2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳七中高三(下)期中数学试卷和答案(理科)

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳七中高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．152．（5分）已知，A={x|2﹣x≤1}，则∁U A=（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|x＞1}3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D．4．（5分）已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）=（）A．B．C．D．5．（5分）各项都为正数的等比数列{a n}中，a1=2，a6=a1a2a3，则公比q的值为（）A．B．C．2 D．36．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+207．（5分）如果函数y=2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±C．y=±D．y=±9．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（，1）C．（1，2） D．（1，e）10．（5分）已知函数，则不等式f（x）≤5的解集为（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，1） C．[﹣1，4]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，4]11．（5分）抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．D．12．（5分）把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（）A．2+B．C．1+D．3二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．14．（5分）已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．16．（5分）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量=（cosA，﹣sinA），=（cosA，sinA），且•=﹣，若a=，c=2，则b=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．18．（12分）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．（如：明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223）（1）假设密码是11211，求这个密码对应的明文；（2）设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数．①求P（ξ=2）；②求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD ⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（Ⅰ）证明：CM⊥SB；（Ⅱ）设三棱锥C﹣SBM与四棱锥S﹣ABCD的体积分别为V1与V，求的值．20．（12分）椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程．（2）在椭圆E上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△POQ的面积；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R （1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答时请写清题号.22．（10分）如图，A，B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结PA，PB分别交⊙O于点C，D，且AB=AD，连结BC并延长至E，使∠PEB=∠PAB．（Ⅰ）求证：PE=PD；（Ⅱ）若AB=EP=1，且∠BAD=120°，求AP．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．24．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳七中高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选：A．2．（5分）已知，A={x|2﹣x≤1}，则∁U A=（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|x＞1}【解答】解：∵≤1，即1﹣≤1，即≥0，解得x＞0，∴u={x|x＞0}，A={x|2﹣x≤1}={x|x≥1}，∴∁U A={x|0＜x＜1}，故选：B．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．4．（5分）已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（B/A）=，P（A）=，∴P（AB）=P（B/A）•P（A）==，故选：D．5．（5分）各项都为正数的等比数列{a n}中，a1=2，a6=a1a2a3，则公比q的值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1=2，a6=a1a2a3，∴a6=2a2a3，∴2q5=2×2q•2q2，∴q5=4q3∵各项都为正数的等比数列，∴q2=4∴q=2，故选：C．6．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．7．（5分）如果函数y=2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，∴2•﹣φ=kπ，k∈Z，即φ=﹣kπ，故|φ|的最小值为，故选：C．8．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±C．y=±D．y=±【解答】解：∵抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，∴双曲线右焦点为F（4，0），得c=2∵双曲线的离心率为2，∴=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b==，∵双曲线的渐近线方程为y=x∴已知双曲线的渐近线方程为y=x故选：D．9．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（，1）C．（1，2） D．（1，e）【解答】解：∵函数f（x）=x+lnx单调递增，∴函数f（x）至多有一个零点．而＜0，f（1）=1+0＞0，∴．由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间内有一个零点．故选：B．10．（5分）已知函数，则不等式f（x）≤5的解集为（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，1） C．[﹣1，4]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，4]【解答】解：若x＞0，由f（x）≤5得3+log2x≤5，即log2x≤2，即0＜x≤4，此时0＜x≤4，若x≤0，则由f（x）≤5得2x2﹣3x≤5即2x2﹣3x﹣5≤0，得﹣1≤x≤，此时﹣1≤x≤0综上﹣1≤x≤4，即不等式的解集为[﹣1，4]，故选：C．11．（5分）抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：抛物线的焦点到准线的距离为：P=．故选：C．12．（5分）把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（）A．