平面向量的数量积、平移·典型例题精析
= － =（7，－1－m）， = － =（n+2，1－m）． ∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）． 故有
二式相除，消去λ，得 ∴mn－5m+n+9=0．① 又 ⊥ ， ∴n=0．② 由②得m=2n，代入①，得
相应的 m=6，m=3．
【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为 =（7，－1－m）， ＝（n＋2，1－m）， 与 共线，所以7×（1－m）－（n＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn －5m+n+9=0． 例5 平面内有向量 =（1，7）， =（5，1）， =（2，1），点X为直线OP上的一个动点． （1）当 · 取最小值时，求 的坐标； （2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值． 【分析】因为点X在直线OP上，向量 与 共线，可以得到关于 坐标的一个关系式；再根据 · 的最小值，求得 ，而cos∠AXB是向量 与
求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．
【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定 义去求模及数量积． 例3 已知两个向量a=（3，4），b=（2，－1），当a+xb与a－b垂 直时，求x的值． 【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要 条件，得到关于x的关系式． 【解法一】 ∵（a+xb）⊥（a－b）， ∴（a+xb）·（a－b）=0．
夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决． 【解】（1）设 =（x，y）． ∵点X在直线OP上， ∴向量 与 共线． 又 =（2，1）， ∴x×1－y×2=0， 即 x=2y． ∴ =（2y，y）． 又 = － ，OA=（1，7）， ∴ =（1－2y，7－y）． 同样 = － =（5－2y，1－y）． 于是 ·
，
∴
· =0， 即 （ － ）·（ － ）=0． ∴ ·（ － ）= ·（ － ）．① 同理，由 ⊥ ，可得 ·（ － ）= ·（ －
）．② ①+②，得 ·（ － ）= · － · ， 即 ·（ － ）= ·（ － ）， （ － ）·（ － ）=0， ·
=0， ∴ ⊥ ， 故 CH⊥AB． 【说明】用向量法证明CH⊥AB，只要证得 · =0即可．因此证明中，都将已知条件中的 · =0， · =0，运用减法的意义，将 ， 分解成含 的形式，再构造出 · 的形式，寻求结论．证法二中，在平面内任取一点O，使图中所用向 量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法 应注意学习和使用． 例8 设平面内有两个向量a=（cosα，sinα）， b＝（cosβ， sinβ），且0＜α＜β＜π． （1）证明（a＋b）⊥（a－b）； （2）若两个向量ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值（k≠0， k∈R）． 【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（a＋b） ·（a－b）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|a－kb|相等，确定β
【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐 标两种形式的思路． 例4 平面内三点A，B，C在一条直线上， =（－2，m）， =（n，1）， =（5，－1），且 ⊥ ，求实数m，n的值． 【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于 m，n的一个关系式；又因为向量 ⊥ ，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这 两个关系式联立求解即可． 【解】∵A，B，C三点在一条直线上， ∴向量 与 共线． 于是，存在实数λ，使 =λ ． 又 =（－2，m）， =（n，1）， =（5，－1）， ∴
=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）
有最小值－8．此时 =（4，2）． （2）当 =（4，2），即y=2时，有 =（－3，5）， =（1，－1）， · =（－3）×1＋5×（－1）=－8．
【说明】由于X是OP上的动点，则向量 ， 均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积 · 也处在不确定的状态，这个数量积由 与 的模| |与| |及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是
－α的值． 【解】（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）， ∴a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ），a－b=（cosα－ cosβ，sinα－sinβ）． ∴（a＋b）·（a－b）=（cosα＋cosβ）（cosα－cosβ）＋ （sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）
又 = + =c+a， 且 ⊥ ， ∴ · =0，
∴4m－n－（m+n）=0． ∴3m=2n． ∴m∶n=2∶3． 故BE∶EC=2∶3． 例7 如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线 AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．
【证法一】 ∵AD⊥BC，H在AD上， ∴ ⊥ ． 而 = －
的和的长度相等，求证这7个向量的和向量是零向量．
两边平方，得
即 |α|=0． ∴α=0． 例10 （1）将点A（2，4）按向量a=（－5，－2）平移后，所得到 的对应点A′的坐标是_______．
【解】（1）设A′点的坐标为（x′，y′），由平移公式得
∴A′（－3，2）． （2）设平移向量a=（h，k）．
=1－1=0． ∴（a＋b）⊥（a－b）．
证得结论．
于是（*）式化为 4kcos（α－β）=0．由于k∈R，k≠0， ∴cos（α－β）=0，即cos（β－α）=0． 而0＜α＜β＜π， 【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四 边形法则，可知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线， 从（1）中a＋b与a－b垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2） 知|ka+b|=|a－kb|时，a与b的夹角为|α－β|=90°．因为 a·b=cos（α－β），a·b=|a|·|b|cosθ．故cos（α－β） =cosθ，又0＜α＜β＜π，有θ=|α－β|（θ为a与b的夹角）．这时 a⊥b． 此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形． 例9 现有7个向量，其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量
a·b=3×2＋4×（－1）=2， ∴25+（x－1）×2－5x=0． 【解法二】 ∵a=（3，4），b=（2，－1）， ∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x）， a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）． 由于（a+xb）⊥（a－b）， ∴（a+xb）·（a－b）=0， 从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0， 2x+3+20－5x=0，
变量y的函数． 另外，求出 与 的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值． 例6 如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°， 自A向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．
【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以 、 为基底表示图中的向量，其中 ⊥ 是最可利用的条件．又 = － ， ，于是可建立m与n的关系式． 【解】设 =a， =c，BE∶EC=m∶n，则
，
∴（ － ）· =0． ∴ · － · =0．① 又
⊥ ， ∴ · =0， 即 （ － ）· =0， · － · =0．② 注意到①，②式中 · = · ，故①－②，得 ·（ － ）=0，
即 ·（ ＋ ）=0， · =0． ∴ ⊥ ， 即 CH⊥AB．
【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O． ∵ = － ， ⊥
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平面向量的数量积、平移·典型例题精析
公式，可求a与b的夹角α．
于是
例2 已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的 夹角θ． 【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知 条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解． 【解】由a＋b=（2，－8）， a－b=（－8，16）， 二式相加，解得 a=（－3，4）； 二式相减，解得 b=（5，－12）． 于是 a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解（理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a= （2,1）,b= ( —1, 2)，且m= ta+ b, n= a —kb(t、k€ R)，则、选择题1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=—12,则向量a在向量b方向上的投影是（A. —4B. 4［答案］Aa -b —12［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4.1 b| 3（理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1, 与b的夹角等于（）2n 或"a［答案］B［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4| b| , |a| ,,|b| = 2,••• cos 〈a,b>= a• b=丄=1|a| •I b| 4x2 2'2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果a L b,那么实数x等于（）9A.— 2 D. 2［答案］C［解析］由条件知| = | e2| = 1, e1 • e2= 0,•- a • b= 3x + 6= 0,二x=—2.m L n的充要条件是（）A. t + k = 1.t • k= 1［答案］D［解析］ m= ta+ b= (2 t —1, t + 2) , n= a—kb= (2 + k, 1 —2k),•/ rnL n,「. m- n= (2t —1)(2 + k) + (t + 2)(1 —2k) = 5t —5k= 0,「. t —k= 0.3.(文)(2010 •湖南理)在Rt△ ABC中，/ C= 90,AC= 4,^UAC等于( )A. —16D . 16［答案］D［解析］因为/ C= 90°,所以A C- CB= 0，所以AB- A C=(心C B • AC= | AC|2+ A C- CB= AC= 16.A . 2 3 ［答案］D［解析］•/Xo= XB+ BC= XB+3BD,-> -> -> -------- > -> -> -> ------- > -> ••• AC - AD= (AB+ 3BD ) - AD= AB- AM 3BD- AD 又••• AB! AD • A B- AD= 0 ,•- AC- AD= i /3BD- AD=-」'3| BD •丨 AD | - cos / ADB= J 3| BD ■ cos / ADB=—；3 ・| AD = J 3.4. (2010 •湖南省湘潭市)设非零向量a 、b 、c 满足| a | = | b | = | c | , a + b = 6则〈a , b 〉=( )A . 150° B. 120° C . 