4.3.1平面直角坐标系中的平移变换
苏科版数学八上4.3《平面直角坐标系》课件
以球心为原点，通过球心和任意两点间的 连线与固定平面的夹角和该连线长度来表 示点的位置。
02
CATALOGUE
点的坐标表示与计算
点在平面直角坐标系中的表示
点的坐标
在平面直角坐标系中，一个点由一对 有序实数对表示，称为点的坐标。第 一个数表示点在x轴上的投影，第二个 数表示点在y轴上的投影。
坐标轴
A在x轴上对应的3个单位长度，以及在y轴上对应的4个单位长度。
坐标系的分类
平面直角坐标系
极坐标系
坐标轴互相垂直相交，是常用的坐标系。
以一个固定点为原点，通过该点和固定方 向的射线为极轴，用极角和径长表示点的 位置。
圆柱坐标系
球坐标系
以圆柱的轴线为z轴，与圆柱上任一点到固 定平面的垂线与该点的向径与z轴的夹角和 向径的长度来表示点的位置。
路线规划
使用坐标表示起点和终点 ，进行路线规划。
利用坐标系解决几何问题
距离计算
通过坐标计算两点之间的距离， 如两点间线段的长度。
角度计算
利用坐标计算两线段之间的夹角， 如直线的夹角、线段与坐标轴的夹 角。
面积计算
通过坐标计算多边形的面积，如三 角形、平行四边形等。
平面直角坐标系的应用拓展
函数图像
点的对称
关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，其纵坐标相同 ，横坐标互为相反数。
距离公式
两点间的距离公式为$sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，用于计算两点间的直线距离。
坐标系的变换
旋转
以原点为中心，将整个坐标系旋 转一定的角度，可以使得图形中 的点旋转到新的位置。旋转时， 点的坐标会发生变化。
长沙市一中教案-高二理科数学《4.3.1空间直角坐标系》
4.3.1 空间直角坐标系（1）教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.提出问题：问题1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？ 问题２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？问题３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等．2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．３．空间直角坐标系中的点与有序数组之间的关系：1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论： 若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．）问题4。
高中数学4-3平面坐标系中几种常见变换4-3-1平面直角坐标系中的平移变换同步测控
高中数学4-3平面坐标系中几种常见变换4-3-1平面直角坐标系中的平移变换同步测控同步侧控我夯基，我达标1.将图形F按向量a＝（h，k）（其中h＞０，k＞０）平移，就是将图形F( )A.向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度B.向x轴的负方向平移h个单位长度，同时向y轴的负方向平移k个单位长度C.向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的负方向平移k个单位长度D.向x轴的负方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度解析：设图形F：f(x,y)＝0，按向量a=(h,k)平移后的图形为F′：f(x-h,y-k)＝0，显然图形F′是由图形F向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度所得到的.答案：Ａ2.已知点（１，3）按向量a平移后得到点（４，１），那么点（2，１）按向量a平移后的坐标是( )A.（５，１） B．（－５，－１） C.（－５，１）D.（５，－１）解析：a＝（４，１）－（１，３）＝（３，－２），则点（２，１）平移后的坐标为（２＋３，１－２），即（５，－１）．答案：Ｄ3.将一个点按向量a平移后，该点的横、纵坐标分别减少了4和2，则a等于（）A.（４，2） B．（2，４） C.（－４，－2）D.（－2，－４）解析：设P(x,y)点按向量a=(h,k)平移后的对应点为P′(x′,y′)，则即a ＝（－４，－２）．⎩⎨⎧-=-'=-=-'=⎩⎨⎧+='+=',2,4.,y y k x x h k y y h x x 所以 答案：Ｃ4.