【小初高学习】2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十章 第四节 直接证明与间接证明 Word

一、填空题 1．给出下列命题： ①a <b <0⇒b
a <1； ②a <
b <0⇒a －2<b －2；
③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >b
d ； ④a >b >0，c >d >0⇒
a d
> b c
. 其中为真命题的是________．(填所有正确命题的代号)
解析：利用不等式的性质，根据条件利用综合法可知①②④正确，③不正确． 答案：①②④
2．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab
a ＋
b )，
则A 、B 、C 的大小关系为________． 解析：∵a ＋b 2≥ab ≥2ab
a ＋
b ，
又f (x )＝(1
2)x 在R 上是减函数， ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )，
即A ≤B ≤C . 答案：A ≤B ≤C
3．设m ，n 为两条线，α，β为两个平面，给出下列四个命题：
①
⎭⎬⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎬⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎬⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面；④
⎭⎬⎫
α⊥βm ∥α⇒m ⊥β.
其中真命题是________．
解析：对于命题②，也可能n ⊂β，故②错误；对于命题③直线m 、n 也可能平行
或相交，故③错误；对于命题④，m与β也可能平行，故④错误；命题①正确．答案：①
4．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a、b、c的大小顺序是________．
解析：∵a＝3－2＝
1
3＋2
，
b＝6－5＝
1
6＋5
，
c＝7－6＝
1
7＋6
，
∴若比较a，b，c的大小，
只要比较3＋2，6＋5，7＋6的大小．∵7＋6>6＋5>3＋2>0，
∴
1
7＋6
<
1
6＋5
<
1
3＋2
，
∴c<b<a.
答案：a>b>c
5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1
y，b＝y＋
1
z，c＝z＋
1
x，则a，b，c三数________．
①至少有一个不大于2
②都小于 2
③至少有一个不小于2
④都大于2
解析：a＋b＋c＝x＋1
y＋y＋
1
z＋z＋
1
x≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案：③
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝
f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<1 2.
那么他的反设应该是________．
解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．
答案：“存在x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥1
2”
7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 2
2n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，则x 与y 的大
小关系为________．
解析：由条件知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以S n (S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2，
展开整理得S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )，所以x ＝y .
答案：x ＝y
8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b
9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是________． ①△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 ②△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
③△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 ④△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．
由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π
2－A 1)
sin B 2
＝cos B 1
＝sin (π
2－B 1
)
sin C 2
＝cos C 1
＝sin (π2－C 1
)
，得⎩⎪⎨⎪⎧
A 2＝π2－A 1
B 2＝π2－B
1
C 2
＝π2－C
1
.
那么，A 2＋B 2＋C 2＝π
2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．
答案：④
二、解答题
10．设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：证法一(分析法)
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
又因为a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立．
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．
证法二(综合法)
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.(*)
而a，b均为正数，
∴a＋b>0，
由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
11．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c ＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
证明：假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a 2－2a
b ＋b 2＋b 2－2b
c ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0. 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.
由已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，
∴上式“＝”不能同时成立，即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2<0，与事实不符， ∴假设不成立，原结论成立．
即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )
1－a n ＋1
，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }
满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2
n (n ≥1)．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 解析：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23
c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n
＝34·
(23)n －1，
故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1
. 又a 1＝1
2>0，a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1)n －1
1－34·(23)n －1.
b n ＝a 2n ＋1－a 2
n
＝(1－34·(23)n )－(1－34·(23)n －1) ＝14·(23)n －1
.
(2)证明：(反证法)假设数列{b n }存在三项b r ，b s ， b t (r <s <t )按某种顺序成等差数
列，由于数列{b n }是首项为14，公比为 2
3的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．
所以2·14·
(23)s －1＝14·(23)r －1＋14·(23)t －1
，
两边同乘3t －121－r , 化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .
由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。