为22x x x x y e e e e --=+≥⋅=，当且仅当0x =时取等号， 所以()ln ln2ln10x xe e -+≥>=，当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ． 11．A 不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，如图所示: 因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ， 又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点， 所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ， 根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝2a ， 所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5， 12．B 函数定义域为()0,∞+，由()ln 0f x x ax =-=得ln x a x =设()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'== 令()0g x '=得x e =，() 0,x e ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；() ,x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； x e =时，()g x 取极大值()1g e e=. ()()0,0x x lim g x lim g x →→+∞→-∞→，∴要使函数()ln 0f x x ax =-=有两个零点即方程ln xa x=右有两个不同的根，即函数()g x 与y a =有两个不同交点. 即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．3- 由(2,4)a =，(1,1)b =，所以()()()2,41,12,4a m b m m m +⋅=+=++，又因为()b a m b ⊥+⋅，所以()()()1214620b a m b m m m ⋅+⋅=⨯++⨯+=+=，解得3m =-， 故答案为：3- 14．3 由214y x =可得24x y =，所以该抛物线的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-， 设(,)M M M x y ，由抛物线的定义可得14M MF y =+=，所以3M y =． 15．3如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ，则//BD FG ， 通过异面直线所成角的性质可知(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与BD 所成的角． 设2AD =，则22215AF =+=，22215AG =+=226EF EA AF =+=，同理可得6EG又122FG BD == 所以在EFG 中，由余弦定理得22232EF FG EG cos EFG EF FG +-∠==⋅ 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为3 故答案为：3 16．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭设()()()1112,,,0,,0,0P x y F c F c c ->，则1121,PF a ex PF a ex =+=-， 在12PF F △中，由余弦定理得：222121212cos1202PF PF F F PF PF +-︒=()()()()22211114122a ex a ex c a ex a ex ++--==-+-，解得2221243c a x e -=，因为2210,x a ⎡⎤∈⎣⎦，所以2222430c a a e-≤≤，即22430c a -≥，且21e <，所以3c e a =≥，故椭圆的离心率的取值范围是3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 故答案为：3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 17．（1）1m =；（2）1242n n n T -+=-. 解：（1）由11n n n n a S m a S m +-=+⇒=+ 当2n ≥时，两式相减，得112n n n n n a a a a a ++-=⇒=. ∵{}n a 是等比数列，∴2122a a == 又2121a a m m =+=⇒=（2）1112n n n a a q --==，01211232222n n n T -=++++， 得123112322222nnnT =++++两式相减，得01231111111112212122222222212n n n n n n n n n T --+=+++++-=⋅-=--.1242n n n T -+⇒=-18．（1）62；（2）36183+. （1）4BED AEB ππ∠=-∠=，在三角形BDE 中，sin sin DE BDDBE BED=∠∠，即6sinsin64BDππ=， 所以61222=，62BD =； （2）因为BEDABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6DBE π∠=，在三角形BDC 中，2222cos6BD DC BC DC BC π=+-，所以22723DC BC DC BC =+-，所以7223DC BC DC BC ≥-，所以()722+3DC BC ≤， 所以()()11sin 722+3182+3264BCD S DC BC π∆=≤⨯=，所以三角形BCD 面积的最大值为36183+. 19．（1）见解析；（2）641解：（1）如图：取BC 的中点M ，连接OM 、ME . 在ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，,OM AC AC ∴⊄∥平面 EMO MO ⊂,平面 EMO ,故 AC ∥平面 EMO在直角梯形BCDE 中， DECB ，且DE CM =，∴四边形MCDE 是平行四边形， EM CD ∴∥，同理 CD ∥平面 EMO 又 CD ⋂AC=C ,故平面 EMO ∥平面ACD ， 又EO ⊂平面, EMO EO ∴∥平面ACD .（2）AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的一点，AC BC ∴⊥又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC = AC ∴⊥平面BCDE ，可得AC 是三棱锥A BDE -的高线. 在直角梯形BCDE 中，1123322BDE S DE CD =⨯=⨯⨯=△. 设E 到平面ABD 的距离为h ，则E ABD A EBD V V --=，即1133ABD EBD S h S AC ⋅=⋅△△由已知得5,5,AB BD AD === 由余弦定理易知：16cos 25ABD ∠=，则1sin 22ABD S AB BD ABD =⋅∠=△解得41h =，即点E 到平面ABD20．（1）24x ＋y 2＝1；（2. （1）由题意知，离心率e|PF 2|＝212b a =，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为24x ＋y 2＝1；（2）由条件可知F 1(0)，直线l ：y ＝x联立直线l 和椭圆C 的方程，得221,4y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得5x 2＋＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2x 1·x 2＝85， 所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|5， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|. 21．（1）2222e y x e e-=-（2）0a ≥（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线的斜率为222()e f e e -'=，又2()2f e e =-， 所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程为2222(2)()e y e x e e ---=-，即2222e y x e e-=-.（2）因为()()2g x f x x =+22ln x a x x=++在[1,+)∞上是单调增函数，所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立，即222a x x ≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0，所以0a ≥. 22．（1）52；（2）21+20⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，. （ 1）由已知得直线l 的普通方程为tan 3tan 4y x αα=-+，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，1tan 3tan 4αα-=-+，得5tan 2α=，所以直线l 的斜率k ＝52. （ 2）由圆C 的参数方程12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程3cos ,4sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角)， 得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C2<，解得2120k >. 所以直线l 的斜率的取值范围为21,20⎛⎫+∞⎪⎝⎭.。
甘肃省天水市第一中学2021届高三数学上学期第二次考试试题 理(含解析).doc
甘肃省天水市第一中学2021届高三数学上学期第二次考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】 因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. “1x >”是“||0x >”的充分不必要条件C. 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A 正确； 由“||0x >”的充要条件为“0x ≠”,可得B 正确；由“且”命题的真假可得C 错误；由特称命题的否定为全称命题可得D 正确，得解. 【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”,即A 正确；对于选项B, “||0x >”的充要条件为“0x ≠”,又“1x >”是“0x ≠”的充分不必要条件,即B 正确；对于选项C, p q ∧为假命题，则p 、q 至少有1个为假命题,即C 错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥”,即D 正确, 故选:C .【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.3.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α，n m n α⊂⇒ 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 【解析】①m α⊂，n α⊂，m β，n β，则α与β可能相交，①错；②n m ，n α⊂，则m 可能平面α内，②错；③αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m α，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4.