高一数学-无锡市宜兴市高中2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷

2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市高中高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题（2010•上海）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=．2．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列表达式①1∈A②{﹣1}∈A③∅⊆A④{1，﹣1}⊆A，其中正确表达式的序号为．3．设集合M={x|0≤x≤2}，N={x|0≤x≤2}，则在下面四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是（填序号）．4．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]是单调减函数时，a的取值范围．5．函数的定义域为．6．已知，则f（﹣1）=．7．函数在区间（8，9]上的值域为．8．已知函数f（x）=，则满足方程f（x）=的x的值为．9．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x+1，则当x＜0时，f（x）=．10．函数y=x|x+2|的单调减区间为．11．已知集合A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=A，则实数a的取值范围．12．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是．13．不等式对任意x∈[﹣1，2]恒成立，则m的取值范围是．14．已知函数f（x）=，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的实数x的取值范围是．二、解答题（共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知集合A={x|x2﹣10x+16≤0}，，C={x|x＞a}，全集U=R．求：（1）求A∪B（2）（∁U A）∩B（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．计算下列式子的值：（1）（2）log916•lg3+lg25．17．已知直角梯形ABCD如图1所示，CD=2，AB=4，AD=2，线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线交l，当点P从点A运动到点B时，记AP=x，l截直角梯形的左边部分面积为S（x），（1）试写出S（x）关于x的函数，并在图2中画出函数图象．（2）当点P位于何处时，S（x）为直角梯形ABCD面积的？18．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，设函数g（x）=f（x）﹣2kx．（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；（2）若g（x）在x∈[﹣1，1]上是单调函数，求实数k的取值范围．（3）求g（x）在x∈[﹣2，2]上的最小值h（k）．19．已知f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在[﹣1，1]上的最大值为2，求q的值（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．20．设f（x）=（m＞0，n＞0）．（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（）＜0的解集．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市高中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（2010•上海）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=2．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】因为A∪B={1，2，3，4}，因为B中元素为3，4，所以A中必然要有2，所以得到m的值即可．【解答】解：根据并集的概念，A∪B={1，2，3，4}，因为B中元素为3，4，所以A中必然要有2，所以m=2故答案为2【点评】考查学生理解并集定义及运算的能力．2．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列表达式①1∈A②{﹣1}∈A③∅⊆A④{1，﹣1}⊆A，其中正确表达式的序号为①③④．【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】计算题；集合．【分析】化简集合A={﹣1，1}，从而表示元素与集合的关系即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，故1∈A，{﹣1}⊆A，∅⊆A，{1，﹣1}⊆A；故答案为：①③④．【点评】本题考查了集合的化简与元素与集合的关系的应用．3．设集合M={x|0≤x≤2}，N={x|0≤x≤2}，则在下面四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是②③（填序号）．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．【解答】解：由函数的定义知①中的定义域不是M，④中集合M中有的元素在集合N中对应两个函数值不符合函数定义，故不对，只有②③成立．故答案为：②③．【点评】本题主要考查函数的定义的问题．集合M到集合N的函数关系一定要满足：对集合M中任一元素根据对应关系都要在集合N中找到对应函数值．4．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]是单调减函数时，a的取值范围（﹣∞，﹣3]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先将函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2转化为：f（x）=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2，明确其对称轴，再由函数在（﹣∞，4]是单调减函数，则对称轴在区间的右侧求解．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2∴其对称轴为：x=1﹣a又∵（﹣∞，4]是单调减函数∴1﹣a≥4，∴a≤﹣3故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．是基础题．5．函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】函数的定义域，由此能求出其结果．【解答】解：函数的定义域，解得x＜1，且x≠﹣2．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]．【点评】本题考查函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意分母不为0，负数不能开偶数次方．6．已知，则f（﹣1）=2．