60° D. 30°［答案］B［解析］ T a + b = c , | a | = | b | = | c | 丰0,2 2 2 2• |a + b | = |c | = | a | , • |b | + 2a - b = 0,2• | b | + 2| a | -| b | - cos < a , b >= 0, •- cos < a , b >=— q ,•/ < a , b 〉€ ［0 ° , 180° ］ ,•••〈 a , b >= 120°.5. （2010 •四川双流县质检）已知点P 在直线AB 上，点O 不在直线 AB 上，且存在实数t 满足O P= 2tPA +2t tT p 在直线 AB 上，• 2t + 1 + 2t + 1 = 1,A t = 1,S 2S 1 S• OP= ; OA^ - OB3 3-S -S -S 1 -S 1 -S••• PA= OA - OP= ;OA- Z OB33_S _S _S 2_S 2_S _SP B = OB- OP= 3OB- Z OA=— 2P A• L PA.=1 i PB 21 2S 2S 2SD. 3［答案］［解析］ •/ S P = 2t (d A — S P +tOB,|PB［答案］D［解析］•/ MA- MB= 0 ,••• MAL 尬B 又•/ | M A 2 + | ME B 2= 4, ••• | AB = 2,且M 在以AB 为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系,y ），则 x 2+ y 2= 1,M A = ( - 1 -x ,- y ),(1 -x ,- y ),T — 2T1••• MC= 3MA- §MB= 3-x , - y ,T 212 210 2•-1 M C = 3- x + y =百-g x ,_T16•.• - 1 < x w 1 ,• x =- 1时，| M©取得最大值为 —, • I MC 的最大值是|.(理)(2010 •山东日照)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，贝U A N- AM 勺最大值为（ )A . 8 B. 6C . 5 D. 4［答案］ B［解析］建立直角坐标系如图，•••正方形ABCD 边长为2,• A (0,0) ,N2 , - 1) , AN= (2 , - 1),设M 坐标为（x , y ）, AM = （x , y ）由坐标系可知0wx W2①-2w y w 0 ②•/ X N- AM= 2x - y ，设 2x - y = z ,易知，当x = 2, y =-2时，z 取最大值6, • X N- AM 勺最大值为6,故选B . 7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为O AB= 2, AC= 3, BC= .7,则A O- BC 等于( )C. 2D. 3［答案］B［解析］A O- B C = AO ・(AC — Ab = A O- AC - Ab- AB 因为 OA= OB 所以 At 在ABh 的投影为 1| XB ，所以XO- X B=扌| AB •)A B = 2,同理 AO- AC= #| AC -| A C = 2 故 AO > B C = 9-2=|.值是（）B. 1则点 A ( - 1,0)，点 B (1,0),设点 Mx ,8. （文）已知向量a、b满足|a| = 2, | b| = 3, a・（b—a）= - 1，则向量a与向量b的夹角为（）［答案］C［答案］A［解析］ 设〈A B EBO = a ,^ AB- EBC= |AB •) B C Jcos a , S = 7|AB • BCC • sin( n — a ) = 7| X B •)E3C3 3由条件知cot a <8 8—X —XnnT AB- BO 。
向量的数量积经典例题（含详细答案）
向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。
高考数学 专项精析精炼 考点20 平面向量的数量积、平
考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2013·上海高考理科·T18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.A.0,0m M =>B.0,0m M <>C. 0,0m M <=D. 0,0m M <<【解析】选D.，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r ，其余均有0i r a d ⋅≤u r u u r，故选D ．2.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ3）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-u r r u r r u r rm n m n m n λλλ若则（ ）A.4-B.-3C.2-D.-1【解题指南】利用(m n)+u r r (m n)⊥-u r r 得(m n)+u r r (m n)0⋅-=u r r化简求解.【解析】选B.因为(m n)+u r r (m n)⊥-u r r ，所以(m +n)u r r 22(m n)|m ||n |0⋅-=-=u r r u r r ，即-++1)1(2λ2(λ+2)-4=0，解得3-=λ.3. （2013·湖南高考理科·Ｔ6）已知,r ra b 是单位向量，r r ga b =0.若向量r c 满足1,--=r r r rc a b c 则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【解题指南】本题首先弄懂向量,是一组正交基底，且2||=+，构造)(+-=，当1||=d 时，利用圆的知识可求得结果。
向量的向量积及应用例举专题讲解
平面向量的数量积及应用举例考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．[基础梳理]1．向量的夹角3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 ①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. ②cos θ＝a ·b|a ||b |.③a ·b ≤|a ||b |. 4．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 5．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则1．设a ＝(3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，－33，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案：B2．已知a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A. 5 B ．5 C ．± 5 D ．±55答案：D3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )·a 等于( ) A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78 答案：A4．(必修4·习题2.4A 组改编)已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 答案：π35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________.答案：7[考点例题]考点一 平面向量数量积的运算|方法突破[例1] (1)(2017·邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94B.94C.274D ．－274(2)在菱形ABCD 中，对角线AC ＝4，E 为CD 的中点，则AE →·AC →＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14(3)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.[解析] (1)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝|CD →|2＝94.故选B.(2) (坐标法)特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0)，C (22，22)，E (2，22)，所以AC →＝(22，22)，AE →＝(2，22)，所以AC →·AE →＝22×2＋22×22＝12，故选C.(3)法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.[答案] (1)B (2)C (3)26 [方法提升]解决平面向量数量积问题的常用方法技巧 技巧解读适合题型定义法利用定义式a ·b ＝|a |·|b |cos θ求解．定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解一般通过具体的图形可确定.适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法利用坐标式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题．坐标式的特点是具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解，即向量问题“坐标化”. 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题转化法求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.适用于直接求解不易，而转化为其他向量的数量积的有关计算问题[母题变式]1．将本例(2)改为： 在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF →＝________.解析：法一：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB 2→＋12AD 2→＝1. 法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立坐标系(图略)， 则E ⎝⎛⎭⎫1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，1. ∴AE →·AF →＝1×12＋12×1＝1.答案：12．在本例(1)中条件不变，求CA →·AD →. 解析：在Rt △ADC 中，AD ＝3 cos 30°＝332， 而〈CA →，AD →〉＝150°，∴CA →·AD →＝|CA →|·|AD →|·cos 150°＝3×332×⎝⎛⎭⎫－32＝－274.考点二 向量的模、夹角、垂直问题|方法突破命题点1 向量的模的计算[例2] (1)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A.3 B ．23 C ．4D ．12 (2)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] (1)由已知|a |＝2，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB →＝(a －2，b )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(a －6，b )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12a ＋37， 所以当a ＝－1时，此式有最大值49＝7. [答案] (1)B (2)B [方法提升]求向量模的常用方法[跟踪训练]1．(2017·洛阳统考)若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.答案：A2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 答案：7命题点2 向量的夹角计算[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π[解析] 设a 与b 的夹角为θ， |a |＝223|b |，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. [答案] A(2)(2017·沈阳教学质量监测)已知两个非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，且2|a |＝|b |，则〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 法一：由题知a 2＝a ·b ，而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝|a |22|a |2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°，故选B.(定义法)法二：作OA →＝a ，∵a ⊥(a －b )， 作AC →⊥OA →，则CA →＝a －b ，∴OC →＝b ，又∵|b |＝2|a |，即|OC →|＝2|OA →|，在Rt △OAC 中，∴∠AOC ＝60°，即〈a ，b 〉＝60°.(数形结合法) [答案] B [方法提升] 求向量夹角的方法方法 解读适合题型 定义法 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |适用于向量的代数运算 数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算[跟踪训练]3．