若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ） A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝16， ∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718. 故选：A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．5.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1 B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6.若直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A.12B. 4C. 9D.14【答案】C 【解析】【分析】由圆的标准方程可得，圆22(1)(2)4x y +++=的直径长为4，由题意可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，则1a b +=，0,0ab ，再结合重要不等式求()a b +⋅41()a b+的最小值即可. 【详解】解：将圆的一般方程222410x y x y ++++=，化为标准式可得22(1)(2)4x y +++=，结合直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，即2220a b --+=，则1a b +=，0,0ab ，则41a b +=()a b +⋅41()a b +=445529b a b aa b a b++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号，故选：C .【点睛】本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系，重点考查了重要不等式及运算能力，属中档题.7.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，AA 1⊥底面ABC ，且AB =2， AA 1=1，则直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）2510 155【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角，再根据直角三角形求结果. 【详解】取A 1B 1中点M ，连C 1M,BM,因为在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，所以底面A 1B 1C 1是等边三角形， 从而C 1M ⊥A 1B 1,因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥底面A 1B 1C 1，即AA 1⊥C 1M ，从而C 1M ⊥平面ABB 1A 1，因此1C BM ∠为直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角,因为2111315125,3sin5C B C M C BM =+==∴∠==,选C.【点睛】本题考查线面角，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 36π+B. 66π+C. 312π+D. 12【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.9.,x y 满足约束条件20,{220,220.x y y x x y +-≤-+≥-+≥若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A. 12或1-B. 1或12-C. 2或1D. 2或1-【答案】B 【解析】试题分析:由2z y ax =-得，2y ax z =+，作出可行域如下图所示，当22a =或21a =-时，即1a =或12a =-时，2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，故选B.考点：线性规划.10.已知函数()()2730323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数a 的取值范围为( ) A. (]0,1 B. (]0,2 C. []1,2D. []2,9【答案】B 【解析】 【分析】分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a 的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()733f x x =+， 由30x -≤≤，可得()[]4,3f t ∈-，当0x >时，()()222314f x x x x =-++=--+， 由03x <≤，可得()[]0,4f x ∈，∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立， 46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x . 11.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλ=++，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 重心 B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB B AC C t ==，所以()1OP OA AB AC tλ=+⋅+，而2AB AC AD +=，所以()1AB AC tλ⋅+表示与AD 共线的向量AP ，而点D 是BC 的中点，即P 的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A. 考点：平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且313n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+______．【答案】83【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得2201212171512121a a a a Sb b b b T ++==++，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，由等差数列的性质，可得121220121211217151212121()221()2a a a a a a Sb b b b b b T +++===+++， 又313n n S n T n +=+， 所以2202171521321182133a a Sb b T +⨯+===++.故答案为83【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质与前n 项和公式，即可得出结果. 14.已知12,e e→→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b→方向上的投影为______ ． 【答案】32【解析】 【分析】 可知这样即可求出 a b ⋅ 及b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值． 【详解】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．15.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若180A C +=︒，6AB =，4BC =，5CD =，5AD =，则四边形ABCD 面积是______．【答案】106【解析】 【分析】在ABD ∆，BCD ∆中，利用余弦定理可得6060cos A -=4141cos C -， 再结合180A C +=︒可得1cos 5A =，再结合三角形面积公式可得11sin sin 22ABD BCDS S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯，将值代入运算即可. 【详解】解：连接BD ，在ABD ∆中，2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-， 在BCD ∆中，2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-， 所以6060cos A -=4141cos C -， 因为180A C +=︒， 所以cos cos A C =-， 所以1cos 5A =， 则26sin A =， 所以四边形ABCD 面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯ 126126654510622=⨯⨯+⨯⨯= 故答案为：6【点睛】本题考查了余弦定理及三角形的面积公式，重点考查了解三角形及运算能力，属中档题.16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】5003π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，则,6,22x x OI IE ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则22OC =224223OP =-=()(222232RR =+，解得3R =，外接球的体积343Vπ==三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数列{}n a的各项均为正数，52a，4a，64a成等差数列，且满足2434a a=．(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)设()()1111nnn naba a++=--，*n N∈，求数列{}n b的前n项和n S．【答案】（Ⅰ）a n=1()2n（n∈N*）（Ⅱ）1-n1121+-【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，(Ⅱ)先化简n b，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：（Ⅰ）设公比为q，则0,q>因为52a，4a，64a成等差数列，所以24a=52a+64a，即211202q q q q=+>∴=因为2434a a=，所以111111114()()2222n nna q a a-=∴=∴=⋅=（Ⅱ）b n=()()1111nn naa a++--=()()nn n122121+--=n121--n1121+-，n∈N*，∴数列{b n}的前n项和S n=2112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+23112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+…+n n1112121+⎛⎫-⎪--⎝⎭=1-n1121+-，n∈N*．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=．（1）求C 的大小； （2）若c =ABC ∆周长的最大值．【答案】（1）23C π=；（2）2． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222a b c ab +-=-，再结合余弦定理可得1cos 2C =-，再求C 即可；（2）由正弦定理化边为角可得l 2sin 2sin A B =++l 2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由03A π<<利用三角函数值域的求法即可得解.【详解】解：（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=. ∴由已知，得(2)(2)2222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅， 即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=. （2）3c =，sin sin a bA B∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 333A A A ππ=+++sin 3cos 3A A =++2sin 33A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，232sin 33A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭23≤+，故ABC ∆周长的最大值为23+.