山东近年经典高考数学题解析--三角、向量部分

11384045342009~2013近五年山东高考试题分类理科数学 ———平面向量、三角函数、数列一、平面向量1、（2013 山东15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,A B A C ==若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为2、（2012 山东 16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP 的坐标为______________。

3、（2011 山东 12）设1234A ,A ,A ,A 是平面直角坐标系中两两不相同的四点，若1312A A =A A R λλ∈（），1412A A =A A R μμ∈（），且11+=2λμ，则称34A ,A 调和分割12A ,A 。

已知平面上的点C ,D 调和分割点A ,B ，则下面说法正确的是(A) C 可能是线段AB 的中点 (B) D 可能是线段AB 的中点 (C) C,D 可能同时在线段AB 上 (D) C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上4、(2010 山东 12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则ab=0 B.ab=baC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D. 2222(ab)+(ab)=|a||b|5、（2009 山东 7）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC+= D.0PA PB PC ++=二、三角函数（一）三角函数求值1、(2012 山东 7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， sin 2θ，则sin θ=（A ）35（B ）45（C D ）342、（2011 山东 3）若点a （,9）在函数3x y =的图象上，则tan6a π的值为(A) 0 (B)3(C) 1 (D) （二）、三角函数图像和性质1、（2013 山东 5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 （A ）34π （B ）4π （C ）0 （D ） 4π-2、（2011 山东 6）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=(A) 3 (B) 2 (C)32(D) 233、(2009 山东3) 将y=sin 2x 图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像函数解析式是 （A ）y=cos 2x （B ）y=22cosx （C ）y=1+sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）y=22sin x4、（2012 山东 17）已知向量m =（sinx ，1）()(3cos ,cos 2)02An A x x A =>，函数max ()f x m n =⋅ （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象。

求g （x ）在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域。

5、（2010 山东 17）已知函数f （x ）=sin2xsin φ+cos 2xcos φ﹣sin （+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求函数g （x ）在[0，]上的最大值和最小值．6、（2009 山东 17）设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C 为∆ABC 的内角，若cosB=31，f(3C )=－41，且C 为锐角，求sinA.（三）解三角形1、（2010 山东 15） 三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A 的大小为 _________ ．2、（2013 山东17） 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB=79.（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin （A-B ）的值. 3、（2011 山东 17） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC 的面积S . 三、数列1、（2013 山东20）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （1） 求数列｛a n ｝的通项公式； （2） 设数列｛b n ｝的前n 项和T n ，且T n +12n na + = λ（λ为常数），令c n =b 2n ，（n ∈N ）.求数列｛c n ｝的前n 项和R n .2、（2012 山东 20）在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m ）内项的个数记为b m ，求数列{b m }前m 项和S m 。

3、（2011山东 20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n nn n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S .4、（2010 山东 18）已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前n 项和为S n ． （Ⅰ）求a n 及S n ； （Ⅱ）令（n ∈N +），求数列{b n }的前n 项和T n ．5、（2009 山东 20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 22(l o g 1)()n n b a n N +=+∈2009~2013近五年山东高考试题分类理科数学 ———平面向量、三角函数、数列（答案）一、 平面向量 1、712解析：向量AB与AC的夹角为120，且||3,|A B A C ==所以1c o s 1203232A B A CA B A C ⋅=⋅=-⨯⨯=-。

由A P B C ⊥得，A PBC ⋅=，即()()0A P B C A B A C A C A B λ⋅=+⋅-=，所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=，即493(1)0λλ---=，解得712λ=。

2、)2cos 1,2sin 2(--=解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了212=弧度，此时点P 的坐标为 )2cos 1,2sin 2(,2cos 1)22sin(1,2sin 2)22cos(2--=-=-+=-=--=y x P P ππ.另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθP C D ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2c o s1)223s i n (12s i n 2)223c o s (2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=OP .3、D4、 B 【解析】若a 与b 共线，则有a b=mq-np=0，故A 正确；因为b a pn-qm =，而ab=mq-np ，所以有a b b a ≠，故选项B 错误，故选B 。

5、B 因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。

二、三角函数 （一）三角函数求值 1、DC D解析：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ， 4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ， 而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D 。