将函数y=sin2x 按向量a ＝（－，１）平移后的函数解析式是( )6π A.y=sin(2x+)+1 B.y=sin(2x-)+13π3π C.y=sin(2x+)+1 D.y=sin(2x-)+16π6π 解析：函数y=sin2x 的图象按向量a=(－,1)平移,得y=sin ［2(x+)］＋１．6π6π答案：A5.将抛物线y=x2-4x ＋5按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量a 的坐标为( )A.（2，１） B ．（－2，－１） C.（－2，１） D.（2，－１）解析：y=x2-4x ＋５＝(x-2)2＋１，顶点为（２，１）,将顶点移至与原点重合，则a ＝（０，０）－（２，１）＝（－２，－１）． 答案：Ｂ6.函数y=sin2x 的图象按向量a 平移后，所得函数解析式为y=cos2x+1，则a 可能等于( )A.（，１） B ．（－，１） C.（－，１） D.（，１）4π4π2π2π解析：设a=(h,k)，则代入y=sin2x,得y′-k=sin2(x′-h).整理得y′=sin2(x′-h)+k.⎩⎨⎧-'=-'=ky y h x x , ∴cos2x′+1=sin(2x′-2h)+k ．当时,sin(2x-2h)+k=cos2x+1.⎪⎩⎪⎨⎧=-=1,4k h π答案：B7.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位长度，再沿y 轴正方向平移１个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为( )A. B ．－3 C.D.331-31解析：设直线l 的方程为y=kx+b （此题k 必存在），则直线向左平移３个单位，向上平移１个单位后，直线方程应为 y=k(x+3)+b ＋１，即y=kx+3k+b ＋１．因为此直线与原直线重合，所以两方程相同，比较常数项得3k+b+1=b ． ∴k=.31-答案：A8.将函数y=3mx+n+m 的图象按向量a 平移后得到的图象的解析式为y=3mx+n ，则a 等于( )A.（－，n-m ） B ．（，n-m ） C.（－,m-n) D.（,m-n ）m n m n m n mn解析：y=3mx+n+my-m+n=+n ，令⇒)(3mn x m +⎪⎩⎪⎨⎧'=+='=+,,y n m y x mn x 从而得向量a ＝（,n-m ）．m n 答案：Ｂ我综合，我发展9.函数f(x)=x2+mx+n 的图象按向量a=(4,3)平移后得到的图象恰与直线4x+y －８＝０相切于点T(1,4)，则原函数的解析式为( )A.f(x)=x2+2x+1B.f(x)=x2+2x+2C.f(x)=x2+2x-2D.f(x)=x2+2x解析：函数f(x)=x2+mx+n 的导数y′=2x+m，设原切点T′(x,y)，按向量a ＝（４，３）平移为T(1,4)，则T′(-3,1)，由切线的斜率为-４，切点T′(-3,1)在函数f(x)=x2+mx+n 的图象上，故2×(-3)+m=-4，所以m=2.又(-3)2+(-3)×2+n=1,所以n=-2.从而原函数的解析式为f(x)=x2+2x-2.答案：C10.将y=sin2x 的图象向右按a 作最小的平移,使得平移后的图象在[k π+,k π＋π](k∈Z)上递减,则a ＝_____________．2π 解析：设平移后的函数解析式为y=sin2(x-h)，由2k π+≤2(x -h)≤2k π+π(k∈Z),得2π23k π++h≤x≤k π++h(k∈Z).4π43π∵+h=,∴h=．∴a=(,0)4π2π4π4π答案：（,0)4π11.已知f(x+2 008)=4x2+4x+3(x∈R），那么函数f(x)的最小值为____________解析：由f(x+2 008)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x+2 008)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的.由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,立即求得f(x)的最小值,即f(x+2 008)的最小值是２.21 答案：２12.把函数y=32x-5的图象按向量a 平移后，解析式变为y=32x ，求向量a ．思路分析：关于图象平移，其关键是正确区分平移前后解析式中的（x,y ）、（x′,y′），并找到其关系，就可求出a ．解法一：设向量a ＝（h,k ），P （x,y ）是函数y=32x-5图象上任一点，平移后，函数y=32x 图象上的对应点为P′(x′,y′)，由平移公式得y+k=32(x+h).