在典例(1)中，将条件“|a |＝223|b |”换成“(2b －3a )⊥b ”，其他不变，则两个向量的夹角θ为__________．解析：由(2b －3a )⊥b 得(2b －3a )·b ＝0， 所以2b 2－3a ·b ＝0，① 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.② 由①②联立得|a |＝223|b |，代入①得 cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 答案：π44．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案：90°命题点3 向量的垂直问题[例4] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 (2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λ AB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为__________．[解析] (1)设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73.(2)由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λ AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λ AB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)D (2)712[方法提升][跟踪训练]5．(2018·西安质检)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b, 则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a·b ＝2×2cos 60°＝2，所以a·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.答案：D6．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．3 5 B ．32 C ．2 5D.10解析：由题意得a －2b ＝(－2－2k,7)， ∵(a －2b )⊥c . ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， 所以|b |＝62＋(－3)2＝35，选A. 答案：A考点三 向量与三角函数、三角形的综合|模型突破角度1 向量与三角函数的综合[例5] 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝a ·b ，a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.因为0≤x ≤π， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，由π6≤2x ＋π6≤π2或3π2≤2x ＋π6≤13π6， 可得0≤x ≤π6或2π3≤x ≤π.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)因为0≤x ≤π6，所以π6≤2x ＋π6≤π2，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以m ＋2≤f (x )≤m ＋3. 因为－4<f (x )<4恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4，m ＋2>－4，解得－6<m <1.所以实数m 的取值范围为(－6,1)． [模型解法]角度2 向量与三角形的综合[例6] (1)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)(2)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[解析] (1)由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心，因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝0，所以CA →·PB →＝0，所以CA →⊥PB →，即CA ⊥PB ，同理AP ⊥BC ，CP ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．(2)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0， 即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， 因为π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[答案] (1)C (2)C [模型解法]向量的运算本身就涉及到三角形，解决其交汇问题的关键点： (1)转化，向量的模与三角形边长的转化， 向量的夹角与三角形内角的转化(2)结合，结合向量的运算法则，化为边角关系，结合三角形的正、余弦定理，求解边，角．(3)检验，结论是否符合向量的概念，是否符合三角形的知识．[高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析： 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 答案：B[真题感悟]1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A.答案：A2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：73.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.答案：24.[考点三](2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为__________．解析：法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2，cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.法二：因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤a <2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．答案：65.[考点一、三](2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2 DC →，AE →＝λ AC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为__________．解析：由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λ AC →－AB →) ＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311. 答案：311。
平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案
）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法(解析版)
专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积 题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 题型三：利用转化法求平面向量数量积 题型四：坐标法求平面向量夹角 题型五：数量积和模求平面向量夹角 题型六：坐标公式法求平面向量的模 题型七：转化法求平面向量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积 一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量a ，b 满足1a =，32b =，且a 与b的夹角为56π，则()()2a b a b +⋅-=（ ） A ．32B ．32-C ．12-D ．12【答案】D【分析】根据向量的运算性质展开可得()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-，再代入向量的数量积公式即可得解.【详解】根据向量运算性质，()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-22252cos21(6a a b b π=+⋅-=+-3331224422=--=-=，故选：D2．（2021·云南·高一期末）已知 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，则 a · b 的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，a ·1cos ,6226a b a b b ==⨯⨯=. 故选：C3．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在Rt ABC 中，90,4C AC =︒=，则AB CA ⋅=（ ） A ．25- B ．25 C ．16- D ．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：2||||cos()|||||cos ||16AB CA AB CA A CA AB A CA π⋅=⋅-=-⋅⋅=-=-． 故选：C ．4．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a 与b 的夹角120θ，3a =，4b =，则a b ⋅=（ ）A ．-B ．6-C ．6D ．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B. 二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量a 和b ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a ，b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b >B ．a b a b +≤+C ．a b a b ⋅≤D ．a b a b -≤- 【答案】BC【分析】向量不能比较大小可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B 、D ；根据向量数量积的定义可判断选项C ；进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：向量不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：根据向量的加法运算的几何意义可知a b a b +≤+，当且仅当向量a 和b 同向时等号成立；对于选项C ：cos ,a b a b a b ⋅=⋅，因为cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤，故选项C 正确；对于选项D ： 由向量减法的几何意义可知a b a b -≤-，故选项D 不正确； 故选：BC.6．（2020·辽宁·高一期末）在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos A =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故A 正确； 对于B ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos (π−C )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos C =−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故B 错误； 对于C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−∠ABD)=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠ABD =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故C 错误； 对于D ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ABD =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2, BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠CBD =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题. 三、填空题7．