向量的平移全面版
向量的平移与旋转
向量的平移与旋转向量是数学中的重要概念，具有平移和旋转两种基本操作。
在几何学和物理学中，我们经常需要对向量进行平移和旋转来描述物体的运动和位置变化。
本文将介绍向量的平移和旋转的基本概念、原理和应用。
一、平移平移是指将向量沿着某个固定的方向移动一定的距离。
当一个向量平移时，它的起点和终点分别沿着平移方向移动相同的距离，而向量的长度和方向不变。
平移操作可以用向量的加法来描述。
设向量u表示平移前的向量，向量v表示平移的位移向量，则平移后的向量w可以表示为w = u + v。
其中，向量v的起点和终点分别与向量u的起点和终点重合。
平移可以改变向量的位置而保持向量本身的性质。
在几何学中，我们常用平移来描述物体在直线上的移动。
二、旋转旋转是指将向量绕着某个固定的点或轴按照一定的角度旋转。
当一个向量旋转时，它的长度和方向保持不变。
旋转操作可以用矩阵乘法来描述。
设向量u表示旋转前的向量，矩阵R表示旋转矩阵，则旋转后的向量v可以表示为v = R * u。
旋转矩阵R的具体形式取决于旋转的类型和角度。
旋转可以改变向量的方向而保持向量的长度不变。
在几何学中，我们常用旋转来描述物体绕某个点或轴的旋转运动。
三、向量的平移与旋转向量的平移和旋转是相互独立的操作，可以按照任意顺序进行组合。
当一个向量先平移再旋转时，平移操作不受旋转操作的影响，旋转操作不受平移操作的影响。
在实际应用中，向量的平移和旋转经常用于计算机图形学、机器人运动学等领域。
平移和旋转操作可以通过矩阵来表示并方便计算。
四、向量平移与旋转的应用举例1. 计算机图形学：平移和旋转操作被广泛用于计算机图形学中，用来描述物体的变换、动画效果等。
通过向量的平移和旋转，可以实现物体的移动、旋转、缩放等变换操作。
2. 机器人运动学：平移和旋转操作在机器人运动学中被用于描述机器人的移动和姿态变换。
通过向量的平移和旋转，可以计算机器人末端执行器的位置和姿态，实现机器人的路径规划和轨迹控制。
平移知识点归纳总结
平移知识点归纳总结一、平移的定义平移是指在空间中保持一定方向和距离的情况下，将一个图形沿着这个方向移动一定距离的过程。
在二维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2)在三维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2,a3)，向量b=(b1,b2,b3)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)这就是平移的基本定义，即通过向量的加法实现的空间中的一种移动操作。
需要注意的是，在进行平移操作时，被平移的图形保持原来的形状和大小不变，只是位置移动了一定的距离。
二、平移的性质1. 平移是向量的加法运算：平移操作是通过向量的加法运算来实现的，即在空间中沿着一定方向移动一定距离。
这就意味着向量的平移操作满足向量的加法的性质，包括交换律、结合律和存在零元素等性质。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移是一种保持图形形状和大小不变的移动操作，这是因为平移操作是将向量加上一个固定的平移向量，只是改变了位置，而没有改变图形的形状和大小。
3. 平移操作可以用矩阵表示：平移是一种线性变换，可以用矩阵表示。
在二维空间中，平移可以用下面的矩阵表示：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]其中a和b分别表示x轴和y轴的平移向量，这样的矩阵称为二维平移矩阵。
在三维空间中，平移可以用类似的方式表示。
4. 平移操作可以逆向进行：平移操作可以逆向进行，即通过一个相反的平移向量可以将图形还原到原来的位置。
这是因为平移是线性变换，具有逆变换的性质。
5. 平移操作保持向量的相对位置不变：在平移操作中，图形中各个点的相对位置关系保持不变，只是整体移动了一定的距禿。
高中数学向量平移教案
高中数学向量平移教案
一、教学目标：
1. 理解向量平移的概念和性质；