⎩⎨⎧+='+=',,k y y hx x整理得y=32x+2h-k ，显然它与y=32x-5为同一函数，从而有即所以a＝（，０）.⎩⎨⎧=--=,0,52k h ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.0,25k h 25- 解法二：设向量a=(h,k)，由平移公式得⎩⎨⎧+='+=',,k y y hx x ⎩⎨⎧-'=-'=.,k y y h x x 将它代入y=32x-5，得y′-k=32(x′-h)-5.整理，得y′=32x′-2h-5+k.显然它与y′=32x′为同一函数，∴解得所以a=,0)．⎩⎨⎧==--.0,052k h ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.0,25k h 25-我创新，我超越13.已知抛物线y=x2-2x-８,求 （１）抛物线顶点的坐标；（2）将这个抛物线的顶点平移到点（2，－3）时的函数解析式；（3）将此抛物线按怎样的向量a=(h,k)平移，能使平移后的曲线的函数解析式为y=x2．思路分析：将抛物线方程进行配方，化为y=a(x-h)2+k 的形式．解：（1）将y=x2-2x-8配方，得y=(x-1)2-9，故抛物线顶点O 的坐标为（１，－９）．(2)将抛物线y=(x-1)2-9的顶点平移到点（２，－３）时的函数解析式为y=(x-2)2-3,即y=x2-4x+1.（3）将平移公式即代入原抛物线的解析式,得y′-k=(x′-h)2-2(x′-h)-8.⎩⎨⎧+='+=',,k y y hx x ⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x , 化简,得y′=x′2-2(h+1)x′+h2+2h -8+k.与平移后的曲线解析式y′=x′2比较,可得⎩⎨⎧=+-+=+-,082,0)1(22k h h h 解得⎩⎨⎧=-=.9,1k h ∴所求平移向量a ＝（－１，９）． 14.已知函数f(x)=log2(2x-3)+4．（１）将函数f(x)的图象按向量a ＝（０，－４）平移后,求所得函数的解析式．（2）是否存在一个平移，能将函数f(x)化为对数函数形式？若存在，求出这一对数函数的解析式，并借化简的结果研究函数f(x)的单调性；若不存在，请说明原因．思路分析：问题（2）是一个探索型问题，可先利用待定系数法设出平移向量，再根据题意代入函数f(x)中，最后通过比较式子的结构，求出平移向量．（１）解：设P(x,y)为函数f(x)图象上任一点，按a ＝（０，－４）平移后对应点为P′(x′,y′),则把平移公式即代入y=log2(2x-3)＋４，得y′+4=log2(2x′-3)＋４，即y′=log2(2x′-3).⎩⎨⎧-='+='4,0y y x x ⎩⎨⎧+'='=4,y y x x 故平移后所得图象的函数解析式为y=log2(2x-3)．(2)解法一：设存在向量a=(h,k)满足题设，并设P(x,y)为f(x)图象上任意一点，其按a=(h,k)平移后的对称点为P′(x′,y′)，则即代入原函数解析式,得y′-k=log2\[2(x′-h)-3\]＋４，即⎩⎨⎧+='+=',,k y y hx x ⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x , y′=log2（2x′-2h-3）+4+k＝log22(x′-)+(4+k)232+h ＝log2(x′-)+(5+k).232+h由题意即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,05,0232k h ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.5,23k h ∴当a=(,-5)时，平移后的函数解析式y=log2x 为对数函数，该函数在其定义域上为单调增函数，故函数f(x)在其定义域上也为单调增函数．23-解法二：由已知f(x)=log2[2(x-)]+4，23 令y=f(x),则y=log22+log2(x-)+4,23 ∴y -5=log2(x-).23令⎪⎩⎪⎨⎧-='-=',5,23y y x x则按向量a=(,-5)平移后，函数f(x)的解析式化为对数函数y=log2x ，这一函数在其定义域上为单调增函数，∴函数f(x)在其定义域上也是单调增函数．23-。
浙教版数学八年级上册4 第2课时 坐标平面内图形的平移课件
如图所示，各点的坐标分
别为A(－3，2)、C(－2，0)、
A1(3，4)、C1(4，2)；
(2) 求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积.