【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33-【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz .由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，2222PA ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.已知点()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点()1,3P -,若12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在4(,)99x ππ∈内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin(3)3f x x π=-；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)由角ϕ的终边经过点()1,3P -可得3πϕ=-，由12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π可得周期23T π=得3ω∴=，即可求出函数的解析式；（2）先解得()f x 在4(,)99x ππ∈的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得m 的值. 试题解析：（1）角ϕ的终边经过点(1,3)P -，tan 3ϕ=-，02πϕ-<<，3ϕπ∴=-．由12()()4f x f x -=时,的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=．∴()2sin(3)3f x x π=-(2）4(,)99x ππ∈∴3(0,)3x ππ-∈，∴0sin(3)13x π<-≤．设()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在（0，1] 内有两个不同的解．∵-m = 3t 2-t ，t ∈(0, 1]． 作出曲线C ：y = 3t 2-t ，t ∈ (0, 1)与直线l ：y = -m 的图象．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2． ∴当时，直线l 与曲线C 有两个公共点．∴m 的取值范围是：.考点：函数的图象、二次函数图象、一次函数图象.【思路点晴】第一问考查了三角函数的定义、函数性质．由题意很容易求出()f x 的解析式。
2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次考试数学(文)试题(解析版)
2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{}2log 0B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}11x x -≤≤ B ．{}01x x <≤ C ．{}01x x ≤< D ．{}12x x -≤≤【答案】B【分析】先求得集合A 、B ，再根据交集的运算法则求解即可.【详解】由题意得集合{}12A x x =-≤≤，集合{01}B x x =<≤， 所以{01}A B x x ⋂=<≤， 故选：B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则12z z ＝（ ） A ．1＋i B ．3455i + C ．415i +D ．413i +【答案】B【分析】由题可得22z i =-，再根据复数除法运算法则即可求出.【详解】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以212z 2i (2i)34z 2i 555i ++===+-. 故选：B ．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）A ．2B ．5C ．6D ．22【答案】C【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可． 【详解】由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，取AB 的中点O ，则OC AB ⊥， 易知2AB OC ==，1PC =， 又PC ⊥底面ABC ， 所以PC BC ⊥，从而最长棱为PA 和PB ，2222116++= 故选：C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.4．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（ ）． A ．lg lg x y > B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >【分析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y>得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．5．已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A【分析】由题可得命题p 的否定为真命题，即可由此求解. 【详解】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-.6．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．3B ．32C ．34D ．12【答案】B 【分析】由16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，可得52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，从而可求出ω的值 【详解】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B7．已知直线y ax =与圆C ：22660x y y +-+=相交于A 、B 两点，C 为圆心.若ABC ∆为等边三角形，则a 的值为A ．1B ．±1 CD．【答案】D【分析】由ABC ∆为等边三角形，所以AB =，由弦长公式求得32d =，利用圆心到直线的距离公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆22:660C x y y +-+=可知，圆心(0,3)C，半径r =，因为ABC ∆为等边三角形，所以AB ，由弦长公式，可得==，解得32d =， 所以圆心到直线y ax =的距离为32d ==，解得a = D. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则A．12尺布B．518尺布C．1631尺布D．1629尺布【答案】D【分析】设该女子第()Nn n*∈尺布，前()Nn n*∈天工织布nS尺，则数列{}n a为等差数列，设其公差为d，根据15a=，30390S=可求得d的值.【详解】设该女子第()Nn n*∈尺布，前()Nn n*∈天工织布nS尺，则数列{}n a为等差数列，设其公差为d，由题意可得30130293015015293902S a d d⨯=+=+⨯=，解得1629d=.故选：D.9．已知实数x、y满足约束条件40431208240x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则21yx-+的最大值是（）A．56B．65C．1D．2【答案】D【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，221(1)y y z x x --==+--表示可行域内的点()P x y ，与点(12)D -，连线的斜率， 观察图形可知，当直线过点4(0)A ，时，斜率取最大值，max 2k =. 故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题；（3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.10．函数()()cos ln 2x xf x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D 选项，再判断原函数在()0,π及(),2ππ上的正负即可确定答案. 【详解】因为()()()πcos ln sin ln 2x x x xf x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭， 所以()()()()()sin ln sin ln xx x x f x x x ee x e ef x ---=-+=-+=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ， 又因为22x x x x y e e e e --=+≥⋅=，当且仅当0x =时取等号， 所以()ln ln2ln10x xe e-+≥>=，当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ．【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性.11．过双曲线22x a－22y b ＝1 (a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．5C ．5＋1D ．51+ 【答案】A【分析】设F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE |＝a ，|PF ′|＝2a ，利用双曲线的定义求得|PF |＝4a ，得到|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，如图所示:因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ， 又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|， 又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ， 在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e 故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.12．函数()ln f x x ax =-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参数a 后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数. 【详解】函数定义域为()0,∞+， 由()ln 0f x x ax =-=得ln xa x =设()()2ln 1ln ,x xg x g x x x-'== 令()0g x '=得x e =，() 0,x e ∈时，()()0,g x g x '>单调递增； () ,x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；x e =时，()g x 取极大值()1g e e=.()()0,0x x lim g x lim g x →→+∞→-∞→，∴要使函数()ln 0f x x ax =-=有两个零点即方程ln xa x=右有两个不同的根， 即函数()g x 与y a =有两个不同交点.即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选: B.