1.3.1函数的单调性说课稿

函数的单调性说课稿
各位评委老师好！今天我说课的课题是《函数的单调性》，下面我将从教材分析、教法学法、教学过程等方面加以介绍。

一、教材分析
1、教材的地位和作用
函数的单调性是研究函数的第一个性质．从知识的符号语言刻画的概念，它为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。

函数单调性研究的是当自变量x不断增大时，它的函数值y是增大还是减小的问题。

函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指对幂函数以及三角函数的单调性等内容的基础，在研究函数的值域、最值等性质中有重要的应用.
根据学生已有的认知结构与心理特征，结合我校实际情况，确定如下的教学目标：
1、结合实例，学习用自然语言到抽象符号语言表达函数的单调性，从而理解函数的单调性，并能利用函数单调性的定义解决简单的实际问题；
2、对于一个具体的函数，能够用单调性的定义证明函数的单调性；
3、使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
4、在函数单调性的学习过程中，培养学生用“数学眼光看待世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的数学素养。

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数图像的基础上对增减性有一定的感性认识，但用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变，对仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习困难；另外，单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。

因此，本节课的学习难点是形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增（减）的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

突破难点的关键是：将图形直观中的上升、下降改为数学中的比较大小来表达，同时将图象上的连续变化用任意两个点的数值变化来表示。

同时，利用背景实例，通过提出具有启发性、挑战性的问题，借助信息技术，引导学生经历观察、探究、交流、反思的过程，逐步加深对单调性概念本质的理解。

通过对练习的思考论证和证明方法步骤的归纳总结，提高学生推理论证的能力。

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，让学生感知数学来源于生活，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
在学法上我重视了：1、让学生利用图形数学抽象，直观想象，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
接下来着重介绍教学过程，我把教学过程安排为四个环节，即新课引入环节、讲授新课环节、反馈练习环节和小结与作业环节。

下面一一具体介绍：
第一环节:新课引入
（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为杭州地区元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
并提出问题（1）、你能说说气温的变化特点吗？
（2）怎样用数学符号语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 对于问题（1），预设学生回答：夜里0点到4点，温度越来越低；夜里4点到白天的下午2点，温度不断升高；下午2点到夜里12点又不断下降。

问题（2），对学生来说，较为抽象，不易回答。

留下悬念，激发学生的求知欲。

对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减…相应地，函数的特征就包括函数的增与减。

我们把函数的这种性质称为“单调性”。

教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性
第二环节：讲授新课
仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确。

问题1、列表描点，画函数2)(x x f =的图象。

如此设计的意图：在列表描点时，自变量取值总是从小到大选取的，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的。

通过计算函数值，教师可以借助几何画板演示，让学生直观感受当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。

问题2、利用画出的图象，描述函数值增减变化特征。

提问学生，教师给予适当补充，得出：图象在y 轴左侧“下降”，也就是在区间(]0,∞-上，随着x 的增大，相应的函数值f(x)反而随着减小；图象在y 轴右侧“上升”，也就是在区间[)+∞,0上，随着x 的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。

如此设计，让学生从图形语言的表述过渡到自然语言的表述。

但这样表述还不是“量化”的，我们要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系。

这是本课的重点，也是难点所在。

问题3、如果对于区间(a,b)上任意的x,有f(x)>f(a)，则函数f(x)在(a,b)上单调增，这个说法对吗？请说明举例说明。

学生通过辨析，引出定量定义，感受必须是两个变化的量的比较的必要性。

问题4、如果f(x)在区间(a,b)上有无数个自变量x,使得当b x x a <<<< 21时，有)()()()(21b f x f x f a f <<<< ，能不能说明函数f(x)在(a,b)上单调增？请说明举例 此问题，是很多学生的理解，但是误解。

通过举例，为突破本节课难点打下基础。

在单调性定义的探究的过程中，让学生逐步由“静态”到“动态”过渡，由“有限”向“无限”再回到“有限”。

使学生认识到使函数f(x) 在区间(a,b)上具有单调增的特征，必须允许自变量在区间(a,b)上“任意取”，且只要“取两个”就够了。

问题5、在函数[)+∞∈=,0,)(2x x x f 的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，怎样用符号表示？ 引导学生获得“任意)()(,2121x f x f x x <<”即可
追问：你能仿照这样的描述，说明函数(]0,,)(2∞-∈=x x x f 上是减函数吗？
如此设计，告诉学生刻画函数单调性不在于所取自变量的个数的多少，关键在于是否能够任意取值，而且必须任意两个，突破本节课的难点。

经过讨论，获得共识——-函数单调性的定义。

教师问：这个定义的关键词是什么呢？是“任意”二字。

教师说明：函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

第三环节：巩固练习环节
练习1：画出反比例函数x
y 1=的图象，并回答下列问题： （1） 指出这个函数的单调性；
（2） 是否可以说“这个函数在定义域上单调减”为什么？
通过具体问题，使学生认识到有些函数在整个定义域内是单调的，有些函数在定义域内的部分区间上是单调的，函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质。

练习2：教科书29页例2
师生分析：怎样证明“体积V 减少，压强p 增大“，根据函数单调性的定义，只要证明函数k V
k p (=是正常数）是减函数。

根据减函数定义，在区间),0(+∞（因为体积V 大于0）任意取两个大小不等的V 值，证明较小的V 值对应的函数p 值较大，即：设),0(+∞上的21v V <,证明21p p >，只要证明021>-p p 即可
师生共同完成证明，学生回答，教师予以板书，并进行具体分析。

设计意图：一是利用函数单调性证明物理学中的玻意耳定律，让学生感受到函数单调性的初步应用；二是表明函数单调性定义证明函数在某个区间上单调性的基本步骤：取值、作差、变形、定号、下结论。

第四环节：小结与作业环节
小结师生共同完成：
1、知识小结：函数单调性的定义：增函数、减函数、增区间、减区间
2、方法小结：学习从具体到抽象、从特殊到一般、从定向分析到定量表达这一研究问题的基本方法，以及函数问题的一般研究方法：观察—分析—猜想—证明
3、思想小结：研究问题过程中数形结合、符号化的思想。

作业分为阅读作业、书面作业和弹性作业
选做：若定义在R 上的单调减函数满足，你能确定实数的取值范围吗？
(2)二次函数在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯一吗？。