2. 掌握向量平移的运算规律；
3. 能够应用向量平移解决实际问题。
二、教学内容：
1. 向量平移的定义和表示；
2. 向量平移的性质和运算规律；
3. 向量平移的应用实例。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个具体的例子引入向量平移的概念，让学生理解平移是指把一个向量沿着一定方向和距离移动的过程。
2. 讲解：介绍向量平移的定义和表示方法，以及向量平移的性质和运算规律。
特别要强调平移不改变向量的大小和方向，只改变其位置。
3. 练习：让学生进行一些简单的向量平移运算练习，巩固他们的理解和掌握程度。
4. 应用：通过一些实际问题，让学生应用向量平移的知识解决问题，培养他们的实际运用能力。
5. 拓展：引入更复杂的向量平移问题，提高学生的综合运用能力。
四、教学总结：
总结向量平移的概念、性质和运算规律，强调向量平移在数学中的重要性和应用价值。
五、作业：
布置相关的向量平移练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思：
反思本节课的教学过程，找出存在的不足之处，为下一节课的教学做好准备。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是二维几何变换中的一种重要方式，它保持图形的大小和形状不变，只是位置发生了移动。
下面将对平移的基本概念、性质以及应用进行总结。
1. 基本概念平移是指在二维平面上，将一个图形沿着某个方向移动一定距离而不改变其形状和大小的变换。
平移由两个要素确定：平移方向（直线）和平移距离（长度）。
2. 平移的表示平移可以用向量表示。
设平移向量为（a, b），其中a表示平移在x轴方向上的位移，b表示平移在y轴方向上的位移。
若点P(x, y)经过平移变换后得到点P'(x+a, y+b)，则向量PP'即为平移向量。
3. 平移的性质（1）平移是保形变换，即图形的大小和形状不发生改变。
（2）平移是保角变换，即平移前后的两个角度大小保持不变。
（3）平移满足可逆性，即平移后再进行逆向平移，可恢复原图形。
4. 平移的性质证明（1）保形性证明：设平移前有线段AB和平行线l，进行平移后，线段A'B'与线段AB平行，且长度相等，平行线l'与直线l仍平行。
故平移保持图形的大小和形状不变。
（2）保角性证明：设平移前有两个角度∠ABC和∠DEF，进行平移后，有∠A'B'C'≌∠DEF。
故平移保持角度的大小不变。
（3）可逆性证明：设平移前有点P和平移向量（a，b），进行平移后得到P'，再进行以向量（-a，-b）的平移，可将P'恢复为原点P。
故平移满足可逆性。
5. 平移的应用（1）地图导航：在地图导航软件中，通过平移操作可以在地图上任意移动，实现地图的整体平移。
（2）图像处理：在图像处理软件中，平移操作可以将图像在画布上的位置进行调整，达到移动图像的效果。
（3）建筑设计：在建筑设计中，平移操作可以实现建筑物在平面图上的位置调整，方便对房间、门窗等元素进行布局。
总结：平移是二维几何变换中的一种重要方式，通过保持图形的大小和形状不变，只改变位置来实现。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是几何学中的基本操作之一，它是指在平面上保持形状不变的情况下将图形沿着平行线段移动。
在数学中，平移是一种简单而重要的变换方式，对于研究图形的性质和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将对平移的定义、性质、应用等知识点进行总结，帮助读者更好地掌握和应用平移。
一、平移的定义与符号表示平移是指将一个图形沿着平行线段移动到一个新位置，使得移动前后的图形形状保持不变。
在平面上，平移可以用一个向量来表示，该向量即为平移向量。
平移向量由平移的起点到终点的线段所对应的向量表示，记作$$\vec{v}$$。
二、平移的性质1. 保持形状不变：平移后的图形与原图形形状完全相同，只是位置发生了改变。
2. 平行性：平移前后的平行线保持平行关系，平移前后的平行线段仍然平行。