【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题时，参数可以分离的情况下优先选择分离参数，然后构建新函数，将零点个数转化为两个函数图像的交点个数.二、填空题13．设(2,4)a =，(1,1)b =，若()b a m b ⊥+⋅，则实数m ＝_____． 【答案】3-【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(2,4)a =，(1,1)b =，所以()()()2,41,12,4a m b m m m +⋅=+=++， 又因为()b a m b ⊥+⋅，所以()()()1214620b a m b m m m ⋅+⋅=⨯++⨯+=+=， 解得3m =-， 故答案为：3- 14．若抛物线214y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的纵坐标的值为___________ 【答案】3【分析】根据抛物线方程求出焦点、准线方程，利用抛物线定义求解. 【详解】由214y x =可得24x y =， 所以该抛物线的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以3M y =． 故答案为：315．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为_____【答案】3 【分析】取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ，则//BD FG ，可得(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与BD 所成的角，然后在EFG 中由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ，则//BD FG ，通过异面直线所成角的性质可知(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与BD 所成的角．设2AD =，则22215AF =+22215AG +=226EF EA AF =+=6EG又122FG BD == 所以在EFG 中，由余弦定理得22232EF FG EG cos EFG EF FG +-∠==⋅故答案为：6【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，C 上存在一点P 使得12120F PF ︒∠=，则椭圆离心率的范围是_______．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先根据椭圆定义得到1121,PF a ex PF a ex =+=-，再利用余弦定理，求出2221243c a x e -=，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围. 【详解】设()()()1112,,,0,,0,0P x y F c F c c ->， 则1121,PF a ex PF a ex =+=-， 在12PF F △中，由余弦定理得：222121212cos1202PF PF F F PF PF +-︒=()()()()22211114122a ex a ex c a ex a ex ++--==-+-，解得2221243c a x e-=， 因为2210,x a ⎡⎤∈⎣⎦，所以2222430c a a e-≤≤，即22430c a -≥，且21e <，所以2c e a =≥，故椭圆的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭.故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法总结：考查了椭圆的应用，当P 点在短轴的端点时12F PF ∠值最大.三、解答题17．数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，11a =，1n n a S m +=+. （1）求m ； （2）若1212n nnT a a a =+++，求n T . 【答案】（1）1m =；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）2n ≥时，1n n n a S S -=-化简可得12n n a a +=，利用等比数列的通项，计算即可求得m ； （2）由12n n na -=利用错位相减法计算即可求得n T . 【详解】解：（1）由11n n n n a S m a S m +-=+⇒=+ 当2n ≥时，两式相减，得112n n n n n a a a a a ++-=⇒=. ∵{}n a 是等比数列，∴2122a a == 又2121a a m m =+=⇒=（2）1112n n n a a q --==，01211232222n n n T -=++++， 得123112322222n nn T =++++ 两式相减，得01231111111112212122222222212n n n n n n n n n T --+=+++++-=⋅-=--.1242n n n T -+⇒=-18．在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π∠=，6DE =.（1）求BD 的长度；（2）求三角形BCD 面积的最大值. 【答案】（1）2（2）36183+【分析】（1）在三角形BDE 中，利用正弦定理可得出BD 的长度；（2）在三角形BDC 中，利用余弦定理结合不等式得出DC BC 的范围，再利用面积公式求解即可．【详解】（1）4BED AEB ππ∠=-∠=，在三角形BDE 中，sin sin DE BDDBE BED=∠∠，即6sin sin 64BDππ=， 所以61222=62BD =（2）因为BEDABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6DBE π∠=，在三角形BDC 中，2222cos 6BD DC BC DC BC π=+-，所以22723DC BC DC BC =+， 所以7223DC BC DC BC ≥-， 所以(722+3DC BC ≤， 所以((11sin 723183264BCD S DC BC π∆=≤⨯=， 所以三角形BCD 面积的最大值为36183+19．如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A 、B 的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且//,DE BC DC BC ⊥，12,32DE BC AC CD ====.（1）证明：//EO 平面ACD ； （2）求点E 到平面ABD 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）641【分析】（1）取BC 的中点M ，证明//,//OM AC EM CD ,则平面//OME 平面ACD ，则可证//EO 平面ACD .（2）利用E ABD A EBD V V --=，AC 是平面BED 的高，容易求.1123322BDE S DE CD =⨯=⨯⨯=△，再求ABDS ，则点E 到平面ABD 的距离可求.【详解】解：（1）如图：取BC 的中点M ，连接OM 、ME .在ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，,OM AC AC ∴⊄∥平面 EMO MO ⊂,平面 EMO ,故 AC ∥平面 EMO在直角梯形BCDE 中， DECB ，且DE CM =，∴四边形MCDE 是平行四边形， EM CD ∴∥，同理 CD ∥平面 EMO 又 CD ⋂AC=C ,故平面 EMO ∥平面ACD ，又EO ⊂平面, EMO EO ∴∥平面ACD .（2）AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的一点，AC BC ∴⊥又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =AC ∴⊥平面BCDE ，可得AC 是三棱锥A BDE -的高线. 在直角梯形BCDE 中，1123322BDE S DE CD =⨯=⨯⨯=△. 设E 到平面ABD 的距离为h ，则E ABD A EBD V V --=，即1133ABD EBD S h S AC ⋅=⋅△△由已知得5,5,AB BD AD ===由余弦定理易知：16cos 25ABD ∠=，则1sin 2ABD S AB BD ABD =⋅∠=△解得41h =，即点E 到平面ABD故答案为：41. 【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2. 【分析】（1）利用P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率,a b 即可得到椭圆方程； （2）求出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由题意知，离心率e|PF 2|＝212b a =，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为24x ＋y 2＝1；（2）由条件可知F 1(0)，直线l ：y ＝x联立直线l 和椭圆C 的方程，得221,4y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 得5x 2＋＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝85， 所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝5， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下： （1）根据题意，建立关于,a b 满足的方程组，求解得结果；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理写出两根和与两根积，结合三角形面积求得结果.21．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程 （2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2222e y x e e-=-（2）0a ≥【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果； （2）转化为()0g x '≥，即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，2222()2x f x x xx -'=-=，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线的斜率为222()e f e e-'=， 又2()2f e e =-，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程为2222(2)()e y e x e e---=-，即2222e y x e e-=-.（2）因为()()2g x f x x=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数，所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x ≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x=-取得最大值0， 所以0a ≥.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤； 22．设直线l 的参数方程为3cos ,4sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数). （1）若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；（2）若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 【答案】（1）52；（2）21+20⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，.【分析】（1）把直线参数方程消去参数化为直角坐标方程，找到圆心坐标，再根据直线经过圆心可以得到答案；（2）把直线参数方程化为直角坐标方程，找到圆心坐标，再由圆心到直线的距离小于圆的半径可得答案.【详解】（ 1）由已知得直线l 的普通方程为tan 3tan 4y x αα=-+，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，1tan 3tan 4αα-=-+，得5tan 2α=， 所以直线l 的斜率k ＝52. （ 2）由圆C 的参数方程12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程3cos ,4sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，2<，解得2120k >. 所以直线l 的斜率的取值范围为21,20⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题的第二问解题关键点是把直线参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式解决问题.。