（2021·广东江门·高一期末）已知向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则a b -=______.【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】解：向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则229162a b a b a b -=++-⋅==8．（2021·江西九江·高一期末）已知向量a ，b 13a =，5b =，则数量积a b ⋅=____________.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=. 故答案为：1.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△ABC 中，90C =︒，54AB CB ==，则BA BC ⋅=_____________．【答案】1625【分析】由已知条件可得1cos 5CBA ∠=，根据BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA 即可求值. 【详解】在△ABC 中，90C =︒，且54AB CB ==， △||4AB =，4||5BC =，故1cos 5CBA ∠=， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA =4×45×15=1625. 故答案为：1625四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=． （1）求a b ⋅；（2）求a 与b 夹角的大小； （3）求2a b -． 【答案】（1）5，（2）4π，（3）5 【分析】（1）直接利用坐标求解即可； （2）利用向量的夹角公式求解； （3）先求出2a b -的坐标，再求其模 【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=， （2）设a 与b 夹角为θ，则cos (1)a b a bθ⋅===- 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π， （3）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以2(3)5a b -=-=题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 一、单选题 1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．2±B ．12±C ．43±D ．34±【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以有22223()()0091604a kb a kb a k b k k +-=⇒-=⇒-=⇒=±，故选：D 二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已知()()2,6,1,3a b =-=-，下列选项中正确的是（ ）A ．20a b ⋅=-B ．与b 同向的单位向量是⎝⎭C ．//a bD ．210a b +=【答案】ABC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项. 【详解】对于A ，21820a b ⋅=--=-，故A 正确，对于B ，与b 同向的单位向量是1,10bb ⎛== ⎝⎝⎭，故B 正确.对于C ，因为()2361-⨯-=⨯，故//a b ，故C 正确.对于D ，()21a b +=-D 错误.故选：ABC. 三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量()1,2a =-，()3,1b =，则⋅=a b ______． 【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 【详解】解：向量(1,2)a =-，(3,1)b =，则13211a b ⋅=⨯-⨯=． 故答案为：1．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角，则t 的范围是___________．【答案】2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解：因为()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角， 所以230a b t ⋅=-+<，且23t -≠⨯， 解得23t <，且6t ≠-， 所以t 的范围为2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知(2,),(1,3)a m b ==-，若a b ⊥，则m =___________． 【答案】23【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案 【详解】解：因为(2,),(1,3)a m b ==-，a b ⊥， 所以230a b m ⋅=-+=，解得23m =， 故答案为：23 四、解答题6．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量13,,(sin ,cos ),0,222m n x x x π⎛⎫⎛⎫=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)若m n ⊥，求tan x 的值；(2)若向量13m n ⋅=，求2cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(2)79.【分析】(1) 由m n ⊥可得0m n ⋅=，利用数量积的坐标运算列方程求解； (2)由13m n ⋅=可得1sin()33x π-=，将2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭变形为212sin ()3x π--，代入计算可得结果.【详解】(1)由m n ⊥可得0m n ⋅=，即1sin 02x x =，则tan x =(2)由题意可得11sin 23x x = 即1sin()33x π-=，△22cos(2)12sin ()33x x ππ-=--， 21712()39=-⨯=.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题. 题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向量a ，b 满足3a b -=，则a b ⋅的最小值为（ ） A ．94B ．94-C ．9D ．92-【答案】B【分析】3a b -=两边平方得()()22922a b a b +⋅≥⨯，再利用又a b a b ≥-⋅可得答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 由3a b -=得()()()22229a b a b a b -=+-⋅=，所以()()()()2222922a ba b a b +=+⋅≥⨯，当且仅当a b =等号成立，又()()2222a ba b a b ⨯=≥-⋅，所以94a b ⋅≥-，a b a b ≥-⋅当且仅当θπ=时等号成立， 故选：B. 二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．已知1)2(a -=，，,1()b x x -=，若()2//b a a -，则1x =- B ．在ABC 中，若1122AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点 C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅=D ．若a b ，共线，则a b a b +=+ 【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B ；根据向量数量积的运算可判断选项C ，举反例可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：1)2(a -=，，,1()b x x -=，可得()22,5b a x x -=+-，若()2//b a a -则 ()()()215x x x x +-=-，即62x =，所以13x =，故选项A 不正确； 对于B ：取BC 的中点E ，则()111222AB AC AB AC AE AD +=+==，即D 点与E 点重合，所以点D 是边BC 的中点，故选项B 正确；对于C ：()()()13AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭22141413333AD DC AD DC =++⋅=+=，故选项C 正确；对于D ：当a b ，反向时不成立，故选项D 不正确， 故选：BC. 三、填空题3．（2021·北京东城·高一期末）已知△O 中弦6AB =，则AO AB ⋅=________． 【答案】18【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解. 【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =， 所以2211cos ,61822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯=，故答案为：18.4．（2021·陕西安康·高一期末）如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 与BD 交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=______.【答案】3【分析】先求得,cos AE BAE ∠，然后利用向量运算求得AE BC ⋅【详解】2,4AB AD BD ===， 1122AB AD BD AE AE ⨯⨯=⨯⨯⇒=所以cos AE BAE AB ∠==()()AE BC AE BD DC AE BD AB ⋅=⋅+=⋅+cos 23AE BD AE AB AE AB AE AB BAE =⋅+⋅=⋅=⋅⋅∠==. 故答案为：3 四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知||4a =，||3b =，,150a b <>=. 求（1）()a b b -⋅； （2）求||a b +.【答案】（1）9-；（2.【分析】（1）由已知求a b ⋅，结合向量数量积的运算律，即可求()a b b -⋅； （2）由2()a b a b +=+，利用向量数量积的运算律求值即可. 【详解】（1）4,3,,150a b a b ==<>=cos ,43(6a b a b a b ∴⋅=<>=⨯⨯=-， △2()639a b b a b b -⋅=⋅-=--=-.（2）2()a b a b +=+222a a b b=+⋅+=6．（2021·广东揭阳·高一期末）ABC 中，已知2,5AB AC ==，60BAC ∠=，M N 、分别是A BC C 、的中点，设AB a =，AC b =，（1）分别用a 、b 表示AM 和BN ；（2）设AM 与BN 交于点P ，求MPN ∠的余弦值．【答案】（1）()12AM a b =+；12BN a b =-+；（2．【分析】（1）利用平面向量加法法则能求出结果．（2AM 、BN 、AM BN ⋅，再根据cos cos ,||||AM BNMPN AM BN AM BN ⋅∠=<>=．由此能求出MPN ∠的余弦值．【详解】解：解：（1）AB a =，AC b =，∴()111()222AM AB BM AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+， 111222BN BA AN BA AC AB AC a b =+=+=-+=-+． （2）因为2, 5AB AC ==，60BAC ∠=，所以1cos602552a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=22222222111139()(2)(2)(2255)44444AM a b a a b b a a b b =+=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，22222222111121()25524444BN a b a a b b a a b b =-+=-⋅+-⋅+-+⨯===，所以392AM =212BN =∴2211111()()22244AM BN a b a b a a b b ⋅=+⋅-+=--⋅+22221111112553244244a ab b =--⋅+=-⨯-⨯+⨯=， ∴4cos cos ,91||||AM BN MPN AM BN AM BN ⋅∠=<>==． 7．（2021·山西朔州·高一期末）已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz --为纯虚数（i 为虚数单位）.（1）求复数z ； （2）在复平面中，若复数i1z-对应向量a ，且向量b a ⊥，2b =，求向量b 的坐标.【答案】（1）13i z =-+；（2）25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭. 