(2)连接AA1,CC1,
S = S + S 四边形ACC1A1
ΔAA1C1
ΔAC1C
S ΔAA1C1
1 27 2
7
S ΔAC1C
A
∴S四边形ACC1A1 = SΔAA1C1 + SΔAC1C =14. B
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
根据左图回答问题： 1.将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度，
得到点A1( __3_ , _-_3_ );
2.将点A(-2,-3)向左平移 2个单位长度，得到点
A2(__-_4_ , __-_3__)；
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长
度，得到点A3( -2 , 1 )；
4.将点A(-2,-3)向下平移2个单位长
课件4：4.3.1 空间直角坐标系
3.空间直角坐标系中，三条坐标轴( )
A.两两垂直且相交于一点
B.两两平行
C.仅有两条不垂直
D.仅有两条垂直
【答案】A
4.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( ) A．(4,2,2) B．(2,1,2) C．(2,1,1) D．(4,1,2)
【解析】根据空间中点坐标公式，可得中点坐标为(1＋2 3，4－2 2， －32＋5)，即(2,1,1)．
4.3.1 空间直角坐标系
导入新知
1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂 直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴 ，这样 就建立了空间直角坐标系 O－xyz. (2)相关概念：点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴 叫 做坐标轴．通过 每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分 别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面．
【解】以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为 正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4， 则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12， 所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32. 所以点 E 的坐标为(1，32，0)，点 F 的坐标为(1,2,1)．
2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴 的正方向， 食指指向y 轴 的正方向，如果中指指向z 轴 的正方向，则 称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x，y，z) 来表 示，有序实数组(x，y，z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中 的坐标，记作M(x，y，z) ．其中 x叫点 M 的横坐标，y 叫 点 M 的纵坐标，z 叫点 M 的竖坐标．
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
平面直角坐标系中的变换
平面直角坐标系的图象变换 姓名一、平移变换1、平移定义：把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或者空间）的一个平移。
说明：（1）平移由移动的方向和距离决定。
（2）平移可由一个向量a 决定：a 的方向表示移动方向，a 的大小表示移动的距离。
2、平移公式：设(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =PP a '=由于 因此(,)(,)(,)x y x y m n ''-= ''x x m y y n -=⎧⎨-=⎩即：''x x m y y n =+⎧⎨=+⎩即： （平移公式）x x my y n'=-⎧⇒⎨'=-⎩(变形公式) 说明:（1）平移公式反映了图形中每一个点在平移前后新坐标和原坐标之间的关系.（2）平移公式只适用于坐标系不动,图形(或点)平移的情况.（3）在(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =中,知道其中任两个,可求另一个. 例1、（1）把点 A(-2 , 1)平移向量a =(3,2)，求对应的点A ´的坐标。
（2）点B(8,-10)平移向量a 后的对应点B ´的坐标为(-7,4)，求平移向量a 。
例2 、（1）已知函数2y x =的图像F 按向量(2,3)a =-平移得到'F ，求图像'F 的表达式。
（2）把函数2xy =的图像F 平移向量(3,2)a =到F '，求F '对应的函数解析式.(3) 函数2y x =的图像F 按向量(,)a m n =平移得到()2':13F y x =++，求平移向量a .注：一般可以证明，函数y=f(x)的图像平移向量(,)a a b =后，得到的函数表达式为：()y b f x a -=-。
课件9：4.3.1 空间直角坐标系
类型三 空间中两点间距离公式的应用 [例 3] 在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，|AB|＝4，|AA1|＝4，点 E 在 AD 上且|DE|＝3|EA|，点 F 是 B1C 的中点，求线段 EF 的长度．
解：如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，则 D(0,0,0)，C(0,4,0)，A(4,0,0)，B1(4,4,4)． ∵点 F 是 B1C 的中点，∴点 F 的坐标为(2,4,2)． 又∵|DE|＝3|EA|，∴点 E 的坐标为(3,0,0)． ∴|EF|＝ (2－3)2＋(4－0)2＋(2－0)2＝ 21.