2+B．C．1+D．3【解答】解：四个球心连线是正三棱锥．棱长均为2∴ED=，OD=ED=，∴AO==∴第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即+2故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=，S2=，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．14．（5分）已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为﹣80．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．16．（5分）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量=（cosA，﹣sinA），=（cosA，sinA），且•=﹣，若a=，c=2，则b=3．【解答】解：向量=（cosA，﹣sinA），=（cosA，sinA），则•=cos2A﹣sin2A=﹣，即有cos2A=﹣，由于A为锐角，则2A=120°，解得A=60°，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有7=b2+4﹣2×b，解得，b=3（﹣1舍去）．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．【解答】（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．18．（12分）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．（如：明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223）（1）假设密码是11211，求这个密码对应的明文；（2）设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数．①求P（ξ=2）；②求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意对照表格当中明文字母和密码数字，从而可知对应明文为AEM；（2）①：∵密码的第1排都含有数字1，第二排都还有数字2，∴ξ=2时，只能取表格中的第1，2列中的数字作为密码，∴；②：由题意可知，ξ的取值为2，3两种情况，∴P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=，∴ξ的分布列如下所示：∴．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD ⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（Ⅰ）证明：CM⊥SB；（Ⅱ）设三棱锥C﹣SBM与四棱锥S﹣ABCD的体积分别为V1与V，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SM ⊂平面SAD，SM⊥AD，∴SM⊥平面ABCD，（1分）∵CM⊂平面ABCD，∴SM⊥CM（2分）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，∴∠AMB=∠CMF=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM （4分）∵SM⊂平面SBM，BM⊂平面SBM，SM∩BM=M，∴CM⊥平面SBM，又SB⊂平面SBM，所以CM⊥SB（6分）（Ⅱ）解：三棱锥C﹣SBM与三棱锥S﹣CBM的体积相等，由（Ⅰ）知SM⊥平面ABCD，得=，（9分）设AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC得CD=3a，BM=a，CM=3a，AD=4a 从而==（12分）20．（12分）椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程．（2）在椭圆E上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△POQ的面积；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，∴，e=，∴3a2=4b2，∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆E的方程为：．…（4分）（2）不存在，理由如下：=|OP|×|OQ|×sin∠POQ在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S△POQ当且仅当∠POQ=90°时，S有最大值，△POQ当∠POQ=90°时，点O到直线AB的距离为d=，∴d==，∴m2+n2=2，又，两式联立，解得：无解，故在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R （1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+=，x＞0．∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）∵f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，a＞0．∴g（x）=ax﹣﹣5lnx，x＞0∴g′（x）=a+﹣=，若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，∴a＞=，∵≤=（x=1时等号成立），∴a≥．（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x1=，x2=2，当0＜x＜，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；∵x1∈（0，1），∴g（x）在x=处取得极大值，也是最大值，∴g（x）max=g（）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，∵h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，若m≤3，h max（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥，∵＞3，故m不存在；若m＞3时，h max（x）=h（1）=5﹣m，∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，实数m的取值范围：m≥8﹣5ln2；四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答时请写清题号.22．（10分）如图，A，B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结PA，PB分别交⊙O于点C，D，且AB=AD，连结BC并延长至E，使∠PEB=∠PAB．（Ⅰ）求证：PE=PD；（Ⅱ）若AB=EP=1，且∠BAD=120°，求AP．【解答】（Ⅰ）证明：连结DC，因为∠PCE=∠ACB=∠ADB，∠PCD=∠ABD，又因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB，所以∠PCE=∠PCD…（3分）由已知∠PEB=∠PAB，∠PDC=∠PAB，所以∠PEC=∠PDC，且PC=PC，所以△PEC≌△PDC，所以PE=PD…（5分）（Ⅱ）因为∠ACB=∠PBA，∠BAC=∠PAB所以△ABC∽△APB，则AB2=AP•AC=AP（AP﹣PC），所以AP2﹣AB2=AP•PC=PD•PB=PD（PD+BD）又因为PD=AB，AB=1，所以，…（8分）所以．所以…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．24．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴非p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴非q：x＜m﹣1或x＞m+1．又∵非p是非q的充分而不必要条件，∴1≤m﹣1＜m+1≤5∴2≤m≤4．。