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数解析式，进行代入求解即可．【解答】解：由+1=﹣1，即由=﹣2，即x=﹣1，即f（﹣1）=f（）=﹣1+3=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件进行转化即可．7．函数在区间（8，9]上的值域为．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据反比例函数的单调性便知该函数在区间（8，9]上为减函数，设y=f（x），从而有f（9）≤f（x）＜f（8），这样便可得出该函数的值域．【解答】解：函数在（8，9]上单调递减，设y=f（x），则：f（9）≤f（x）＜f（8）；即；∴该函数在区间（8，9]上的值域为．故答案为：[，1）．【点评】考查函数值域的概念，反比例函数的单调性，根据单调性定义求函数的值域．8．已知函数f（x）=，则满足方程f（x）=的x的值为1或3．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合已知条件，求解方程的解即可．【解答】解：函数f（x）=，则满足方程f（x）=．可得x≤1时，3﹣x=，解得x=1；当x＞1时，log27x=，解得x=3．故答案为：1或3．【点评】本题考查函数的应用，方程的解的求法，考查计算能力．9．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x+1，则当x＜0时，f（x）=﹣x2+x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，根据当x＞0时，f（x）=x2+x+1，可得f（﹣x）的表达式，进而根据y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到结果．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x2+x+1，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣x+1=x2﹣x+1，又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+x﹣1故答案为：﹣x2+x﹣1【点评】本题考查的知识点是函数解析的求解及常用方法，其中真正理解y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）是解答的关键．10．函数y=x|x+2|的单调减区间为（﹣2，﹣1）．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．【解答】解：当x＞﹣2时，f（x）=x2+2x，当x≤﹣2时，f（x）=﹣x2﹣2x，这样就得到一个分段函数f（x）=．f（x）=x2+2x的对称轴为：x=﹣1，开口向上，x＞﹣2时是增函数；f（x）=﹣x2﹣2x，开口向下，对称轴为x=﹣1，则x＜﹣1时函数是增函数，﹣2＜x＜﹣1时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[﹣2，﹣1]．故答案为：[﹣2，﹣1]．【点评】本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过函数的性质或者图象得到结果．11．已知集合A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=A，则实数a的取值范围（，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，即可确定出a的范围【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．又集合A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），当A=∅时，即2a＞a+3时，即a＞3时，满足A∩B=A，当A≠∅时，则，解得＜a≤3，综上所述实数a的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性的性质将f（3x﹣1）＜f（）转化为f（|3x﹣1|）＜f（）然后利用函数的单调性解不等式即可．．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（3x﹣1）＜f（）等价为f（|3x﹣1|）＜f（），∵f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|3x﹣1|＜，即﹣＜3x﹣1＜，解得＜x＜，∴x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数是偶函数将不等式转化为f（|3x﹣1|）＜f（）是解决本题的关键．13．不等式对任意x∈[﹣1，2]恒成立，则m的取值范围是m ＞2．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】把不等式对任意x∈[﹣1，2]恒成立，转化为m＞对任意x∈[﹣1，2]恒成立，换元后求出二次函数的最值得答案．【解答】解：∵不等式对任意x∈[﹣1，2]恒成立，∴m＞对任意x∈[﹣1，2]恒成立，令，t∈[]．即m＞t2﹣t恒成立，当t=2时，（t2﹣t）max=2，∴m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了分离变量法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．14．已知函数f（x）=，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的实数x的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣），．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得①1﹣x2 ＜0，2x＞0，或②1﹣x2 ＜0，2x≤0，1﹣x2 ＜2x．分别求出①和②的解集，再取并集即得所求．【解答】解：由题意可得①1﹣x2 ＜0，2x＞0，或②1﹣x2 ＜0，2x≤0，1﹣x2 ＜2x．由①可得x＞1；由②可得x＜﹣1﹣．综上可得，实数x的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣），故答案为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、解答题（共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知集合A={x|x2﹣10x+16≤0}，，C={x|x＞a}，全集U=R．求：（1）求A∪B（2）（∁U A）∩B（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，找出既属于A又属于B的部分，即可求出两集合的并集；（2）由全集U=R，找出不属于A的部分，求出B的补集，找出B与A补集的公共部分，即可确定出所求的集合；（III）由集合A与C，且两集合的交集不为空集，即可求出a的范围．【解答】解：（1）由集合A中的不等式x2﹣10x+16≤0，变形得：（x﹣2）（x﹣8）≤0，解得：2≤x≤8，∴A=[2，8]，由＜0，变形得（x﹣1）（x﹣6）＜0，解得1＜x＜6，∴B=（1，6），∴A∪B=（1，8]；（2）∵A=[2，8]，全集U=R，∴C U A=（﹣∞，2）∪[（8，+∞），又B=（1，6），∴（C U A）∩B=（1，2）（3）∵A=[2，8]，C={x|x＞a}=（a，+∞），且A∩C≠∅，∴a＜8．