【分析】（1）设i z a b =+,由已知条件化简计算求得,a b 即可求复数z ； （2）由（1）得2i 1iz=-+-，得出()2,1a =-，设向量(),b x y =，根据已知列出方程组求解即可.【详解】（1）设i z a b =+（,a b ∈R ），由()3i 3i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =. △()()()()()2i 2i 224i5i 2i 2i 2i 2i 2i 5a a a z a -+++---===---+为纯虚数， △220a +=，40a -≠，即1a =-△13i z =-+ （2）()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z -++-+-+====-+---+，则()2,1a =- 设向量(),b x y =，因为a b ⊥且2b =，所以22204x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得x =25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭ 题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为（ ） A ．30 B ．40︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可.【详解】设向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为([0,180])θθ︒︒∈，所以有2cos cos 40cos a b a bθ︒︒︒︒︒⋅===⋅，因为[0,180]θ︒︒∈，所以40θ︒=， 故选：B2．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】因为向量()3,1a =，()3,1b =-，所以·31cos ,231?·a b a b a b-===+,又因为[],0,a b π∈,所以,3a b π=,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121·cos ,·x x a b a b a bx ==+3．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点(()(),0,0,1,0A BC ，则cos ,BC AC →→<>=（ ） A． B ．12-C ．12D 【答案】C【分析】先求出()(1,0,1,BC AC ==，再用向量的夹角公式求解即可【详解】()()()0,3,0,0,1,0A B C ，()(1,0,1,BC AC ∴==则11cos ,122BC AC BC AC BC AC⋅<>===⨯ 故选：C二、填空题4．（2021·广东惠州·高一期末）已知向量()2,1a =，()1,1b =-，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=______．【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos θ的值.【详解】由题意得，2c 21112os a b a bθ⋅=-⨯+⨯+=⋅5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量()2,0a =，(1,3b =-，则其夹角,a b =______. 【答案】2π3【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量()2,0a =，(1,3b =-，所以()2102a b ⋅=⨯-+=-； 所以21cos ,222a b a b a b⋅-===-⨯⨯， 所以�a ,b ⃗ �∈[0,π],�a ,b ⃗ �=2π3. 故答案为：2π3. 【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．（2021·北京顺义·高一期末）向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，则cos ,a b →→<>=__________.【答案】2-【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案. 【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a →=，()1,2b →=--，故||a →||b →=325a b →→⋅=--=-，故cos ,||||a ba b a b →→→→→→⋅<>==故答案为：2-. 7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为___________.【答案】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,)(3,2)a m b =-，=， 则()4,2a b m +=-， 若()a b b ⊥+，则()()()34220a b b m +⋅=⨯+-⨯-=， 解得8m =.向量a 与向量b 的夹角余弦值1cos ,164a b a b a b⋅⨯===+ 故答案为：三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知()11,0e =，()20,1e =，122a e e λ=+，12b e e =-，且//a b .（1）求λ的值；（2）求向量a 与向量122c e e =+夹角的余弦.【答案】（1）2-；（2） 【分析】（1）先求出,a b 的坐标，再利用//a b 列方程可求出λ的值； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可 【详解】解：（1）由题知()()2,00,a λ=+()2,λ=，()()()1,00,11,1b =-=-，△//a b ，△121λ-=， △2λ=-，（2）由（1）知()2,2a =-，()1,2c =， 令a 与c 的夹角为θ， △cos a c a cθ⋅=⋅===. 9．（2021·云南玉溪·高一期末）已知||35,(1,2)a b ==，且a b λ=． （1）求a 的坐标；（2）当0λ>时，若(3,4)c =-，求a 与c 的夹角的正弦值．【答案】（1）(3,6)a =或(3,6)a =--；（2. 【分析】（1）由a b λ=可得(,2)a λλ=，再由||35a =，可求出λ的值，从而可求出a 的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解 【详解】解（1）(1,2)(,2)a b λλλλ===，2||4||53a λλλλ=+===±，△(3,6)a =或(3,6)a =--， （2）当0,(3,6)a λ>=，9cos ,9a c ===+，因为,[0,]a c π∈，所以sin ,1a c ⎛=-= ⎝，即a 与c 10．（2021·江苏常州·高一期末）已知O 是坐标原点，向量()()2,3,6,1(,0)OA OB OP x ===，，（1）若PA PB ⊥，求实数x 的值；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求ABP △的面积． 【答案】（1）3或5；（2）4.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示得出当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-，再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为(2,3)OA =，(6,1)OB =，(,0)OP x =， 所以(2,3)PA x =-，(6,1)PB x =-，又因为PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=，即(2)(6)30x x --+=也即28150x x -+=，解得3x =或5x ，则所求实数x 的值为3或5． （2）由（1）知PA PB ⋅=(2)(6)3x x --+=22815(4)1x x x -+=--， 当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-， 此时(2,3)PA =-，(2,1)PB =，则cos ,13PA PB PA PB PA PB⋅<>===⨯，又在ABP △中，,(0,)PA PB π<>∈，则sin ,1PA PB <>=，ABP △的面积为12S PA PB =⨯⨯⨯sin ,PA PB <>142== 11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量(3,2)a =-，(1,)b y =-且b a -与(2,1)c =共线. （1）求y 的值；（2）若2m a b =+，n a c =-，求向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2. 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出b a -，再根据b a -与(2,1)c =共线即可求得y 的值；（2）根据向量线性运算的坐标表示求出,m n ，再根据cos ,||||m nm n m n ⋅=即可求得向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【详解】解：（1）由题意得：(2,2)b a y -=--，(2,1)c =， 因为b a -与c 共线， 所以(2)12(2)0y -⨯--=， 解得y 3=.（2）由（1）可知(1,3)b =-，于是2(7,7)m a b =+=-，(1,3)n a c =-=-， 设向量m 与向量n 夹角为θ，则28cos ||||72m n m n θ⋅===题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题 1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量(1,0)a =，(2,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos ,a b a b a b⋅=即可求解.【详解】解：1,22a b ==，2a b ⋅=-， 所以2cos ,2a b a b a b⋅==-，又因[],0,a b π∈， 所以a 与b 的夹角为34π. 故选：D.2．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．56π 【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到40a b ⋅=，即可得解； 【详解】解：因为||||a b a b +=-， 所以()()22a ba b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，所以a b ⊥，即a 与b 的夹角为2π； 故选：C 二、多选题3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P 是ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状不可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】ACD【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得0AC AB ⋅=，进而可求． 【详解】解：因为|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，2PB PC PA PB PA PC PA AB AC +-=-+-=+，所以||||||CB AB AC AB AC =+=-， 两边同时平方得0AC AB ⋅=， 故AB AC ⊥，即2A π∠=，则ABC 的形状为直角三角形． 故选：ACD ． 三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量a ，b 满足10a =，5b =，5a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为_________. 【答案】34π【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】5cos ,||||10a b a b a b ⋅-<>===⋅∴夹角为34π，故答案为：34π. 5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量||3a =，||2b =，(2)(2)1a b a b +⋅-=，则a 与b 的夹角为______． 【答案】23π【分析】对(2)(2)1a b a b +⋅-=化简计算可求出a b ⋅，再利用向量的夹角公式可求得结果 【详解】由(2)(2)1a b a b +⋅-=，得222321a a b b +⋅-=， 因为||3a =，||2b =，所以18381a b +⋅-=，解得3a b ⋅=-， 设a 与b 的夹角为θ，则31cos 322a b a bθ⋅-===-⨯， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=， 故答案为：23π 四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量a ，b 满足2=a ，3b =，()()2334a b a b -⋅+=-．