3. 距离不变：平移前后图形上的两点之间的距离保持不变。
4. 圆的平移：平移不改变圆的大小和形状，但改变圆心的位置。
三、平移的过程与步骤平移的过程可以分为以下几个步骤：1. 确定平移向量：根据平移前后图形的位置关系，确定平移向量的大小和方向。
2. 标注起点和终点：在平移前的图形上标注出平移向量的起点和终点。
3. 连接起点和终点：画出平移向量的方向，连接起点和终点。
4. 复制移动：将平移向量复制到平移前的图形上，从起点将图形复制到终点的位置，形成平移后的图形。
四、平移的应用平移作为一种基本的几何变换，在很多实际问题中都具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图的标志物移动：在地图上，为了方便人们的辨识和测量，常常会将标志物进行平移，使得地图上的标志物与实际位置相对应。
2. 工程图纸中的平移：在建筑、装修等工程中，往往需要根据实际情况对图纸进行平移，以确定建筑材料的位置和安装情况。
3. 计算机图形学中的平移：在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域，可实现图像的移动和位置修正。
总结：本文对平移的定义、性质、过程和应用进行了总结，平移是几何学中的重要概念之一。
平移是指将向量沿着指定方向和距离移动。
平移是指将向量沿着指定方向和距离移动。
什么是平移？
平移是一种几何变换，它将一个点或向量沿着指定的方向和距
离移动。
在二维几何中，平移通常表示为向量的加法运算，其中向
量的末端被移动到新的位置。
平移不改变形状、大小或方向，只改
变位置。
平移的公式
平移的公式通常使用向量表示。
假设我们有一个二维向量P(x, y)表示初始位置，要将其沿向量V(a, b)平移，我们可以使用如下的
公式：
P' = P + V
其中，P'是平移后的新位置，P是初始位置，V是平移向量。
平移的过程
平移的过程很简单，首先通过给定的平移向量找到要平移的终
点位置。
然后将初始位置和终点位置相连，得到平移向量。
最后，
将初始位置和平移向量相加，即可得到平移后的新位置。
平移的示例
让我们通过一个示例来理解平移的概念。
假设我们有一个向量P(2, 3)，我们要将其沿向量V(1, -2)平移。
首先，找到终点位置，即P+V=2+1, 3+(-2)，即(3, 1)。
然后，连接初始位置与终点位置，得到平移向量V(1, -2)。
最后，将初始位置P(2, 3)和平移向量V(1, -2)相加，得到平移后的新位置P'(3, 1)。
总结
平移是指将向量沿着指定方向和距离移动。
它可以通过向量的加法运算来表示，其中初始位置与平移向量相加即可得到平移后的新位置。
了解平移的概念和公式可以帮助我们更好地理解平面几何中的移动和位置变换。
初中数学知识归纳向量的平移和旋转
初中数学知识归纳向量的平移和旋转初中数学知识归纳：向量的平移和旋转向量是数学中的一种基本概念，它可以用来描述物体的位移、速度和力等概念。
在初中数学中，学生会学习到如何进行向量的平移和旋转操作。
本文将对这两个概念进行归纳，介绍它们的定义、性质和一些相关的解题方法。
一、向量的平移向量的平移是指在平面上将向量沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以通过将向量的起点和终点同时平移相同的距离来实现。
1. 定义：给定向量a，并设定平移向量b，将向量a沿着b的方向和长度进行平移后得到新的向量c。
新向量c与向量a具有相同的方向和长度，它们的起点和终点位置发生了改变。
2. 性质：a. 平移操作不改变向量的方向和长度。
b. 平移操作满足平移的运算法则，即a+ b = c，其中c是向量a平移b得到的结果向量。
c. 相反向量的平移结果相反，即-a平移b的结果向量为-(a平移b)。
d. 多次平移可以合并为一次平移，即a平移b后再平移c等于a平移(c+b)。
3. 解题方法：a. 通过画图可视化，将向量的起点和终点进行平移，利用平移的性质求解问题。
b. 利用向量的平移性质进行符号运算，化简表达式并求解。
二、向量的旋转向量的旋转是指将向量绕定点旋转一定的角度。