2020-2021学年甘肃省天水一中高一(上)第一次段考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2≤x +1<5}，B ={x ∈N|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤2}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1，2}2. 下列各组函数中，f(x)与g(x)相等的是( )A. f(x)=x 3x ，g(x)=x 2(x−1)x−1B. f(x)=x −1，g(x)=x 2−1x+1C. f(x)=√x 2，g(x)=√x 33D. f(x)=x +1x ，g(x)=x 2+1x3. 已知函数f(x)=x 3+3x.若f(−a)=2，则f(a)的值为( )A. 2B. −2C. 1D. −14. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，f(−1)=0，则不等式xf(x)<0的解集是( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(−,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)5. 函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3的奇偶性是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数也是偶函数6. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点7. 已知二次函数f(x)=x 2+bx +c ，且f(x +2)是偶函数，若满足f(2−a)>f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. 由b 的范围决定D. 由b ，c 的范围共同决定8. 设函数f(x)={ax −6,x <a |x 2−x−2|,x≥a是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [2,+∞)B. [0,3]C. [2,3]D. [2,4]9.函数f(x)=(x−2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x>2，或x<−2}C. {x|0<x<4}D. {x|x>4，或x<0}10.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=12f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，则m的最小值是()A. −43B. −53C. −54D. −65二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知3a2+b=1，则a b√3a=______ ．12.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是______ 元．13.若函数f(x)=(4−x)(x−2)在区间(2a,3a−1)上单调递增，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，若对任意x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−1 x ]=2，则f(15)的值是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15.f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)．(1)已知f(x)在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围；(2)求f(x)<0的解集．16.已知函数f(x)=x+bx2+1是定义域(−1,1)上的奇函数．(1)确定f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(−1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．17.养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).注：空闲率=养鱼场中鱼群的最大养殖量−实际养殖量．养鱼场中鱼群的最大养殖量(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．18.已知定义域为I=(−∞,0)∪(0,+∞)，的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)设g(x)=f(x)，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x−2)>g(x)的解．x答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|1≤x<4}，B={0,1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：对于A，f(x)=x3x =x2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2(x−1)x−1=x2的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，两函数的定义域不同，不是相等函数；对于B，f(x)=x−1的定义域是R，g(x)=x2−1x+1=x−1的定义域(−∞,−1)∪(−1,+∞)，两个函数的定义域不同，不是相等函数；对于C，f(x)=√x2=|x|定义域是R，g(x)=√x33=x的定义域是R，两函数的对应关系不同，不是相等函数；对于D，f(x)=x+1x 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2+1x=x+1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．本题主要考查了相等函数的判断问题，利用函数的定义域和对应法则相同判断即可．3.【答案】B【解析】解：∵f(x)是奇函数，且f(−a)=2；∴f(−a)=−f(a)=2；∴f(a)=−2．故选：B．容易看出f(x)是奇函数，从而根据f(−a)=2即可求出f(a)=−2．本题考查奇函数的定义及判断方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：若对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0， 则此时f(x)为减函数，∵f(x)是偶函数，∴当x >0时，f(x)是增函数，∵f(−1)=0，∴f(1)=0， 则f(x)的图象如图：则不等式xf(x)<0等价为{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0， 即x <−1或0<x <1，即不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)， 故选：D ．根据条件判断函数f(x)的单调性，根据函数奇偶性和单调性作出函数的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件作出函数f(x)的图象是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】 【分析】先求出函数的定义域关于原点对称，可得f(x)=√1−x 2x ，再由f(−x)=√1−x 2−x =−f(x)，可得f(x)是奇函数．本题主要考查判断函数的奇偶性的方法，注意应先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看f(−x)与f(x)的关系，从而根据函数的奇偶性的定义，做出判断．当函数的定义域不关于原点对称时，此函数一定是非奇非偶函数，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3，∴{1−x 2 ≥ 0| x +3| ≠ 3，解得−1≤x ≤1，且x ≠0．故函数f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]，关于原点对称， ∴f(x)=√1−x 2|x+3|−3=√1−x 2x+3−3=√1−x 2x．又f(−x)=√1−x 2−x=−f(x)，故f(x)是奇函数．故选：A ．6.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K 甲>K 乙；S 甲=S 乙； 甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达． 故选：D ．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S 相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．7.【答案】B【解析】解：根据题意，二次函数f(x)=x 2+bx +c ，是开口向上的二次函数， 若f(x +2)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x =2， 若f(2−a)>f(4)，则必有|2−a −2|>2，即|a|>2， 解可得：a <−2或a >2，即实数a 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)； 故选：B ．根据题意，分析f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得|2−a −2|>2，即|a|>2，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．判断y =|x 2−x −2|的单调性，再根据f(x)的单调性列不等式组得出a 的范围． 【解答】解：令x 2−x −2=0可得x =−1或x =2， 又当x =12时，(12)2−12−2<0，∴y =|x 2−x −2|在[2,+∞)上单调递增， ∵f(x)={|x 2−x −2|,x ≥aax −6,x <a 是R 上的增函数，∴{a ≥2a 2−6≤a 2−a −2，解得2≤a ≤4．故选D ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质求出a ，b 的关系和符号是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系，判断a ，b 的关系和符号，进而解一元二次不等式即可． 