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．16．计算下列式子的值：（1）（2）log916•lg3+lg25．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂化简求解即可．（2）利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=3﹣3+2×+1=；（2）log916•lg3+lg25=2log32•lg3+2lg5=2lg2+2lg5=2 （各7分）【点评】本题考查有理指数幂的运算，对数的运算法则的应用，考查计算能力．17．已知直角梯形ABCD如图1所示，CD=2，AB=4，AD=2，线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线交l，当点P从点A运动到点B时，记AP=x，l截直角梯形的左边部分面积为S（x），（1）试写出S（x）关于x的函数，并在图2中画出函数图象．（2）当点P位于何处时，S（x）为直角梯形ABCD面积的？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可看出当l在过C前和过C后面积S（x）的求法不同，从而分0≤x≤2和2＜x≤4两种情况求面积S（x）=，然后根据S（x）的解析式画出图象即可；（2）容易求出直角梯形ABCD的面积，从而得出S（x）=，从而可以判断出2＜x＜4，从而解方程便可求出x，从而得出点P的位置．【解答】解：（1）0≤x≤4；①当0≤x≤2时，S（x）=2x；②当2＜x≤4时，；∴；S（x）的图象如下：（2）直角梯形ABCD的面积为：；∴；∴S（x）＞S（2）=4；∴2＜x＜4，令得：，或x=4+（舍去）；即P距离A4﹣处．【点评】考查矩形、梯形的面积公式，一次函数图象和二次函数图象的画法，分段函数图象的画法，对于分段函数已知函数值求自变量值时，需判断自变量在哪一段上．18．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，设函数g（x）=f（x）﹣2kx．（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；（2）若g（x）在x∈[﹣1，1]上是单调函数，求实数k的取值范围．（3）求g（x）在x∈[﹣2，2]上的最小值h（k）．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）由已知f（1）=0可得a+b+1=0，由f（x）的值域为[0，+∞）可得△=b2﹣4a=0，联立方程可求a，b，进而可求f（x）（2）由g（x）=f（x）﹣2kx=ax2+（b﹣2k）x+1，分类讨论：1°当a=0时，g（x）=（b﹣2k）x+1，结合一次函数的性质可求；2°当a≠0时，g（x）的对称轴：，由g（x）在x∈[﹣1，1]上单调可得或可求（3）：1°当a=0时，g（x）=（b﹣2k）x+1，结合一次函数的单调性可求；2°当a＞0时，g （x）的对称轴：且开口向上，通过讨论对称轴与区间的位置关系，结合二次函数在该区间上的单调性可求【解答】解：（1）显然a≠0∵f（1）=0∴a+b+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈R，且f（x）的值域为[0，+∞）∴△=b2﹣4a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由可得∴f （x ）=x 2﹣2x+1（2）g （x ）=f （x ）﹣2kx=ax 2+（b ﹣2k ）x+1 1°当a=0时，g （x ）=（b ﹣2k ）x+1， ∵g （x ）在x ∈[﹣1，1]上单调， ∴b ≠2k2°当a ≠0时，g （x ）图象满足：对称轴：∵g （x ）在x ∈[﹣1，1]上单调∴或①当a ＞0时，或②当a ＜0时，或（3）：1°当a=0时，g （x ）=（b ﹣2k ）x+1①当b ﹣2k=0，即时，h （k ）=1②当b ﹣2k ＞0，即时，h （k ）=g （﹣2）=4k ﹣2b+1③当b ﹣2k ＜0，即时，h （k ）=g （2）=﹣4k+2b+12°当a ＞0时，g （x ）图象满足：对称轴：且开口向上①当，即时，h （k ）=g （﹣2）=4a ﹣2b+4k+1②当，即时，③当，即时，h （k ）=g （2）=4a+2b ﹣4k+13°当a ＜0时，g （x ）图象满足：对称轴：且开口向下①当，即时，h （k ）=g （2）=4a+2b ﹣4k+1②当，即时，h （k ）=g （﹣2）=4a ﹣2b+4k+1【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并注意分类讨论思想的应用19．已知f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在[﹣1，1]上的最大值为2，求q的值（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）f（x）配方后，根据函数在[﹣1，1]上的最大值为2，求出q的值即可；（2）分0＜q≤8与8＜q＜10两个范围，由x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，求出q的值即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣16x+q+3=x2﹣16x+64+q﹣61=（x﹣8）2+q﹣61，由函数在[﹣1，1]上的最大值为2，得到f（﹣1）=2，即81+q﹣61=2，解得：q=﹣18；（2）当0＜q≤8时，f（x）最小值为f（8）=﹣51，解得：q=10，不合题意，舍去；当8＜q＜10时，f（x）最小值为f（q）=﹣51，解得：q=9或者q=6（舍去），∴q=9，综上所述：存在常数q=9，符合题意．【点评】此题考查了二次函数的性质，以及函数最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．20．设f（x）=（m＞0，n＞0）．（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（）＜0的解集．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）举出反例即可得证，比如计算f（﹣1），f（1）即可；（2）运用奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x），化简得到恒等式，解方程，即可求得m，n；（3）判断f（x）是R上单调减函数，再由奇函数可得f（f（x））+f（）＜0，即为f（x）＞﹣，运用指数函数的单调性，即可解得．【解答】解：（1）当m=n=1时，，由于，，所以f（﹣1）≠﹣f（1），则f（x）不是奇函数；（2）f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x成立．化简整理得（2m﹣n）•22x+（2mn﹣4）•2x+（2m﹣n）=0，这是关于x的恒等式，即有，解得或．经检验符合题意．（3）由（2）可知，易判断f（x）是R上单调减函数；由得：解得，x＜log23，即f（x）＞0的解集为（﹣∞，log23）．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．。