旋转操作可以改变向量的方向和长度。
1. 定义：给定向量a，并设定旋转角度θ，将向量a绕定点O逆时针旋转θ度后得到新的向量b。
新向量b与向量a具有相同的长度，但方向发生了改变。
2. 性质：a. 向量的旋转不改变其长度，只改变方向。
b. 向量的旋转满足旋转的运算法则，即a+ b = c，其中c是向量a 逆时针旋转θ度得到的结果向量。
c. 相反向量的旋转结果相反，即向量-a逆时针旋转θ度得到的结果向量为-（向量a逆时针旋转θ度）。
3. 解题方法：a. 利用向量的旋转性质进行角度运算，结合平面几何的知识求解问题。
b. 利用向量的分解和复原进行旋转操作。
综上所述，初中数学中的向量平移和旋转是两个重要的概念和操作。
平面向量的平移与旋转变换
平面向量的平移与旋转变换一、引言平面向量是在平面内有大小和方向的量，可以用于表示位移、力、速度等物理量。
本文旨在介绍平面向量的平移和旋转变换，并探讨其应用。
二、平面向量的平移变换1. 定义平移是指将向量沿着固定的方向平行地移动一定的距离，结果是得到一个具有相同方向和大小的新向量。
平移变换是平面向量的基本操作之一。
2. 平移公式若向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，将其平移d个单位，得到向量B。
则B的坐标表示为(Bx, By)，其中：Bx = Ax + dBy = Ay + d3. 示例假设有一个向量A(2, 3)，进行平移变换，平移距离为4个单位。
根据平移公式，可得到平移后的向量B(6, 7)。
三、平面向量的旋转变换1. 定义旋转是指将向量绕着一个固定的点旋转一定的角度，结果是得到一个具有相同大小但方向不同的新向量。
旋转变换是平面向量的另一种基本操作。
2. 旋转公式若向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，将其逆时针旋转θ角度，得到向量B。
则B的坐标表示为(Bx, By)，其中：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 示例假设有一个向量A(3, 4)，进行逆时针旋转30°。
根据旋转公式，可计算得到旋转后的向量B(-0.098, 5.964)。
四、平面向量变换的应用1. 平移变换的应用平移变换在几何学和物理学中有着广泛的应用。
例如，对于平面上的多边形，可以通过平移变换得到相同形状的新多边形，只是位置不同。
在力学中，平移变换可以用于描述物体的位移。
2. 旋转变换的应用旋转变换同样在几何学和物理学中得到广泛应用。
例如，在计算机图形学中，可以通过旋转变换实现三维物体的旋转显示。
在机器人学中，旋转变换可用于描述机器人的关节运动。
3. 平移和旋转的联合应用平移和旋转变换常常结合使用，可以得到更复杂的变换效果。
例如，将一个物体先旋转一定的角度，然后再平移到新的位置。
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(1)求抛物线顶点坐标。
Y
(2)求将这条抛物线平移 F' 到顶点与原点重合时的
函数解析式。
a
F:y=x2
O
X
a
解：（1）设抛物线顶点坐标为（m，n)
m
4 2
2
n
4 7 42 4
3
即抛物线的顶点 O
的坐标为（-2，3）
h0(2) 2
（2）设 OO 的坐标为（h，k),则 k 033
)平移
求原
4
来函数的解析式.
y=sin2x
（ 2 ）将直线y=2x经过怎样的平移，可以得到 y=2x+6 .
2h-k+6=0 , 故有无数多个向量a
练习：
（1）分别将点A（3，5）,B（7，0）按向量平
移 a(4,5)，求平移后各对应点的坐标。 A,(7,10) B,(11,5)
（2）若把点A（3，2）平移后得到对应
4：平移向量的求法
练习:课本P125
1 把一个函数的图象左移 单位，再下移2个单
8
位，得到的图象的解析式为
ysin(2x)2,
4
求原来函数的解析式.
2 函数y = lg(3x-2)+1的图象按向量a 平移 后得图象的解析式为 y = lg3x,求向量 a .