【解答】解：f(x)=(x −2)(ax +b)=ax 2+(b −2a)x −2b ， ∵函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即ax 2−(b −2a)x −2b =ax 2+(b −2a)x −2b ， 得−(b −2a)=(b −2a)，即b −2a =0，则b =2a ， 则f(x)=ax 2−4a ， ∵f(x)在(0,+∞)单调递增， ∴a >0，由f(2−x)>0得a(2−x)2−4a >0， 即(2−x)2−4>0，得x 2−4x >0，得x >4或x <0， 即不等式的解集为{x|x >4，或x <0}， 故选：D ．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，考查了数学结合，属于中档题．由f(x+1)=12f(x)得f(x)=2f(x+1)，画出图形利用数形结合求出结果即可，【解答】解：∵f(x+1)=12f(x)，∴f(x)=2f(x+1)当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14,0]，x∈(−1,0]时，x+1∈(0,1]，f(x)=2f(x+1)=2(x+1)x∈[−12,0]，x∈(−2,−1]时，x+1∈(−1,0]，f(x)=2f(x+1)=4(x+2)(x+1)∈[−1,0]，将函数大致图象在数值上画出，如图：x∈(−2,−1]时，令4(x+2)(x+1)=−89，解得：x1=−53，x2=−43，若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，所以m≥−43，故选：A．11.【答案】3【解析】解：∵3a2+b=1，∴a b√3a =32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3，故答案为：3．由题意，化简a b√3a=32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3．本题考查了有理指数幂的化简与求值，属于基础题．12.【答案】2250【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：(1+40%)x·0.8−x=270，解得：x=2250，故答案为：2250．13.【答案】(1,43]【解析】解：f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，根据题意得(2a,3a−1)⊆(−∞,3]，∴3a−1≤3且2a<3a−1，解得：1<a≤43．故答案为：(1,43].f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，由(2a,3a−1)⊆(−∞,3]可解决此题．本题考查二次函数图象及性质，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】【解答】解：∵函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x)=2，∴f(x)−1x 为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)=n+1x，且f(n)=2．再令x=n可得n+1n =2，解得n=1，因此f(x)=1+1x，所以f(15)=6．故答案为：6．由函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x )=2，知f(x)−1x为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)−1x =n，f(n)=2，所以n+1n=2，解得n=1，由此能求出f(15)=6．【分析】本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．15.【答案】(1)函数f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)的对称轴为：x=2−m2，因在f(x)在[2,4]上是单调函数，所以有或2−m2≤2或2−m2≥4，解得m≤6或m≥−2；(2)方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m．当m=−2时，不等式f(x)<0的解集为空集，当m>−2时，不等式f(x)<0的解集为：(−m,2)，当m<−2时，不等式f(x)<0的解集为：(2,−m)．【解析】(1)结合函数f(x)图象可解决此问题；(2)由方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m，再对m进行讨论可解决此问题．本题考查二次函数图象及性质、一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x+bx 2+1是定义域(−1,1)上的奇函数，则有f(0)=b1=0，则b =0；此时f(x)=xx 2+1，为奇函数，符合题意， 故f(x)=xx 2+1．(2)证明：设−1<x 1<x 2<1， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(1+x 22)−x 2(1+x 12)(1+x 12)(1+x 22)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由−1<x 1<x 2<1，则x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，即函数f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t， 解可得：0<t <12，即不等式的解集为(0,12).【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算及不等式求解，属于中档题．(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=b1=0，解可得b 的值，验证即可得答案； (2)根据题意，设−1<x 1<x 2<1，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t ，解可得t 的取值范围，即可得答案．17.【答案】(1)由题意得，空闲率为m−x m，由于鱼群的年增长量y 和实际养殖量xt 与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k >0)， 所以y =kx ⋅m−x m=kx(1−xm)(0≤x <m)；(2)由(1)可得，y =−km x 2+kx =−km (x −m2)2+km 4，所以当x =m2时，y 取得最大值km 4，即鱼群年增长量的最大值为km 4t ；(3)由题意可得，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，所以−2≤k <2，又因为k >0，则0<k <2， 故k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先求出空闲率，然后利用题意，列出函数关系式即可； (2)利用二次函数的性质求解最值即可； (3)由题意，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，求解k 的范围即可．本题考查了函数模型的选择与应用，函数解析式的求解，二次函数性质的应用，不等式的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：令x 1=x 2=1，得f(1)=0，令x 1=x 2=−1，得f(−1)=−12f(1)=0，令x 1=x ，x 2=−1，得f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．(2)解：因为f(x 1x 2)=x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 所以f(x 1x 2)x 1x 2=f(x 1)x 1+f(x 2)x 2，则g(x 1x 2)=g(x 1)+g(x 2)，设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，所以g(x1x 2)<0， 因为g(x 1)=g(x 2⋅x 1x 2)=g(x 2)+g(x1x 2)<g(x 2)，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数， 因为g(x)是偶函数， 所以g(|x −2|)>g(|x|)，则{x −2≠0x ≠0|x −2|<|x|，解得1<x <2或x >2， 所以不等式g(x −2)>g(x)的解集为{x|1<x <2或x >2}．【解析】(1)利用赋值法，先求出f(1)和f(−1)的值，再证明f(−x)=−f(x)即可； (2)利用赋值法以及函数单调性的定义，证明函数g(x)的单调性，然后利用偶函数以及函数的单调性转化不等式，求解即可．本题考查了抽象函数的理解与应用，函数奇偶性定义以及性质的运用，函数单调性的证明，对于抽象函数问题，赋值法是常用的解题方法，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。
甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学文试题扫描含答案
天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学文科试题参考答案1．A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．B【解析】 ,选B.3．D【解析】【分析】 由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b >>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b<”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b <”的既不充分也不必要条件. 故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B【解析】，即 ，而 ，故选B.5．D【解析】 ∵是偶函数 ∴当时，，又 ∴故选：D6．D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x y =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数 ∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B 对于C ， ∵ln x y x =的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x < ∴0ln x y x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0x y e =>恒成立∴()22x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．B【解析】试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ． 考点：命题真假判断．8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c v v v 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=v v v v ，且()()222213111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=v v v v v v v v v v v ，所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为()()332cos 31a b a c a b a c θ-⋅+===⨯-⋅+v v v v v v v v 0θπ≤≤， 所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为6π，故选D. 9．C【解析】【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．则a 8=5．故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．