2、D（二）三角函数的图像和性质 1、B解析：将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，即,4k k Z πϕπ=+∈，所以选B.2、C3、B 将函数s i n 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x xπ=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选B.4、（2011 山东17）解：（Ⅰ）()3cos sin cos 22sin 2cos 2sin 2226Af x m n A x x x A A x x A x π=⋅=+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则6=A ;（Ⅱ）函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时，]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g .故函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.另解：由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ，令0)(='x g ，则)(234Z k k x ∈+=+πππ，而]245,0[π∈x ，则24π=x ，于是367sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g ，故6)(3≤≤-x g ，即函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.5、（2010 山东 17）解：（1）∵函数f （x ）=sin2xsin φ+cos 2xcos φ﹣sin （+φ）（0＜φ＜π），又因为其图象过点（，）．∴φ﹣解得：φ=（2）由（1）得φ=，∴f （x ）=sin2xsin φ+cos 2xcos φ﹣sin （+φ）=∴∵x ∈[0，]∴4x+∈∴当4x+=时，g （x ）取最大值；当4x+=时，g （x ）取最小值﹣．6、（2009 山东 17）解: （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 233222x x x x ππ--+=-所以函数f(x)的最大值为最小正周期π.（2）f(3C )=12223C -=－41,所以2sin32C =,因为C 为锐角,所以233C π=,所以2C π=,所以sinA =cosB=31. （三）解三角形 1、sinB+cosB=得由正弦定理：，又2、（2013 山东17）解：（1）由cosB=9与余弦定理得，2249ac ac +-=，又a+c=6，解得3a c ==（2）又a=3,b=2，sin 9B =与正弦定理可得，sin 3A =,1cos 3A =，所以sin （A-B ）=sinAcosB-cosAsinB=3、（2011 山东 17）解：（1）由正弦定理，设 sin sin sin a b ck A B C===，则 22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==， 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得 sin()2sin()A B B C +=+，又A B C π++=，所以 sin 2sin C A =，因此sin 2sin CA =. （2）由sin 2sin CA=得 2c a =， 由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-及 1cos ,24B b ==， 得22214444a a a =+-⨯， 解得 1a =， 从而2c =，又因为1cos ,04B B π=<<，所以sin 4B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=三、数列1、（2013 山东 20）解：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==所以21na n =-（2）由T n +12n n a + = λ可得，11b λ=-，T n-1+22n n = λ两式相减可得，当2n ≥时，122n n n b --=，所以当0λ=时，c n =b 2n =114n n --，错位相减法可得，R n =1431994n n -+-⋅当0λ≠时，c n =b 2n =111124n n n n λ--=⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得R n =1531994n n λ-+--⋅ 2、（2012 山东 20）解析：（Ⅰ）由a 3+a 4+a 5=84，a 5=73可得,28,84344==a a 而a 9=73，则9,45549==-=d a a d ，12728341=-=-=d a a ，于是899)1(1-=⨯-+=n n a n ，即89-=n a n.（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，m mn 29899<-<，则899892+<<+m m n ，即989989121+<<+--m m n ，而*N n ∈，由题意可知11299---=m m m b ， 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m mb b b S8980198019109819809991919199121212212mm m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++，即89801912mm m S -+=+.3、（2011 山东20）解：（1）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意； 因此1232,6,18a a a ===所以公比 3q =故123n n a -=（2）因为[]1111(1)ln =23+(1)ln 23=23+(1)ln 2(1)ln 3=23+(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n nn n n nn n n n b a a n n ----=+---+---+-（）所以n-12(13+3)111+(1)(ln2ln3)123+(1)ln3nn nS n ⎡⎤=+++-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+-+-⎣⎦………所以当n 为偶数时，132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+-- 当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 313213ln 3ln 212n n n n S n n --=⨯--+---=--- 综上所述，3ln 31213ln 3ln 212n n n nn S n n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数为奇数4、（2010 山东 18） 有====，5、（2009 山东 20）证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······n nb b b b b b +++> 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r=+,当1n =时,11a S b r==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{na }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n na b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)2n n bb b n b b b n++++=⋅⋅>. ① 当1n =时,左边=32,右边因为32>,所以不等式成立.② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (246)2k k b b b k b b b k++++=⋅⋅>.则当1n k =+时,左边=11212111113572123··· (246)222k kk k b b b b kk b b b bk k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.。