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
它在 l 上的对应点 P(x,y)
由平移公式得
x
y
x0 y3
xy
x y 3
l
y
l
P(x,y)
将它们代入y=2x 中得到 y32x
即函数的解析式为 y2x3
Ox
P(x, y)
注意: 函数y=f(x)的图像按向量a=(h,k)平移， 也就是将图形沿X轴向右（h>0）平移h个单 位或向左（h<0）平移|h|个单位；然后再沿y 轴向上（k>0）平移k个单位或向下（k<0）平 移|k|个单位.
函数y=f(x)的图像按向量a=(h,k)平移， 也就是将图形沿X轴向右（h>0）平移h 个单位或向左（h<0）平移|h|个单位； 然后再沿y轴向上（k>0）平移k个单位 或向下（k<0）平移|k|个单位.
作业
课本习题5.6 : 1 , 2, 5 ,
例3．已知抛物线y = x2 + 4x + 7，
5.8 平移
5.8 平移
向量a 与平移到某位置的新向量b 的关系
a
a
aa a
a=b
aa
ab
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上 所有点按照同一方向，移动同样长度，得
到图形 F，这一过程叫图形的平移．
y
F
o
F 位置变，
大小、形状不 变x
在图形平移过程中，每一点都是按照同一
求所得函数图像的解析式.
ysin(2x )2,
4
变题：将直线y=2x经过怎样的平移，可以得到
y=2x+6 .
y
y=2x+6 y=2x
O
x
小结： 1：点的平移公式 2：要求平移后的解析式，就是求x,,y,满 足的关系式，但习惯上写成x,y的关系式
3：向量平移与前面平移的联系
练习
（1）把函数 yx的图像l 按 a(0,4)平移到 l，
则 l 的函数解析式为____y_=_x_+_4_。
（2）把函数y=2x的图像l 按 a=( -3,4 ) 平移到 l, ，则 l, 的函数解析式为_y_=_2_(_x_+__3_)+__4_=_2_x_+__1_0。
（3）函数y=sin2x的图象按向量a=(
点 A(1,3) , 按此 平移方式，若点A（1，3），
求 A。
（－1，4）
（3）将抛物线 yx24x7经过怎样的平移，
可以得到
y. x2
按向量 a=(2,-3) 平移
小结：
1：点的平移公式 2：要求平移后的解析式，就是求x,,y,满 足的关系式，但习惯上写成x,y的关系式
3：要求平移前的解析式，关键是把平移 后的解析式看成x,,y, 关系式，而平移前的 是x,y的关系式
P’
P
其一，平移所遵循的
o F
F’ x
“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征， 因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识 图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形 上点的平移.
二、平移公式
设P(x,y)是图形F上的任意一点，它在平移后图
形F’上的对应点为P’(x’,y’),且 P P ' 的坐标为(h,k),
设P(x,y)是抛物线 yx24x7上的任意一点，
平移后的对应点为 P(x,y)，由平移公式得
x y
x y
2 3
xy
x 2 y 3
代入原解析式得y x2
平移后函数的解析式为 y x2
练习
（得到1 ）的把图一象个的函解数析的式图为象y按向si量n(2ax=( 8), 2-2,
则由
y
P’
O P OP P P
P
得 (x,y)(x,y)(h ,k) o
F
F’ x
x x h
∴
y
yk
反思平移公式:
x x h
y
y
k
平移前点的坐标 + 平移向量的坐标
=平移后点的坐标
上述公式反映了图形中每一点在平移前后 的新坐标与原坐标间的关系.
（2）点M（8，-10），按a 平移后的对应点 M
的坐标为(-7，4）求a .
(-15,14)
x x h
y
yk
小结：三种题型：知二求一 解题的关键： 分清点的原坐标、新坐标
例2．将函数y=2x 的图象 l 按a=（0，3）平移
到 l ，求l 的函数解析式．
解：设P(x, y)为L 的任意一点，
三、例题讲解
例1.(1):把点A（-2，1）按a=（3，2）平移，
求对应点 A的坐标 (x, y).
解：（1）由平移公式得
x y
231 即对应点
123
A
的坐标（1，3）.
练习（1）把点A按a=（-3，12）平移，得
到的对应点 的坐标.
A的坐
标是（-2，1（4）1，，2求）点A