D【解析】【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 而cos ,AO AD AO AD =u u u v u u u v u u u v u u u v ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v.故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．A【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．63 【解析】 【分析】根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =，当2n …时，21n n S a =-，1121n n S a --=-， 两式作差可得：122n n n a a a -=-，则：12n n a a -=，据此可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前6项和为66216321S -==-．故答案为63． 【点睛】本题考查了等比数列的前N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用. 16．3. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据各向量的模和各自的夹角可得,,A B C 各点坐标，再利用向量的等式关系到各坐标之间关系，解出,m n 后可求m n +的值． 【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A ，由OC uuu r与OA u u u r 与OC uuu r的夹角为α，且tan 7α=知，cos ,sin 1010αα==，可得17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()()cos 45,sin 45B αα︒︒++，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 由OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 可得13173455,,,74555555m n m n n n⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【点睛】向量的线性运算可以利用基底向量来计算，注意基底向量的合理确定，也可以利用向量之间的关系合理建立平面直角坐标系，把向量系数的计算归结为系数的方程组来考虑. 17．（Ⅰ）πC 3=；（Ⅱ）5. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据133sin C 22ab =． 及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得 ()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为57+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （Ⅱ）由已知，133sin 22ab C =． 又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）见解析；（2）3,2；（3）.【解析】 【分析】（1）列出联表，计算,所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）由图表可知，在名女性用户中，微信控有人，非微信控有人.（3）利用列举法，列举出位女性任选人的基本事件，由此求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.【详解】（1）由列联表可得：所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人.（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，所求为．【点睛】本小题主要考查列联表分析两个分类变量是否有关，考查分成抽样的知识，考查利用列举法求简单的古典概型问题.属于中档题.19．（I）见解析;（II）.【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.【详解】（I）∵AB为圆O的直径，点F在圆O上∴AF⊥BF又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB∴CB⊥圆O所在平面∴AF⊥BC又BC、BF为平面CBF上两相交直线∴AF⊥平面CBF又∴平面DAF⊥平面CBF．（II）连接OE∵AB＝2，EF＝1，AB EF∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形∴AF＝OA＝OF＝1∴等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直∴点F到边OA的距离即为四棱锥F－ABCD的高∴四棱锥F－ABCD的高又BC＝1∴矩形的ABCD的面积S ABCD＝∴【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1)因为2OP OA =u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,x x y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: ()22341640kxkx +++= 由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y以PQ 直径的圆恰过原点所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>， 102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='. （2）由（1）知： ()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立 215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052xe x =-.∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为1{x cos y sin ϕϕ=+= （φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II ）设P （ρ1，θ1），联立2{ 3cos ρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q （ρ2，θ2），联立()sin { 3ρθθπθ==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|． 解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=， sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=（2）设()11,ρθP ，则由2{ 3cos ρθπθ==解得11ρ=， 13πθ=设()22Q ,ρθ，则由()sin {3ρθθπθ+==解得23ρ=， 23πθ=所以Q 2P =23．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=.当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学(理)试题Word版含答案
天水一中2015级2017—2018学年度第一学期第一学段考试试题数学（理）一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -26．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4C. D.8．已知函数，且，则（）A. B. C. D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 17．（12分）在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．理科数学答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、12、3 13、14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。
甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学(理)试题Word版含答案
天水一中2015级2017—2018学年度第一学期第一学段考试试题数 学（理）一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合，则（ ）A. B. C.D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（ ）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（ ）A.B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（ ）A. 2B. 1C. -1D. -2 6．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（ ）A.B. 4C.D.8．已知函数，且，则（ ）A.B.C.D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 17．（12分）在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．理科数学答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、12、3 13、14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。
甘肃省天水市一中2021-2022学年高一上学期第二学段(期末)考试数学试题 Word版含答案
天水市一中2021级2021-2022学年度第一学期高一级其次学段考试数学试题 命题：孙钰坤 审核：张志义(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题（每小题4分，共40分）1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A.4π B ．2π C.43π D.23π3．三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.1或2条4．已知半径为1的动圆与圆（x-5）2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A （x-5）2+(y+7)2=25 B （x-5）2+(y+7) 2=17 或（x-5）2+(y+7)2=15 C （x-5）2+(y+7)2=9 D （x-5）2+(y+7) 2=25 或（x-5）2+(y+7)2=95．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，,E F 分别是,BC DC 的中点，则异面直线1AD 与EF 所成角为( )FEDCB 1B A 1AC 1D 1 A. 30B. 45C. 60D. 906．过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 7．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是( )A ．(1,-1,0)B ．(0,-1,0)C ．(0, 1,-1)D ．(0,1,0)8．若直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，则a 的值为（ ） A.－3 B.1 C.0或－23 D.1或－39．