高中数学教案——平移

课题：平移
教学目的：
1.理解向量平移的几何意义；
2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
教学重点：平移公式.
教学难点：向量平移几何意义的理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移，引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系，深刻理解一个平移就是一个向量，从而掌握向量平
移在简化函数解析式的应用.
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量
1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |
特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||
4︒cos θ =|
|||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律
交换律：a ⋅ b = b ⋅ a
数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )
分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c
6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
),(11y x a =，),(22y x b =⇒b a ⋅2121y y x x +=
7.平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或
||a =（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)
8.向量垂直的判定
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
9.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
C
co s θ=||||b a b a ⋅⋅222221212
121y x y x y y x x +++=
二、讲解新课：
1.平移的概念
设F 为平面内一个图形，将F 上所有的点按
照同一方向，移动同样的长度，得到F '，这个
过程叫做图形的平移.
在图形平移过程中，自一点都是按照同一方
向移动同样的长度，所以我们有两点思考：
其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.
2.平移公式
设点P (x ,y )按照给定的向量a ＝（h,k ）平移后得到新点),(y x P '''， 则⎩
⎨⎧+='+='k y y h x x 容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为⎩⎨⎧-'=-'=y
y k x x h 3．图形的平移公式
给定向量a ＝（h,k ），由旧解析式求新解析式时，把公式⎩
⎨⎧-'=-'=k y y h x x ，代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式⎩⎨⎧+='+='k y y h x x 代入到新解析式中整理可得.
应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.
三、讲解范例：
例1 (1)把点A (-2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A ’的坐标,(y x
''
(2)点M (8, -10)按a 平移后对应点M '的坐标为(-7, 4)，求a
解：(1)由平移公式：⎩⎨⎧=+==+-=3
21y'132x' 即对应点A ’的坐标为(1, 3) (2)由平移公式：⎩
⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧+-=+=-141510487k h k h 即a 的坐标为(-15, 14) 例2 将函数y = 2x 的图象l 按a = (0, 3)平移到l '，求l '的函数解析式 解：设P (x , y )为l 上任一点，它在l '上的对应点为),(y x P '''
由平移公式：⎩
⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒+=+=3''3'0'y y x x y y x x 代入y = 2x 得：y '- 3 = 2x ' 即：y ' = 2x ' + 3
按习惯，将x '、 y '写成x 、y 得l '的解析式：y = 2x + 3
（实际上是图象向上平移了3个单位）
例3 已知抛物线y = x 2 + 4x + 7，(1)求抛物线顶点坐标(2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式
解：(1)设抛物线y = x 2 + 4x + 7的顶点O '坐标为(h , k )
则h = -2, k = 3 ∴顶点O '坐标为(-2, 3)
(2)按题设，这种平移是使点O '(-2, 3)移到O (0, 0)， 设O '= (m , n ) 则⎩⎨⎧-=-==--=3
302)2(0n m 设P (x , y )是抛物线y = x 2 + 4x + 7上任一点，对应点),(y x P '''
则⎩⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧-=+=3
'2'3'2'y y x x y y x x 代入y = x 2 + 4x + 7得 y '= 2x ' 即y = x 2
四、课堂练习：
1.将点P (7，0)按向量a 平移，对应点A ′(11，5)，则a 等于（ ）
A.(2，5) B .(4，3) C.(4，5) D.(5，4)
2.将函数y =f (x )的图象F 按向量a =(-3,2)平移后得y =6ｓｉｎ５ｘ的图象，则f (x )等于（ ）
A.y =6sin(5x +15)+2 B .y =6sin(5x -15)+2
C.y =6sin(5x +15)-2
D.y =6sin(5x -15)-2 3.将函数y =4-n -94(x -m )的图象按向量a 平移得到的图象的函数为y =4-94x ，则a 等于（ ）
A.(m ,n ) B .(m ,-n ) C.(-m ,n ) D.(-m ,-n )
4.按向量a 把点A (1，1)平移后得到A ′(3,-4)，按此平移法，则点B (-2，-1)应平移到 .
5.将一抛物线F 按a =(-1,3)平移后，得到抛物线F ′的函数解析式为 y =2(x +1)２＋３，则F 的解析式为 .
6.若在直线l 上有两点A (x １，y １)和B (x ２，y ２)，如果按向量a 平移后，A 点对应点的坐标为(2x １，２y １)，则B 点对应点的坐标为 .
7．是否存在一个平移，它把点(0，-1)移至(1，0)，且把点(-1，3)(0，4).
8.将抛物线y =x ２－4x ＋5按向量a 平移，使顶点与原点重合，求向量a 的坐标.
9.将一次函数y =mx +n 的图象C 按向量a =(2,3)平移后，得到的图象仍然为C ，试求m 的值.
参考答案：1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y =2x 2 6.(x 1+x 2,y 1+y 2) 7. 8.(-2,-1) 9.2
3 五、小结 通过本节学习，要求大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。