（1）求向量a 与b 的夹角θ； （2）当实数x 为何值时，xa b -与3a b 垂直．【答案】（1）23πθ=；（2）245x =-. 【分析】（1）由()()2334a b a b -⋅+=-化简再结合2=a ，3b =可求出向量a 与b 的夹角；（2）要xa b -与3ab 垂直，只需()()30xa b a b -⋅+=，化简可求出x 的值.【详解】（1）由()()223423253a b a b a a b b -=-⋅+=+⋅-182730cos cos ,0π2θθθ=-+⇒=-≤≤，得23πθ=． （2）当xa b -与3a b 垂直时，()()()223313xa b a b xax a b b -⋅+=+-⋅-()24631cos2752403x x x π=+--=--=， 所以245x =-． 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ，求a 与a b +的夹角的余弦值．【分析】由模、夹角求a b ⋅，应用向量数量积的运算律求||a b +，令a 与a b +的夹角为α，则有cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |即可求余弦值. 【详解】△向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ， ∴a ⋅b ⃗ =|a ||b ⃗ |cos 3π4=−6，|a +b ⃗ |=√a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√5， 设a 与a b +的夹角为α，则cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=a⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=3×√5=√55，∴a 与a b + 题型六：坐标公式法求平面向量的模 一、单选题 1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(,4)b x =，且a b ⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D ．8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x 的值，得到向量b 的坐标，进而计算其模. 【详解】由题意，24=0a b x ⋅=-+⨯,解得8x =，所以(8,4)=b ，所以22||8+4b = 故选：C. 二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A （1，1），点B （5，3），将向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，则点C 坐标为________；||BC =________．【答案】 (1,5)-【分析】由于向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C 坐标，再结合向量的模长公式，即可求解 【详解】解：设点C 的坐标为(,)x y ，因为点A （1，1），点B （5，3），所以(4,2),(1,1)AB AC x y ==--， 因为向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ， 所以0AB AC ⋅=，AB AC =，所以4(1)2(1)0x y -+-=，且22(1)(1)20x y -+-=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或15x y =-⎧⎨=⎩，因为逆时针旋转，所以点C 的坐标为(1,5)-， 所以(6,2)BC =-，所以(BC =-故答案为：(1,5)-，三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量()4,a x =-，()3,2b =，若a b ⊥，则a =________．【答案】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出x 的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a b ⊥，所以4320x -⨯+=，得6x =，故()24a =-故答案为：4．（2021·北京市育英学校高一期末）已知向量()1,3a =，3,1b 则3+a b 为___________【答案】【分析】先求出3a b +的坐标，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为向量()1,3a =，3,1b所以()((31,3a b +=+=，所以(2342a b +=+=故答案为：5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知()3,2,2,2a x b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()a b a -⊥，则2a b +=___________.【答案】【分析】由数量积公式得出1x =，再由模长公式求2a b +.【详解】由()a b a -⊥得()12,,202x x ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即2210x x -+=，解得1x =由2(5,5)a b +=得522a b +=故答案为： 四、解答题6．（2021·北京昌平·高一期末）已知向量()1,2a =，()3,2b =-. （1）求a b -；（2）求向量a 与向量b 的夹角θ的余弦值；（3）若10c =，且()2a c c +⊥，求向量a 与向量c 的夹角.【答案】（1）（2）；（3）3,4a c π=.. 【分析】（1）先求出a b -的坐标，再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2a c c +⊥，得()20a c c +⋅=化简结合已知条件可得答案 【详解】解：（1）因为()1,2a =，()3,2b =-， 所以()2,4a b -=-.所以(2)a b -=-=（2）因为132(2)1a b =⨯+⨯--⋅=，212a =+23(b =+所以c 1os 5a b a bθ-=⨯⋅==（3）因为()2a c c +⊥， 所以()20a c c +⋅=.即220a c c ⋅+=.所以22cos ,0a c a c c +=.即2cos ,100a c +=， 所以2cos ,2a c =-因为[],0,a c π∈， 所以3,4a c π=. 题型七：转化法求平面向量的模 一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量a ，b 的夹角为4π，()3,4a =-，10a b ⋅=，则b =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由10a b ⋅=可得cos104a b π=，再由()3,4a =-，可求出5a =，从而可求得b【详解】解：由()3,4a =-，得2(3)5a =-=，因为向量a ，b 的夹角为4π，10a b ⋅=，所以cos 104a b π=，所以510b =，解得b = 故选：A 二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，下列说法正确的是（ ）A ．a b c +=B ．AC 在a 上的投影向量为aC ．()()a a cb bc ⋅=⋅ D ．5a c +=【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A ；根据向量投影的定义，可判断B ；分别计算左、右两边，可判断C ；由22=(2)a c a b a b +=++，计算可判断D. 【详解】如图，可知+a b AB BC AC c +===，故A 正确； 由图可知AC 在a 上的投影向量为a ，故B 正确；因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以()00a b c c ⋅==，又2()1b c b a b a b b ⋅=⋅+=⋅+=，所以()=a c a b ⋅，所以()()a a c b b c ⋅≠⋅，故C 错误；因为|a +c |=|2a +b ⃗ |=√(2a +b ⃗ )2=√4a 2+4a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=√4+1=√5，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量a 与b 的夹角为23π，且1a b ==，则2a b -=___________．【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案. 【详解】由题意得，222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b b θ-=-=-⋅+=-⋅⋅+，代入计算，得原式=故答案为:4．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b +=__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可． 【详解】解：因为向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，所以22|2|4444a b a a b b +=+⋅+=+故答案为： 四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，若2m a b =+，3n a b =-+．（△）求m n ⋅； （△）求2m n +.【答案】（△）-10；（△【分析】（△）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解m n ⋅即可；（△）首先求出2m n +，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解|2|m n +． 【详解】解：（△）平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，2m a b =+，3n a b =-+．22(2)(3)325342110m n a b a b a b a b ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-⨯+⨯=-．（△）因为2m a b =+，3n a b =-+． 所以()22235m n a b a b a b +=+-+=-+，．所以22|2||5|1025425m n a b a a b b +=-+=-⋅+=+=6．（2021··高一期末）已知2a =，3b =，()()2219a b a b +⋅-=-. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b +.【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）若向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件可得2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即可求向量a 与b 的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有222244a b a a b b +=+⋅+，即可求模. 【详解】（1）由题意，2223219a a b b -⋅-=-，若向量a 与b 的夹角为θ， △2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即818cos 1819θ--=-，得1cos 2θ=， △3πθ=； （2）222222444cos 4523a b a a b b a a b b π+=+⋅+=+⋅+=，∴252a b +==一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知a →是单位向量，a →与b →的夹角是3π，且a b →→+=， 则b →=（ ）A ．12 B ．1 C D ．2【答案】D【分析】把a b →→+=的两边同时平方化简即得解.【详解】解：由题a b →→+=2221+27,12||||72a ab b b b →→→→→→+=∴+⨯⨯+=所以2||+||60,||2b b b →→→-=∴=或||3b →=-（舍去）. 故选：D2．