[变式训练 2] 写出点 P(6，－2，－7)在 xOy 面，yOz 面，xOz 面上的投 影的坐标以及点 P 关于各坐标平面对称的点的坐标． 解：设点 P 在 xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面上的投影分别为点 A，B， C，点 P 关于 xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面的对称点分别为点 A′，B′， C′，由 PA⊥平面 xOy，PB⊥平面 yOz，PC⊥平面 xOz 及坐标平面的特征 知，点 A(6，－2,0)，点 B(0，－2，－7)，点 C(6,0，－7)；根据点 P 关于 各坐标平面对称点的特征知，点 A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2， －7)．
[变式训练 4] 已知△ABC 的三个顶点 A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)． (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求 AC 边中线的长度．
解：(1)由空间两点间距离公式得 |AB|＝ (1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC|＝ (2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝ 6， |AC|＝ (1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝ 29. ∴△ABC 中最短边是|BC|，其长度为 6. (2)由中点坐标公式得 AC 的中点坐标为2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为 (2－2)2＋(3－3)2＋4－722＝12.
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选修4－4坐标系与参数方程4.3.1平面直角坐标系中的平移变换
学习目标
通过具体例子，了解在平面直角坐标系中平移变换作用下平面图形的变化情况。
学习过程：
一、预习：
在平面内， ，称为图形F 的平移.若以向量表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量平移.
在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h =，平移后的对应点为),('''y x P ，则有
),(),(),(''y x k h y x =+，
或表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+''y k y x h x ，因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+''y
k y x h x 所确定的变换 是平移变换.
练习：
1．点)0,(m M 按向量a 平移到),0(n N ，则向量a 是________________.
2．直线03125=-+y x 按向量)1,3(-平移后的方程是____________________.
3、若点),(y x P 按向量),(k h =平移到),(''y x Q ，则它们之间的关系可以表示为
_______________.
二、课堂训练：
例1．（1）已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=平移至点Q ，求点Q 的坐标；
（2）求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a 平移后的方程.
例2、说明方程01118169422=-+-+y x y x 表示什么曲线。
三、 课后巩固：
1、运用平移，将下列曲线的方程化为标准方程，并写出平移向量： （1）05683222=++-+y x y x ；
（2）01912222
2=-++-y x y x .
2、曲线034222=+---y x y x 按向量)2,1(-平移后的方程是什么？它表示什么曲线？
3、抛物线742+-=x x y 按向量平移后，得到抛物线的方程是2x y =.求向量及平移前抛物线的焦点坐标.
4、圆2522=+y x 按向量a 平移后的方程是0204222=-+-+y x y x ，求过点)4,3(的圆2522=+y x 的切线按向量a 平移后的方程.
5、求椭圆0918249422=+-++y x y x 的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程.
6、将函数y=2x 的图象 l 按a=(0,3)平移到l′,求l ′的函数解析式．
7、已知函数y=x2图象F, 平移向量a=(-2,3)到F'的位置, 求图象F'的函数表达式
8、分别将点A （3，5）,B （7，0）按向量平移 )5,4(=， 求平移后各对应点的坐标。
9、把函数y=x 的图像l 按)4,0(=平移到l ’ ，求l ’ 的函数解析式。
10、将抛物线 y=x2+4x+7经过怎样的平移，可以得到y=x 2?。