给出下列命题:①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．若直线l 1:y=kx+k+2与l 2:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A.k>-23 B.k<2 C.-23<k<2 D.k<-23或k>2二、填空题（每小题4分，共16分）11．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 12．点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__ __;13．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为________．14．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm ，求圆锥的母线长____．三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共44分）15. （本小题满分10分）如下图所示，圆心C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴和y 轴都相切．（1）求圆C 的一般方程；（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．16．（本小题满分10分）如图所示，已知三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，点D 是AB的中点.（1）求证：//1BC 平面D CA 1；（2）若底面ABC 为边长为2的正三角形，31=BB ，求三棱锥DC A B 11-的体积.17．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点,2,2PO AB ==.求证：（1）平面PAC ⊥平面BDE ；（2）求二面角E-BD-C 的大小18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．数学期末试题参考答案1-5.BBCDC 6-10.CBBBC11．27π 12．10x y +-= 13．23 14．340cm15.（1）x 2+y 2-4x-4y+4=0(2)4条①x=0 ②y=0③x+y-4+22=0 ④x+y-4-22=016．（1）连接1AC 交C A 1于点E ，连接DE ，∵矩形C C AA 11，∴E 是1AC 的中点，又∵D 是AB 的中点，∴1//BC DE ，而⊂DE 平面D CA 1，⊄1BC 平面D CA 1，∴//1BC 平面D CA 1；（2）由BC AC =，D 是AB 的中点，得到CD AB ⊥，又∵⊥1AA 平面ABC ，⊂CD 平面ABC ，CD AA ⊥1，A AB AA = 1，∴⊥CD 平面B B AA 11，又∵底面ABC 为边长为2的正三角形，则3=CD ，1=BD ，31=BB ， 故133311111=⋅==--D B A C DC A B V V . 17．（Ⅰ）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ， 又∵AC ⊥BD ，且AC PO=O∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ∴平面PAC ⊥平面BDE ． (2)45°.18．(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)故可设C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a2>0.从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.DABCOEP。
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2021届甘肃省天水市第一中学上学期第一学段考试
高三文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合2{log (4)}A x y x ==-，{0}B x =>，则A
B =（ ）
A ．(3,4)
B ．(,1)-∞-
C ．(,4)-∞
D ．(3,4)
(,1)-∞-
2. “1a =”是“函数2
()43f x x ax =-+在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
3. 已知2sin 23α=
，则2
cos ()4
πα+=（ ） A ．16 B ．16 C ．12 D ．23
4. 曲线ln y x =在点1
(,2)2
-处的切线方程为（ ）
A ．23y x =-
B ．2y x = C. 2(1)y x =+ D ．22y x =-
5. 定义域为R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=+，且(1)1f -=，则(2017)f =（ ） A ．2 B ．1 C.-1 D ．-2
6. 已知函数2
()x
f x e x =+，（e 为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．1
(,)2+∞ B ．1(,)2-∞ C. 13(,)(,)24-∞+∞ D ．13
(0,)(,)24
+∞
7. 在ABC ∆中，4
B π
=
，若b =，则ABC ∆面积的最大值是（ ）
A ．4+
B ．4 C. D ．2+
8. 已知函数()sin 2f x x x =-，且3
(ln )2a f =，21(log )3
b f =，0.3
(2)c f =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C. a b c >> D ．b a c >> 9.函数ln(1)y x =-的大致图象为（ ）
10.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．1(0,)2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.命题“x R ∃∈，10x +≥”的否定为 ． 12. 若点(2,tan )θ在直线21y x =-上，则2
sin cos 1sin θθ
θ
=- ． 13. 已知函数2
1
23
y kx kx =
++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． 14. 已知点P 为函数()x
f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆222
(1)1x e y --+=上任意一点（e 为自然
对数的底），则线段PQ 的长度的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数2
3
()sin 22
f x x x =-
（1）求函数()f x 的解析式及其最小正周期； （2）当[0,
]3
x π
∈时，求函数()f x 的增区间.
16. 已知函数2
()3)2sin 12
x f x x ωϕ
ωϕ+=++-（0ω>，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称
轴间的距离为
2π. （1）当(,)24
x ππ
∈-时，求()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原点的1
2（纵坐标不
变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126
x ππ
∈-时，求函数()g x 的值域.
17. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且232cos cos a c b
A B
-=
（1）若b B =，求a ；
（2）若a =
ABC ∆b c +. 18. 已知函数21()23ln 2f x x x x =
--，211
()322
g x x x a =--（a R ∈） （1）若0x ∀>，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）设函数()()2()F x f x g x =-，若()F x 在[1,5]上有零点，求实数a 的取值范围.
2021届甘肃省天水市第一中学上学期第一学段考试
高三文数试题参考答案
一、选择题
1-5: DAAAC 6-10: CDDCD 11、12：
二、填空题
11. x R ∀∈，10x +< 12. 3 13. 03k ≤< 14. 1
三、解答题
15.利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简
1
()sin(2)62
f x x π=-++，T π=；
（2）∵52666x πππ≤+≤，∴ 1sin(2)126x π≤+≤，∴1()02f x -≤≤，∴函数()f x 的增区间是[,]63
ππ
16.解：
（1）由题意可得：())cos()2sin()6
f x x x x π
ωϕωϕωϕ=+-+=+-，
因为相邻量对称轴间的距离为
2π
，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k π
ϕπ=+，k Z ∈，
因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，函数()2sin 2f x x =，∵(,)24x ππ∈-，∴2(,)2
x π
π∈-
要使()f x 单调减，需满足22x ππ-<≤-，24x ππ-<≤-，所以函数的减区间为(,]24ππ
--
（2）由题意可得：()2sin(4)3
g x x π
=-
∵12
6
x π
π
-
≤≤
，∴24333
x πππ
-
≤-≤，∴1sin(4)32x π-≤-≤
，∴()[g x ∈-
即函数()g x 的值域为[- 17. 解：
（1）由正弦定理得：
2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C B
A B A B
--=⇒=， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，
2(sin cos sin cos )2sin 3sin cos A B B A C C A +==，∵sin 0C ≠，∴2cos 3
A =
，
则sin A =
，∵b B =，∴由正弦定理得：5sin sin 3
b a A B =•=
（2）∵ABC ∆的面积为2，∴1sin 22
bc A =，得3bc =，
∵a =
22463b c bc +-=，∴210
()63
b c bc +-=，即2()16b c +=
∵0b >，0c >，∴4b c += 18.解：
（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，
2'
323(1)(3)()2x x x x f x x x x x
--+-=--==，∵0x >，∴'
()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表
所以min ()(3)3ln 32f x f ==-
-，∵()f x m ≥在(0,)+∞上恒成立，∴3ln 32
m ≤--. （2）函数()()2()F x f x g x =-在[1,5]上有零点，等价于方程()2()0f x g x -=在[1,5]上有解，
化简，得
2143ln 2x x x a -+=，设21
()43ln 2
h x x x x =-+ 则'
3(1)(3)()4x x h x x --=-+=，∵0x >，∴'()h x ，()h x 随x 的变化情况如下表：
且(1)2h =-
，(3)3ln 32h =-，(5)3ln 52
h =- 34(5)(1)3ln 54ln 5ln 0h h e -=-=->
作出()h x 在[1,5]上的大致图象，（如图所示）
所以，当
1515
3ln33ln5
22
a
-≤≤-时，2
1
43ln
2
x x x a
-+=在[1,5]上有解
故实数a的取值范围是
1515 [3ln3,3ln5]
22
--.。