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，E 为 CD 的中点，则AB AE ⋅的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出12AE AD AB =+，然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得：12AE AD DE AD AB =+=+ , 故211()22AB AE AB AD AB AB AD AB ⋅=⋅+=⋅+ 122cos 60442=⨯⨯+⨯= ，故选：A3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角ABC 中，60B =︒，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2【答案】A【分析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到(C ，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围.【详解】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，60B =︒，2AB AC CB -==，∴(C ，设(),0A xABC 是锐角三角形，∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合）， ∴14x <<，(),0AB x =-，(1AC x =-.则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，∴AB AC ⋅的范围为()0,12.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.4．（2021·江苏南通·高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠= 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则118A ⎛ ⎝⎭，所以118MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，43020⨯+⨯=所以2743292MA MB MC x ⎛++=- ⎝⎭，则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以3154322MA MB MC ++≥ 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5．（2020·浙江温州·高一期末）已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ）A ．3B ．C ．4D ．【答案】B【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出23sin 3a e b e πα⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅===，设a →与b →的夹角为θ， cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，则3πθ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭3cos 3ααα⎛⎫==≤ ⎪⎝即a e b e →→→→⋅+⋅≤所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力. 二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且6BC =，2AD =，则（ ）A ．ABC 面积最大值是12B ．cos B ≥C ．AD BE +不可能是5D ．1135,22BE AC ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A 选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B 选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C 选项将AD BE +表示为3122DC DA =-，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可判断；D 选项将BE AC ⋅表示为232DC DA =-⋅，进而求出范围即可判断. 【详解】设ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，A ：1163322ABCa a a Sah h h AD ==⨯⨯=≤，当AD BC ⊥时，等号成立，所以ABC 面积最大值是6，故A 错误；B ：在ABD △中，22223255cos 23666AB AB AB B AB AB AB +-+===+≥⨯⨯当566AB AB=，即AB =B 错误； C ：AD BE DA BD DA +=-+++12BD AC =+()12DC DC CA =+- 3122DC DA =- 2222319138532244242AD BE DC DA DC DA DC DA DC DA +=-=+-⋅=-⋅，因为6DC DA ⋅=，所以()6,6DC DA ⋅∈-，所以249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则711,22AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：()31312222BE AD BE AD DC DA DA DC DA ⎛⎫=+-=-+=+ ⎪⎝⎭，且AC DC DA =-，所以()3122BE AC DC DA DC DA ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭223122DC DA DC DA =--⋅ 232DC DA =-⋅， 又因为()6,6DC DA ⋅∈-，所以231135,222DC DA ⎛⎫-⋅∈ ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BD.7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设,Ox Oy 是平面内相交成45︒角的两条数轴，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12O e P y e x =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP在斜坐标系xOy 中的坐标，计作(,)OP x y =.已知在斜坐标系xOy 中，向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则下列结论正确的是（ ） A ．2121(,)AB x x y y =--B ．若OA OB ⊥，则12120x x y y +=C ．(AB x =D ．若AP PB λ=，则OP =1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭. 【答案】AD【分析】先计算1222e e ⋅=，再根据新定义计算AB OB OA =-、0OA OB ⋅=、AB ，判断ABC 的正误，利用线性关系计算111OP OA OB λλλ=+++坐标，判断D 的正误即可.【详解】依题意，1211cos 45e e ⋅=⨯⨯︒=由向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则()()22122111OB OA e e e AB x y e y x -==-++()()1221212121(,)x x y y y e x x y e =-=-+--，故A 正确；若OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，即()()()2211212111222122121212x y x y x x y y x y x y e e e e e e e e ⋅=++++⋅+())211222110x x y y x y x y +++==，当12210x y x y +≠时，12120x x y y ≠+，即B 错误； ()()2212112(AB x y y x e e ⎡⎤+⎣=⎦-==C 错误；若AP PB λ=，则()OP OA OB OP λ-=-，解得111OP OA OB λλλ=+++()()1111212122222111111e e e e x x y y x y x y e e λλλλλλλ++++++++++==，即1212,11x x y y OP λλλλ⎛⎫= ⎪++⎭++⎝，即D 正确.故选：AD.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则下列结论正确的是（ ）A ．210,3a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭B ．21,3a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ C ．10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭D ．1,3a b πθπ⎛⎤-<⇔∈ ⎥⎝⎦【答案】AC【分析】先计算cos a b θ⋅=，0πθ≤≤，再分别计算1a b +>和1a b -<时对应夹角θ的取值范围，即可判断四个选项的正误.【详解】依题意，1,cos cos a b a b a b θθ==⋅=⋅=，0πθ≤≤.1a b +>，等价于21a b +>，即2221a b a b ++⋅>，即22cos 1θ+>，即1cos 2θ>-，而0πθ≤≤，故1a b +>2πθ⎡⎫⇔∈⎪⎢⎣⎭，即A 正确，B 错误； 1a b -<，等价于21a b -<，即2221a b a b +-⋅<，即22cos 1θ-<，即1cos θ2，而0πθ≤≤，故10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭，即C 正确，D 错误.故选：AC.9．（2021·广东广州·高一期末）ABC 中，2A π=，2AB AC ==，则下列结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则2233AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值4C ．若M 、N 为BC 边上的两个动点，且MN AM AN ⋅的最小值为32D ．已知Q 是ABC 内部（含边界）一点，若1=AQ ，且AQ AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是1 【答案】BC【分析】以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出,,,A B C G 的坐标即可判断A ；将AP 用基底,AB AC 表示，再利由数量积运算计算()AP AB AC ⋅+可判断B ；不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤x 表示,M N 两点坐标，计算 AM AN ⋅求最值，可判断C ；设(),P x y ，0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，可得2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，利用向量相等，坐标相等可得,x y 与,λμ的关系，将λμ+表示为关于θ的函数，即可求最值判断D ，进而可得正确选项. 【详解】如图：以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，()2,0AB =，()0,2AC =，对于A ：由重心坐标公式可得22,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而2244,3333AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2233AG AB AC ≠+，故选项A 不正确； 对于B ：设()01BP tBC t =≤≤，则()AP AB BP AB tBC AB t AC AB =+=+=+- ()1t AC t AB =+-，所以()()()1AP AB t AC t AB AC AB AC ⎡⎤+⋅+=⋅-⎣+⎦()()22144104t AC t AB AB AC t t +-+⋅=+-+==，故选项B 正确；对于C ：不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，21,1N x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22112AM AN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x =AM AN ⋅取得最小值为32，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，由AQ AB AC λμ=+可得()()()(),2,00,22,2x y λμλμ=+=，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，设0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，11sin cos 1122224xy πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得sin 4πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,142πθ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时无最大值，故选项D 不正确， 故选：BC.10．（2021·江苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的三个顶点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0，()11,x y ，()22,x y ，设OA a =，OB b =，AB c =，则（ ） A ．()2sin sin sin OABc A B SA B =+B ．()222OABS a b a b=-⋅C ．2OABa b c S R=(R 为OAB 外接圆的半径)D ．122112OABSx y x y =- 【答案】BD【分析】对A ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对 B ，根据三角形面积公式以及向量的运算即可求解；对C ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对D ，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：对A ，由正弦定理知：sin sin sin a b cA B C==， ()22sin sin sin sin 11sin 22sin 2sin OABc A B c A B Sa c B c A B =⋅=⋅=+，故A 错误； 对B ，1sin 2OABS a b AOB =∠ 222sin a b AOB =∠ (221cos a b ⋅=-。
平面向量的数量积的坐标表示、平移
第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。
过程：一、复习：设向量a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，1．数量积的坐标表示：a •b = x 1x 2 + y 1y 2 2．关于距离公式3．二、 例题：1．已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。
解：设a = (x ,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …①又：∵a ∥b ∴1•y - 2•x = 0 …②解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=556553y x 即：a = (556,553) 或a = (556,553--) 2．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，求x 的取值范围使得：①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。
解：①p 与q 的夹角为钝角⇔ p •q <0⇔2x -21<0⇔221<x 即x ∈(-∞,221)②p 与q 的夹角为锐角⇔ p •q >02121)3．求证：菱形的对角线互相垂直。
证：设B (b 1,0)，D (d 1,d 2)，则AB = (b 1,0), AD = (d 1,d 2)于是AC =AB +AD = (b 1,0) + (d 1,d 2) = (b 1+d 1,d 2)BD =AD -AB = (d 1 -b 1,d 2)∵AC•BD = (b 1+d 1)(d 1 -b 1) + d 2d 2 = (d 12 + d 22)- b 12= |AD |2 - b 12 = |AB |2 - b 12 = b 12 - b 12 = 01∴AC ⊥BD4．如图：ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积。
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平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角α．于是例2已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的夹角θ．【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解．【解】由a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），二式相加，解得a=（－3，4）；二式相减，解得b=（5，－12）．于是a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积．例3 已知两个向量a=（3，4），b=（2，－1），当a+xb与a－b垂直时，求x 的值．【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式．【解法一】∵（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0．a·b=3×2＋4×（－1）=2，∴25+（x－1）×2－5x=0．【解法二】∵a=（3，4），b=（2，－1），∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x），a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）．由于（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0，从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0，2x+3+20－5x=0，【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐标两种形式的思路．例4 平面内三点A，B，C在一条直线上，=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），且⊥，求实数m，n的值．【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量⊥，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这两个关系式联立求解即可．【解】∵A，B，C三点在一条直线上，∴向量与共线．于是，存在实数λ，使=λ．又=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），∴=－=（7，－1－m），=－=（n+2，1－m）．∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）．故有二式相除，消去λ，得∴mn－5m+n+9=0．①又⊥，∴·=0，即（－2）×n+m×1=0，m－2n=0．②由②得m=2n，代入①，得相应的 m=6，m=3．【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为=（7，－1－m），＝（n＋2，1－m），与共线，所以7×（1－m）－（n ＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn－5m+n+9=0．例5 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．【分析】因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据·的最小值，求得，而cos∠AXB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．【解】（1）设=（x，y）．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），∴x×1－y×2=0，即 x=2y．∴=（2y，y）．又=－，OA=（1，7），∴=（1－2y，7－y）．同样=－=（5－2y，1－y）．于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）有最小值－8．此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1），·=（－3）×1＋5×（－1）=－8．【说明】由于X是OP上的动点，则向量，均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积·也处在不确定的状态，这个数量积由与的模||与||及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．例6 如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，自A 向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以、为基底表示图中的向量，其中⊥是最可利用的条件．又=－，，于是可建立m与n的关系式．【解】设=a，=c，BE∶EC=m∶n，则又=+=c+a，且⊥，∴·=0，∴4m－n－（m+n）=0．∴3m=2n．∴m∶n=2∶3．故BE∶EC=2∶3．例7如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD 与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．【证法一】∵AD⊥BC，H在AD上，∴⊥．而=－，∴（－）·=0．∴·－·=0．①又⊥，∴·=0，即（－）·=0，·－·=0．②注意到①，②式中·=·，故①－②，得·（－）=0，即·（＋）=0，·=0．∴⊥，即CH⊥AB．【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O．∵=－，⊥，∴·=0，即（－）·（－）=0．∴·（－）=·（－）．①同理，由⊥，可得·（－）=·（－）．②①+②，得·（－）=·－·，即·（－）=·（－），（－）·（－）=0，·=0，∴⊥，故CH⊥AB．【说明】用向量法证明CH⊥AB，只要证得·=0即可．因此证明中，都将已知条件中的·=0，·=0，运用减法的意义，将，分解成含的形式，再构造出·的形式，寻求结论．证法二中，在平面内任取一点O，使图中所用向量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法应注意学习和使用．例8 设平面内有两个向量a=（cosα，sinα）， b＝（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π．（1）证明（a＋b）⊥（a－b）；（2）若两个向量ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值（k≠0，k∈R）．【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（a＋b）·（a－b）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|a－kb|相等，确定β－α的值．【解】（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），∴a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ），a－b=（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．∴（a＋b）·（a－b）=（cosα＋cosβ）（cosα－cosβ）＋（sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）=1－1=0．∴（a＋b）⊥（a－b）．证得结论．于是（*）式化为 4kcos（α－β）=0．由于k∈R，k≠0，∴cos（α－β）=0，即cos（β－α）=0．而0＜α＜β＜π，【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中a ＋b与a－b垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知|ka+b|=|a－kb|时，a与b的夹角为|α－β|=90°．因为a·b=cos（α－β），a·b=|a|·|b|cosθ．故cos（α－β）=cosθ，又0＜α＜β＜π，有θ=|α－β|（θ为a与b的夹角）．这时a⊥b．此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形．例9 现有7个向量，其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量的和的长度相等，求证这7个向量的和向量是零向量．两边平方，得即 |α|=0．∴α=0．例10（1）将点A（2，4）按向量a=（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是_______．【解】（1）设A′点的坐标为（x′，y′），由平移公式得∴A′（－3，2）．（2）设平移向量a=（h，k）．。
6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)
6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。